1 Formulação Matemática 2 Conceito de Representação

1
Formulação Matemática
No Capítulo anterior, introduzimos alguns conceitos básicos da Mecânica Quântica através de exemplos simples. Neste Capítulo, vamos organizar os conceitos
introduzidos do ponto de vista da estrutura matemática para ter uma visão mais
geral sobre a Mecânica Quântica.
2
Conceito de Representação
Para descrever um fenômeno da Natureza quantitativamente, o primeiro procedimento necessário é representar os conceitos básicos do fenômeno por quantidades matematicamente bem de…nidas. Por exemplo, vamos considerar a rotação de um pião no formalismo da Mecânica Clássica. Neste caso, o estado do
pião em cada instante pode ser expresso em termos de orientação espacial dos
eixos …xos nele. Assim, o estado de um pião é representado por 3 números, por
exemplo, os ângulos de Euler, os quais descrevem a orientaçao dos eixos em relação a um sistema …xo no espaço. Estes números servem como coodenadas para
descrever o estado de um pião. Uma vez assim especi…cadas as coordenadas do
sistema, podemos representar quantitativamente outros diversos conceitos, tais
como a própria rotação. Por exemplo, a rotação de um pião é representada em
termos de uma matriz 3x3, que transforma as coordenadas anteriores à rotação
para as posteriores à rotação,
~
r 0 = A~
r
Podemos então considerar a matriz A como a representação da rotação que permite tratar o ato de rodar em termos de quantidade de…nida matematicamente.
Note que desta maneira, o efeito de duas rotações sucessivas é naturalmente
representado pelo produto das duas matrizes correspondentes.
Em geral, na Mecânica Clássica, a dinâmica de um sistema é descrita pelo
conjunto de variáveis dinâmicas fp; qg; onde p é o momento (generalizado) e q
coordenada (generalizada)1 . Um estado do sistema num instante t é especi…cado
pelos valores destas variáveis neste instante. Assim, a dinâmica do sistema é
completamente especi…cada se sabemos como p e q variam em função do tempo
t. Em outras palavras, o estado de um sistema clássica é representado por um
par de variáveis, fq; pg. Uma vez especi…cado o estado do sistema num instante,
a dinâmica posterior é determinada pela equação de movimento, que usualmente
é dada pela equação diferencial de p e q em relação ao tempo t. Por exemplo,
se tratamos a dinâmica de uma partícula, q representa a coordenada espacial
~r e p representa o momento p~. Para um conjunto de, digamos, n partículas
podemos generalizar esta idéia, simplesmente associando q com o conjunto de
coordenadas q = f~ri ; i = 1; ::; ng e p com o momento, p = f~
pi ; i = 1; ::; ng. Na
Mecânica Clássica, assumimos que o conjunto destas variáveis fornece a informação completa sobre o sistema.
1 Aqui, as variáveis q e p podem ser conjuntos de números, q = fq g, p = fp g. Ver a
i
i
discussão a frente.
1
Dependendo do sistema em questão, as coordenadas não são necessariamente
um conjunto …nito de números. No caso de um sistema contínuo, é claro que
temos que introduzir um conjunto contínuo de variáveis dinâmicas. Por exemplo,
no caso da hidrodinâmica, podemos especi…car o estado do sistema em termos
de distribuição de densidade (~r) da matéria e do campo de velocidades ~v (~r).
Neste caso, o vetor da coordenada espacial ~r pode ser considerado como um
índice (contínuo) para distinguir as variáveis. Este é um exemplo do caso em
que o estado do sistema é representado em termos de uma função. O estado de
um campo eletromagnético num instante t também é representado por função
~ (~r).
vetorial, E
Existe um outro exemplo em que o estado do sistema é representado por
uma função. Quando a informação completa sobre o sistema não é necessária,
ou talvez não possa ser obtida, é conveniente usar a representação do sistema em
termos de função de distribuição, f (q; p); no espaço de fase da seguinte forma:
Consideramos um conjunto (in…nito) dos sistemas em questão, todos preparados
sob a mesma condição inicial dentro da precisão permitida ou necessária. Neste
caso, estamos falando de um ensemble estatístico do sistema. Vamos tratar
qualquer informação física do sistema estatísticamente, ou seja, sempre falamos
sobre as médias das grandezas físicas associadas ao sistema. Note que nesta
abordagem, não podemos fazer previsões deterministicas para um único processo
de observação, exceto casos peculiares. A previsão só faz sentido quando calculamos os valores médios das muitas medidas sobre os membros deste ensemble.
A função de distribuição f (q; p) especi…ca a densidade de probabilidade para
a qual o sistema em questão se encontra no estado fq; pg (portanto f deve ser
sempre não negativa). Quando tentamos observar uma quantidade do sistema,
por exemplo O = O(q; p), um único processo de medição poderia fornecer um
valor qualquer desta quantidade devido a incerteza inerente da condição inicial.
Mas, se repetimos a medição (ou seja se medimos sobre outros membros do
ensemble), o valor médio de O deve convergir ao valor dado por
Z
Q = dpdq f (q; p)Q(q; p)
(1)
Dentro deste contexto, a informação máxima disponível sobre o estado do sistema está contida na função f . Ou seja, o estado do sistema é representada por
f (q; p). Emfatizamos aqui o fato de que toda informação é representada no sentido estatístico, e o estado representado por f refere-se ao estado do ensemble.
O conceito de estado quântico é bem similar ao exemplo acima. O estado
quântico de um sistema é de…nido sobre um ensemble quântico, o conjunto
(hipotético) de sistemas que são preparados sob a mesma condição. Assim,
podemos também representar o estado deste ensemble pela uma função f (q; p)2 .
Só que há diferenças fundamentais. Veremos posteriormente que a função f
quântica não necessariamente positiva de…nida. Isto é necessário para incorporar
2 É possível construir um análogo da função de distribuição no espaço de fase f (q; p) a
partir da função de onda, (q), conhecida como a função de Wigner. A função de Wigner é
2
Nota:
f (q; p)
estado
ensemble
,
do
os fenômenos de interferência quântica. Além disto está função deve incorporar
também a relação de incerteza entre duas variáveis canonicamente conjugadas.
Na Mecânica Clássica, em princípio, não considerando as di…culdades experimentais que ocorre na prática, as informações sobre um sistema poderiam ser
completamente deterministicas em relação a q e p, se. Ou seja, dependendo
da preparação do sistema, a função de distribuição poderia ser teoricamente a
função de Dirac,
f (q; p) = (q q0 ) (p p0 )
(2)
Neste caso, a descrição em termos de função de distribuição f é equivalente a
descrição em termos de trajetória de partículas. Como vimos antes, na Mecânica
Quântica3 isto não ocorre. A informação mais precisa possível sobre p e q
simultaneamente é no máximo dada por um pacote,
~2
(p p0 )2 g
(3)
4
onde é um parâmetro. Aqui, podemos ver claramente que se queremos ter a
informação precisa em relação a variável q, a informação sobre a variável p …ca
necessariamente imprecisa e vice-versa.
Assim, a Mecânica Quântica só descreve a dinâmica do sistema referente a
seu ensemble quântico. As previsões da Mecânica Quântica são sempre probabilistica; elas nunca descrevem deterministicamente o resultado de um único
processo de medida, exceto alguns situações particulares4 . O ponto fundamental é que esta natureza probabilistica não é por causa de falta da informação,
mas é a propriedade intrinseca da dinâmica que governa o mundo microscópico.
Nos fenômenos clássicos, a descrição do estado do sistema através de função
distribuição f é questão de uma opção pela conveniencia, mas no processo microscópico, não é mais possível utilizar a descrição deterministica de trajetótia
de partículas.
Emfatizando o fato acima, vamos formular matematicamente o conceito de
estado quântico.
f (q; p)
3
expf
q0 )2
(q
Descrição de Estados Quânticos
Para formular numa linguagem mais objetiva para representar o estado quântico,
vamos resumir as idéias sobre o mundo microscópico vistas no Capítulo anterior:
1. Uma série de medição de uma quantidade sobre um ensemble estatística
de um sistema podem ‡utuar em valores, fornecendo uma distribuição,
mesmo que os sistemas estejam preparados de forma idêntica.
dada por
Z
1
1
du eiup=~
q
u
q+ u
2 ~
2
2
Esta função tem propriedades similares a de f (q; p), mas não é positiva de…nida.
3 A expressão, ”na Mecânica” seria melhor expressa por ”nos fenômenos para quais a
Mecânica Quântica deve ser aplicada”.
