Resistores e CA

Resistores e CA
Quando aplicamos uma voltagem CA
em um resistor, como mostrado na
figura, uma corrente irá fluir através do
resistor. Certo, mas quanta corrente irá
atravessar o resistor. Pode a Lei de Ohm
ser aplicada a circuitos alimentados por
fontes CA? Vamos então aplicar a Lei das
Malhas
ao
circuito
acima.
Como
somamos as quedas de potencial se ddp varia constantemente? Para
a corrente indicada no circuito as polaridades da fonte e do resistor
são as indicadas na figura. Temos então:
=
sen
= .
logo
=
=
=
sen
=
sen
= .
Vemos então que fluirá pelo
circuito uma corrente alternada
(linha azul na figura) em fase
com a tensão aplicada (linha
vermelha), com uma amplitude proporcional à amplitude da tensão
existente sobre o resistor. Como no circuito CC, a constante de
proporcionalidade entre a amplitude da tensão e a amplitude da
corrente é a resistência R, assim como entre a tensão e corrente
instantâneas. Isto é sempre verdadeiro para qualquer resistência em
um circuito CA.
Em muitos casos faz mais sentido descrever voltagem alternada
em termos de um “equivalente CC”, ou seja, a voltagem CC que
deveria ser fornecida ao circuito para gerar a mesma quantidade de
trabalho ou potência que a presente voltagem CA. Para isto,
precisamos de alguma maneira calcular um tipo de “potência média”
fornecida ao circuito durante um ciclo completo. Infelizmente a
voltagem media fornecida em um ciclo é zero pois
é
=
é
=
=0
assim como a corrente media que circula pelo circuito em um ciclo.
Isso acontece porque as funções senoidais possuem em seu ciclo
meio ciclo com valores positivos e meio ciclo com os mesmos valores
negativos. Entretanto sabemos que alguma potência é fornecida ao
circuito CA pois as lâmpadas acendem, motores giram, etc,
independente da direção da corrente. Como calcular isto?
Os valores RMS
A chave é identificar a potência dissipada pelo resistor, em termos
da voltagem CA sobre ele e a corrente CA que o atravessa. Como
=
=
=
Quando elevamos ao quadrado um número sempre obtemos um
resultado positivo (ou zero) e portanto é sempre possível obter um
valor médio de um valor quadrado. A seguir, podemos calcular a raiz
quadrada deste valor e obter o valor médio efetivo da corrente ou
voltagem.
Se graficarmos uma função
seno unitária e o seu quadrado
obtemos o figura acima onde a
função seno (linha vermelha) varia num intervalo de ±1, enquanto
que o quadrado (azul) varia de 0 a 1. Matematicamente temos:
=
1 cos 2
−
2
2
Uma vez que o valor médio de qualquer função seno ( ou
cosseno) é sempre zero, o valor médio da expressão acima é
simplesmente 1/2. Este é o valor médio de qualquer função senoidal
quadrática. Se tomarmos agora o valor da raiz quadrada teremos o
valor efetivo, que é 1/ = 0.707. Este fator nos dá a raiz do valor
médio do quadrado de uma função senoidal. Por essa razão o valor
efetivo de uma forma de onda é conhecido como rms ( root-meansquare).
O valor de pico ou amplitude de uma função seno pode ser
qualquer valor; é um valor positivo constante que é elevado ao
quadrado e dele depois é obtido a raiz quadrada dando como
resultado o valor inicial. Como uma constante, pode ser colocada em
evidência no processo de cálculo da media e usado no final do
cálculo. Então temos:
% &
=
√2
=
. 0,707
% &
=
√2
=
. 0,707
Estas expressões podem ser usadas especificamente para as
funções senoidais. Outras formas de onda podem ter diferentes
relações entre amplitudes e valores rms e, portanto, devem ser
analisadas separadamente.
Novamente, a Lei de Ohm pode ser aplicada também para os
valores rms pois
=
% &.
% &. % &
= .
% &
e usando os valores rms temos
é
=
% &
=
% &
Capacitores e CA
Quando aplicamos uma tensão CA em
um capacitor, como mostrado na figura,
sabemos que o capacitor irá drenar corrente
no sentido de se opor à mudança na tensão
sobre ele. Isto não nos diz quanta oposição
o capacitor irá oferecer ou quanta corrente
ele irá drenar. Quanta corrente irá então
fluirá sobre C?
Novamente vamos aplicar a Lei das Malhas no circuito acima para
responder esta resposta. As polaridades mostradas na figura são
aquelas correspondentes à corrente indicada:
=
+ sen
/
[+ sen
/
+
/
[sen
/
*
= ,/.
]=
/
[,/.]
/
]=
1 /,
./
1
.
+
. cos
]=
=
=
.. cos
=
1
.
