- Produto escalar: • Sendo , , base ortogonal, ‖ ‖ 〈 . 〉 • Usuais

3. : → , é  Processo de ortogonalização de Gram‐schmidt: dado o NÃO ortogonal. É , ,
subconjunto finito  Núcleo de / e imagem de ⊂ ortogonal. possível construir , ,
‐ Produto escalar: ∈ |
0 | ∈ base ortogonal,  Sendo , ,
⟨ , ⟩

Sejam e espaços vetoriais, com de dimensão .
⟨ . ⟩ ‖ ‖
‖ ‖
finita e :
→ uma transformação linear: ⟨ , ⟩
⟨ , ⟩
 Usuais: .
.
dim
dim
dim
‖ ‖
‖ ‖
⟩
,
⟨ , … ,
,…,
⋯

Se é base ortogonal de , é ,
,
,
,
0

0
⟨ , ⟩
.
. base ortonormal, onde: (
1,2,3  Transformação : → é INJETORA se: ⟨ , ⟩
. ‖ ‖
⟶ 
 Propriedades fundamentais: 
é base ortogonal se: 
0
1, .
1. .
. ⟨ , ⟩ ↔  Transformação : → é SOBREJETORA se: 0, . . 2. .

tal que . 3. .

Transformação :
→
é BIJETORA se: ‖ ‖ 0 ‐ Projeção ortogonal 0, .
4. Se  é injetora e sobrejetora  Se é um espaço vetorial com produto interno,  também denominada ISOMORFISMO ‐ Produto interno ⊂ é subespaço de dimensão finita, então para cada ⊂ , a melhor aproximação de (vetor mais  Propriedades fundamentais: : →  isomorfismo linear: próximo de ) por um vetor de é a projeção da base ⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩ 1.
,
,
,
 é operador linear ( : → ) ⟩
⊂ . 2. ⟨ ,
⟨ , ⟩ ortogonal , … ,

: → é chamado OPERADOR LINEAR ⟨ , ⟩
⟨ , ⟩
3. ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩  Isomorfismo de operador linear é chamado ⋯
4. Se 0, ⟨ , ⟩ 0 ‖ ‖
‖ ‖
AUTOMORFISMO de  Propriedade num espaço vetorial E c/ prod. int.  Se é um espaço vetorial de dimensão finita com  Se : → , com dim
finita: 1. ⟨ , 0⟩ ⟨0, ⟩ 0 produto interno e ⊂ um subespaço:  dim
dim
→ NÃO existe sobrejetora 0 2. ‖ ‖ ⟨ , ⟩ 0 ↔ , com ⊂ e ⊂ 1.
∈ é  dim
dim
→ NÃO existe injetora 3. ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ é base ortogonal de , ,…,
2. Se 
dim
dim
→ pode ser bijetora 4. ⟨ , ⟩
⟨ , ⟩ é base ortogonal de , ∪ é ,…,
,
. ,∑
. ⟩ ∑ ,
. ⟨ , ⟩ 5. ⟨∑
base ortogonal de , onde: Para resolução de exercícios: 6. Se ⊂ é um subespaço, então o produto dim
dim
é 1, , , … ,
 Base canônica para interno de E induz um produto interno em S 
é um espaço vetorial, e subespaços de : →
, , ,
ex: :
7. ‖ ‖ | |. ‖ ‖ dim
dim
∩ ) dim
dim
0 , , , 1
‖
‖ ‖ ↔ ⟨ , ⟩ 0 8. ‖
‖ ‖
e subespaços de , base de e base de 
.
.
1
.
.
‖ ‖ ⟩ ‖ ‖
9. ⟨
,
, então ∪ é conjunto de geradores de  Base canônica para é 1,0 , 0,1 10.
( é L.I. apenas se ) ex: 1,0 , |⟨ , ⟩| ‖ ‖. ‖ ‖ 1,0
1,0
, 0,1
0,0 11. Desigualdade triagular ‐ Transformações lineares ,
.
1,0
.
0,1
‖ ‖ ‖. ‖ ‖ ↔ ⟨ , ⟩ ‖ ‖. ‖ ‖ ‖
 Sendo e espaços vetoriais sobre . A função um espaço vetorialde dimensão finita com 
Seja ⟨ , ⟩  Norma de : ‖ ‖
: → é chamada transformação linear se: produto interno e ⊂ um subespaço de : ‖
‖  Distância entre e : ,
1.
e Pode ocorrer 2.
⟨ , ⟩

