Física III - IFSC-USP

Física III
João Francisco Fuzile Rodrigues Garcia
8549323
Maiara Fernanda Moreno
8549344
Exercício 23.85 • •
Ao longo do eixo central de um disco carregado uniformemente, em um ponto a 0,60m do
centro do disco, o potencial é 80V e a intensidade do campo elétrico é 80V/m. A uma
distância de 1,5m, o potencial é de 40V e a intensidade do campo elétrico é de 23,5V/m.
Determine a carga total do disco.
OBS: Considere que o potencial seja zero quando muito distante do disco (ou seja, V = 0
para |x| = ∞).
Introdução
Este exercício trata de um disco uniformemente carregado, e para obter-se as equações de seu
potencial elétrico e de seu campo elétrico, que serão utilizadas para a resolução do exercício
proposto, é necessário o estudo de alguns conceitos fundamentais, que antecedem o cálculo de
seu potencial:
Potencial elétrico de uma carga puntiforme
O potencial elétrico a uma distância 𝑟 de uma carga puntiforme 𝑞 pode ser calculado
𝑝
usando 𝑉𝑝 − 𝑉𝑟𝑒𝑓 = ∫𝑟𝑒𝑓 𝐸⃗ ∗ 𝑑 ⃗𝑙 , onde no ponto de referência o potencial é igual a 𝑉𝑟𝑒𝑓
e 𝑝 é um ponto arbitrário onde calcula-se o campo. O campo elétrico devido a uma carga
puntiforme é dado por :
𝑘𝑞
𝒓
𝑟2
𝐸⃗ =
Substituindo 𝐸⃗ na integral de linha tem-se que:
𝑝
𝑝
𝑝
𝑘𝑞
𝑘𝑞
⃗𝑙 = ∫
𝒓
∗
𝑑
∗ 𝑑 𝑟⃗⃗
2
2
𝑟𝑒𝑓 𝑟
𝑟𝑒𝑓 𝑟
𝑉𝑝 − 𝑉𝑟𝑒𝑓 = ∫ 𝐸⃗ ∗ 𝑑 ⃗𝑙 = ∫
𝑟𝑒𝑓
Ou simplificando,
𝑉𝑝 =
𝑘𝑞
𝑘𝑞
−
𝑟
𝑟𝑟𝑒𝑓
Cálculo do potencial elétrico para distribuições contínuas de carga
O potencial devido a uma distribuição contínua de carga pode ser calculado escolhendose um elemento de carga 𝑑𝑞, que é tratado como uma carga puntiforme. Desta forma o
potencial pode ser calculado pela integral abaixo:
𝑉𝑝 = ∫
𝑘 𝑑𝑞
𝑟
A integral apresentada acima é ponto de partida para resolver casos especiais de
distribuição, como o de um anel carregado e de um disco carregado (caso deste exercício).
Potencial elétrico de um anel carregado uniformemente
Tem-se um anel de raio r e carga q no plano x = 0 e centrado na origem. A distância de
um elemento de carga dq ao ponto p no eixo do anel é:
𝑟 = √𝑥 2 + 𝑎2
Como esta distância é a mesma para todos os elementos de carga do anel, podemos
remover este termo da integral. O potencial no ponto P devido ao anel é então:
𝑉= ∫
𝑘 𝑑𝑞
𝑘
𝑘𝑄
= ∫ 𝑑𝑞 =
𝑟
𝑟
𝑟
ou
𝑉𝑝 =
𝑘𝑞
√𝑥 2
+ 𝑎2
Figura 1 – Anel carregado uniformemente
Potencial elétrico de um disco carregado uniformemente
Podemos usar o resultado encontrado para o potencial no eixo de um anel de carga para
calcular o potencial no eixo de um disco uniformemente carregado, pois considera-se que
este é composto por vários aneis carregados.
Figura 2 - Esquema de um disco uniformemente carregado
O eixo do disco é o eixo x e este é tratado como um conjunto de aneis carregados. O anel
de raio a e espessura da na figura acima tem uma área 2𝜋𝑑𝑎. A carga do anel é
𝑑𝑞 = σ ∗ 𝑑𝑎 = 𝑟𝑜 2𝜋𝑑𝑎, onde σ = Q/(𝜋𝑅 2 ) é a densidade superficial de carga.