4 Por exemplo, a medição for feita sobre uma quantidade quando o sistema já esteja no
autoestado desta quantidade.
fW (q; p) =
1
3
2. Esta ‡utuação é intrinseca do processo quântico. Assim, o conceito de
estado do sistema refere sempre ao ensemble do sistema (ensemble quântico). Ao mesmo tempo, um observável não sera caracterizada por apenas
um número, mas sim pelo conjunto de todos os números possíveis a ser
observados em potencial.
3. O estado de um sistema é representado pela amplitude de probabilidade
de um observável do sistema.
4. Para amplitudes, vale a Princípio de Superposição. Ou seja, se 1 e 2
são amplitudes correspondentes, a combinação linear destas amplitudes
corresponde para um estado.
5. As duas amplitudes para observáveis canonicamente conjugadas não são
independentes. Elas são relacionadas em termos de transformação de
Fourier (deBroglie).
6. Podemos associar a uma grandeza física o operador que atua na função de
onda. O valor esperado desta grandeza para o estado quântico é dado
como
hOi = ( ; O ):
7. Os valores encontrados no processo de medição da grandeza O são os autovalores deste operador. Como as grandezas físicas mediveis são números
reais, os autovalores do operador correspondente a grandeza física têm que
ser reais. Isto impor uma restrição na classe de operadores (ver a discussão
adiante).
Os itens acima são as bases conceituais para formular o conceito de um
estado quântico. Vamos postular o conceito a seguir.
De…nição Chama-se de conjunto completo de observáveis o conjunto de todas
as obseváveis indenpendentes cuja medição não interfere entre si. Por exemplo, se o sistema em questão é uma partícula sem spin, o conjunto completo de observáveis é fx; y; zg. Entretanto, há outra maneira de escolher
este conjunto. Podemos escolher
n o cojunto
o completo de observáveis como
2
~
fpx ; py ; pz g. Também pode ser E; L ; Lz . Naturalmente o número mínimo dos elementos deste conjunto é independente da escolha, ou seja,
quantidade intrinseca do sistema.
Postulado 1 O conjunto de todos os estados quânticos de um sistema forma
um espaço vetorial separável e completo (espaço de Hilbert, ver a seção
a seguir). Denotamos os elementos deste espaço por j i onde o símbolo
é o rôtulo que especi…ca o estado. Assim, podemos estabelecer correspondência entre o conjunto de estados quânticos e os vetores de um
espaço vetorial. A correspondência é de forma tal que dois vetores linearmente dependentes representam o mesmo estado. Isto é, o vetor j i e o
outro vetor j i representam o mesmo estado.
4
Neste espaço, está de…nido o produto escalar de dois vetores, digamos j i e
j i, que denotamos por h j i. Quanod h j i = 1, o vetor j i é dito
normalizado.
Postulado 2 As grandezas físicas (que chamaremos de “oberserváveis”) correspondem a operadores hermitianos 5 deste espaço. Os autovalores de
um destes operadores são os valores que se encontram nos processos de
medição da observável correspondente.
Postulado 3 Existem um conjunto de observáveis os quais autovetores formam
uma base do espaço de Hilbert dos estados quânticos. Estes observáveis
são chamados “observáveis completos”.
Postulado 4 Seja o conjunto fj i ig autoestados normalizados de um observável
A, com que expressamos qualquer vetor j i (normalizado) pela combinação linear em fj i ig,
X
j i=
ci j i i;
(4)
onde
ci = h i j i:
Na medição da observável A, a probabilidade de obter um autovalor
dada por
2
2
jc0 j = jh i j ij :
0
é
O postulado no.1 é a consequência direta do Princípio de Superposição. A
natureza matemática do espaço de Hilbert é necessária para que a normalização
da probablidade e de…nição de observáveis. Os postulados 2 e 3 representam
a idéia de que todas as informações contidas num estado de sistema devem ser
expressas em termos do processo de medidas físicas das observáveis. A condição
da hermiticidade dos operadores é, além de ter ortogonalidade entre autovetores,
para garantir que os valores observados de uma quantidade física é números
reais. No exemplo anterior da experiência de duas fendas, os autovalores da
observável X são os valores das coordenadas x que encontram-se em cada medida
de posição. Os autoestados do X são os estados das partículas localizados
na posição x. Os processos de medição de X determinam completamente a
informação sobre o estado do sistema.
O postulado 4 de…ne a interpretação de um estado quântico em termos da
amplitude de probabilidade.
Utilizando estes postulados, podemos ver que o valor médio dos valores obtidos numa série de medidas de uma observável, digamos O, é dado por
hOi = h jOj i:
(5)
onde o estado deste ensemble quântico do sistema é representado por j i com
h j i = 1:
5 Ver
a sessão complementar sobre algebra linear.
5
Prova: Pelo que foi postulado, quando um processo de medida de um observável
O for realizada, encontrariamos um autovalor oi da observável O e o sistema que foi medida torna no autoestado do O deste autovalor,
joi i:
A amplitude de probabilidade para este acontece é dada por
ci = hoi j i
e a probabilidade é
Pi = jci j2 :
Repetindo o processo da medida para o ensemble inicial cujo estado é
descrito por j i, o valor médio da obervável é obviamente
X
hOi =
o i Pi
i
=
X
i
oi jhoi j ij2
X
=
h joi ioi hoi j i
i
= h jOj i:
onde na penúltima linha acima utilizamos a expressão de operador na base
de seus autovetores, i.e.,
X
O=
joi ioi hoi j :
(6)
i
Exercício: Mostre a Eq.(6). A forma do operador acima é chamada a representação diagonal.
Enfatizamos que as medições se referem aqui devem ser feitas sobre o ensemble do sistema, mas não sobre o mesmo sistema que acabou de ser medida. No
exemplo da experiência de duas fendas, são as medidas sobre às partículas do
feixe e não sobre a partícula já detectada no anteparo C. Por outro lado, se …zermos as medidas sucessivas sobre a partícula que já encontrado numa posição x,
esperamos naturalmente que as medições sucessivas vão apenas conferir o valor
já obtido, se a dinâmica posterior não altera a localização da partícula. Em
outras palavras, no processso da medição do observável O sobre o sistema cujo
estado já é o autoestado deste observável com autovalor oi , o valor que a ser
encontrado será semple oi , sem nenhuma ‡utuação. Vamos de…nir um operador
O2
(O
hOi)2
(7)
que representa a dispersão dos valores da medição do O. Para um estado j i
qualquer, o valor esperado deste operador é
h O2 i = h j O2 j i
6
=
X
(oi
hOi)2 jci j2
i
que é a disperção média quadrada da distribuição, Pi . Se j i é um dos autovetores do O, joi0 i, a disperção média quadrada …ca obviamente,
h O2 i = 0
pois ci = 0 para as todas i, exceto cio = 1. Isto é, uma medição da observável O
com certeza resultará no valor oio . Podemos provar também o inverso, ou seja,
o estado para que o valor esperado de operador de disperção, Eq.(7), …ca nulo
necessáriamente é um dos autoestado do operador.
Exercício: Prove que
h j O2 j i = 0;
implica em
Oj i = 0;
ou equivalentemente
Oj i = hOi j i:
(Dica: Use a propriedade do produto escalar e de fato de que o operador
O é um operador hermitiano.)
Exercício: Mostre que o postulado 4 é equivalente a dizer que a probabilidade
P ( ! ) de encontrar um estado j i no estado qualquer j i é dada por
2
P ( ! ) = jh j ij ;
onde ambos os vetores, j i e j i são normalizados.
7
4
Seção Complimentar:
4.1
Espaço Vetorial, Espaço de Hilbert
Um conjunto V =fjxi; jyi; :::g é dito um espaço vetorial se satisfaz às seguintes
propriedades:
1. Está de…nida a adição entre dois elementos do conjunto, i.e.,
8 jxi; jyi 2 V;
9
jzi = jxi + jyi 2 V
Esta regra de adição satisfaz às seguintes condições6 ,
Comutatividade,
jxi + jyi = jyi + jxi
Associatividade,
(jxi + jyi) + jzi = jxi + (jyi + jzi)
Existe o elemento nulo7 , ou seja
9
02V
tal que
8
jxi 2 V
jxi + 0 = jxi
Existe o inverso,
8
9
jxi 2 V
jxi 2 V
tal que
jxi + jxi = 0
Por razão óbvia, denotamos jxi por
jxi.
