mecânica geral - dem.uminho.pt

MECÂNICA GERAL
Capítulo I
CINÉTICA
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Departamento de Engenharia Mecânica
Escola de Engenharia
UNIVERS IDADE DO MINHO
J.C.Pimenta Claro
[e-version: 2007 r.0]
MECÂNICA APLICADA - Cinética
1
1.1 INTRODUÇÃO
O estudo cinemático de um mecanismo tem como objectivo a definição da geometria do movimento
e da relação entre os parâmetros de deslocamento e o tempo - posição, velocidade, aceleração desprezando as forças que provocam, ou resultam, desse mesmo movimento. De uma forma
convenientemente simplificada, analisa o movimento de um determinado mecanismo (cinemática
directa) ou define a geometria básica de um mecanismo capaz de determinado movimento (cinemática
inversa).
Todavia, numa segunda etapa, torna-se necessário proceder ao projecto específico de cada um dos
elementos que compôem o mecanismo, em termos de material, forma e dimensões, de maneira a
garantir a necessária robustez para absorverem, transformarem e transmitirem as forças (energia,
trabalho, potência) em jogo. Simultaneamente, sendo essas forças transmitidas através das respectivas
juntas, o binómio pressão/velocidade relativa no interface de contacto condiciona todo o
comportamento mecânico dessas superfícies e respectiva tribologia - deformação, fadiga, regime de
lubrificação, tipo de atrito, taxa de desgaste, etc.
Assim, a análise dinâmica destina-se a possibilitar o projecto concreto de cada componente do
mecanismo, tomando em consideração o desempenho (cinemática) do conjunto, mas também todos os
esforços (cinéticos) que desenvolvem no seu funcionamento.
Os princípios básicos da dinâmica fundamentam-se nas ‘Leis do Movimento’, enunciadas por
Newton:
1. Um corpo permanece em repouso, ou em movimento uniforme e rectilíneo, na ausência
de qualquer força externa que nele actue.
2. A taxa de alteração da quantidade de movimento de um corpo actuado por uma força,
ou conjunto de forças externas, é proporcional e tem a mesma direcção da resultante
dessas forças.
Sendo a massa de um corpo invariável, a magnitude da sua aceleração é proporcional
à resultante das forças que nele actuam e inversamente porporcional à sua massa. A
direcção da aceleração é igual à da resultante das forças.
3. A uma acção sobre um corpo, realizada por uma força, corresponde sempre uma
reacção oposta, de igual intensidade.
2
MECÂNICA APLICADA - Cinética
1.2 ANÁLISE ESTÁTICA
Neste capítulo são revistos alguns conceitos físicos que, embora desenvolvidos para aplicações
eminentemente estáticas (isto é, em que o movimento dos corpos é nulo, desprezável ou desprezado),
constituem igualmente uma base para a análise dinâmica que se segue.
1.2.1 Forças
Uma força é definida por uma magnitude e uma direcção podendo, portanto, ser encarada e tratada
como outro qualquer vector. Adicionalmente, pode ou não ser considerada como um vector livre - isto
é, o seu ponto de aplicação pode ser ou não importante - conforme a análise em causa.
Assim, por exemplo, a Fig.3.1 ilustra dois casos distintos de forças actuando num corpo. Admitindo
que (F1 ) e (F2 ) têm a mesma magnitude então:
(i) o corpo está em equilíbrio, independentemente da situação (a) ou (b) considerada;
(ii) no caso (a) o corpo está em compressão e no caso (b) em tracção.
Sendo que a diferença entre os dois casos está apenas nos pontos de aplicação das forças, pode
concluir-se que será importante considerar estes quando se pretende avaliar o estado de tensão criado
internamente, isto é, no próprio corpo.
F1
F2
(a)
F2
F1
(b)
Figura 3.1 - Forças e seu ponto de aplicação
Tri-dimensionalmente uma força pode ser definida como,
F = fx i + fy j + f z k
em que (f x , f y , f z) representam as magnitudes das componentes coordenadas, conforma a Fig.3.2.
y
fy
F
j
k
x
i
fz
z
fx
Figura 3.2 - Componentes de uma força
3
MECÂNICA APLICADA - Cinética
1.2.2 Momentos
Por definição, um binário é constituído por um par de forças opostas, de igual intensidade, parale las
e não co- lineares, e cujo efeito num corpo não pode ser substituído por uma simples força resultante.
