Modelo para a formatação dos artigos para publicação nos

UMA PROPOSTA PARA A INTRODUÇÃO DA TEORIA DOS JOGOS COM
ALUNOS DO SEGUNDO ANO DO ENSINO MÉDIO, ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO
DE PROBLEMAS
FERREIRA, Noélli ¹
1
Curso de Mestrado Profissionalizante de Física e Matemática do Centro Universitário Franciscano
(UNIFRA), Santa Maria, RS, Brasil
E-mail: [email protected];
RESUMO
Sabemos que no Ensino Médio na disciplina de matemática existem muitos conteúdos a
serem abordados, mas a Teoria dos Jogos poderá ser utilizada, por exemplo: para compreender o
comportamento econômico, estratégias nucleares, situações de conflitos, aplicações em sociologia,
negócios, psicologia, política, biologia, etc. Devido a isto, propomos uma breve introdução de alguns
tópicos da Teoria dos Jogos para alunos do segundo ano do ensino médio, utilizando a resolução de
problemas como metodologia de ensino, com a intenção de mostrar aos alunos uma forma de tornar
o ensino de matemática interessante e compatível ao cotidiano.
Palavras-chave: Teoria dos Jogos; Resolução de Problemas.
1. INTRODUÇÃO
Em algum momento todos nós tivemos contato com algum jogo, como uma
brincadeira na infância, jogos de futebol, jogos de azar, jogos eletrônicos, mas poucos
consideram jogos como algo a ser estudado. Por exemplo, numa simples partida de xadrez,
numa cobrança de pênalti na final de um campeonato ou no encontro de lideranças políticas
para discutir conflitos, ocorrem características comuns a serem analisadas e discutidas.
Tendo como base, o artigo publicado pela revista Unión: Jogos, estratégias e intuição
de Uldarico Malaspina Jurado da PUC do Perú onde o pesquisador apresenta experiências
didáticas e comentários, utilizando simples jogos como uma forma de introduzir este tema
com estudantes de diferentes níveis educacionais. O objetivo deste artigo é apresentar uma
proposta de ensino para a introdução da teoria dos jogos para alunos do segundo ano do
ensino médio, através da resolução de problemas, sugerimos esta série, pois é nela que é
abordado o conteúdo matemático de matrizes, as quais poderão servir para a representação
das respostas (estratégias) de forma clara e simples um determinado jogo. Alem de revisar
conceitos como linhas e colunas.
Encontramos vários trabalhos acadêmicos abordando o tema: jogos, mas devemos
ressaltar que a teoria dos jogos não é exatamente um jogo como é propostos em sala de
aula envolvendo, por exemplo, os conteúdos de probabilidades ou analise combinatória, a
Teoria dos Jogos, são tomadas de decisões no qual dois ou mais jogadores tentam
maximizar seus ganhos, cada um consciente do que outros jogadores iram jogar.
1
2. O QUE É A TEORIA DOS JOGOS?
Para muitos, a Teoria dos Jogos ficou conhecido devido ao pesquisador John Nash,
ganhador do prêmio Nobel e em 2001, sujeito do filme “A Beautiful Mind” em português Uma
Mente Brilhante baseado no livro de Sylvia Nasar, onde é retratada a sua vida e obra de
Nash. Mas antes disso, a Teoria dos Jogos teve como marco o livro de John Von Neumamm
e Oskar Morgensterm, “The Theory of games and economic behaviour” publicado em 1944,
uma obra que aborda jogos de soma zero que são aqueles para os quais o somatório dos
pagamentos efetuados a todos os jogadores é nulo, ou seja, não importa a estratégia
adotada por cada um dos jogadores. Logo, o que o jogador ganha corresponde com o que é
perdido pelos demais.
Segundo Fiane (2004, p.17) “este livro tinha uma limitação séria, que era o fato de se
concentrar em jogos de soma zero, onde ganho para um jogador significava uma perda
equivalente para o outro”. Em 1951, John F. Nash em seu artigo “Non-Cooperative Games”
demonstrou uma noção de equilíbrio para jogos que não se restringia a soma zero,
conhecida como Equilíbrio de Nash.