2. Está de…nida a multiplicação entre um número (elemento de um corpo; C 8 )
e um elemento de V tal que
6O
conjunto V com esta operação de adição forma um grupo abeliano.
o elemento nulo, utilizamos a notação 0 em vez de j0 >.
8 Aqui, tomamos o corpo como o conjunto de números complexos.
7 Para
8
8 2 C; 8jxi 2 V
9
jyi = jxi 2 V
Esta multiplicação satisfaz às seguintes propriedades:
Distributividade;
(jxi + jyi) = jxi + jyi
Associatividade;
(
)jxi = ( jxi)
De…nição Os n vetores jxi i de V são ditos linearmente dependentes quando
existem os números i ’s não nulos que satisfazem à relação,
X
i jxi i = 0
i
De…nição O número máximo de vetores linearmente independentes de um espaço vetorial é chamado a dimensão do espaço. A dimensão de um espaço
pode ser in…nita. Um conjunto de vetores é dito uma base, se qualquer vetor do espaço é escrito em termos de uma combinação linear dos elementos
deste conjunto.
4.2
Produto Escalar, Espaço Dual
Num espaço vetorial, é possível de…nir um produto escalar. Um produto escalar
é uma associação de um par ordenado de vetores (jxi; jyi), 8jxi; jyi 2V, ao
elemento do Corpo C (número complexo), satisfazendo às seguintes regras:
1.
(jxi; jyi) = (jyi; jxi) ;
2.
(jxi; jyi + jzi) = (jxi; jyi) + (jxi; jzi);
3.
(jxi; jyi) = (jxi; jyi);
4.
(jxi; jxi)
0;
sendo a igualdade válida somente para jxi = 0.
9
Na notação do Dirac, o produto escalar é expresso como
hxjyi
(jxi; jyi):
Quando o produto escalar entre dois vetores é nulo, dizemos que os vetores são
ortogonais.
Numa linguagem coloquial, muitas vezes dizermos ”tomar o produto escalar”
dos vetores jxi e jyi. O ato de tomar o produto escalar de um dado jxi com jyi
qualquer do espaço V, ou seja sem ser especi…cado, é considerado um funcional9
linear no espaço V. Podemos representar este funcional simbolicamente por hxj.
É fácil de veri…car que o conjunto de todos estes funcionais, fhxj; 8jxi 2 Vg;
forma um espaço vetorial. Chamamos este espaço de o espaço dual do V e
denotamos por V y . O elemento de V y , hxj; é o vetor dual do vetor jxi 2 V e
denotamos esta relação por
hxj jxiy :
A de…nição de produto escalar permite a introdução de noções de norma de
um vetor e distância entre dois vetores. A norma de um vetor jxi é dado por
(hxjxi)1=2 e denotada por k jxi k. A distância d(jxi; jyi) entre jxiejyié de…nida
por
d(jxi; jyi) k jxi jyi k
Partindo do conceito de distância, podemos introduzir as noções de topologia do espaço, tais como a completeza, fechamento, etc. Estes conceitos são
importante para analisar as propriedades de várias quantidades utilizadas, em
particular, a convergência dos limites, integrais, etc. Entretanto, aqui não discutiremos estes aspectos matemáticos; lembramos apenas que o espaço que utilizamos para estados quânticos é o espaço de Hilbert que é uma extensão natural
do espaço Euclidiano. Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial que satisfaz
às seguintes propriedades:
1. Ele é completo, i.e., o critério de convergência de Cauchy para série de
vetores é válido. Ou seja, uma série de vetores fjx1 i; jx2 i; : : : g converge
ao vetor jxi se exite N ( ) tal que k jxm i jxn i k h para 8 i0, desde que
m; niN .
2. Ele é separável. Ou seja, para qualquer elemento de V , sempre existe uma
série fjx1 i; jx2 i; : : : g que converge a ele.
Esta última propriedade é equivalente a dizer que existem bases de elementos
numeráveis. Estas duas propriedades são importantes para evitar as quantidades
mal de…nidas matematicamente. Entretanto, nas aplicações em física, necessitamos frequentemente de estados que não são representados por elementos de
um espaço de Hilbert. Nestas situações, precisamos alguns cuidados especiais
para garantir os bons comportamentos de quantidades de…nidas (por exemplo,
o estado de onda plana).
9 Funcional=Mapeamento
de V em C.
10
4.3
Operadores
Um operador é uma mapeamento de um vetor em outro vetor,
jxi ! jx0 i = Ojxi:
Aqui consideramos somente os operadores lineares, satisfazendo à distributividade
O(jxi + jyi) = Ojxi + Ojyi:
Um exemplo de operador é jxihyj, de…nido por
(jxihyj)j i
jxi(hyj i) = hyj ijxi; 8j i 2 V
O operador identidade é o operador que mapeia qualquer vetor nele mesmo.
Denotamos o operador identidade por 1, sem criar confusão.
Exercício: (Relação de Completeza) Demonstrar que
X
jxi ihxi j = 1
(8)
i
se fjxi ig é uma base ortonormal, i.e., hxi jxj i =
ij .
A relação de completeza, Eq.(8) é útil para representar vetores em termos
da base. Seja j ium vetor arbitrário. Então,
!
X
j i=
jxi ihxi j j i
i
=
X
i
=
jxi ihxi j i
X
i
ci jxi i
(9)
onde ci = hxi j i.
O produto de dois operadores é naturalmente de…nido por
(O1 O2 )jxi
O1 (O2 jxi); 8jxi 2 V
Desta forma, é claro que em geral o produto dos operadores não é comutativo,
O1 O2 6= O2 O1 :
A quantidade h jOj i (j i; Oj i) é dita o elemento de matriz de um operador
O entre j i e j i. Podemos introduzir a conjugação hermitiana de um operador,
de…nida através da relação,
(Oy j i; j i)
(j i; Oj i); 8j i; j i 2 V
11
O operador Oy é dita também o operador adjunto de O. Um operador O é
chamado hermitiano (ou autoadjunto) se
Oy = O
Para operadores hermitianos, existem seguintes propriedades importantes.
Os autovalores de um operador hermitiano são reais.
Os autovetores de um operador hermitiano de autovalores distintos são
ortogonais.
Exercício: Mostre que Oy
y
= O.
Exercício: Prove que os autovalores de um operador hermitiano são reais.
Exercício: Prove que os autovetores de um operador hermitiano de autovalores
distintos são ortogonais.
4.4
Especro Contínuo, Função , Distribuições
Até aqui, tratamos o caso em que todos os índices que distinguem vetores são
discretos. Entretanto, precisamos frequentemente os casos de autovalores contínuos. Por exemplo, o autoestado de posição jxi tem o índice contínuo x. Isto
é,
^ jxi = x jxi;
X
^ é o operador correspondente a coordenada x e x representa o autovalor.
onde X
Neste caso, é natural substituir a expressão correspondente a Eq.([?]) pela
Z
j i = dx jxi hxj i
onde introduzimos
(x) por
Z
dx jxi (x)
(x) = hxj i;
(10)
(11)
que é chamado a função de onda. Da primeira linha da Eq.([?]), vemos que
estamos introduzindo a base
f jxi; x 2 Rg
no lugar de
f jii; i 2 N g :
A correspondência entre duas bases é dada por
1
jxi ! p jii
dx
12
pois,
j i=
=
X
i
X
jii hij i
1
p jii
dx
dx
i
!
Z
1
p hij j i
dx
dx jxi hxj i:
A relação acima implica que a relação de completeza da base fjxigé expressa
por
Z
dx jxihxj = 1:
Por outro lado, a ortonormalidade
hijji =
ij
…ca escrita por
hxjx0 i = (x
x0 )
(12)
pois
hxjx0 i !
1
dx
x;x0 ;
isto é,
hxjx0 i = 0;
x 6= x0 ;
1
=
! 1; x = x0 ;
dx
de tal forma que
Z
dx hxjx0 i = 1:
A função de Dirac na Eq.(??) é uma distribuição, e não é uma função
normal no sentido de atribui um valor númerico para dado valor de argumento.