Num binário considera-se, assim, a existência de um braço, definido pela distância perpendicular
entre as linhas de acção das forças, e de um plano formado por essas mesmas linhas de acção - Fig.3.3.
M=RxF
F
F
R
Figura 3.3 - Momento e respectivos braço e plano
O momento de um binário corresponde a um vector (M), de direcção normal ao plano do binário e
direcção dada pela ‘regra da mão direita’, ou ‘regra do saca-rolhas’. A sua magnitude é dada pelo
produto do braço pela intensidade de uma das forças (m=rf).
Em termos vectoriais, o momento é igual ao produto externo dos vectores correspondentes ao braço
e à força, ou seja:
M=Rx F
mas como:
R= xi+ yj+ zk
F = fx i + fy j + f z k
então:
M = Rx F =  i
x
 fx
j k 
y z 
fy fz 
ou, decompondo,
mx = y  f z – z  f y
my = z  f x – x  f z
mz = x  f y – y  f x
em que,
M = mx i + my j + mz k
Algumas propriedades dos binários podem ser referidas, embora não demonstradas aqui. Assim:
(i) o valor do momento resultante é independente do ponto que se considere para centro do
binário de forças;
(ii) o braço (R) do binário não tem necessariamente de ser perpendicular às forças em jogo;
neste caso, apenas o momento resultante será afectado, uma vez que será igual ao produto da
força pela componente do braço (RN) normal à direcção das forças.
(iii) o momento (M) é um vector livre, uma vez que não tem, nem depende, de um ponto de
aplicação específico;
4
MECÂNICA APLICADA - Cinética
(iv) as forças de um binário podem ser rodadas em conjunto, no seu plano, desde que se
mantenham as respectivas magnitudes e distância entre linhas de acção, ou podem ser ser
transladadas para qualquer plano paralelo, sem que isso implique qualquer alteração no
momento resultante;
assim, pode afirmar-se que dois binários são idênticos se produzirem iguais momentos,
independentemente dos valores das forças ou braços que os constituem.
1.2.3 Forças de Reacção - Atrito
De uma forma geral, por ‘força de reacção’ entende-se qualquer força que se opõe ao movimento.
No caso de um corpo em repouso - Fig.3.4 (a) - a força normal (N) poderá ser interpretada como a
reacção do fixe ao peso (W) ou, muito simplesmente, a força que se opõe à queda desse corpo.
Por outro lado, num corpo em movimento - Fig.3.4 (b) - haverá ainda a considerar a força de atrito
(F) que se opõe à força actuante (P),
W
W
P
P
F
N
(a)
N 
R
W
R
tan  = F/N
(b)
Figura 3.4 - Forças de acção e de reacção
em que, fazendo (=tan  ), virá (F=N).
Quanto a ( ) e (), designados respectivamente por ‘ângulo de atrito’ e ‘coeficiente de atrito’,
distinguem-se ainda duas situações,
(i) atrito estático: quando o movimento se encontra numa fase insipiente, ou seja, prestes a iniciarse o escorregamento entre as duas superfícies;
(ii) atrito cinemático: quando o movimento se encontra perfeitamente estabelecido;
e, de uma forma geral, este último tem um valor inferior ao primeiro.
Notas:
(i) a força de atrito entre dois corpos é um fenómeno co mplexo , envolve ndo a estrutura molecular das superfícies,
afinidade electro-química, rugosidade, estado de limpesa, etc; para efeitos de cálculo, utilizam-se normalmente
valores méd ios do coeficiente de atrito, estático ou cinemát ico, em função do par de materiais em con tacto;
(ii) em aplicações usuais de mecânica, considera-se o coeficiente de atrito co mo independente da área de contacto,
isto é, da pressão exercida, e da velocidade relativa das superfícies;
(iii) em contactos lubrificados há ainda a considerar a separação total ou parcial dos corpos por uma película de
flu ido, com características próprias de escoamento e possível interacção com os materiais das superfícies
adjacentes; normalmente a viscosidade é tratada como um fenómeno semelhante ao do atrito e, portanto,
independente da pressão e da velocidade.
5
MECÂNICA APLICADA - Cinética
A geometria do contacto pode, ainda, trazer algumas particulariedades de análise.
No caso comum em mecânica, de um par rotoide como o ilustrado na Fig.3.5 (em que a folga se
encontra exagerada, apenas para comodidade de visualização),
Casquilho
W
Moente
A
rf
r
B
N
F
R

