CONDUÇÃO BIDIMENSIONAL

Portfolio de:
Condução multidirecional: a equação de difusão de calor
Problema motivador 01:
Para a alteração de propriedades de ligas metálicas, metais nobres podem ser
adicionados na forma de pellets (pequenas esferas) à massa fundida da liga metálica
imersa em um grande recipiente. Ocorre então um aquecimento da esfera até que esta se
funda e se difunda na liga. Um problema que pode ocorrer neste processo é a
solidificação da liga em torno do pellet, quando não ocorrerá a difusão dos constituintes
da esfera na massa fundida levando a um produto fora de especificação. Assim, é
necessário estudar-se o processo de transferência de calor da esfera com a massa
fundida.
Efetue a seguir um esquema do problema de transferência de calor a ser estudado:
Problema motivador 02:
Durante o processamento de materiais é importante efetuar-se um levantamento da
distribuição de temperaturas ao longo do material, o mesmo ocorre com o estudo da
resistência de materiais que durante a operação serão submetidos a variações acentuadas
de temperatura. Por exemplo, considere o seguinte problema, para o qual um esquema
deverá ser realizado.
Tem-se uma chaminé, no interior da qual escoa uma corrente gasosa
advinda de uma fornalha e que está exposta ao ar ambiente. (Fornalhas
operam com temperaturas elevadas, por exemplo, temperaturas da ordem de
400oC não são incomuns). Deseja-se obter a distribuição de temperaturas na
parede da chaminé e a taxa de calor trocada dissipada através da parede.
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163
Portfolio de:
DEDUÇÃO DO BE-MICROSCÓPICO NA ABORDAGEM ANALÍTICA PARA
PROBLEMAS ENVOLVENDO TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR
CONDUÇÃO MULTIDIRECIONAL
• sistema de coordenadas cartesianas:
Observação: iremos aplicar a metodologia descrita à página 131 deste portfolio:
figura – o volume de controle diferencial no interior de um corpo sólido
(Incropera & De Witt, p. 29)
Do BE-macroscópico temos que (ausência de correntes materiais entrando e saindo
para/do VC):
dU
= qx + q y + qz − ( qx + dx + q y + dy + qz + dz ) + E! g
dt
sendo que:
• termo de acúmulo:
cp ρ∆x∆y∆z
∂T
∂t
• termo de geração de calor: q! ∆x∆y∆z
• os fluxos de entrada por condução:
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164
Portfolio de:
∂T
∂x
∂T
q y = −k ∆x∆z
∂y
∂T
q z = −k ∆x∆y
∂z
q x = −k ∆y∆z
• os fluxos de saída de calor por condução (usando Taylor):
∂qx
∆x
∂x
∂q y
= qy +
∆y
∂y
∂q
= q z + z ∆z
∂z
qx + dx = qx +
q y + dy
qz + dz
Substituindo os temos na equação do BE temos:
ρ cp
∂q y
∂T
∂q
∂q
∆x∆y∆z = qx − qx − x ∆x + q y − q y −
∆y + qz − qz − z ∆z + q! ∆x∆y∆z
∂t
∂x
∂y
∂z
logo,
ρ cp
∂q y
∂T
∂q
∂q
∆x∆y∆z = − x ∆x −
∆y − z ∆z + q! ∆x∆y∆z
∂t
∂x
∂y
∂z
e portanto:
ρ cp
∂T
∂ 
∂T
∆x∆y∆z = −  − k ∆y∆z
∂t
∂x 
∂x
∂ 
∂T

 ∆x −  − k ∆x∆z
∂y 
∂y


∂ 
∂T
 ∆y −  − k ∆x∆y
∂z 
∂z


 ∆z +

+ q! ∆x∆y∆z
Dividindo todos os termos por ∆x∆y∆z e aplicando lim ∆x, ∆y, ∆z → 0 , temos
finalmente:
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165
Portfolio de:
ρ cp
∂T
∂  ∂T
= k
∂t ∂x  ∂x
 ∂  ∂T
+ k
 ∂y  ∂y
 ∂  ∂T
+ k
 ∂z  ∂z

 + q!

