BioMat-I 3.6. Comportamento nao-newtoniano

COMPORTAMENTO NÃO-NEWTONIANO
♦ Reo-fluidificação: a viscosidade diminui com o aumento da velocidade
de deformação.
Estável: a fluidificação é independente do tempo.
Regressiva: a fluidificação diminui à medida que o tempo cresce.
Progressiva: a fluidificação aumenta com o tempo.
Tixotropia: fluidificação progressiva, totalmente recuperável após
repouso prolongado.
Tixotropia parcial: fluidificação progressiva,
recuperável após repouso prolongado.
parcialmente
Reo-malaxe: reo-fluidificação progressiva irrecuperável.
♦ Reo-espessamento: a viscosidade aumenta com o aumento da
velocidade de deformação.
Estável: o espessamento é independente do tempo.
Regressivo: o espessamento diminui à medida que o tempo evolui.
Progressivo: o espessamento aumenta com o tempo
Anti-tixotropia: espessamento progressivo, recuperável após
repouso prolongado.
Anti-tixotropia parcial: espessamento progressivo, parcialmente
recuperável após repouso prolongado.
Reopexia: reo-espessamento progressivo irrecuperável ;
(solidificação de um sistema anti-tixotrópico, causada por um
movimento suave e regular).
♦ Dilatância (reo-éctase): aumento de volume por acção de uma tensão de
corte.
Equações constitutivas para problemas de viscosimetria
Não é indiferente considerar a viscosidade como dependendo explicitamente da
velocidade de deformação ou da tensão.
Em sistemas monofásicos tais como soluções poliméricas e fundidos
poliméricos, produzem-se modificações da forma e orientação de macromoléculas,
as quais cessam (relaxam) com o escoamento: nestes casos a viscosidade, é
condicionada pelas modificações das funções de distribuição da orientação e/ou da
forma das macromoléculas; o movimento de cada monómero é então condicionado
pela velocidade local do fluido no ponto em que se encontra esse monómero.
Nestas circunstâncias, é a distribuição de velocidades que condiciona a
“estrutura” do líquido em escoamento, pelo que é vantajoso representar a
viscosidade como dependente da velocidade de deformação.
Em sistemas multifásicos, tais como dispersões, emulsões, etc., diversos
parâmetros microstruturais da fase dispersa, tais como o tamanho (e a forma) das
gotas, dependem fortemente do valor da tensão na interface. Nestas circunstâncias,
é o valor local da tensão que condiciona a microstrutura do sistema, e faz todo
o sentido representar a viscosidade em função da tensão de corte.
Equação geral para a dependência da viscosidade da velocidade de
deformação.
σ = σ 0 .[1 − exp(− b.γ& )] + η ∞ .γ& +
σ1 .λ.γ&
(1−n ) a
1 + (λ.γ& )a
[
]
(1)
γ& é o gradiente de velocidade; num escoamento tangencial ou de corte é o
dobro da velocidade de deformação;
σ0 é a tensão de cedência, isto é, o valor mínimo da tensão de corte a partir da
qual se realiza o escoamento;
b é um coeficiente de atenuação introduzido por Papanastasiou para atenuar a
descontinuidade na curva de escoamento σ versus γ& em fluidos que aparentem
possuir tensão de cedência;
η∞ é o valor assintótico da viscosidade para velocidades de deformação
elevadas; por razões que têm a ver com o 2º Princípio da Termodinâmica, para
que a produção de entropia seja finita, a viscosidade tem necessariamente que
tender para zero quando a velocidade de deformação tender para infinito;
η0 é a viscosidade limite, isto é, o limite para o qual tende a viscosidade
quando a velocidade de deformação tende para zero; o seu valor é dado por
η0 = η∞ + σ1.λ
(2)
−1
λ é o valor do gradiente de velocidade que marca a transição entre o patamar
newtoniano para pequenas velocidades de deformação e a região de notório
comportamento não-newtoniano; λ−1 pode ser considerado como marcando o
limite superior do patamar newtoniano.