Figura 3.5 - Atrito numa chumaceira não lubrificada
a rotação do moente no sentido indicado, aliada à existência de atrito, fá- lo-á ‘subir’, rolando ao longo
da periferia do casquilho até atingir a posição ilustrada, em que se a tinge um equilíbrio de forças e se
iniciará o escorregamento ‘normal’ de funcionamento da chumaceira.
Deste modo a força normal (N) não terá a mesma linha de acção da carga (W). A composição de
(N) com a força de atrito (F=N) resulta numa força (R) de ponto de aplicação B que, essa sim, terá
a mesma intensidade de (W) e sentido contrário.
O círculo com centro em A  e tangente à linha de acção de (R) é chamado ‘círculo de fricção’ e o
seu raio é dado por:
rf = rsen  (1)
É de notar que (rf) não depende da magnitude das forças envolvidas, mas apenas do raio do moente
e do coeficiente de atrito.
Notas:
(i) este conceito de ‘círcu lo de fricção’ é utilizado na localização da linha de acção de forças entre casquilhos e
moentes de chumaceiras não lubrificadas, mas apenas se justifica quando se pretende uma análise de precisão
de mecanis mos;
(ii) independentemente de outras considerações, uma análise de grande precisão implicaria igualmente a
quantificação de fenómenos associados à deformação elástica su perficial, sob a pressão de contacto, etc;
(iii) esta aproximação não é válida no caso de chumaceiras lubrificadas, em que a posição angular entre o casquilho
e o moente, em funcionamento, é precisamente oposta à aqui descrita;
(1)
Dado que tan = sen /cos = , então vem que r f = rsen  = rcos e co mo,
por sua vez  = [0º, 45º] para  = [0, 1], pode constatar-se que rf = [0, 2/ 2r]
6
MECÂNICA APLICADA - Cinética
1.2.4 Diagramas de Corpo Livre
Tendo em consideração que o termo ‘corpo’ pode ser aplicado a uma máquina, a um mecanismo ou
a um simples componente, um ‘diagrama de corpo livre’ é um esboço desse corpo, em que se
consideram todas as acções a que está sujeito e todas as reacções correspondentes aos corpos que com
ele interagem.
Na Fig.3.6 ilustra-se um exemplo simples de diagrama de corpo livre para uma viga em repouso,
simplesmente apoiada em  A e  C, de peso desprezável e dotada de uma massa de peso (P) aplicada
em B.
P
C
A
P
C
B
B
RA
A
RC
Figura 3.6 - Exemplo de diagrama de corpo livre
Assim, (P), (RA) e (RB ), respectivamente acção da massa e reacções dos apoios, podem ser
encaradas como simples acções externas sobre a viga, cuja determinação permite analisar o seu estado
de tensão e deformação estáticas, por exemplo.
1.2.5 Condições de Equilíbrio
Um corpo encontra-se em equilíbrio estático se e só se forem nulas:
(i) a soma vectorial de todas as forças, de acção e de reacção ( F=0);
(ii) a soma dos momentos de todas as forças, actuando segundo qualquer eixo ( M=0).
Segundo os eixos coordenados, estas condições podem expressar-se como:
 Fx = 0
 Fy = 0
 Fz = 0
 Mx = 0
 My = 0
 Mz = 0
que, para problemas bi-dimensionais, se reduzem a:
 Fx = 0
 Fy = 0
 Mz = 0
Nota: estas condições de equilíbrio são também válidas para situações dinâmicas, isto é, em que o corpo esteja animado
de movimento (com determinadas características de deslocamento, velocidade e aceleração, variáveis no tempo)
desde que se introduzam as respectivas componen tes de força devidas à inércia, ou seja, às variações de
velocidade das massas envolvidas.
7
MECÂNICA APLICADA - Cinética
1.3 ANÁLISE DINÂMICA
Basicamente, a dinâmica estuda as forças decorrentes da aceleração a que estão sujeitos os
componentes de um mecanismo ou, na óptica inversa, as forças necessárias para que esses corpos
variem o seu estado de movimento. Os esforços resultantes, num dado corpo, serão então iguais à
soma das forças dinâmicas e estáticas.