Do
resultado
obtido
podemos extrair importantes
características do circuito. A
primeira é que quando a
tensão aplicada é uma função
seno (linha vermelha), a corrente é uma função cosseno (linha azul)
e, portanto defasada de 90o em relação à tensão. A corrente está
então adiantada de ¼ de ciclo em relação à tensão. Isto concorda
com o que dissemos anteriormente que o capacitor drenar corrente
para se opor à mudança de tensão sobre o capacitor.
O fator 1/ωC é a constante de proporcionalidade entre a
amplitude da tensão sobre o capacitor e a amplitude da corrente que
o atravessa e é chamado de reatância capacitiva, representada por
X C.
2* =
1
1
=
. 234.
XC também é a constante de proporcionalidade entre os valores
rms da tensão e da corrente.
% &
= 2* .
% &
A reatância capacitiva é medida em
ohms, como a resistência, e funciona
como uma resistência em muitas
maneiras. Entretanto, seu valor é
dependente da freqüência, assim como
da capacitância. Se graficarmos os
valores XC versus ωC usando escala
logarítmica, teremos o gráfico abaixo.
O
gráfico
pode
se
estender
indefinidamente em ambas as direções
para cobrir quaisquer valores de C e ω.
Não é possível obter valores nulos de XC com freqüências finitas,
exceto para C = 0.
Em um circuito puramente capacitivo podemos calcular o valor de
XC equivalente das associações exatamente como calculamos
associações de resistores. A Lei de Ohm continua a ser aplicada
nestes circuitos. Entretanto, como veremos adiante, não podemos
adicionar valores de XC e R. O deslocamento da fase provocada pelo
capacitor impede que possamos trabalhar assim. Mais adiante vermos
como resolver este problema.
A Potência em circuitos capacitivos
Podemos calcular a potência dissipada pelo capacitor da mesma
maneira que fizemos anteriormente
= .
=
é
é
=[
.
=[
é
é
.
.[
é
.56
]
56
1
.[
2
=[
é
2
]
]
é
é
é
=0
Vemos que diferentemente do circuito resistivo, nenhuma energia
é dissipada pelo capacitor e, portanto os valores rms de corrente e
voltagem não podem ser utilizados para calcular o seu valor médio.
Indutores e CA
Como
podemos
esperar,
o
comportamento de um indutor quando
uma voltagem CA é aplicada sobre ele é
oposto ao comportamento do capacitor.
O circuito ao lado não parece muito
diferente, tendo
sido
simplesmente
substituído um símbolo por outro.
Podemos sem sombra de dúvida dizer
que alguma corrente irá atravessar o indutor.
Como a tensão da fonte está constantemente mudando, devemos
esperar que o indutor estivesse constantemente reagindo a esta
mudança, mas não sabemos exatamente como e quanto. Vamos
então
calcular
a
expressão
apropriada
que
descreva
o
comportamento do circuito. Começamos da mesma maneira com
anteriormente pela Lei das Malhas para o circuito.
=
sen
=8
9 + sen
−
+
/
/
]/ = 9 8/
[cos
=
7
]=8 +.
=−
=
% &
8
8
sen
=
8
=
8
. cos
+
3
2
% &
A expressão final lembra em muito a Lei de Ohm E/R = I. Se
definirmos uma reatância indutiva
27 =
8 = 2348
temos nossa contraparte indutiva da expressão capacitiva que
definimos anteriormente. Novamente, a reatância indutiva não é
realmente uma resistência, mas o resultado da reação do indutor à
voltagem CA aplicada e a mudança na corrente e por isso chamada
de reatância.
A equação para a corrente
I0 obtida anteriormente mostra
que a corrente, como um
cosseno
negativo,
está
atrasado em relação à voltagem aplicada de 90°, ou ¼ de ciclo, como
mostrado no gráfico. Intuitivamente isto parece razoável, uma vez
que o indutor reage em oposição à passagem da corrente sobre ele.
Se graficarmos a indutância indutiva XL
versus L usando escala logarítmicas como
fizemos com a reatância capacitiva, temos
um gráfico bastante similar, mas com a
inclinação
oposta.
XL
é
diretamente
proporcional tanto à freqüência quanto à L,
enquanto
que
XC
é
inversamente
proporcional, tanto à freqüência quanto à C.
O efeito de uma indutância é, em muitas
maneiras, exatamente oposto ao efeito de
uma capacitância. Este é um efeito
importante quando estes componentes são usados juntos em um
circuito. Iremos ver adiante como e porque quando explorarmos este
tipo de circuito mais detalhadamente.
A Potência em circuitos indutivos
A diferença de fase entre a corrente e a tensão no capacitor
resulta, assim como no capacitor, que a potência dissipada no indutor
é nula.
é
=0