A partir da expressão geral (1) podem considerar-se os seguintes tipos gerais de
materiais:
• Fluido com tensão de cedência nula:
σ0 = 0
• Fluido com tensão de cedência não-nula: σ 0 ≠ 0 e 1/b = 0
• Fluido com pseudo-tensão de cedência:
σ 0 ≠ 0 e 1/b > 0
σ0 = 0
1. Fluido com tensão de cedência nula:
σ1 .λ.γ&
σ1 .λ ≡ η 0 − η ∞ σ = η ∞ .γ& +
(1− n ) a
1 + (λ.γ& )a
[
1.1. newtoniano:
]
(λ.γ& ) << 1
σ ≅ η0 .γ&
(η0 − η∞ ).γ&
1.2. não-newtoniano geral:
(λ.γ& ) ≈ 1
σ = η∞ .γ& +
1.3. pseudo-lei de potência:
(λ.γ& ) >> 1
σ = η ∞ .γ& + σ1.(λ.γ& )n
[1 + (λ.γ& ) ](
a 1− n ) a
2. Fluido com tensão de cedência não-nula: σ 0 ≠ 0 e 1/b = 0
2.1. Plástico de Bingham:
(λ.γ& ) << 1
2.2. Plástico generalizado:
(λ.γ& ) ≈ 1
σ ≅ σ 0 + η0 .γ&
σ = σ 0 + η∞ .γ& +
2.3. Plástico pseudo-lei de potência:
(η0 − η∞ ).γ&
[1 + (λ.γ& )a ](1−n ) a
(λ.γ& ) >> 1
σ = σ 0 + η∞ .γ& + σ1.λ.γ&
3. Fluido com pseudo-tensão de cedência: σ 0 ≠ 0 e 1/b > 0
(λ.γ& ) << 1
σ ≅ σ 0 .[1 − exp(− b.γ& )] + η0 .γ&
3.1. Pseudo-plástico de Bingham:
3.2. Pseudo-plástico generalizado:
(λ.γ& ) ≈ 1
σ = σ 0 .[1 − exp(− b.γ& )] + η ∞ .γ& +
(η0 − η∞ ).γ&
[1 + (λ.γ& ) ](
a 1− n ) a
(λ.γ& ) >> 1
σ ≅ σ 0 .[1 − exp(− b.γ& )] + η∞ .γ& + σ1 .(λ.γ& )n
3.3. Pseudo-plástico em pseudo-lei de potência:
1. Fluido com tensão de cedência nula: σ 0 = 0
σ1 .λ ≡ η 0 − η ∞
η = η∞ +
σ0 = 0
σ1 .λ
(1−n ) a
1 + (λ.γ& )a
[
]
(13)
1.1. Comportamento newtoniano:
(λ.γ& ) << 1
σ ≅ η0 .γ& ⇒ η ≅ η0
(14)
1.2. Comportamento não-newtoniano:
(λ.γ& ) ≈ 1
η = η∞ +
(η0 − η∞ )
[1 + (λ.γ& ) ]
a (1−n ) a
(15)
A equação (15) engloba os seguintes modelos:
1.2.1. Modelo de Cross [14] utilizado em escoamentos envolvendo fundidos e soluções
poliméricas:
η=η∞ +
η0 − η∞
1+ ( λ.γ& )a 


(16)
1.2.2. Modelo de Carreau [15] é uma generalização do modelo de Cross:
η = η∞ +
η0 − η∞
(1−n ) 2
1 + (λ.γ& )2
[
]
(17)
1.2.3. Modelo de Yasuda [16] é uma generalização do modelo anterior:
η = η∞ +
η0 − η∞
(1−n ) a
1 + (λ.γ& )a
[
]
(18)
1.3. Comportamento em pseudo-lei de potência:
(λ.γ& ) >> 1
σ1.λn = η 0 − η ∞ σ = η∞ .γ& + σ1.(λ.γ& )n
(9)
η = η ∞ + (η 0 − η ∞ ).γ& n −1
(19)
As equações (9) ou (19) englobam os seguintes modelos:
1.3.1. Modelos com viscosidade assintótica nula : η∞ = 0 .
1.3.1.1. Fluido em lei de potência (Ostwald-de Waele) [17, 18]
σ = σ1 .(λ.γ& )n
(20)
1.3.1.2. Fluido em lei de potência truncada (Spriggs) [19]
η = σ1 .λn = η0
 γ& 
η = σ1 .λ . 