Este estudo será, aqui, restringido ao caso bi-dimensional, ou seja, aplicável apenas a mecanismos
planos.
1.3.1 Inércia - Princípio de D’Ale mbert
Considerando um corpo rígido de massa (m), actuado por um conjunto de forças (F1 , F2 e F3 )
quaisquer, tal como esboçado na Fig.3.7 (a),
y
y
F1
F = maG
F
h
G
G
m
M = Im
F3
F2
x
(a)
x
(b)
Figura 3.7 - Dinâmica de um corpo
a resultante dessas forças será ( F = F1 + F2 + F3 ) cuja linha de acção está a uma certa distância (h) do
centro de massa  G.
O efeito desta resultante ‘desbalanceada’ (isto é, que não passa pelo centro de massa) será a
aceleração do corpo, com uma componente linear e uma componente angular, cujos valores são dados
por:
 F = m  aG
 MG = Im  
como indicado na Fig.3.7 (b), onde (aG) representa a aceleração linear do centro de massa, ( ) a
aceleração angular do corpo em torno de  G e (Im ) o momento mássico de inércia do corpo em relação
ao centro de massa  G.
O estudo de mecanismos inicia-se, geralmente, pela análise cinemática, sendo o movimento dos
vários componentes definido e, portanto, a sua aceleração determinada. A questão seguinte prende-se,
assim, com o cálculo das forças e momentos necessários para conseguir esse movimento.
Como tal, torna-se conveniente reescrever as equações acima, na forma:
 F – m  aG = 0
 MG – Im   = 0
que podem ser ‘lidas’ como:
8
MECÂNICA APLICADA - Cinética
(i) a soma de todas as forças externas que actuam num corpo anula-se, quando adicionada a uma
força fictícia de valor (- maG), denominada ‘força de inércia’;
(ii) a soma dos momentos provocados por todas as forças externas, em relação ao centro de massa,
e de todos os momentos externos aplicados a um corpo anula-se, quando adicionada a um
binário fictício de valor (- Im ), denominado ‘binário de inércia’.
e que traduzem o chamado ‘princípio de D’Alembert’.
A utilidade desta análise reside no facto de qualquer situação dinâmica poder ser encarada como um
problema de equilíbrio e, portanto, passível de ser resolvido pelos métodos empregues na estática.
1.3.2 Cinética do Corpo Rígido
Num mecanismo, mesmo simples, podem encontrar-se componentes com movimentos de geometria
complexa. A forma mais conveniente de abordar qualquer problema passa, assim, pela decomposição
desses movimentos numa conjugação movimentos básicos, de mais fácil abordagem.
a) translação
Adoptando o critério básico de que a resultante de todas as forças passa pelo centro de massa, então
ao corpo de massa (m) e aceleração (ax ) da Fig.3.8 (a) corresponderá o diagrama de corpo livre da
Fig.3.8 (b), em que se assinalaram todas as forças externas (conhecidas e desconhecidas) actuantes,
ax
P1
ax
P2
m
ax
W
P1
P2
G
max
G
F
N
(a)
(b)
(c)
Figura 3.8 - Cinética da translacção
e, por sua vez, este diagrama será equivalente ao da Fig.3.8 (c), em que se substituiram todas as forças
pela resultante de valor (ma) que, passando por  G e com direcção e sentido de (ax ), imprimirá ao
corpo de massa (m) uma aceleração (ax ).
Recorrendo ao ‘princípio de D’Alembert’, neste caso:
 Fx – max   Fx – (W/g)ax = 0
e
 Fy =  MG = 0
uma vez que (m=W/g), sendo (g) a aceleração da gravidade.
O equilíbrio dinâmico conseguido encontra-se ilustrado na Fig.3.9 (b). A partir da construção de um
sistema de equações, com base nos somatórios de forças segundo (xx) e (yy) e de momentos em torno
de (zz), torna-se então possível a resolução do problema.
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MECÂNICA APLICADA - Cinética
ax
ax
P1
P1
W
P2
P2
-max
m
Fa
G
N
(a)
(b)
Figura 3.9 - Princípio de D’Alembert na translacção
b) rotação centroidal
Um dos casos mais comuns de rotação é a que se dá em torno de um eixo fixo, coincidente com o
centro de massa do corpo - Fig.3.10.
Im  
P1
P2
W