(EQ-D1)
equação da difusão de calor em coordenadas cartesianas
Observação:
a caracterização do termo difusivo corresponde aos termos
diferenciais de 2a ordem!
Simplificações possíveis:
•
condutividade térmica constante
ρ cp ∂T ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
=
+
+
+ q!
k ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
1 ∂T ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q!
=
+
+
+
α ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 k
•
regime permanente
∂  ∂T
k
∂x  ∂x
•
 ∂  ∂T
+ k
 ∂y  ∂y
 ∂  ∂T
+ k
 ∂z  ∂z

 + q! = 0

(EQ-D3)
regime permanente; sem geração de calor; condutividade térmica constante,
condução bidimensional
∂ 2T ∂ 2T
+
=0
∂x 2 ∂y 2
•
(EQ-D2)
a equação de Laplace
(EQ-D4)
regime permanente; sem geração de calor; condução unidimensional
d  dT 
k
=0
dx  dx 
(EQ-D5)
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166
Portfolio de:
sistema de coordenadas cilíndricas:
figura – o volume de controle diferencial (Incropera & De Witt, p. 31)
ρ cp
∂T 1 ∂  ∂T  1 ∂  ∂T  ∂  ∂T 
=
k
+ k
 kr
+
 + q!
∂t r ∂r  ∂r  r 2 ∂φ  ∂φ  ∂z  ∂z 
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167
Portfolio de:
sistema de coordenadas esféricas:
figura – o volume de controle diferencial (Incropera & De Witt, p. 31)
ρ cp
∂T 1 ∂  2 ∂T
=
 kr
∂t r 2 ∂r 
∂r
1
1
∂  ∂T 
∂ 
∂T 

k
+ 2
+ 2 2
 ksenθ
 + q!
∂θ 
 r sen θ ∂φ  ∂φ  r sen θ ∂θ 
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168
Portfolio de:
Para o estabelecimento do modelo do processo:
É necessário fornecer:
•
uma condição inicial para os problemas dinâmicos, i.e., uma informação como
e.g.:
t=0 : T=To
•
uma condição de contorno para cada termo das diferenciais parciais
As condições de contorno são classificadas como:
a
1. Condição de contorno de Dirichlet ou de 1 espécie – temperatura da
superfície constante:
T (0, t ) = T1 ; T ( L, t ) = T2
a
2. Condição de contorno de Neumann ou de 2 espécie – fluxo térmico
na superfície constante, sendo o caso de superfície adiabática ou isolada um
caso particular
−k
∂T
∂x
x = 0ou L
= q" (sendo, q"=0 para o caso de superfície isolada)
a
3. Condição de contorno de Robin ou de 3 espécie – condição de
convecção na superfície
−k
∂T
∂x
Observação:
x = 0 ou L
= h (T∞ − T (0 ou L, t ) )
na presença de radiação à condição 3, acrescenta-se o termo do fluxo
de transmissão de calor por radiação. Em problemas radiais
∂T
simétricos, faz-se uso da condição de simetria
=0.
∂r r =0
leituras recomendadas: exemplos 2.2 e 2.3 do Incropera & De Witt
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169
Portfolio de:
exemplo 01: Condução bidimensional em regime permanente em uma
parede muito comprida de condutividade térmica constante
na ausência de geração de calor que tem uma de suas faces
mantidas a T2 e as demais a T1, conforme a figura a seguir:
Escrevendo as condições de contorno:
Modelagem:
Passo 1:
escolher o sistema de coordenadas conveniente e escrever a equação de
difusão genérica
Passo 2:
simplificar a equação de difusão
Passo 3:
escrever as condições de contorno e inicial
Passo 4:
buscar por solução analítica ou aplicar um procedimento numérico de
discretização
Aplicando para o exemplo:
ρ cp
∂T
∂  ∂T
= k
∂t ∂x  ∂x
 ∂  ∂T
+ k
 ∂y  ∂y
 ∂  ∂T
+ k
 ∂z  ∂z

 + q!