A contribuição de John Nash foi fundamental para o desenvolvimento da
teoria dos jogos. A partir de sua noção de equilíbrio foi possível estudar uma
classe de jogos muito mais ampla do que os jogos de soma zero. Foi possível
também demonstrar que, em alguns casos, quando cada jogador escolhe
racionalmente aquela estratégia que seria a melhor resposta em relação à
estratégia dos demais, pode ocorrer que o resultado final para todos os
jogadores seja insatisfatório e que, portanto, nem sempre a busca por
indivíduo pelo melhor para si resulta no melhor para todos. (FIANI, 2004,
p.18)
O autor em seu livro ainda destaca os trabalhos de John C. Harsanyi e Reinhard
Selten e enfatiza que desde a década de 1950, novos campos de pesquisa vão sendo
desenvolvidos desde problemas de negociação até evolução de populações, tornando-se
instrumento essencial no estudo de qualquer processo de interação.
O Jogo é definido como situações que envolvam interações entre agentes racionais
que se comportam estrategicamente, ou seja, é uma situação de competição com regras,
onde dois ou mais jogadores a partir de suas escolhas fornecem o resultado (quanto cada
um ganha ou perde), agindo racionalmente cada jogador faz as suas escolhas de modo a
otimizar o resultado.
A Teoria dos jogos é um ramo da matemática que estuda situações estratégicas
onde jogadores escolhem diferentes ações na tentativa de melhorar seu retorno. Ou seja,
ela fornece um resultado admitindo que o jogador maximize seu ganho mínimo ou minimize
a sua perda máxima esperada. Além de analisar situações competitivas e conflitantes.
Inicialmente desenvolvida como ferramenta para compreender comportamento econômico e
depois usada para definir estratégias nucleares. Sendo hoje usada em diversos campos
acadêmicos.
Um exemplo muito conhecido deste tipo de problema é o “dilema do prisioneiro”,
formulado por Albert Tucker em 1950, ilustrando a dificuldade de se analisar certo tipos de
jogos.
Para Fiani (2004) os elementos necessários para a compreensão do objeto de
estudo da teoria dos jogos são:
• O jogo como modelo formal: envolve técnicas de descrição e análise de regras
preestabelecidas.
• Interações: as ações de cada agente, consideradas individualmente, afetam os
demais.
• Agentes (jogador): qualquer indivíduos ou grupo com capacidade de decisão para
afetar os demais.
2
•
Racionalidade: supor que indivíduos empregam os meios mais adequados aos
objetivos que almejam. (escolha da melhor resposta visando maximizar o resultado)
• Comportamento estratégico: cada jogador ao tomar a sua decisão, leva a
consideração o fato que os jogadores interagem entre si, logo sua decisão terá
conseqüências sobre os demais jogadores, assim como a decisão dos outros tem
conseqüências sobre ele.
Logo os jogadores tomam decisões estratégicas que não contemplam apenas os
seus objetivos e possibilidades de escolha, mas também as dos demais jogadores.
Ajudando a desenvolver a capacidade de racionar estrategicamente, explorando as
possibilidades de interação racional dos agentes, que nem sempre corresponde a intuição.
3. METODOLOGIA
Para introduzir a teoria dos jogos no ensino médio apresentaremos uma proposta de
atividades utilizando à resolução de problemas para auxiliar a aprendizagem deste novo
conteúdo. Sugerimos o segundo ano do ensino médio, pois os alunos já terão conhecimento
sobre o conteúdo de matrizes, facilitando a compreensão das representações de algumas
atividades.
Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006):
O jogo oferece o estímulo e o ambiente propício que oferecem o
desenvolvimento espontâneo e criativo dos alunos e permite ao professor
ampliar seu conhecimento de técnicas ativas de ensino, desenvolvem
capacidades pessoais e profissionais para estimular nos alunos a capacidade
de comunicação e expressão, mostrando-lhes uma nova maneira, lúdica,
prazerosa e participativa de relacionar-se com o conteúdo escolar, levando a
uma maior apropriação dos conhecimentos envolvidos. (BRASIL, 2006, p.28)
Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, exigindo soluções
imediatas, possibilitando a compreensão e identificação de regras, facilitando o trabalho com
símbolos e o raciocínio lógico.
A definição de problema abordado pela resolução de problemas é aquilo que não
sabemos fazer, mas que estamos interessados em fazer.
O Ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através das resoluções de
problema é diferente daquele em que as regras de “como fazer” são
privilegiadas. Ele “reflete uma tendência de reação a caracterização passadas
como um conjunto de fatos, domínio de procedimentos, algoritmos ou um
conhecimento a ser obtido por rotina ou por exercício mental. (ONUCHIC,
1999, p.203)
As atividades propostas para a introdução da Teoria dos Jogos, onde os alunos com
o auxilio do professor de modo colaborativo serão o ponto de partida e orientação para a
construção e aprendizagem do conteúdo matemático através das suas resoluções.
Segundo Onuchic (2008) a organização das atividades para a resolução de
problemas apresenta-se da seguinte forma:
• Preparação do problema: selecionar um problema visando à construção de um novo
conceito principal (problema gerador) que não tenha ainda sido trabalhando em sala
de aula.
• Leitura individual
• Leitura em conjunto (grupos)
• Resolução de problema: os alunos (em grupos) buscam resolve-los.
• Observar e incentivar: o professor estimula o trabalho colaborativo
• Registro das resoluções no quadro: (certa, errada ou feita por diferentes processos)
apresentadas para discutirem.
3
•
Plenária: defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas duvidas, o professor
se coloca como mediador.
• Busca do consenso: o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso
sobre o resultado correto.
• Formalização do conteúdo: o professor realiza uma apresentação formal, estruturada
e organizada em linguagem matemática padronizando os conceitos, os princípios e
os procedimentos construídos através da resolução de problemas, destacando as
diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades sobre o
assunto.
Os problemas são propostos antes de ser apresentado formalmente o conteúdo
matemático, (expressando aspectos-chave desse tópico) e sua avaliação do crescimento é
feita continuamente. Após a etapa de formalização novos problemas deverão ser propostos
com o objetivo de analisar a aprendizagem do conteúdo matemático introduzido.
4 PROBLEMAS PROPOSTOS:
Os problemas propostos deveram seguir os passos da resolução de problemas
anteriormente citados.
Sugerimos que a sala de aula seja dividida em dois grupos, cada grupo terá seus
representantes que chamaremos de J1 e J2 e o restante do grupo iram ajudar nas decisões.
Nem os jogadores e nem os grupos poderão se comunicar e a decisão têm que ser racional.
Problema um:
Imagine que um Gênio da Lâmpada entrega duas cartas C1 e C2, a cada jogador,
cada uma com um pedido que será comprido por ele. O jogo consiste em que cada grupo
obtenha o maior ganho possível.
C1: Dê R$ 300,00 ao outro jogador.
C2: Ganhe R$100,00.
Após a leitura do problema, organize as informações apresentadas nos quadros
abaixo, visando às possibilidades do jogador 1 e do jogador 2 respectivamente.
Resposta:
QUADRO 1: Jogador 1
Escolha J1
T1
T1
T2
T2
Escolha J2
T1
T2
T1
T2
Pagamento J1
R$300,00
0
R$400,00
R$100,00
QUADRO 2: Jogador 2
Escolha J1
T1
T1
T2
T2
Escolha J2
T1
T2
T1
T2
Pagamento J2
R$300,00
R$400,00
0
R$100,00
Represente o jogo, na forma de uma matriz e observe as estratégias de cada
jogador:
Resposta:
QUADRO 3: estratégias de cada jogador
4
J1/J2
T1
T2
T1
(300,300)
(400,0)
T2
(0,400)
(100,100)
Se os jogadores tomam a decisão racionalmente, que carta cada jogador escolheria?