Matemáticamente uma distribuição é uma funcional linear de…nida no espaço
de funções bem comportadas ( funçoes que pertencem a C 1 com suporte …nito)
como formulado pelo L.Schwarz. Naturalmente todas as funções normais são
distribuições. Denotando pelo simbolo a operação de funcional linear numa
função bem comportada (x), o caso de de Dirac …ca
= (0)
Na física, é usual espressar esta operação como
Z
dx (x) (x) = (0)
13
(13)
permitindo a imagem intuitiva de função como uma função normal que tem um
pico agudo em x = 0 cuja área é normalizada por 1. Entretanto, há várias limites
que convergem a . Em geral, o valor de uma distribuição num ponto, digamos
x = x0 não teria sentido. Entretanto, é possível dizer que uma distribuição f é
nula numa visinhança D do ponto x = x0 , ou seja, para todas as funções bem
comportadas que somente não nula dentro desta visinhança D,
f
5
= 0:
Regra de Comutação Canônica
Na Mecânica Quântica, as variáveis físicas são postuladas como sendo operadores. Sendo operador, o papel que um observável é transformar um estado
físico do sistema em outro estado. Mas em que forma um observável transforma
um estado de sistema? Na Macânica Clássica, o papel que o momento canonicamente conjugado a variavél q é dada como a gerador de transformação canônica
de deslocamento. Na Macânica Quântica, de…nimos o operador de momento
de tal forma que a situação é a mesma no caso da Macânica Clássica. A régra
de comutação canônica é justamente introduzido para satisfazer este requisito.
Vejamos este conteúdo em seguida.
5.1
Operador de momento, Onda Plana
Segundo deBroglie, uma partícula com momento p é associada a uma onda plana
com número de onda k = p=~. Em outras palavras, a função de onda de uma
partícula com momento p é uma onda plana,
p (x)
' eipx=~
Por outro lado, o estado de momento bem de…nido é o autoestado de momento
com autovalor p; jpi. Portanto,
hxjpi ' eipx=~
(14)
A pergunta é, o que é a forma do operador de momento nesta base? Para
responder esta questão, começamos a de…nição de autoestado de momento,
P jpi = pjpi
onde P é o operador de momento. Tomando o produto escalar desta equação
com o autoestado de posição, jxi, e substituindo a relação de completeza em x0 ,
temos
Z
0
dx0 hxjP jx0 i eipx =~ = p eipx=~ :
14
Mas
p eipx=~ =
Assim, temos
Z
~ d ipx=~
e
i dx
~ d ipx=~
e
:
i dx
0
dx0 hxjP jx0 i eipx =~ =
Esta expressão deve valer para qualquer p. Podemos utilizar este fato para
calcular o efeito de operador P sobre uma função geral (x).
Z
dx0 hxjP jx0 i (x0 )
Z
Z
0
1
0
0
dp ~ (p) eipx =~
= dx hxjP jx i p
2 ~
Z
Z
0
1
=p
dp ~ (p) dx0 hxjP jx0 ieipx =~
2 ~
Z
~ d ipx=~
1
e
dp ~ (p)
=p
i dx
2 ~
Z
~ d
1
p
=
dp ~ (p) eipx=~
i dx 2 ~
~ d
(x)
=
i dx
Nas equações acima, utilizamos a transformada de Fourier de
Z
1
(x) = p
dp ~ (p) eipx=~ :
2 ~
(x), ~ (p) ;
Mostramos assim que
Z
dx0 hxjP jx0 i (x0 ) =
para uma função arbitrária
~ d
(x) ;
i dx
. Podemos concluir, então,
hxjP jx0 i =
~ d
(x
i dx
x0 ):
(15)
O operador de momento na Eq.(15) é espresso na forma de elemento de
matriz na base de x. Para obter a expressão do operador em si, vamos utlizar
a completeza da base de x:
Z
dxjxihxj = 1:
Temos
P =
=
Z
Z
dx
dx
Z
Z
dx0 jxihxjP jx0 ihx0 j
dx0 jxi
~ d
(x
i dx
15
x0 )hx0 j
Consequentemente,
P =
Z
dxjxi
~ d
hxj
i dx
(16)
Esta é a representação de P na base em que x é diagonal. Usando a de…nição
de derivada,
Z
hx + j hxj
~
dx jxi
(17)
P = lim
i !0
Assim, podemos concluir que
jx + i = (1
i
P )jxi
~
(18)
Exercício: Demostra a passagem da Eq.(17) para a Eq.(18).
Ou seja, o operador (1 + ~i P ) desloca in…nitesimalmente o autovetor jxi em
jx + i. Para o deslocamento …nito, podemos repetir o deslocamento in…nitesimal,
i
jx + ai = lim !0 (1
P )a= jxi = e iaP=~ jxi
(19)
~
Aqui, o operador e iaP=~ é unitário. Note que este operador unitário transforma
todos autoestados de posição jxiem jx0 i = jx + ai. Isto equivale a mudança do
sistema de coordenadas espacial, transladando-o por a homogeneamente na
direção x, pois
0
(x) = hx0 j i
= hx + aj i
= (x + a):
O operador eiaP=~ representa o efeito no espaço de Hilbert, causado pela tal
transformação de coordenadas x. O operador de momento P é chamado o
gerador de transformação. Mais especi…camente, o momento é o gerador de
translação de coordenada. Este pode ser visto também da seguinte forma usando
Eq.(16)
d
hxjeiaP=~ j i = ea dx (x) = (x + a)
5.2
Normalização de onda plana
O autoestado de momento é uma onda plana. Mas podemos escolher a normalização de acordo com conveniência. Vejamos seguinte exercício.
Exercício: Na base fjpig, esperamos que
hp0 jP jpi = p (p
p0 ) ?
Veri…que que a expressão acima da Eq.(16), junto com a Eq.(14).
16
O Exercício acima mostra que se escolhermos a normalização de uma onda
plana como
hxjpi = eipx=~ ;
então, estamos de…nindo a normalização da base fjpig como
hpjp0 i = 2 ~ (p
p0 )
e não
hpjp0 i = (p
p0 ) :
Neste caso, a relação da completeza da base fjpig …ca
Z
1
dp jpihpj = 1:
2 ~
Exercício: Veri…que a relação da completeza acima.
Exercício: Na base fjpig com normalização acima, obtenha a expressão do
operador P .
Exercício: Na base fjpig com normalização acima, obtenha a expressão do
operador X.
Por outro lado, se escolhemos a normalização da base fjpig por
hpjp0 i = (p
p0 ) ;
e, portanto, a relação da completeza,
Z
dp jpihpj = 1;
então, a normalização da onda de onda plana deveria ser
hxjpi = p
1
eipx=~ :
2 ~
Exercício: Utlizamos frequentemente a normalização de uma onda plana por
1
hxjpi = p eipx=~ ;
V
onde V é o volume do sistema. Esta normalização representa a situação
que existe uma partícula no volume V . Neste caso, obtenha a normalização
da base fjpig e expresse a relação da completeza desta base.
Exercício: Na base fjpig com normalização acima, obtenha a expressão do
operador P .
17
5.3
Comutador
O operador P não é diagonal na base fjxig como pode ser visto da Eq.(16).
Isto sugere que P não comuta com X, operador de posição. Podemos calcular
o cumutador destes operadores.
[P; X] = P X
=
~
i
Z
Z
dx
jxi
XP =
d
hxjX
dx
Xjxi
d
hxj
dx
d
d
hxjx
xjxi hxj
dx
dx
Z
~
~
dxjxihxj =
=
i
i
Assim, obtemos a regra de comutação canônica bem conhecida entre momento
e coordenada,
~
[P; X] =
(20)
i
Aqui, deduzimos Eq.(20) como a consequência da a…rmação do deBroglie que
relacione a onda plana com o estado de particula com momento bem de…nid.
Entretanto, podemos inverter o argumento. Isto é, partindo da Eq.(??), dodas
os resultados sobre o operador de momento P , inclusive a onda plana como seu
autoestado podem ser obtidas. De fato, postular a regra de comutação Eq.(??) é
muito mais geral do que formular a Mecânica Quântica partindo de onda plana.
Assim postulamos:
=
~
i
dx
jxi
Postulado: Os operadores P e Q que correspondem a par de variável canônicamente conjugadas satisfazem a regra de comutação canônica,
[P; Q] =
ou
~
;
i
1
[Q; P ] = 1:
i~
(21)
Note que a relação acima lembra a condição de um par de variávelis canonicamente conjugadas na Mecânica Clássica,
fQ; P g = 1;
(22)
se
q ! Q = Q(q; p);
p ! P = P (q; P );
for uma transformação canônica, ou seja, o par (Q; P ) seja um variável canônico.
A comparação entre as Eqs.(21) e (22) sugere que o comutador na Mecânica
Quântica é um análogo do bracket de Poisson da Mecânica Clássica.
18
5.4
Um pouco de Mecânica Clássica
O papel de momento como gerador de translação em coordenada já é conhecido
na Mecânica Clássica. Vamos fazer uma pequena revisão da Mecâanica Clássica,
para estabelecer a correspondência com a Mecânica Quântica.