 γ& 0 
n
⇐ γ& < γ& 0
(21a)
⇐ γ& > γ& 0 = λ-1
(21b)
(n −1)
1.3.2. Modelos com viscosidade assintótica não nula: η ∞ ≠ 0
1.3.2.1. Modelo de Sisko [20]
σ = η∞ .γ& + σ1.(λ.γ& )n
(
)
(22)
η = η∞ + σ1.γ& −1
(23)
η = η∞ + σ1 .λn .γ& (n −1)
1.3.2.2. Modelo de Bingham [13] fazendo n = 0, tem-se
σ ≅ η∞ .γ& + σ1
2. Fluido com tensão de cedência não-nula : σ 0 ≠ 0
2.1. Plástico de Bingham [13].
(λ.γ& ) << 1 σ ≅ σ 0 + η∞ .γ& + σ1.λ.γ& = σ 0 + η0 .γ&
(7)
2.2. Plástico generalizado:
(λ.γ& ) ≈ 1
σ = σ0 + η∞ .γ& +
σ = σ0 + η∞ .γ& +
η=
σ1.λ.γ&
(1− n ) a
1 + (λ.γ& )a
(8a)
(η0 − η∞ ).γ&
[1 + (λ.γ& )a ](1−n ) a
(8b)
[
]
σ0
(η0 − η∞ )
+ η∞ +
(1− n ) a
γ&
1 + (λ.γ& )a
[
]
(8c)
2.3. Plástico em pseudo-lei de potência:
(λ.γ& ) >> 1 σ ≅ σ 0 + η∞ .γ& + σ1.(λ.γ& )n
(9)
2.3.1. Modelos com viscosidade assintótica nula: η ∞ = 0
2.3.1.1. Modelo de Herschel-Bulkley [21]
σ = σ 0 + σ1.(λ.γ& )n
(24)
2.3.1.2. Modelo de Parzonka-Vocadlo [22]
[
]
σ = σ 0n + σ1 .(λ.γ& )
1n
(25)
2.3.2. Modelos com viscosidade assintótica não-nula: η∞ ≠ 0
2.3.2.1. Modelo de Casson [23] usado em escoamentos de sistemas dispersos, sangue, ...
.5
.5
σ 0.5 = σ 0Cass
+ η0Cass
.γ& 0.5
(26)
ou
(
η=
)
0.5
.γ& 0.5
(27a)
σCass
+ ηCass + (4.σCass .ηCass )0.5 .γ& −0.5
γ&
(27b)
σ = σ Cass + ηCass .γ& + 4.σ Cass .ηCass
onde
tensão de cedência de Casson:
σCass
viscosidade assintótica de Casson:
η∞ = ηCass
(28a)
(28b)
3. Fluido com pseudo-tensão de cedência σ0 ≠ 0 e 1/b > 0
3.1. Pseudo-plástico de Bingham: (λ.γ& ) << 1
[η0 = viscosidade pseudo-plástica]
σ ≅ σ0 .[1 − exp(− b.γ& )] + η∞ .γ& + σ1.λ.γ&
(10a)
σ ≅ σ 0 .[1 − exp(− b.γ& )] + η0 .γ&
(10b)
3.2. Pseudo-plástico generalizado : (λ.γ& ) ≈ 1
σ = σ 0 .[1 − exp(− b.γ& )] + η∞ .γ& +
σ = σ 0 .[1 − exp(− b.γ& )] + η∞ .γ& +
σ1 .λ.γ&
(1−n ) a
1 + (λ.γ& )a
[
]
(η0 − η∞ ).γ&
[1 + (λ.γ& ) ]
a (1− n ) a
(11a)
(11b)