Justifique:
Resposta:
Se J1 entregar C1 obterá um menor pagamento que se entregar C2, qualquer que
seja a entrega de J2. Porque R$ 300,00 é menor que R$400,00 e zero é menor que
R$100,00. O mesmo ocorre com J2, descartando ambos de entregar C1. Por mais que para
ambos convém entregar C1, pois poderia ganhar R$300,00 a racionalidade leva a optar
ambos por entregar C2.
Os alunos neste problema poderão trabalhar com critérios que correspondem a uma
abordagem intuitiva de “estratégia estritamente dominante” e a racionalidade.
Racionalidade: é a escolha da melhor resposta para maximizar o resultado.
Problema dois: Dilema dos Prisioneiros
Dois suspeitos foram presos e acusados de um crime. Não há evidencias suficientes
para condená-los, a decisão de condená-los a certo tempo de prisão ou libertá-los, serão
tomadas com base na declaração dos suspeitos. Os suspeitos são encerrados sem
possibilidade de se comunicarem entre si e sem chance de comunicarem-se uns com os
outros e são informados que tem a possibilidade de se confessar ou não. Se nenhum
confessar, ambos serão condenados por um delito menor e sentenciados o a um ano cada;
se ambos confessam, serão condenado a seis anos de prisão cada um pelo delito cometido.
E se alguém confessar e outro não, o que confessar será dado a liberdade e o que não
confessar será condenado a 9 anos de prisão.
Após a leitura do problema, organize as informações apresentadas no quadro abaixo,
visando às possibilidades do prisioneiro 1 e do prisioneiro 2, respectivamente.
DICA: para resumir a situação, use números negativos para os anos de prisão.
Resposta:
QUADRO 4: Penas dos prisioneiros
ESCOLHA P1
ESCOLHA P2
PENA P1
PENA P2
Confessar
Confessar
-6
-6
Confessar
Não confessar
0
-9
Não confessar
Confessar
-9
0
Não confessar
Não confessar
-1
-1
Se ambos suspeitos tomam a decisão racionalmente, qual a opção escolheria?
Confessar? Ou não confessar?
Resposta:
Análogo ao jogo anterior, embora para ambos os prisioneiros seja conveniente optar
por não confessar. A racionalidade os levaria a confessar. A racionalidade baseia-se no
ganho de cada prisioneiro por não confessar será sempre menor do que o ganho por
confessar. Porque -1 é menor que zero, e -9 é menor que -6. Na linguagem da teoria dos
jogos, a estratégia de não confessar está estritamente dominado (melhor escolha em
qualquer caso) pela estratégia de confessar.
Problema três:
Dois times de futebol do Rio Grande do Sul, Internacional e Grêmio, estão investindo
em seus estádios de futebol, o Internacional ira reformar seu atual estádio Beira Rio para a
Copa de 2014, já o Grêmio ira construir a Arena, para obterem novos sócios os dois clubes
lançam duas campanhas publicitárias.
O internacional utilizara as estratégias I1, I2 e I3 e o Grêmio utilizara as estratégias
G1, G2 e G3 (o lucro será milhões). Observe a matriz abaixo com as respectivas estratégias
QUADRO 5: estratégias de cada time
5
INTER/GRÊMIO
G1
G2
G3
I1
(3,3)
(4,3)
(3,4)
I2
(3,4)
(2,2)
(0,3)
I3
(4,3)
(3,1)
(4,2)
Após a leitura do problema, observe as informações apresentadas na tabela acima,
visando às estratégias de cada clube de futebol, respectivamente.
Compare as estratégias do Internacional, elemento a elemento, independente da
escolha do Grêmio, existe alguma estratégia dominada entre as estratégias do
Internacional?Se sim, qual?