Seja fq1 ; p1 g um par de variáveis canonicamente conjugadas. Na Mecânica,
podemos fazer a transformação de variáveis10 ,
fq1 ; p1 g ! fq2 ; p2 g ;
(23)
q2 = f (q; p);
p2 = g(q; p):
(24)
Dentro de várias possibilidades, uma classe de transformações que satisfaz a
propriedade de preservar a forma estrutural da equação de Hamilton. Esta
classe de transformações é chamada a transformação canônica. Se a Eq.(23) é
a transformação canônica, os novos variaveis devem satisfazer,
ff; ggq;p = 1
onde
@f @g @g @f
@q @p @q @p
é a parentêse de Poisson. Como a parentêse de Poisson não depende de escolhe
de variáveis canônicas para calcular as derivadas do lado direito da equação
acima, podemos abreviar os subíndices da parentêse. Dentro de transformação
canônica, podemos ainda considerar uma subclasse, a transformação canônica
contínua. Para transformação canônica contínua, existe um ou mais que um
parâmetros contínuos.
q( ) = f (p1 ; q1 ; )
p( ) = g(q1 ; p1 ; )
ff; ggq;p
Sem perder a generalidade, podemos escolher
= 0 para transformação de
identidade. Por de…nição, os q e p com todos valores intermediários de também
as variáveis canônicas. A condição em que esté série de variáveis sejam canônicas
é que exista uma função G(q; p) tal que
dp( )
dq( )
= fq; Gg ;
= fp; Gg
d
d
(25)
A função G é chamada a função geratiz (ou gerador, por simplesmente) da transformação contínua. Por exemplo, se escolher G como a Hamiltoniana do sistema
e identi…cando como tempo t, Eq.(25) se torna a equação de movimento de
Hamilton. Ou seja a Hamiltoniana é gerador de transformação canônica que
transforma o conjunto de variáveis fq; pg num instante em conjunto de variáveis
canonicamente conjugadas de outro instante. Agora, se escolhemos G = p, então
dq( )
= fp; qg =
d
1
1 0 A transformação pode depender do tempo t. Mas aqui por simplicidade, consideramos o
caso que não depende do tempo.
19
dp( )
= fp; pg = 0
d
Ou seja
q( ) = q(0)
p( ) = p(0)
mostrando a translação de coordenada por . Isto é, o momento p é o gerador
da translação em q.
5.5
Relação de Incerteza, Pacote de Incerteza Mínima
Formular a Mecânica Quântica partindo o postulado de regra de comutação
canônica é as vezes referido Quantização Canônica. Nele, a relação de comutação entre duas variáveis canônicamente conjugadas atribui uma destas variáveis a propriedade como sendo o gerador de translação em outra. Ponto de
vista matemático, a não comutatividade de duas observáveis implica não existência de uma base em que ambos os operadores se tornam simultaneamente
diagonizados. Isto é, um autoestado de um dos observáveis não é autoestado
de outro. Físicamente falndo, não podemos fazer medições simultâneas destas
observáveis com a precisão arbitrária.
Para ver a relação de incerteza quantitativamente, vamos introduzir os operadores que representa as ‡utuações de valores observadaos de Q e P ,
Q=Q
P =P
hQi
hP i
(26)
Para qualquer estado j i 2 V; podemos de…nir os vetores,
j Qi = (Q
j P i = (P
hQi)j i
hP i)j i
(27)
Com estes vetores, podemos escrever os valores esperados de quadradas dos
operadores de ‡utuaçao Eq.(26),
h Q2 i = h j(Q
hQi)2 j i = h Qj Qi =k j Qi k2
h P 2 i = h j(P
hP i)2 j i = h P j P i =k j P i k2
Por outro lado, pela desigualdade de Schwartz, temos
k j Qi k2 k j P i k2
O produto
2
2
jh Qj P ij = jh j Q P j ij
(28)
Q P pode ser re-escrito como
Q P =
1
1
[ Q; P ] + f Q; P g
2
2
onde [; ] é comutador e f; g é anticomutador. Da regra de comutação canônica,
o comutador é simplesmente i~. O anticomutador é um operador hermitiano,
portanto o seu valor esperado R = h jf Q; P g j i é um número real.
20
Exercício: Mostre que o valor esperado do anticomutador
R = h j f Q; P g j i
é real.
Podemos escrever
1
(R + i~)
2
2
jh j Q P j ij =
2
=
1 2
(R + ~2 )
4
1 2
~
4
onde o sinal de igualdade vale somente para R = 0. Substituindo a equação
acima em Eq.(28), concluimos que
1 2
~
4
h Q2 i h P 2 i
(29)
que é a relação de incerteza.
A dedução acima da relação de incerteza é particularmente interessante, pois
podemos investigar qual é o estado que otimiza as incertezas em q e p. O sinal
de igualdade na Eq.(29) é válido somente para o estado j c i que satisfaz
h
cj f
Q; P g j
ci
=h
cj
Q P+
P Qj
ci
= 0;
(30)
e
Pj
ci
= c Qj
c i:
(31)
onde c é constante (ver o exercício sobre a desigualdade de Schwartz). Substituindo a segunda equação na primeira, temos
(c + c )h
Q2 j
cj
ci
=0
que indica que c é pura imaginária. Ao mesmo tempo, tomando o valor experado
em j c i os dois lados da relação de comutação,
h
cj [
Q; P ] j
ci
= (c
c )h
cj
Q2 j
ci
= i~
concluimos que c é um número imaginário positivo. Assim, podemos escrever
c=i
2
onde é um número real. Resubstituindo este resultado na Eq.(31), o estado
que otimiza a incerteza deve satisfazer
( P
i
Q)j
ci
=0
ou equivalentemete,
(P
i Q)j
ci
= (p
21
i q)j
ci
onde p = hP ie q = hQi. É conveniente de…nir o operador (não hermitiano) a
por
1
a= p
(P i Q)
(32)
2 ~
e seu conjugado hermitiano,
ay = p
1
(P + i Q)
2 ~
(33)
que são chamados operadores de aniquilação e criação. Assim, a condição para
o estado de incerteza mínima é escrita por
aj
ci
= j
ci
(34)
onde escrevemos p i q = .
A relação de comutação entre Q e P é traduzida em termos de operadores
a e ay como
a; ay = 1
Partindo desta relação de comutaçõ, podemos determinar as propriedades de
operadores a e ay :
1. Em primeiro lugar, de…nimos o operador N ,
N = ay a
Prove que para qualquer estado, o valor esperado deste operador
é não negativo. Com isto, conclua que os autovalores de N é não
negativo.
2. Mostre que os comutadores entre N; a e ay …cam
a; N; ay = ay
[N; a] =
3. Seja jni um autovetor de N ,
N jni = njni
Mostre que se não for
ajni = 0;
então necessariamente
ajni = cjn
1i
4. Assim, argumente que para qualquer autovalor n de N , tem que
existir um inteiro k tal que
ak+1 jni = 0
ou seja,
ajn
22
ki = 0
5. Prove que
n
k=0
6. Conclua que todos autovalores de N são inteiros não negativos, ou
seja n = 0; 1; 2; ::::::; 1..
7. Demostre que
ajni =
y
a jni =
8.
p
p
njn
1i;
n + 1jn + 1i
1
jni = p
ay
n!
n
j0i
onde
aj0i = 0
Estas propriedades são su…cientes para resolver o nosso problema Eq.(34).
Expandindo o vetor j i em termos de jni(normalizado)
j
ci
=
1
X
n=0
cn jni
e substituindo na Eq.(34) e utlizando a propriedade acima, temos
1
X
p
cn njn
1i =
1
X
cn jni
n=0
n=1
Sendo os jni0 s linearmente independentes, temos a fórmula de recorrência para
os coe…cientes:
n+1
cn+1 = p
n+1
Com isto,
j
ci
= c0
cn = p
1
X
(n + 1)!
c0
n
p jni
n!
n=0
onde c0 é determinado pela condição de normalização, h
c0 = e
(35)
cj ci
= 1,
j j2 =2
a fora de um fator de fase. O estado j c i é chamado o estado coerente. É
interessante calcular a função de onda do estado coerente. Para isto, é mais
conveniente utilizar Eq.(34) do que calcular o produto escalar direto da Eq.(35)
com o autoestado de Q, hqj. Da Eq.(34), temos
hqjaj
ci
= hqj
23
ci
Ou seja,
~ d c (q)
i dq
i q
c (q)
= (p
i q)
c (q)
que pode ser fácilmente integrada por
c (q)
1
2
= Const:e
(q q)2 =~+ipq=~
(36)
que é uma pacote de onda de forma Gaussiana concentrada no valor médio q,
modulada com a fase eipq=~ : Assim, o estado coerente é as vezes referido como
a pacote Gaussiana.