3.3. Pseudo-plástico em pseudo-lei de potência: (λ.γ& ) >> 1 .
σ ≅ σ 0 .[1 − exp(− b.γ& )] + η ∞ .γ& + σ1 .(λ.γ& )n
(12)
3.3.1. Modelos com viscosidade assintótica nula: η ∞ = 0
3.3.1.1. Modelo de Papanastasiou [12]
σ = σ0 .[1 − exp(− a.γ& )] + (σ1.λ ).γ&
(29a)
σ0
.[1 − exp(− a.γ& )] + (σ1.λ )
γ&
(29b)
η=
3.3.1.2. Modelo de Papanastasiou-Herschel-Bulkley [12]
σ = σ 0 .[1 − exp(− a.γ& )] + σ1 .(λ.γ& )n
η=
σ0
.[1 − exp(− a.γ& )] + (σ1.λ )(
. λ.γ& )1− n
γ&
(30a)
(30b)
3.3.2. Modelos com viscosidade assintótica não-nula: η∞ ≠ 0
3.3.2.1. Modelo de Papanastasiou-Casson [12]
[ (
σ0.5 = σC . 1 − e −a .γ&
)]0.5 + η0C.5.γ& 0.5
(31a)
ou
(
)
(
)
[
(
) ]0.5.γ& 0.5 (31b)
σ = σC . 1 − e− a.γ& + ηC .γ& + 4.σC . 1 − e −a .γ& .ηC
η=
[
(
) ]0.5.γ& −0.5 (31c)
σC
. 1 − e − a.γ& + ηC + 4.σC . 1 − e − a.γ& .ηC
γ&
Se a viscosidade for considerada como explicitamente dependente da
tensão de corte, podemos considerar a seguinte expressão geral:
η = η∞ +
σ1 .λ
α
  σ  (1−n ) α.n 
1 +  

σ
  1 

(32)
onde o significado das diferentes constantes é a seguinte:
η∞ é a viscosidade assintótica para tensões de corte elevadas; por
razões que têm a ver com o 2º Princípio da Termodinâmica, para que a
produção de entropia seja finita, a viscosidade tem necessariamente que
tender para zero quando a tensão tende para infinito;
η0 é a viscosidade limite, isto é, o limite para o qual tende a viscosidade
quando a tensão tender para zero; o seu valor é dado por
η0 = η∞ + σ1.λ
(33)
σ1 é o valor da tensão que marca a transição entre o patamar newtoniano
para pequenas velocidades de deformação e a região de notório
comportamento não-newtoniano: tensão limite superior do patamar
newtoniano.
A partir da expressão geral (32) podem considerar-se os seguintes tipos de
comportamento:
1. Comportamento pseudo-newtoniano.
σ << σ1
η ≅ η∞ + σ1 .λ = η0
(34)
2. Comportamento não-newtoniano geral
σ ≈ σ1
η = η∞ +
σ1 .λ
α
  σ  (1−n ) α.n 
1 +  

  σ1 

(32)
2.1. Viscosidade assintótica nula: η ∞ = 0 .
2.1.1. Modelo de Ellis [24]
η=
η0
σ
1 +  
 σ1 
(1 n −1)
(35)
2.2. Viscosidade assintótica não-nula: η∞ ≠ 0
2.2.1. Modelo de Krieger [25], equivalente ao modelo de Ellis com n = ½
η = η∞ +
η0 − η∞
σ
1 +  
 σ1 
(36)
2.2.2. Modelo de Meter
η = η∞ +
η0 − η∞
1 n −1
σ
1 +  
 σ1 
(37)
3. Comportamento em pseudo-lei de potência
1−1 n
σ >> σ1
σ
η ≅ η∞ + σ1 .λ. 
 σ1 
(38)
Como casos particulares da eq. (38) podem considerar-se os seguintes modelos:
3.1. Viscosidade assintótica nula: η ∞ = 0 .
3.1.1. Comportamento em lei de potência:
η=
σ11 n .λ.σ (n −1) n
σ
= σ1 .λ. 
 σ1 
(1−1 n )
(39)
3.2. Viscosidade assintótica não nula: η ∞ ≠ 0
3.2.1. Comportamento em pseudo-lei de potência (relativamente á tensão):
σ
η = η∞ + σ1 .λ. 
 σ1 
(1−1 n )
(100)