Rh
Rv
Figura 3.10 – Rotação centroidal
Independentemente do número, intensidade ou direcção das forças externas que actuem no corpo,
  Fx = 0
  Fy = 0
  MG = Im  
c) rotação não centroidal
Considerando um corpo qualquer, rodando em torno de um eixo não centroidal ( A) – Fig.3.11,
P
Im


G

W
Rh
A
W/gr2
G
r
A
W/gr
Rv
Figura 3.11 – Rotação não centroidal
a acção das forças aplicadas - peso próprio (W) e resultante das forças externas (P) - associada às
componentes da reacção no apoio, no ponto A (Rh e Rv), originam valores instantâneos de velocidade
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MECÂNICA APLICADA - Cinética
() e de aceleração angular ( ).
O centro de massa (G) move-se num círculo de raio (r) com centro em (A), tendo uma aceleração
cujos componentes são:
an = r  2
at = r  
 segundo a linha (GA), d irigida para (A)
 perpendicular a (r), no sentido de ()
Igualando os momentos das forças em presença à soma dos momentos das forças efec tivas, em
relação ao ponto (A),
 MA = Im   = [(W/g)r]  r = (Im + W/g  r2 )  
= [Im ]A  
em que ([Im ]A) é o momento másico de inércia do corpo, em relação ao ponto (A).
Assim, as equações do movimento vêm como:
  Fx = (W/g)  r  2

  Fy = (W/g)  r  

  MG = Im  

  MA = [Im ]A  
d) rolamento
No caso de uma roda homogénea em rolamento, a análise é simplificada pelo facto de o centro de
massa ter um movimento rectilíneo, paralelo ao plano de deslocamento – Fig.3.12.
P2

Im
P1

G
W
C
Fa
W/ga
G
C
FN
Figura 3.12 – Rolamento
A resultante das forças efectivas traduz-se numa única força de valor (W/ga), passando por (G) e
paralela ao plano de deslocamento, e no binário (Im  ) aplicado em (G).
Assim, e considerando (xx) como a direcção paralela ao plano, vem:
  Fx = W/ga
  Fy = 0
  MG = Im  
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MECÂNICA APLICADA - Cinética
todavia há dois casos particulares que merecem destaque.
(i) rotação pura
A condição de não escorregamento entre o corpo e o plano, é a de haver suficiente resistência
tangencial no ponto de contacto (C). Neste caso o ponto (C) manter-se-á instantaneamente em
repouso, ou seja, é um ‘Centro Instantâneo de Rotação’.
Essa resistência é expressa por (Fa =FN), em que (FN) é a força exercida na normal ao plano de
contacto e () é o coeficiente de atrito.
Assim, estabelecendo um somatório de momentos em relação ao ponto (C), virá:
 MC = IC + (W/ga)r
No caso de rolamento puro (a=r ), e então,
 MC = IG + (W/gr)r = (IG + W/gr2 )
mas, no caso de haver escorregamento, a posição do Centro Instantâneo é desconhecida pelo que é
falso que (MC =IC ). No entanto, os somatórios de forças em (xx) e (yy), bem como o de
momentos em (G), apresentados acima, continuam válidos.
(ii) rotação desbalanceada
No caso de o centro geométrico do corpo não coincidir com o seu centro de massa (G) - Fig.3.13 faz com que este não siga uma trajectória rectilínea pelo que os somatórios de forças em (xx) e (yy),
tal como expostos acima, não são válidos.
Contudo, a relação (MC =IC ) é ainda aplicável nos dois instantes por rotação em que (G) se
encontra na linha definida por (C) e (O) pois, nestas posições, a aceleração do Centro Instantâneo é
dirigida para o centro de massa.