Logo temos:
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170
Portfolio de:
∂ 2T ∂ 2T
+ 2 =0
2
∂x
∂y
(equação de Laplace bidimensional)
Note que para a resolução da equação de Laplace acima precisamos de quatro
condições de contorno, a saber:
x = 0; ∀y : T (0, y ) = T1
x = L; ∀y : T (0, y ) = T1
y = 0; ∀x : T ( x, 0) = T1
y = w; ∀x : T ( x, w) = T2
Logo teremos o seguinte modelo:
∂ 2T ∂ 2T
+
=0
∂x 2 ∂y 2
c.c : T (0, y ) = T1
T (0, y ) = T1
T ( x, 0) = T1
T ( x, w) = T2
O modelo acima tem solução analítica conhecida. Para a determinação da solução
analítica é conveniente efetuar a seguinte transformação de variáveis:
θ ( x, y ) =
T ( x, y) − T1
∂T
∂ 2T
⇒ ∂ xθ = x ⇒ ∂ 2xθ = x
T2 − T1
T2 − T1
T2 − T1
Desta forma, o modelo passa a ser escrito como:
∂ 2θ ∂ 2θ
+
=0
∂x 2 ∂y 2
c.c : θ (0, y ) = 0
θ (0, y ) = 0
θ ( x, 0) = 0
θ ( x, w) = 1
A solução deste modelo é dada por:
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171
Portfolio de:
θ ( x, y ) =
2
( −1) + 1 sen 
∑

π j =1
j

∞
j

senh 
jπ x 


L 

senh 

jπ y 

L 
jπ w 

L 
Graficamente, a função acima (note que é uma somatória de infinitos termos) pode
ser representada como na figura a seguir, extraída de Incropera & De Witt (p.92), a qual
mostra curvas de nível correspondentes às isotermas.
Qual a temperatura na posição x =
L
w
;y= ?
2
2
Exercício: efetue a modelagem dos problemas motivadores 1 e 2 à página 107 deste
portfolio.
Problema motivador 01:
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172
Portfolio de:
Problema motivador 02:
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173
Portfolio de:
PROCEDIMENTO NUMÉRICO DE RESOLUÇÃO – USO DO
MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS – em regime permanente
1. Discretize o problema, estabelecendo uma malha de discretização com seus pontos
nodais.
2. Para o problema estudado, verificar se existe simetria e se for o caso estabelecer a
menor unidade simétrica(para tanto determine os planos de simetria).
3. Discrimine os pontos nodais distintos quanto aos mecanismos de transferência de
calor e efetue um volume de controle em torno do ponto nodal. Para a delimitação
do volume de controle caminhe na direção do sistema de coordenadas. A superfície
de controle está situada na metade da distância entre dois pontos nodais
consecutivos. A temperatura no volume de controle em torno do ponto nodal é
constante. Há assim descontinuidade nas temperaturas ao longo da superfície sólida
(inerente ao procedimento de discretização).
4. Para cada ponto nodal distinto efetue um balanço de energia, escrevendo as taxas de
condução na forma discretizada usando o método de diferenças finitas e
explicitando o termo de geração como uma taxa volumétrica. Usa-se a fórmula de
diferenças finitas para a frente. Simplifique a equação.
5. Monte os balanços de energia para todos os pontos nodais da malha discretizada.
6. Resolva o sistema de equações para o cálculo das temperaturas. (Observação: o
passo de discretização deve ser suficientemente pequeno.)
7. Para o cálculo da taxa de calor escolha uma superfície de controle adequada e
calcule a taxa de calor por esta superfície.
8. Para a verificação da adequação do passo de discretização, compare os resultados
das taxas de calor obtidas em duas superfícies de controle distintas e adequadas. Se
houver discrepância significativa, o passo deve ser reduzido e o novo sistema de
equações novamente resolvido.
Observação: como já apresentado, ressaltamos que o método de diferenças finitas
pode ser aplicado ao modelo analítico estabelecido a partir da equação do
BE microscópico. Nesta situação, pode-se usar outras fórmulas de
diferenças finitas, algumas das quais apresentam precisão maior que a
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174
Portfolio de:
fórmula de diferenças para a frente. Existem fórmulas de diferenças
finitas para as derivadas de 1a e 2a ordem, por exemplo:
Cálculo da derivada primeira:
Diferenças finitas para a frente:
Diferenças finitas para a trás:
Diferenças finitas centrais:
dT
dx
dT
dx
dT
dx
T ( x + ∆x ) − T ( x )
∆x
T ( x) − T ( x − ∆x)
≈
∆x
≈
x
x
≈
x
T ( x + ∆x) − T ( x − ∆x)
(*)
2∆x
Cálculo da segunda derivada:
d 2T
dx 2
=
x
T ( x + ∆x) − 2T ( x) + T ( x − ∆x)
(*)
∆x 2
As fórmulas ressaltadas (*) apresentam precisão numérica maior.
Além da discretização por diferenças finitas, pode-se efetuar uma
discretização por colocação ortogonal e a malha de discretização pode ser
feita em elementos finitos. O livro RICE, R.G, DO, D.D, DUONG, D.D,
Applied Mathematics and modeling for chemical engineering. John
Wiley & Sons, New York, 1994 é uma ótima referência para quem quer
ir atrás de mais pormenores sobre a modelagem de processos que
envolvem a aplicação das leis de conservação para VC-microscópicos.
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175
Portfolio de:
Exemplificando o método:
Caso 01:
regime permanente, sem geração de calor e sem radiação, comprimento
da superfície é b.
para o ponto m,n:
Assumindo a seguinte orientação para as taxas (a escolha é arbitrária, i.e., qualquer
escolha pode ser feita!):
taxas de condução entrando:
q1 = − K ∆xb
Tm ,n − Tm −1,n
∆y
T −T
q2 = − K ∆yb m, n m, n −1
∆x
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176
Portfolio de:
taxas de condução saindo:
do BE em torno do nodo m,n
q3 = − K ∆xb
Tm +1,n − Tm ,n
∆y
T
−T
q4 = − K ∆yb m, n +1 m, n
∆x
(sem geração de calor e em estado estacionário – note que na condução a distância
percorrida é entre os pontos nodais conhecidos de temperatura)
:
q1 + q2 − q3 − q4 = 0
Assumindo ∆x=∆y:
Tm −1,n + Tm +1,n + Tm, n −1 + Tm, n +1 + 4Tm ,n = 0
para o ponto m-1,n-1:
taxas de convecção entrando:
taxas de condução saindo:
∆x
b (T∞ − Tm −1,n −1 )
2
∆y
h b (T∞ − Tm −1,n −1 )
2
∆x Tm ,n −1 − Tm −1,n −1
b
−K
2
∆y
∆y Tm −1,n − Tm −1,n −1
b
−K
2
∆x
h
do BE em torno do nodo m-1,n-1
(sem geração de calor e em estado estacionário – note que na condução a
distância percorrida é entre os pontos nodais conhecidos de temperatura)
:
h
∆x
∆y
∆x Tm,n −1 − Tm −1,n −1
∆y Tm−1,n − Tm −1,n −1
b (T∞ − Tm −1,n −1 ) + h b (T∞ − Tm −1,n −1 ) + K
b
b
+K
=0
2
2
2
2
∆y
∆x
Assumindo ∆x=∆y e dividindo a equação do BE por
K
e por b:
2
h

