universidade federal de ouro preto - ICEB-UFOP

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
Departamento de Matemática
a
6 Lista de Exercı́cios de Int. a Alg. Linear - Transformações Lineares
Prof. Eder
1. Dentre as transformações T definidas abaixo, verificar quais são lineares:
(a) T : R2 → R2 , T (x, y) = (x2 , y 2 ).
(b) T : R2 → R3 , T (x, y) = (x − y, 3y, 0).
(c) T : R2 → R2 , T (x, y) = (x + 4, y − 4).
(
)
2y
3x
2
(d) T : M(2) → R , T (x, y) =
.
−y x + 2y
(e) T : Rn → Rm dada por T (X) = AX, em que A ∈ Mm×n é uma matriz fixada.
Resp.: Não são lineares: a,c.
2. Considere a transformação linear T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (2x − y, x + 2y).
Represente num plano cartesiano os vetores u = (1, 0), v = (0, 1) e u + v. Represente em
outro plano cartesiano os vetores T (u), T (v), T (u + u), T (3u) e T (2v).
3. Se T : R2 → R2 é dado por T (x, y) = (2x+y, 4x+2y).
dos vetores abaixo pertencem
( Quais )
1
a NucT ? a) (1,-2) b) (2, - 3). Os vetores (2, 4) e − , −1 pertencem a ImT ?
2
4. Se T : V → W é uma transformação linear. Mostre que imT e ker T são subespaços
vetoriais de V e W respectivamente.
5. Se T : V → W é uma T.L. e B = {v1 , v2 , · · · , vn } é uma base de V sabemos que
{T v1 , · · · , T vn } gera V . Com base nisso, use a base canônica para encontrar facilmente
um conjunto de geradores para imT em que
(a) T (x, y, z) = (2x + y, −y + z, 3y − z)
(b) T (x, y) = (4x − 3y, x − y)
Resp.: a) {(2, 0, 0), (1, −1, 3), (0, 1, −1)} b) (4, 1), (−3, −1);
6. Dada a transformação linear T : R3 → R2 dada por T (x, y, z) = (x + y, 2x − y + z).
Encontre uma base para ker T e imT .
Resp.: Base para ker T : {(−1, 1, 3))}, base para imT : {(1, 2), (0, 1)}.
dim ker T + dim imT = 3 = dim R3 .
Observe que
7. Dadas as transformações lineares abaixo, determine núcleo e imagem de T . Encontre uma
base e a dimensão desses subespaços e diga se T é injetora e/ou sobrejetora
(a) T : R2 → R2 , T (x, y) = (3x − y, −3x + y);
(b) T : R2 → R3 , T (x, y) = (x + y, x, 2y);
(c) T : R3 → R3 , T (x, y, z) = (x − y − 2z, −x + 2y + z, x − 3z);
(d) T : P1 → R3 , T (ax + b) = (a, 2a, a − b);
(e) T : R3 → R3 , T (x, y, z) = (x + y, x − z);
1
Resp.: a) N uc(T ) = {(x, 3x); x ∈ R}; dim N uc(T ) = 1; T não é injetora - Im(T ) =
{(−y, y); y ∈ R}; dim Im(T ) = 1 - T não é sobrejetora
b) N uc(T ) = {(0, 0); x ∈ R}; dim N uc(T ) = 0; T é injetora, pois dim N uc(T ) = 0Im(T ) = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x − 2y − z = 0}; dim Im(T ) = 2 - T não é sobrejetora
c) N uc(T ) = [(3, 1, 1)]; Im(T ) = {(x, y, z); 2x + y − z = 0}
d) N uc(T ) = {0}; Im(T ) = {(a, 2a, c); a, c ∈ R}
e) T não é injetora mas é sobrejetora.
8. (a) Determine a transformação linear T : R2 → R2 tal que T (−1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, 1) =
(1, 1, 0);
(b) Encontre, caso exista, um vetor v ∈ R2 tal que t(v) = (−2, 1, −3).
Resp. a) T (x, y) = (−2 + y, −x + y, −x), b) v = (3, 4)
9. Verifique que B = {(1, 1, 1), (1, −1, 0), (3, 0, 1)} forma uma base para R3 . Determine T :
R3 → R2 tal que T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, −1, 0) = (−1, 2) e T (3, 0, 1) = (2, 2) e encontre o
núcleo de T .
10. Seja T : R2 → R3 a seguinte transformação linear: T (x, y) = (2x − y, x + 3y, −2) e
A = {(−1, 1), (2, 1)} e B = {(0, 0, 1), (0, 1, −1), (1, 1, 0))} base de R2 e R3 respectivamente.
A
Determine [T ]A
B . Qual a matriz [T ]C , em que C é a base canônica. Qual a matriz canônica
de T ?
Resp.:

 

3 0
−3 3
 5 2 , 2 5 
−3 3
−2 2
11. Sabendo que a matriz de uma transformação linear T : R2 → R3 nas bases A = {(−1, 1), (1, 0)}
e B = {(1, 1, −1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} é dada por