G
O
W
C
Fa
FN
Figura 3.13 – Rotação desbalanceada
e) caso geral do movimento plano
Para o caso genérico de um corpo animado de um movimento complexo, desde que integrado num
qualquer mecanismo, é sempre possível determinar a aceleração de um ponto de referência (aA) e, a
partir deste, a aceleração relativa do centro de massa (aG|A).
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MECÂNICA APLICADA - Cinética
Assim, vem que:
aG = aA + aG|A
= aA + r2 + r
donde:
W/ga = W/gaA + W/gr2 + W/gr
Nesta equação, a parte direita é constituida pelas componentes da força resultante efectiva (W/ga)
que podem ser representadas directamente num diagrama de forças – Fig.3.14.
P


G
r
W/gr2
W/gr
G

r
W
W/gaA
Im
A
A
aA
aA
Figura 3.14 – Caso geral de movimento plano
1.3.3 Determinação de Momentos Mássicos de Inércia
a) caso genérico
Considerando um corpo de massa (m), animado de um movimento de rotação com um raio (r) em
torno de um qualquer eixo (AA ) – Fig.3.15,
A
m
r
A
Figura 3.15 – Inércia de um corpo simples
a resistência à mudança de estado desse movimento, ou seja, a inércia do sistema, é directamente
proporcional à massa (m) e ao quadrado da sua distância (r) ao centro de rotação.
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MECÂNICA APLICADA - Cinética
Assim sendo, a inércia do corpo ou, mais exactamente, o momento mássico de inércia do corpo em
relação ao eixo (AA ), pode definir-se como:
ImAA = m  r2
Para um corpo complexo, no qual haja a considerar diferentes componentes, ou elementos, de massas
individuais (dmi) a diferentes raios (ri ) do eixo de rotação (AA ) – Fig.3.16,
A
r1
dm1
dm3
r3
r2
dm2
A
Figura 3.16 – Inércia de um corpo complexo
o momento mássico de inércia do conjunto será igual à soma aritmética das inércias parciais, ou seja,
ImAA =  (dmi  ri2 )
o que, no limite, pode ser expresso por,
ImAA =  r2 dm
Tendo em consideração um espaço carteziano tri-dimensional, os momentos mássicos de inércia de um
qualquer corpo em relação aos eixos coordenados – Fig.3.17,
dm
y
r
z
x
Figura 3.17 – Inércia de um corpo em relação a eixos coordenados
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MECÂNICA APLICADA - Cinética
virão expressos como:
Imxx =  (y2 + z2 ) dm
Imyy =  (z2 + x2 ) dm
Imzz =  (x2 + y2 ) dm
b) mudança de sistema de eixos
Considerando agora uma situação análoga à anterior, mas referenciando-a em termos de um outro
sistema de eixos (x’, y’, z’), paralelo ao primeiro e passando pe lo Centro de Massa (CG) do corpo –
Fig.3.18,
y’
y
dm
CG
x'
z’
x
z
Figura 3.18 – Inércia de um corpo em relação a eixos baricentricos
a relação entre as coordenadas de cada elemento (dmi), relativamente aos dois sistemas de eixos pode
ser expressa por:
x = x’ + xCG
y = y’ + yCG
z = z’ + zCG
pelo que, substituindo e simplificando,
Imxx = Imxx’ + m(yCG2 + zCG2 )
Imyy = Imyy’ + m(zCG2 + xCG2 )
Imzz = Imzz’ + m(xCG2 + yCG2 )
Assim, em termos genéricos, o momento mássico de inércia de um corpo, relativamente a um qualquer
sistema de eixos arbitrário, pode ser quantificado em termos do momento mássico de inércia
relativamente ao baricentro ( CG) e da distância (d) entre esses dois sistemas de eixos, desde que
paralelos, sendo dado por:
Im = ImCG + md2
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MECÂNICA APLICADA - Cinética
c) momentos mássicos de inércia de placas finas
Para uma placa fina, de espessura (t) e densidade (), uniformes, o momento mássico de inércia em
relação a um qualquer eixo (AA ) – Fig.3.19,