1
1
⋯
1
1 , , ∈
‐ Ortogonalidade  Sejam ∈ , , e espaços vetoriais, : → , não é um produto interno de 
e são ortogonais se ⟨ , ⟩ 0 : → e : → transformações lineares, logo 
um espaço vetorial não nulo munido de produto ‖ ‖ ↔ ⟨ , ⟩ 0 ‖
‖ ‖
 ‖
também são transformações lineares ⟨ , ⟩, se interno ⟨ , ⟩ e ∈ , ⟨ , ⟩
0
Se é um espaço vetorial com produto interno e 1.
: → , é , ∈ , é ortogonal a : ⟶ ⟨ , ⟩ 0 2.
: → , é .
P1 P2  Matriz de Transformação → :
, ,
, ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
, ,
, ,
, ,
 Relações entre matrizes .
.
→ .
.
.
∘
.
→ .
→ ∘
.
∘
∘
.
∘
∘
∘
.
.
.
. .
→ → . .
∘
 Traço de T: soma dos elementos da diagonal principal de T  Bijetora / Inversível 0 → é bijetora, é inversível, linhas das matrizes são L.I. 0 → não é bijetora, não é inversível  Polinômio característico Se , o polinômio característico é: det
.
→
→
Se 0
0
0
0
, é diagonalizável. Base 0
|
e 0
Relembrando: D b
4ac e → → ,
| 
 Dimensões 1
2
3
: → V 1
1/
2
3/
3
4 1 3 4 1 3 4
4  Matrizes semelhantes: e . . → . .
e são semelhantes
.


: número de linhas L.I. → dim
: → U dim V dim KerT dim
1
1

,
,2
→ 2 1
1 1
,
, 2
→ 2 1

: → V , e → é auto‐vetor de se = = e 0  Se é diagonalizável e não tem raízes multiplas é diagonalizável se zero NÃO for auto‐valor de → → não é inversível se um dos auto‐valores for ZERO 
: → V, → 0 : é injetor, é bijetor, é inversível → 0 : não é injetor, não é bijetor, não é inversível 
0
0 , : → V é inversível é diagonalizável Se é diagonalizável e inversível → .
. 
associado ao auto‐valor → o vetor é auto‐vetor de  Para: ,
, ,
,
, usa‐se a base canônica 1,0 , 0,1 para gerar a matriz 1,0 , 0,1 . Com isso verifica‐se se é diagonalizável à partir do cálculo de e das multiplicidades algébrica e geométrica dos aulto‐valores; P3  Tipos de cônicas: Ax² + By² +Cxy + Dx +Ey +F = 0 Calcula‐se: 2 , ∆ 2
2
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∆
0 Elipse
(Vazio)
Um Ponto
Hipérbole
Duas Retas Concorrentes
Parábola
Duas Retas Paralelas ou Concorrentes 2
2
2
Encontra‐se: 2
2 , 2
2
2
, Logo temos: Respeitando a relação: 2
2 2
2
e com isso : , com 0
0
0
0
0
0 1º ‐ Troca (Ax² + By² +Cz² + Dxy +Exz +Fyz) por ( u² + v² + w²); 2º ‐ Troca (Gx + Hy + Iz) respeitando a relação: sendo com vetores , a partir de e . encontra‐se os auto‐valores , e , e os auto‐
 Simplificação de quádricas: Ax² + By² +Cz² + Dxy +Exz +Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 , A equação geral é: 2
∆
∆
∆
∆
∆
∆
2 2
2
 Para vetores , normalizados; 3º ‐ Algebricamente encontra‐se a equação reduzida em função de u', v' e w'; Em caso de auto‐valores imaginários, calcula‐se apenas para um dos auto‐vetores da seguinte maneira: , , , ,
, ,
, ,
, ,
Com isso teremos a solução geral (exemplo): , ,
, ,
é uma matriz complexa arbitrária e se λ ∈ é um auto‐valor de , o  Se ∈
conjugado λ é necessariamente auto‐valor de . Caso ∈
, nem sempre isso é verdade.  Se :
→ é operador linear. é uma base em tal que seja real. Conclui‐se λ
que para λ auto‐valor de , o conjugado λ também é auto‐valor de , e λ  Num espaço vetorial real com produto interno U, seja : → operador linear, e , ∈ . é simétrico se ⟨T u , v⟩ ⟨T v , u⟩.  Num espaço vetorial real com produto interno U, seja : → operador linear simétrico, , auto‐vetores de , associados aos auto‐valores α e β respectivamente, com , temos que é ortogonal a .  Num espaço vetorial real com produto interno U, seja : → operador linear , , é base ORTONORMAL de , é simétrico, é diagonalizável. Se matriz simétrica é matriz simétrica e , , é base ortogonal, é operador linear  Se simétrico.  Se : → é um operador linear, é um subespaço de , e auto‐vetor de ( ). O subespaço (gerado por ) é invariante por se, e somente se (
), é simétrico. O ortogonal ˔ não necessariamente é invariante por . Se o subespaço for invariante por e gerado por ( ), é auto‐vetor de .  Se : → é um operador linear, é um subespaço de , então: é simétrico" " é um subespaço invariante por