6
Transformação Unitária e Gerador da Transformação
Podemos generalizar a discussão em relação a deslocamento e operador de momento no espaço x. De modo geral, quando ocorre alguma mudânça no estado
de um sistema, o vetor de estado varia também,
j i ! j 0 i:
(37)
Naturalmente o novo estado satisfaz
h 0 j 0 i = 1:
(38)
A causa física que provocou esta mudânça deve ter o efeito para todos os estados
do sistema. Vamos considerar uma base ortonormal11 ,
X
i
h ij
ji
=
ij ;
j i ih i j = 1;
e a mudânça para cada um dos vetor da base,
j i i ! j i0 i:
O novo estado j i0 i pode ser descrito como a combinação linear dos estados da
base antes da mudânça,
X
j i0 i =
j j i uji ;
(39)
j
onde uji são os coe…cientes da transformação. Se introduzirmos o operador
de…nido por,
X
U=
j j i uji h i j;
(40)
i;i
1 1 Lembre que o conjunto de todos os autoestados de um conjunto de observáveis completos
formam uma base.
24
podemos re-escrever a Eq.(39) por
j i0 i = U j i i:
(41)
Já que fj i ig forma uma base, a expressão vale para a variação de qualquer
estado Eq.(37),
j i ! j 0 i = U j i:
(42)
Exercício: Mostra a Eq.(42) a partir da Eq.(41).
Da EQ.(38), temos
U y U = 1;
(43)
isto é, o operador deve ser um operador unitário. Podemos resumir em seguinte
forma:
Um efeito físico que causa a mudânça nos estados é representado por um
opeardor unitário.
Vamos considerar uma série de mudânças no estado, onde a variação é feita
continuamente. Podemos associar um parâmetro real para expressar o grau da
mudânça. Por exemplo, o deslocamento do sistema na direção x por a. Podemos
considerar uma sucessão contínua de deslocamento, variando o valor de a. Um
outro exemplo é a rotação do sistema em torno de um eixo, onde o parâmetro
é o ângulo da rotação. Nestas transformações, podemos escrever
U = U (a);
onde a é o parâmetro real. Podemos convencionar que a = 0 corresponde a
transformação de identidade (não há mudânça),
U (0) = ^1;
onde ^
1 representa o operador de identidade no espaço de Hilbert.
Se o parâmetro é in…nitesimal,
a ! 0;
então, podemos escrever sempre
^
U (a) ! ^1 + ia L;
^ é o operador chamado gerador da transformação. Da condição Eq.(43),
onde L
temos
y
^
^ = ^1;
^
^1 + ia L
1 + ia L
(44)
donde concluimos
^ y = L;
^
L
isto é, o gerador da transformação é um operador hermitiano.
25
(45)
Exercício: Mosre a Eq.(45) da condição, Eq.(44).
Vamos considerar uma sucessão destes transformações n vezes. A transformação resultante é dada por
^n
U= ^
1 + ian L
^
1 + ian
1
^n
L
^2
^1 + ia2 L
1
^1 :
^1 + ia1 L
(46)
Vamos considerar a sucessão de transformações iguais. Por exemplo, a sucessão
de deslocamento em x por a a a; onde
a=
^1 = L
^2 =
Neste caso, L
1
d:
n
^ n = L;e
^ temos
=L
U=
No limite de n ! 1; temos
U = lim
n!1
n
^
^1 + i d L
n
:
n
^
^1 + i d L
n
^
= e+idL :
(47)
^ um operador hermitiano. Mostre que vale a fórmula,
Exercício: Seja L
lim
n!1
n
^
^1 + i d L
n
onde
eX =
^
= e+idL ;
1
X
1 n
X :
n!
n=0
Eq.(47) é a forma geral de uma transformação unitária …nita, com o gerador
^ Inversamente, se tivemos um operador hermitiano, digamos G,
^ podemos
L.
sempre considerar um operador unitário,
U( )
onde
e+i
^
G
;
é um parâmetro real. Podemos escolher, por exemplo,
^ = P;
G
então, como já vimos na Eq.(19) o operador
U = eiaP=~
causa a translação no sistema. Podemos mostrar a Eq.(19) pela outra maneira.
Para isto, vamos começar a fórmula,
etA Be
tA
= B + [A; B] t +
t2
t3
[A; [A; B]] + [A; [A; [A; B]]] +
2!
3!
26
:
(48)
Exercício: Prove a Eq.(48).
Usando a Eq.(48) para A = iaP=~, B = Q, onde P e Q são observáveis
canonicamente conjugados, temos
eiaP=~ Qe
iaP=~
= Q + [P; Q] ia=~ +
Mas
[P; Q] =
1
2!
ia
~
2
[P; [P; Q]] +
~
;
i
então,
[P; [P; Q]] = 0;
e todos os comutadores de ordem superior anulam. Temos portanto
eiaP=~ Qe
iaP=~
= Q + a:
Isto é,
1
U QU
= Q + a:
(49)
Exercício: Mostre que
U
1
QU = Q
a:
(50)
Seja jqi o autoestado de Q com autovalor q,
Qjqi = qjqi:
Aplicando os dois lados da Eq.(49) neste estado, temos
1
U QU
jqi = (Q + a) jqi
= (q + a) jqi:
Multiplicando U
1
aos dois lados, temos
QU
1
jqi = (q + a) U
1
jqi:
Esta equação mostra que o estado,
U
1
jqi
é o autoestado do operador Q com autovalor (q + a). Concluimos portanto
U
1
jqi = Cjq + ai;
onde C é o constante da normalização. Considerando que U
unitário, em geral temos
jCj = 1;
1
é um operador
ou
C = ei
onde é um número real. Sem perder generalidade, podemos escolher
Assim, temos
U 1 jqi = jq + ai:
27
= 0.
7
Desenvolvimento Temporal: Equação de Schrödinger
Todas as discussões acima em relação a estados quânticos e operadores referem
a um dado instante do tempo. Para discutir o desenvolvimento de um sistema,
podemos considerar que o vetor de estado variam em tempo,
j i ! j (t)i:
Neste caso, precisamos a equação que descreve como j (t)i varia em tempo t.
Vamos considerar a variação deste estado num intervalo de tempo t,
j (t)i ! j (t +
t)i:
Esta variação deve ser obtido por uma transformação unitária,
j (t +
Para
t)i = U j (t)i:
t in…nitesimal, podemos escrever
i
^
t H;
~
U =1
^ é um operador hermitiano. Temos então,
onde H
j (t +
t)i =
i
^ j (t)i:
tH
~
1
Equivalentemente, temos
i~
j (t +
t)i
t
j (t)i
^ (t)i;
= Hj
ou
@
^ (t)i;
j (t)i = Hj
(51)
@t
que é a equação de Schrödinger.
No caso em que o Hamiltoniano é um operador constante no tempo, podemos
integrar formalmente a Eq.(51) para obter
i~
^
iH(t
t0 )=~
j (t)i = e
j (t0 )i;
(52)
onde
j (t0 )i
é o estado inicial.
^ deExercício: Demonstre que a Eq.(52) é a solução da Eq.(51). Quando H
pende do tempo t, podemos escrever a solução como
j (t)i = e
i
~
Rt
t0
28
^ (t0 )dt0
H
j (t0 )i ?
7.1
Quantidade Conservada
É interessante perguntar o que é uma quantidade conservada na Mecânica Quântica. Se O é um observável conservada para um dado sistema, esperamos que
o valor esperado do O deve ser constante no tempo, independentemente da
condição inicial. Isto é, se
hOi = h (t) jOj (t)i;
devemos ter
d
hOi = 0:
dt
Mas,
d
d
hOi = h (t) jOj (t)i
dt
dt
d
=
h (t) j Oj (t)i + h (t) jO
dt
d
j (t)i
dt
e, da Equação de Schrödinger, podemos escrever
d
1
hOi = h (t) j [O; H] j (t)i:
dt
i~
Assim, se O é uma quantidade observável, temos
1
h (t) j [O; H] j (t)i = 0;
i~
independentemente do estado j (t)i. Concluimos então que
[O; H] = 0:
Isto é, o comutador entre o operador de um observável conservado e o Hamiltoniano do sistema deve ser zero.