A
dA
B
t
r
B
C
A
Figura 3.19 – Inércia de uma placa fina
pode ser expresso como:
ImAA =  r2 dm
=   t   r2 dA, uma vez que dm = t dA
em que (dA) é um elemento de área da secção e (r) a sua distância ao eixo em apreço.
Tendo em consideração que o integral ( r2 dA) representa o momento de inércia da secção ( 2 ), em
relação ao eixo (AA ), então pode escrever-se:
ImAA =   t  IAA
Do mesmo modo se poderá proceder em relação ao eixo coordenado ( BB) que, conjuntamente com
(AA ), define a secção da placa,
ImBB =   t  IBB
e ainda com o terceiro eixo ( CC), perpendicular à placa,
ImCC =   t  IP
em que (IP) é o momento polar de inércia ( 3 ) da secção.
(2 ) não confundir com o ‘mo mento mássico de inércia’ (ImAA); aqui a designação ‘mo mento de inércia’ ( IAA) refere -se ao
mo mento resistente da secção tal como usado, por exemp lo, no cálculo estático à flexão.
(3 ) tal como anteriormente, chama-se a atenção para o facto de a designação ‘mo mento polar de inércia’ (IP) se referir ao
mo mento resistente da secção tal como usado, por exemp lo, no cálculo estático à torção.
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MECÂNICA APLICADA - Cinética
Também, e recorrendo às relações conhecidas entre os momentos de inércia à flexão (I AA , IBB) e o
momento polar de inércia (IP ), se pode escrever,
ImCC = ImAA + ImBB
=   t  (IAA + IBB)
d) momentos mássicos de inércia de corpos tri-dimensionais
No caso mais geral, a determinação do momento mássico de inércia de um corpo tri-dimensional segue
os mesmos princípios explanados para as placas finas, excepto que o elemento de massa (dm) é neste
caso equivalente a ( dV), em que (dV) representa o volume elementar. A resolução implica
usualmente a aplicação de uma tripla integração.
Para geometrias simétricas em relação a dois eixos é, no entanto, possível utilizar uma aproximação
mais simples. O princípio ilustra-se para a forma de secção circular da Fig.3.20,
A
z
A’
dz
C
B’
Figura 3.20 – Inércia de um corpo tri-dimensional bi-simétrico
em que,
ImAA = ImBB = ¼ mr2 ,
ImCC = ½ mr2 ,
dm = r2 dz
pelo que o momento de inércia em relação ao eixo (CC) se obtém pela integração de (ImCC) para cada
elemento de espessura (dz):
d ImCC = ½ mr2 = ½ r2 dm = ½ r4 dz
enquanto que o momento de inércia em relação aos outros dois eixos é dado pela integração dos
momentos de inércia de cada secção elementar (dz), segundo os respectivos eixos (AA ) e (BB), aferidos
à distância que os separa dos eixos paralelos de referência (A ’A ’ e B’ B’),
d ImAA = d ImA’A’ + z2 dm = (¼ r2 + z2 ) dm
d ImBB = d ImB’B’ + z2 dm = (¼ r2 + z2 ) dm
17
MECÂNICA APLICADA - Cinética
e) momentos mássicos de inércia de corpos compostos
A forma mais expedita de determinar o momento mássico de inércia de corpos complexos é, muitas
vezes, pelo recurso à determinação da inércia de formas simples – ver Tabela 1 – que, após serem
aferidas para o eixo (paralelo) pretendido, se podem adicionar para obtenção da inércia total.
Forma
Mom. mássico inércia
barra
cilíndrica
Imy = Imz = 1/12 mL2
placa
rectangular
Imx = 1/12 m(b2 +c2 )
Imy = 1/12 mc2
Imz = 1/12 mb2
prisma
rectangular
Imx = 1/12 m(b2 +c2 )
Imy = 1/12 m(c2 +a2 )
Imz = 1/12 m(a2 +b2 )
Disco
fino
Imx = ½mr2
Imy = Imz = ¼mr2
cilindro
Imx = ½ma2
Imy = Imz = 1/12 m(3a2 +L2 )
cone
Imx = 3/10 ma2
Imy = Imz = 3/5 m(¼ a2 +h2 )
esfera
Imx = Imy = Imz = 2/5 ma2
Tabela 1 – Momentos mássicos de inércia de formas simples
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