O potencial no ponto P devido a carga neste anel é dado pela equação no tópico anterior:
𝑉𝑝 =
𝑘𝑞
√𝑥 2
+ 𝑎2
Integramos então de a = 0 até a = R para determinar o potencial total devido à carga do
disco.
Aqui tem-se então o potencial V então para o plano x = 0:
𝑑𝑉 =
𝑅
𝑉= ∫
0
𝑘 𝑑𝑞
√𝑥 2 + 𝑎2
𝑘σ2𝜋𝑎 𝑑𝑎
√𝑥 2 + 𝑎2
𝑉 = 2𝜋𝑘σ|x| (√1 +
=
𝑘σ2𝜋𝑎 𝑑𝑎
√𝑥 2 + 𝑎2
𝑅
= 𝑘σ𝜋 ∫
0
2𝑎 𝑑𝑎
√𝑥 2 + 𝑎2
𝑅2
σ
− 1) =
(√𝑥 2 + 𝑅 2 − 𝑥)
2
𝑥
2 ∊𝑜
Campo elétrico de um disco carregado uniformemente
A partir da equação do campo elétrico e da equação do potencial elétrico do disco
uniformemente carregado, podemos obter a fórmula do campo de um disco
uniformemente carregado:
⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑥 = −
𝑑𝑉
1
1
σ
𝑥
= 2𝜋𝑘σ|x| ( −
)𝒊 =
(1 −
)𝒊
𝑑𝑥
𝑥 √𝑥 2 + 𝑅 2
2 ∊𝑜
√𝑥 2 + 𝑅 2
Resolução
Dados do exercício:
V1 = 80 V
V2 = 40 V
R1 = 0,60 m
R2 = 1,50 m
E1 = 80 V/m
E2 = 23,5 V/m
Baseando-se nos dados do exercício, para sua resolução poderemos usar as equações do
potencial e do campo elétrico para um disco uniformemente carregado:
𝑉(𝑥) =
𝐸𝑥 =
Onde ∊𝑜 = 8.854 . 10−12
σ
(√𝑥 2 + 𝑅 2 − 𝑥)
2 ∊𝑜
σ
𝑥
(1 −
)
2
2 ∊𝑜
√𝑥 + 𝑅 2
(𝐼)
( 𝐼𝐼 )
𝐶2
𝑁.𝑚2
Para obtermos a carga Q nessas equações, teremos que substituir σ, que é a densidade superficial
de carga. Para um disco uniformemente carregado, cuja superfície é um círculo, temos:
2𝜋
𝑄 = ∫ σ 𝑑𝑆 = ∫
𝑆
0
σ=
𝑄
𝜋𝑅 2
𝑅
∫ σ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = σ𝜋𝑅 2
0
( 𝐼𝐼𝐼 )
Substituindo a equação ( III ) nas equações ( I ) e ( II ), obteremos:
𝑉(𝑥) =
𝑄
(√𝑥 2 + 𝑅 2 − 𝑥)
2𝜋𝑅 2 ∊𝑜
𝑄
𝑥
𝐸𝑥 =
(1
−
)
2𝜋𝑅 2 ∊𝑜
√𝑥 2 + 𝑅 2
=>
=>
𝑄=
2𝜋𝑅 2 ∊𝑜 𝑉(𝑥)
(√𝑥 2 + 𝑅 2 − 𝑥)
2𝜋𝑅 2 ∊𝑜 𝐸𝑥
𝑄=
𝑥
(1 −
)
2
√𝑥 + 𝑅 2
( 𝐼𝑉 )
(𝑉)
Com isso, ainda temos que calcular o valor do raio do disco, R, o que pode ser feito de várias
formas. No caso, poderemos fazer do seguinte modo:
𝑉(0.60𝑚) = 80𝑉 = 2𝜋𝑘σ (√(0.60𝑚)2 + 𝑅 2 − 0.60𝑚)
( 𝑉𝐼 )
𝑉(1.50𝑚) = 40𝑉 = 2𝜋𝑘σ (√(1.50𝑚)2 + 𝑅 2 − 1.50𝑚)
( 𝑉𝐼𝐼 )
Dividindo a fórmula ( VI ) pela fórmula ( VII ):
80𝑉
2𝜋𝑘σ (√(0.60𝑚)2 + 𝑅 2 − 0.60𝑚)
=
40𝑉
2𝜋𝑘σ (√(1.50𝑚)2 + 𝑅 2 − 1.50𝑚)
2=
(√(0.60𝑚)2 + 𝑅 2 − 0.60𝑚)