3 1
 2 5 
1 −1
encontrar a expressão de T (x, y) e a matriz [T ]
Resp.:T (x, y) = (8x + 18y, 6x + 11y, −2x − 4y)

8
[T ] =  6
−2
12. Seja
e

18
11 
−4

1 −2
 2
0 
−1 3

a matriz canônica de uma transformação linear T : R2 → R3 . Se T (v) = (2, 4, −2), calcule
v.
Resp.: v = (2, 0)
2
13. Considere a transformação linear T : R2 → R2 que leva o vetor (x, y) em α(x, y), isto é
T (x, y) = α(x, y). Qual matriz A pode ser usada para escrever
( )
( )
x
x
T
=A
y
y
Resp.: A = diag(α, α)
14. Seja T : R2 → R2 dada por
(
T
(
A matriz Aθ =
x
y
cos θ −senθ
senθ cos θ
)
(
=
cos θ −senθ
senθ cos θ
)(
x
y
)
)
é dita matriz de rotação como vimos em aula.
√
(a) No plano, uma rotação anti-horária de 45◦ é seguida por uma dilatação de 2 . Ache
a transformação linear que representa esta transformação no plano.
Resp.: T (x, y) = (x − y, x + y)
(b) Qual é a transformação linear A que representa uma contração de √1 seguida por
2
uma rotação horária de 45◦ . Resp.: T (x, y) = 12 (x + y, −x + y)
(c) Os pontos A = (2, −1), B = (6, 1) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero.
Calcular as coordenadas do vértice C utilizando a matriz de rotação no plano.
√ √
√
√
Resp.: (4 − 3, 2 3), (4 + 3, −2 3)
15. Encontre as matrizes canônicas das transformações lineares dadas em R2
(a) T (x, y) = (x, −y) (reflexão em relação ao eixo x)
(b) T (x, y) = (−x, y) (reflexão em relação ao eixo y)
(c) T (x, y) = (y, x) (reflexão em relação a reta y = x)
(d) T (x, y) = (−y, −x) (reflexão em relação a reta y = −x)
(e) T (x, y) = (x, 0) (projeção no eixo x)
(f) T (x, y) = (0, y) (projeção no eixo y)
16. Determine a matriz da transformação linear, em R2 , que representa uma rotação de 30◦
no sentido horário, seguida de duplicação dos módulos e, após, inversão dos sentidos.
√
√
Resp.: T (x, y) = (− 3 − y, x − 3y)
17. Os pontos A = (2, −1) e B = (−1, 4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD.
Determine os vértices C e D, utilizando a matriz de rotação no plano.
Resp.: C = (−3, −4)eD = (−6, 1) ou C ′ = (7, 2)eD′ = (4, 7)
18. A matriz de T : R2 → R2 relativa à base B = {v1 , v2 }, sendo v1 = (1, 1) e v2 = (3, 2) é
dada por
(
)
2
1
−1 −3
(a) Determine T (v1 )B e T (v2 )B
(b) Determine T (v1 ) e T (v2 )
(c) Encontre as coordenadas de (x, y) na base V e calcule T (x, y).
3
Resp.: a) (T v1 )B = (2, −1), (T v2 )B = (1, −3) b) T v1 = (−1, 0), T v2 = (−8, −5)
19. Se T : R4 → R3 é uma transformação linear, quais são os possı́veis valores para a dimensão
de ker T e imT ? E se T for injetora? E se T for sobrejetora?
20. Seja T : Rn → R5 uma transformação linear.
(a) Se T é injetiva e sobrejetiva, qual o valor de n?
(b) Se T é sobrejetiva e dim N uc(T ) = 3, qual o valor de n?
21. A aplicação T : R4 → R dada por T (x, y, z, w) = ex + πy − 108 z + 80w é sobrejetiva?
22. Dê exemplo de uma transformação linear T : R3 → R3 cujo núcleo é gerado por (1, 2, −1)
e (1, −1, 0).
Resp.: Um exemplo possı́vel é T (x, y, z) = (x + z, y)
23. Dê exemplo de uma transformação linear T : R3 → R2 tal que NucT = [(1, 0, −1)].
24. Dê exemplo de uma transformação linear T : R2 → R4 cuja imagem é gerada por
[(1, 2, 1, −1)].
25. Sejam T : V → W e S : W → U duas transformações lineares. Mostre que a composta
S ◦ T é também uma transformação linear.
26. Coloque verdadeiro ou falso justificando sua resposta
(a) Se T : R4 → R2 é uma aplicação tal que T (1, −1, 0, 2) = (1, 2) e T (0, 0, 0, 1) = (−1, 0)
e T (1, −1, 0, 3) = (0, 1). Então T não é uma transformação linear.
(b) Se T : R3 → R2 é uma Transformação linear injetora então ela é sobrejetora.
(c) Se T : Rn → Rm é uma Transformação linear sobrejetora então dim imT ≤ n.
(d) Se B = {v1 , · · · , vn } é uma base para V e T : V → W é uma Transformação linear
então {T v1 , · · · , T vn } é uma base para imT .
Resp.: V,V,V,F.
4