Resposta:
Percebemos que há estratégia dominada para o clube do Internacional a estratégia
I2.
Agora, faça a mesma comparação das estratégias do Grêmio, se tiver, qual será?
Resposta:
Percebemos para o clube do Grêmio observamos e a estratégia G2.
Se houver, elimine as estratégias dominadas e construa a matriz analogamente,
retirando as estratégias dominadas.
Resposta:
QUADRO 6:
Inter/Grêmio
G1
G2
I1
(3,3)
(3,4)
I3
(4,3)
(4,2)
Observe novamente a matriz acima que você construiu e elimine as estratégias
dominantes.
Resposta:
Podemos eliminar a estratégia I1 para o Internacional, mas para o Grêmio não possui
estratégia dominante neste caso.
E novamente, construa a matriz eliminando a estratégia dominada.
Resposta:
QUADRO 7:
Inter / Grêmio
G1
G3
I3
(4,3)
(4,2)
E agora o que você observou?E qual será a melhor resposta eliminando todas as
estratégias dominadas, qual deve ser a estratégias utilizadas pelos dois clubes?
Resposta:
Para qualquer escolha para o Grêmio, o Internacional ganhara o valor de 4 milhões,
mas para Grêmio poderia ganhar 3 se escolher G1 ou 2 para G3. Logo, para o Internacional,
será a estratégia I3 e para Grêmio, será a estratégia G1.
Estratégia estritamente dominante: é a melhor resposta em qualquer estratégia que
os outros jogadores possam escolher.
Problema quatro:
Otávio e Arthur vão ao parque de diversões e querem ganhar os melhores prêmios
da pescaria. A premiação varia de acordo com a soma de pontos que possui cada peixe.
Cada jogador poderá escolher apenas um peixe, e nenhum sabe o peixe que o outro irá
escolher, pensando racionalmente qual a escolha do melhor peixe para cada jogador?
Jogador 1(Otávio): dispõem de 3 peixes da cor: LARANJA, AZUL, VERMELHO
Jogador 2(Arthur): dispõem de 3 peixes da cor: ROXO, PRATA, BRANCO.
Se o jogador 1 escolhe o peixe LARANJA, ganhará 1, 3 ou 3 pontos, se jogador 2
escolher o peixe ROXO, PRATA ou BRANCO, respectivamente. Em cada um desses casos,
o ganho do jogador 2 será de 9, 4 ou 8 pontos respectivamente.
6
Se o jogador 1 escolhe o peixe AZUL vai ganhar 2,0 ou 4 pontos, de acordo com
jogador 2 escolher o peixe ROXO, PRATA ou BRANCO, respectivamente. Em cada um
destes casos, o ganho do jogador 2 seria 4, 4 ou 6 pontos respectivamente.
Se o jogador 1 escolhe o peixe VERMELHA vai ganhar 3, 2 ou 3 pontos, de acordo
jogador 2 escolher o peixe ROXO, PRATA ou BRANCO, respectivamente.
O ganho em cada um desses casos do jogador 2 seria 5, 6 ou 4 pontos
respectivamente.
Lembrando que os jogadores conhecem as regras, mas ninguém sabe o que o outro
irá jogar.
Após a leitura do problema, organize as informações apresentadas, visando às
estratégias de cada jogador, respectivamente.
Resposta:
QUADRO 8
J1/J2
Roxo
Prata
Branco
Laranja
(1,9)
(3,4)
(3,8)
Azul
(2,4)
(0,4)
(4,6)
Vermelho
(3,5)
(2,6)
(3,4)
Você observou alguma estratégia dominante? Se existir, qual?
Resposta:
Neste jogo não existe estratégias dominadas para nenhum dos jogadores. A
ausência de estratégias estritamente dominantes não implica na ausência de uma solução.
O pagamento zero para a combinação da estratégia azul para J1 e prata para J2, faz
com que os estudantes não considerem a estratégia AZUL uma boa opção para J1.
Quais as melhores respostas para cada jogador?