O operador do observável conservado e o Hamiltoniano do sistema comutam. Inversamente, se um observável comuta com o Hamiltoniano do
sistema, esta observável é uma constante do movimento.
Matematicamente falando, O e H pode possuir uma base comun que diagonalizaros.
Exercício: Suponhe que H e O comutam. Se não há degenerescência de H (i.e.,
para dado autovalor, só existe um único estado), prove que um autovetor
de H é tambem o autovetor de O.
Exercício: Seje a função de onda no tempo t = 0 preparada como um dos
autoestados de O. Quuando O e H comutam, mostre que o sistema permanece no mesmo autoestado para qualquer tempo t posterior.
29
8
Desenvolvimento Temporal: Visão de Heisenberg
Até agora, a dinâmica de um sistema é representada como a variação temporal do estado. Esta visão é bastante diferente da Mecânica Clássica, pois, na
Mecânica Clássica, as grandezas físicas, tais como q e p que variam no tempo.
Mas mesmo na Mecânica Quântica, podemos também formular que a dinâmica
de um sistema pode ser expressa como variação temporal das grandezas físicas. Para isto, devemos introduzir o operador dependente no tempo. Seja O
o operador de um obervável na visão de Schrödinger. De…nimos o operador
dependente do tempo como
i
OH (t) = e+ ~ tH Oe
i
~ tH
;
e chamamos que o operador na visão de Heisenberg. Podemos calcular a derivada
temporal deste operador como
d
1
OH (t) =
[O; H] ;
dt
i~
(53)
o que é conhecido como a Equação de Heisenberg. Esta equação de Heisenberg
lembra a derivada temporal de uma função OC (q; p) na Mecânica Clássica,
d
Oc = fOc ; Hc g ;
dt
onde fOc ; Hc g é o bracket de Poisson. Em particular, para um par de varáveis
canonicamente conjugados Q e P , temos
d
Q=
dt
d
P =
dt
1
[Q; H] ;
i~
1
[P; H] ;
i~
(54)
(55)
além da régra de comutação canônica,
1
[Q; P ] = 1:
i~
Nesta forma, a similaridade com a Mecânica Clássica se torna mais explicita.
As equações correspondentes na Mecânica Clássica são,
dq
= fq; Hg ;
dt
dp
= fp; Hg ;
dt
e
fq; pg = 1:
30
Como exemplo, vamos considerar um oscilador harmonico unidimensional,
H=
1 2 m! 2 2
P +
Q :
2m
2
Neste caso, a equação de movimento para os operadores …cam
d
1
1
Q=
[Q; H] = P;
dt
i~
m
d
1
P =
[P; H] =
dt
i~
m! 2 P:
(56)
(57)
Exercício: Obtenha a equação de movimento somente para Q e resolva esta
equação. Compare o resultado com o da seção anterior.
Exercício: Discute a relação de comutador e a quantidade conservada do ponto
de vista de Heisenberg.
9
Exemplo: Sistema de 2 níveis
Até agora, sempre pensamos o sistema de uma partícula ponteforme (ou seja
não existe nenhuma grau de liberdades internos). Neste caso, a variável básica
é a coordendada desta partícula e estados quânticos correspondem sempre uma
função de onda. O espaço de Hilbert para os estados quânticos nestes casos é de
dimensão in…nita. Isto é, existem in…nitos estados linearmente independentes.
Entretanto, exitem na natureza situações em que é necessário considerar
apenas alguns estados possíveis para discutir a dinâmica do problema. Por
exemplo, é conhecido que o elétron possui o grau de liberdade chamado de spin.
A detalhe do spin será discutido posteriormente, mas este grau de liberdade se
manifesta como sendo dois estados de energia distintos num campo magnético.
Outros exemplos são a aplicação a dinâmica de transição eletromagnética entre
dois estados atômicos, o sistema de meson K neutro, e a oscilação de neutrinos.
Vamos supor que um sistema possui apenas 2 néveis de energia. Seja H o
Hamiltoniano do sistema. Então, existem apenas 2 autovetores do H,
Hje1 i = E1 je1 i;
Hje2 i = E2 je2 i:
(58)
(59)
Podemos sempre considerar que os dois estados são normalizados.
he1 je1 i = 1;
he2 je2 i = 1:
Além disto, do propriedade de um operador hermitiano (ver o Exercício anterior), os dois vetores devem ser ortogonais,
he2 je1 i = 1:
31
Assim, os dois vetores, fje1 i; je2 ig forma uma base ortonormal. Qualquer estado
possível deste sistema deve ser expressos como combinação linear destes dois
estados;
j i = c1 je1 i + c2 je1 i:
(60)
Os coe…cientes ci são dados por
ci = hei j i:
Podemos representar os vetores fje1 i; je2 ig pela associação,
je1 i !
1
0
je2 i !
0
1
:
Os vetores duais …cam
he1 j !
he2 j !
1
0
;
0
1
:
O estado geral j i Eq.(60) …ca nesta representação,
1
0
j i ! c1
+ c2
0
1
=
c1
c2
:
c1
c2
e o vetor dual …ca
h j!
de tal forma que o produto escalar entre dois estados j i e j i é descrita como
h j i!
d1
d2
c1
c2
= d1 c1 + d2 c2 ;
j i!
d1
d2
:
(61)
onde
Nesta representação, qualquer operador O será representado pela matriz,
O!
he1 jOje1 i
he2 jOje1 i
he1 jOje2 i
he2 jOje2 i
:
(62)
Exercício: Demonstre a razão da representação do operador para matriz, Eq.(62).
Na base dos seus autovetores, o Hamiltoniano …ca a matriz diagonal,
H!
E1
0
32
0
E2
:
Exercício: Da Eqs.(58) e (59), demonstre que
hei jHjej i = Ei
ij :
Nesta base, a Equação de Schrödinger nesta representação …ca
i~
d
dt
c1
c2
E1
0
=
0
E2
c1
c2
:
(63)
Podemos resolver este sistema facilmente, tendo
c1
c2
9.1
=
t
e
iE1 t=~
0
0
c1
c2
iE2 t=~
e
:
(64)
t=0
Observável não comutável com H
Seja O um observável deste sistema. Sejam jo1 i e jo2 i os dois autoestados de O
normalizados com autovalores o1 e o2 , respectivamente. Temos
Ojo1 i = o1 jo1 i;
Ojo2 i = o2 jo2 i:
Supormos que os dois estados são normalizados. Temos então,
hoi joj i =
ij :
Quando a base formada destes autovetores é igual a base formada dos autoestados de H, digamos
je1 i = ei 1 jo1 i;
je2 i = e
i
2
(65)
jo2 i;
(66)
então podemos mostrar que os operadores O e H comutam.
Exercício: Prove que se vale as Eqs.(65) e (66), então H e O comutam,
[O; H] = 0:
Por outro lado, se je1 i e jo1 i for linearmente independentes, então podemos
escrever
je1 i = u11 jo1 i + u21 jo2 i;
(67)
je2 i = u12 jo1 i + u22 jo2 i;
(68)
uij 6= 0; 8 i; j = 1; 2:
(69)
U y U = 1;
(70)
onde
Devemos ter
onde
U=
u11
u21
33
u12
u22
:
(71)
Exercício: Mostre porque da Eq.(70).
Neste caso, o operador O e o Hamiltoninano H não comutam,
[O; H] 6= 0:
(72)
Exercício: Mostre a Eq.(72) como concequência da Eq.(69).
9.2
Amplitude de Transição: Visão de Schrödinger
Suponha que no tempo t = 0, uma medição for realizada sobre o obervável O,
e obteve o autovalor o1 . Com esta medição do observável, o estado do sistema
se torna no autoestado jo1 i,
j (t = 0)i = jo1 i:
Quando O comuta com H, podemos mostrar que o estado do sistema permanece
no autoestado do O,
j (t)i = C (t) jo1 i:
Neste caso, a medição do obervável O sempre resulta em o1 , ou seja a probabilidade de observar o autovalor o1 é uma.
Exercício: Determine a função C (t) acima.
Quando O não comuta com H, já vimos que O não é um constante de movimento. Isto quer dizer que, após certo tempo t, o sistema pode ter probabilidade
de estar no outro autoestado de O. Temos
j (t)i = C1 (t) jo1 i + C2 (t) jo2 i:
(73)
Quando efetuamos a medição do observável O, teremos em geral, a probabilidade
não nula de encontrar os ambos valores o1 e o2 . A probabilidade é dada por
2
2
P1 = jho1 j ij = jC1 (t)j ;
e a probabilidade de encontrar o valor o2 é dada por
2
2
P2 = jho2 j ij = jC2 (t)j :
Naturalmente
P1 + P2 = 1;
e P2 é a probabilidade de transição do sistema do estado jo1 i para o estado jo2 i.