(√(1.50𝑚)2 + 𝑅 2 − 1.50𝑚)
2 (√2.25𝑚2 + 𝑅 2 ) − 3𝑚 = √0.36𝑚2 + 𝑅 2 − 0.60𝑚
2 (√2.25𝑚2 + 𝑅 2 ) = √0.36𝑚2 + 𝑅 2 + 2.40𝑚
Elevando-se os dois lados ao quadrado:
9𝑚2 + 4𝑅 2 = 0.36𝑚2 + 𝑅 2 + 5.76𝑚2 + 4.80 (√0.36𝑚2 + 𝑅 2 )
0.6𝑚2 + 0.625𝑅2 = (√0.36𝑚2 + 𝑅 2 )
Novamente elevando ambos os lados ao quadrado:
0.36𝑚2 + 0.75𝑅2 + 0.390625𝑅4 = 0.36𝑚2 + 𝑅 2
0.390625𝑅4 = 0.25𝑅2
𝑅 2 = 0.64
𝑅 = 0.80𝑚
Logo, o valor do raio do disco é de 0.80m
Finalmente, basta substituir os dados do exercício e do raio do disco na equação ( IV ) ou na
equação ( V ). No caso, utilizaremos a equação ( V ). Note que é possível usar tanto os valores
(E1, R1) quanto os valores (E2, R2) para resolver o exercício:
𝐶2
𝑉
) 𝑥 80 (𝑚) 𝑥 𝜋 𝑥 (0.80𝑚)2
2
𝑁. 𝑚
0.60𝑚
(1 −
)
√(0.60𝑚)2 + (0.80𝑚)2
2 𝑥 8.854 . 10−12 (
utilizando o par (𝐸1 , 𝑅1 ):
Q=
𝐶2
𝑉
𝑉 . 𝐶2
) 𝑥 80 (𝑚) 𝑥 𝜋 𝑥 0.64𝑚2
2848.323723 . 10−12 ( 𝑁 . 𝑚 )
2
𝑁. 𝑚
=
0.60𝑚
0.4
(1 − 1𝑚 )
2 𝑥 8.854 . 10−12 (
Q=
Q = 7120.809307 . 10−12 (
𝑉. 𝐶 2
) = 7.120809307 . 10−9 𝐶 ≅ 7.12 𝑛𝐶
𝑁. 𝑚
𝐶2
𝑉
) 𝑥 23,5 ( ) 𝑥 𝜋 𝑥 (0.80𝑚)2
𝑚
𝑁. 𝑚2
1.50𝑚
(1 −
)
√(1.50𝑚)2 + (0.80𝑚)2
2 𝑥 8.854 . 10−12 (
utilizando o par (𝐸2 , 𝑅2 ):
2 𝑥 8.854 . 10−12 (
Q=
Q=
𝐶2
𝑉
𝑉 . 𝐶2
) 𝑥 23,5 ( ) 𝑥 𝜋 𝑥 0.64𝑚2
836.6950936 . 10−12 (
)
2
𝑚
𝑁 .𝑚
𝑁. 𝑚
=
1.50𝑚
0.117647058
(1 − 1.70𝑚)
Q = 7111.908345. 10−12 (
𝑉. 𝐶 2
) = 7.111908345 . 10−9 𝐶 ≅ 7.12 𝑛𝐶
𝑁. 𝑚
Obs: note que (V/m) = (N/C), e logo:
(
𝑉. 𝐶 2
𝑁. 𝐶 2
)= (
)=𝐶
𝑁. 𝑚
𝑁. 𝐶
Portanto, a carga total do disco é de 7.12 nC.
Conclusão
Como pudemos ver, existem várias maneiras de se resolver o exercício. Não é necessário se
utilizar de todas as equações empregadas nessa resolução, porém dessa forma engloba-se toda a
matéria relacionada a potencial elétrica e campo elétrico, e o caso especial do disco
uniformemente carregado.
Também é possível se obter as equações para o disco sem o uso das equações do anel
uniformemente carregado, porém o resultado é o mesmo, exigindo apenas menor número de
equações.
Bibliografia
P. Tipler, Física para Cientistas e Engenheiros, vol. 2, Eletricidade e Magnetismo, sexta edição