h

2  ∆x  T∞ − 2  ∆x + 1 Tm −1,n −1 + Tm ,n −1 + Tm −1,n = 0
K 
K

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177
Portfolio de:
cálculo da taxa de calor nas arestas em que ocorre convecção:
pelo cálculo da taxa de convecção:
 (T∞ − Tm +3, n −1 )
(T∞ − Tm−1,n−1 )  +
q1 = h∆yb 
+ (T∞ − Tm + 2,n −1 ) + (T∞ − Tm +1,n −1 ) + (T∞ − Tm ,n −1 ) +

2
2


 (T∞ − Tm −1,n −1 )
(T∞ − Tm−1,n+3 ) 
h∆xb 
+ (T∞ − Tm −1,n ) + (T∞ − Tm −1,n +1 ) + (T∞ − Tm +1,n + 2 ) +

2
2


o
pelo cálculo da taxa de condução(assumindo ∆x=∆y e um ângulo de inclinação da parede isolada de 45 ):

(Tm−1,n − Tm−1,n−1 ) + 
(Tm + 2,n − Tm + 2,n −1 ) + (Tm +1,n − Tm +1,n −1 ) + (Tm ,n − Tm ,n −1 ) +

2


 (Tm ,n −1 − Tm −1,n −1 )

q2 = − Kb 
+ (Tm ,n − Tm −1,n ) + (Tm ,n +1 − Tm −1,n +1 ) + (Tm ,n + 2 − Tm −1,n + 2 ) + 
2


 (Tm ,n + 3 − Tm −1,n + 3 )



2


Questão para reflexão:
Caso 02:
Qual a temperatura do ponto nodal m+2,n+3?
regime permanente, com geração de calor volumétrica de calor q! e troca
de calor por convecção e radiação com vizinhança, comprimento da
superfície é b.
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