Resposta:
QUADRO 9
QUADRO 10
Se J2 escolher Então J1
Roxo
Vermelho
Prata
Laranja
Branco
Azul
Se J1 escolher
Laranja
Azul
Vermelho
Então J2
Roxo
Branco
Prata
Qual é a melhor estratégia para os jogadores? Por quê?
Resposta:
Chegamos à solução correspondente a um Equilíbrio de Nash, em que a melhor
escolha é AZUL para J1 e BRANCO para J2. Como aparecem nas duas listas, esta é uma
solução racional do jogo. (correspondência de melhor resposta).
Problema cinco
Dois laboratórios farmacêuticos L1 e L2, têm que decidir se investem em pesquisas
de novos medicamentos ou não investem em pesquisas. A pior situação para os dois
laboratórios são quando ambos investem em pesquisas, pois os gastos são elevados e não
há lucros com as vendas e cada laboratório tem um prejuízo de 30 milhões. Se um
laboratório investe em pesquisa, e o outro não, o que investiu tem um lucro de 15 milhões e
o que não investiu tem um prejuízo de 15 milhões. Se nenhum laboratório investiu tudo fica
inalterado.
Após observar os dados do problema, faça a matriz correspondente aos resultados
na tabela abaixo.
Resposta:
QUADRO 11
L1/L2
Investir
Não investir
Investir
(-30,-30)
(15,-15)
7
Não Investir
(-15,15)
(0,0)
E se as duas empresas investirem o que ocorrerá?
Resposta:
Dados os ganhos envolvidos, corre-se o risco de que as duas empresas decidam
investir em pesquisas, maximizando seus prejuízos.
Qual a melhor estratégia para cada laboratório? Por que você chegou a esta
conclusão?
Resposta:
Podemos observar que neste caso há dois equilíbrios, (investir, não investir) e (não
investir, investir). Porque a melhor resposta ao laboratório que investi é não investindo e ao
laboratório que não investe é investir, pois ganhará 15 milhões.
Equilíbrio de Nash (ou Equilíbrio Cooperativo) representa uma situação em que
nenhum jogador pode melhorar a sua situação dado a estratégia seguida pelo jogador
adversário. Um par de estratégias EA e EB, em que EA é a estratégia seguida pelo jogador A
e EB é a estratégia seguida pelo jogador B diz-se um Equilíbrio de Nash se não for possível
a nenhum dos jogadores melhorarem a sua situação dada a estratégia do outro jogador.
Para encontrar o Equilíbrio de Nash basta identificar a(s) melhores respostas, diante
de cada estratégia escolhida pelo(s) outro jogador, ou seja, as melhores respostas para
todos os envolvidos. Este conjunto de estratégias será identificado como um Equilíbrio de
Nash.
Após as atividades serem realizadas, é necessário fazer uma breve introdução do
conteúdo contando um pouco da parte histórica, como foi apresentado no começo do artigo,
por exemplo, e revisando as principais definições presentes nas atividades.
5 CONCLUSÃO:
A Teoria dos jogos oferece oportunidades muito interessantes para o exercício do
pensamento matemático, especialmente em situações de conflitos e em muitas aplicações
em economia, sociologia, negócios, psicologia, política, direito entre outras.
As idéias apresentadas no artigo poderão servir de base para a introdução deste
conteúdo estudantes do ensino médio, obtendo novas fontes de informação sobre o uso da
intuição na solução de problemas e a viabilidade de introduzir o tema no currículo da
educação básica.
6 BIBLIOGRAFIA:
Alevato N. S. G; Onuchic L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da resolução
de problemas.
BRASIL, Ministério da Educação, Secretária de Educação Básica, 2006. 135p. (Orientações
Curriculares Nacionais para o ensino médio: volume 2).
FIANI, Ronaldo Teoria dos jogos: Para cursos de administração e economia. Editora
Campus .2004.
Jurado U. M; Jogos, estratégias e Intuição. Revista Unión.
8