Anotações

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Cálculo Proposicional
O Cálculo Proposicional é um dos tópicos fundamentais da Lógica e consiste
essencialmente da formalização das relações entre sentenças (ou proposições),
de…nidas como sendo frases às quais podemos em princípio atribuir a qualidade
de serem verdadeiras ou falsas. No Cálculo Proposicional, essas relações são
de…nidas pelos conectivos lógicos, cujos principais são: “não”, “e”, “ou”, “se ...
então ...”.
Relacionado ao Cálculo Proposicional, existe uma classi…cação das sentenças
em tipos de…nidos pela sua estrutura, dada em função dos conectivos lógicos que
nelas ocorrem. Importantes noções da Lógica depende dessa estrutura, dentre
elas: axioma, de…nição, teorema, fórmula.
De…nição 1 (Sentenças) Numa dada linguagem, sentença é uma frase que
possui as seguintes características:
i) Forma: a sentença é uma oração a…rmativa, com sujeito, verbo e predicado;
ii) Princípio do Terceiro Excluído: a sentença é verdadeira ou falsa,
não admitindo alternativas;
iii) Princípio da Não-contradição: sentença não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.
Valor Lógico V (P ) de uma sentença P é verdade (V ) ou falsidade (F ),
dependendo da sentença ser verdadeira ou falsa:
V (P ) =
V
F
; se P é verdadeira
:
; se P é falsa
As sentenças verdadeiras são também chamadas válidas.
As sentenças falsas são também chamadas não válidas.
De…nição 2 (Tipos de Sentenças)
Sentenças Simples e Sentenças Compostas
Sentença Simples ( Sentença Atômica) é uma sentença que não é constituída por mais de uma (sub)sentença.7
7 Exemplos
de sentenças simples:
Z
p
x3 + 1 = y ; ln (a) =
a
1
dx
; 8a; x 2 Dom (f ) ;
x
7
d
dx
Z
x
f (u) du = f (x)
a
Sentença Composta ( Sentença Molecular, Fórmula) é uma sentença que
é constituída por pelo menos duas (sub)sentenças distintas.8
– Nas sentenças simples não ocorrem conectivos lógicos; as compostas podem
ser decompostas em sentenças simples e conextivos lógicos.
Tautologia e Contradição
Tautologia é uma sentença composta com valor lógico igual a verdade independentemente dos valores-verdade das sentenças componentes.9
Contradição é uma sentença composta com valor-verdade igual a falso
independentemente dos valores-verdade das sentenças componentes.10
Observação 1 Para saber se uma sentença é uma tautologia basta veri…car sua
tabela-verdade ou provar que é impossível que a forma sentencial seja falsa.
De…nição 3 (Sentença Aberta) Numa linguagem, sentença aberta é uma
frase do tipo oração a…rmativa (com sujeito, verbo e predicado) que possui pelo
menos uma variável.
Exemplo e Contra-exemplo para uma sentença aberta:
Exemplo pra uma sentença aberta é uma atribuição de valores para suas
variáveis que a torna uma sentença verdadeira.
Contra-exemplo para uma sentença aberta é uma atribuição de valores
para suas variáveis que torna a sentença falsa.
Observação 2 Apesar do nome, sentenças abertas não são sentenças propriamente ditas, porque não satisfazem ambos princípios do Terceiro Excluído e da
Não-contradição – em particular, não possuem valor lógico!
8 Exemplo
de sentença composta:
(((:A) _ B) ) C)
9 Exemplos
de tautologias:
(A _ (:A)) ; (A () : (:A)) ; ((A ^ B) ) A) ; (A ) (A _ B)) :
1 0 Exemplos
de contradições:
(A ^ (:A)) ; (A () (:A)) :
8
De…nição 4 (Quanti…cadores) Na linguagem matemática, usamos dois quanti…cadores:
Quanti…cador universal: “ Para todo” (8), usado para dizer que todos
os elementos de um conjunto satisfazem dadas condições;
Quanti…cador existencial: “ Existe” (9), usado para dizer que pelo
menos um elemento de um conjunto satisfaz dadas condições.
Observação 3 Os quanti…cadores transformam sentenças abertas em sentenças
propriamente ditas.
Exemplos:
i) “x 2 R; x2 = 2” é uma sentença aberta; “Existe x 2 R, x2 = 2” é uma
sentença (verdadeira).
ii) “x 2 R; x2 > 0” é uma sentença aberta; “Para todo x 2 R, x2 > 0” é
uma sentença (falsa).
9
3.1
Conectivos
Os conectivos lógicos são temos usados para relacionarmos sentenças. Os conectivos são de…nidos pelas suas tabelas-verdade – sendo isso o que signi…ca formalizar seu uso. A tabela-verdade de um conectivo lógico é uma tabela que
coleta o valor lógico da sentença composta em termos dos valores lógicos das
sentenças componentes.
De…nição 5 (Conectivos Lógicos) De…nimos os seguintes conectivos lógicos
pelas correspondentes tabelas-verdade.
Negação: : (“não”)
Tabela-verdade da Negação
A
V
F
:A
F
V
Conjunção: ^ (“e”)
Tabela-verdade da Conjunção
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
A^B
V
F
F
F
Disjunção: _ (“ou”)
Tabela-verdade da Disjunção
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
A_B
V
V
V
F
Condicional: ) (“se ... então ...”)
Tabela-verdade da Condicional
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
A)B
V
F
V
V
10
Bicondicional: () (“... se e somente se ...”)
Tabela-verdade da Bicondicional
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
A () B
V
F
F
V
Notação 1 Pelo bem da simplicidade, para eliminar parênteses na notação das
sentenças compostas temos as seguintes convenções:
i) A aplicação dos conectivos lógicos segue a seguinte ordem de prioridade:
: ; ^ ; _ ; ) ; () :
ii) Numa sentença um conectivo ocorre mais de uma vez, tem prioridade na
aplicação o conectivo à esquerda.
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