Vamos calcular P1 e P2 . Da Equação de Schrödinger, temos
i~@t j (t)i = Hj (t)i:
Na base de autoestado de H, como vimos (Eq.(63)), podemos expressar a
equação acima como
i~@t
he1 j (t)i
he2 j (t)i
=
E1
0
34
0
E2
he1 j (t)i
he2 j (t)i
:
A solução é (Eq.(64)),
he1 j (t)i
he2 j (t)i
iE1 t=~
e
=
0
0
he1 j (0)i
he2 j (0)i
iE2 t=~
e
;
ou equivalentemente
he1 j
he2 j
e
j (t)i =
iE1 t=~
0
0
e
he1 j
he2 j
iE2 t=~
j (0)i
(74)
Mas queremos expressar este resultado em termos da base fjo1 i; jo2 ig. Das
Eqs.(67) e (68), podemos escrever
he1 j
he2 j
u11 ho1 j + u21 ho2 j
u21 ho1 j + u22 ho2 j
=
u11
u12
=
u21
u22
ho1 j
ho2 j
= Uy
ho1 j
ho2 j
:
Portanto, a Eq.(74) …ca
Uy
ho1 j
ho2 j
e
j (t)i =
iE1 t=~
0
0
e
ho1 j
ho2 j
Uy
iE2 t=~
j (0)i
ou
ho1 j
ho2 j
j (t)i = U
e
iE1 t=~
0
0
iE2 t=~
e
ho1 j
ho2 j
Uy
j (0)i:
Temos explicitamente os coe…cientes C1 (t) e C2 (t) na Eq.(73) como
C1 (t)
C2 (t)
onde de…nimos
M =U
e
C1 (0)
C2 (0)
=M
iE1 t=~
0
0
e
iE2 t=~
Em particular, para a condição inicial,
C1 (0)
C2 (0)
=
35
1
0
;
;
U y:
(75)
então
C1 (t) = M11
=
u11
=e
iE1 t=~
u21
=e
iE1 t=~
0
0
2
C2 (t) = M21
=
iE1 t=~
e
u12
e
ju11 j + e
iE2 t=~
e
iE1 t=~
u22
2
ju12 j ;
e
iE2 t=~
(76)
0
0
u21 u11 + e
u11
u12
iE2 t=~
u11
u12
iE2 t=~
u22 u12 :
(77)
Assim, se sabemos os elementos de matriz de U e os autovalores de H, podemos
calcular a probabilidade de transição.
Note que os elementos de matriz de U; uij ; são nada mais que as amplitides
de probabilidade de encontrar o estado joj i no estado jei i,
uij = hoj jei i;
(veja Eqs.(67,68)). Ou seja, vamos escrever como
uij = Ajei i!joj i
O conjugado complexo deste elemento de matriz tem signi…cado como a amplitude de encontrar o estado jei i no estado joj i pois
uij = hoj jei i
= hei joj i;
ou seja, expressamos como
uij = Ajoj i!jei i :
Por outro dado, o fator e
iE1 t=~
e
iEi t=~
pode ser escrito como
= hei (t) jei (0)i:
Isto é, este fator é a amplitude de encontrar o estado jei i depois do tempo t = t;
a partir do estado jei i no temp t = 0. Vamos expressar como,
e
iEi t=~
(i)
= A0!t ;
ou seja, a amplitude do estado i no tempo t. Assim, podemos re-escrever as
Eqs.(76) e (77) como
C1 (t) = Aje1 i!jo1 i
C2 (t) = Aje1 i!jo2 i
(1)
A0!t
(1)
A0!t
Ajo1 i!je1 i + Aje2 i!jo1 i
Ajo1 i!je1 i + Aje2 i!jo2 i
36
(2)
A0!t
(2)
A0!t
Ajo1 i!je2 i ;
Ajo1 i!je2 i :
A primeira parcela em C1 (t) ;
Aje1 i!jo1 i
(1)
A0!t
Ajo1 i!je1 i
pode ser interpretada como produto sequencial, do direito para esquerdo, de
amplitudes de tres etapas: a primeira o sistema inicialmente estava no estado
jo1 i passa para o estado je1 i; a segunda, este estado do sistema passa de tempo
t = 0 para t = t, e …nalmente na terceira, o sistema passa do estado je1 i para
jo1 i. A segunda parcela em C1 (t) ;
Aje2 i!jo1 i
(2)
A0!t
Ajo1 i!je2 i ;
também pode ser interpretada analogamente como produto sequencial, do direito para esquerdo, de amplitudes de tres etapas: a primeira o sistema inicialmente estava no estado jo1 i passa para o estado je2 i; a segunda, este estado
do sistema passa de tempo t = 0 para t = t, e …nalmente na terceira, o sistema passa do estado je2 i para jo1 i. A amplitude total é a soma destas duas
possibilidades.
9.3
Visão de Heisenberg
Vamos analizar o problema acima do ponto de vista de Heisenberg. Na visão
de Heisenberg, o observável OH varia no tempo. De acordo com a Equação de
Heisenberg, temos
dOH
= [OH ; H] :
(78)
i~
dt
Já que OH depende do tempo t, seus autovetores também dependem do tempo,
embora os autovalores não mudam.
Exercício: Mostre que os autovalores do operador de Heisenberg são iguais do
operador correspondente de Schrödinger.
Vamos denotar por joi (t)i o autovetor do operador OH (t) de autovalor oi .
OH (t) joi (t)i = oi joi (t)i:
A amplitude de transição do sistema que estava no estado joi (0)i para o estado
joj (t)i é dada por
Ai!j (t) = hoj (t)joi (0)i:
Assim, na visão de Heisenberg, primeira, devemos determinar a dinâmica do operador O e depois resolvemos a equação de autovalor deste operador no instante
t = t.
Para resolver a Eq.(78), vamos utilizar a base fje1 i; je2 ig que é invariante no
tempo. Calculando os elementos de matrizes nesta base da Eq.(78), temos
i~
dOij (t)
= (Ej
dt
Ei ) Oij (t) ; i; j = 1; 2;
37
(79)
onde de…nimos
Oij (t) = hei jOH jej i:
A Eq.(79) pode ser resolvida para todos os i e j como
i(Ej
Oij (t) = e
Ei )t=~
Oij (0) :
Explicitamente temos
O11 (t) O12 (t)
O21 (t) O22 (t)
=
e
O11 (0)
+i(E2 E1 )t=~
e
i(E2 E1 )t=~
O12 (0)
O22 (0)
O21 (0)
:
Note que a expressão acima pode ser re-escrita como
O11 (t) O12 (t)
O21 (t) O22 (t)
=
eiE1 t=~
0
0
e
O11 (0) O12 (0)
O21 (0) O22 (0)
iE2 t=~
e
iE1 t=~
0
Desta forma, podemos relacionar os autovetores de OH (0) e os de OH (t) : Por
exemplo, seja
c1
c2
o autovetor de OH (0) de autovalor o1 na base fje1 i; je2 ig, isto é,
O11 (0) O12 (0)
O21 (0) O22 (0)
c1
c2
= o1
c1
c2
;
d1
d2
= o2
d1
d2
:
e
d1
d2
o autovetor de OH (0) de autovalor o2 ,
O11 (0) O12 (0)
O21 (0) O22 (0)
Exercício: Estabeleça a relação entre fc1 ; c2 ; d1 ; d2 g e fuij g das Eqs.(67) e
(68).
Pela inspecção, podemos ver facilmente que o vetor
c1 (t)
c2 (t)
=
eiE1 t=~
0
0
eiE2 t=~
c1
c2
é o autovetor de
O11 (t) O12 (t)
O21 (t) O22 (t)
com autovalor o1 .
Exercício: Prove que
O11 (t) O12 (t)
O21 (t) O22 (t)
c1 (t)
c2 (t)
38
= o1
c1 (t)
c2 (t)
:
0
e
iE2 t=~
:
A amplitude de transição, por exemplo, A1!1 (t) …ca
A1!1 (t) =
=e
c1 (t) c2 (t)
iE1 t=~
2
jc1 j + e
c1
c2
iE2 t=~
2
jc2 j ;
que é exatamente igual a Eq.(76).
Obtenha a amplitude A1!2 (t) e compare com a Eq.(77).
39
10
Caso 3 Dimensional
40