Bases Matemáticas - Aula 12 – Funções reais e seus gráficos

Bases Matemáticas
Aula 12 – Funções reais e seus gráficos
Rodrigo Hausen
7 de novembro de 2012
v. 2012-11-8
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Função real
Definição 1
Uma função f ∶ A → B é chamada função real com variável real
(ou simplesmente função real) se A ⊂ R e B ⊂ R.
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Função real
Definição 1
Uma função f ∶ A → B é chamada função real com variável real
(ou simplesmente função real) se A ⊂ R e B ⊂ R.
Podemos visualizar funções reais usando diagramas de Venn ou por
meio de “caixas pretas,” como vimos na aula passada para funções
em geral.
Porém, a visualização de funções reais por meio de seus gráficos
no plano cartesiano costuma ser a representação que fornece mais
informação a respeito de suas propriedades.
v. 2012-11-8
2/35
O plano cartesiano
Definição 2
O conjunto dos pares ordenados (x , y ) tais que x ∈ R e y ∈ R é
chamado plano com coordenadas reais, plano cartesiano ou,
simplesmente, R2 .
v. 2012-11-8
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O plano cartesiano
Definição 2
O conjunto dos pares ordenados (x , y ) tais que x ∈ R e y ∈ R é
chamado plano com coordenadas reais, plano cartesiano ou,
simplesmente, R2 .
um par ordenado (x , y ) ∈ R2 também é chamado de ponto
no plano, ou simplesmente ponto se está implícito que
estamos trabalhando apenas em R2
v. 2012-11-8
3/35
O plano cartesiano
Definição 2
O conjunto dos pares ordenados (x , y ) tais que x ∈ R e y ∈ R é
chamado plano com coordenadas reais, plano cartesiano ou,
simplesmente, R2 .
um par ordenado (x , y ) ∈ R2 também é chamado de ponto
no plano, ou simplesmente ponto se está implícito que
estamos trabalhando apenas em R2
x e y são chamados de coordenadas do ponto (x , y )
v. 2012-11-8
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O plano cartesiano
Definição 2
O conjunto dos pares ordenados (x , y ) tais que x ∈ R e y ∈ R é
chamado plano com coordenadas reais, plano cartesiano ou,
simplesmente, R2 .
um par ordenado (x , y ) ∈ R2 também é chamado de ponto
no plano, ou simplesmente ponto se está implícito que
estamos trabalhando apenas em R2
x e y são chamados de coordenadas do ponto (x , y )
a primeira coordenada é chamada de abscissa e a segunda
leva o nome de ordenada
v. 2012-11-8
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O plano cartesiano
Definição 2
O conjunto dos pares ordenados (x , y ) tais que x ∈ R e y ∈ R é
chamado plano com coordenadas reais, plano cartesiano ou,
simplesmente, R2 .
um par ordenado (x , y ) ∈ R2 também é chamado de ponto
no plano, ou simplesmente ponto se está implícito que
estamos trabalhando apenas em R2
x e y são chamados de coordenadas do ponto (x , y )
a primeira coordenada é chamada de abscissa e a segunda
leva o nome de ordenada
dizemos que (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) se, e somente se, x1 = x2 e
y1 = y2
v. 2012-11-8
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Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
Y
2
1
−2
−1
0
−1
−2
1
2
X
Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
Y
2
(1, 1)
1
−2
−1
0
−1
−2
1
2
X
Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
Y
2
(−2, 1)
−2
(1, 1)
1
−1
0
−1
−2
1
2
X
Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
Y
2
(−2, 1)
−2
(1, 1)
1
−1
(−1, −1,5)
0
−1
−2
1
2
X
Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
Y
2
(−2, 1)
−2
−1
(−1, −1,5)
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(1, 1)
1
0
1
2
X
−1
−2
(2,5, −1,9)
4/35
Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
1º quadrante
Y
2
(−2, 1)
−2
−1
(−1, −1,5)
v. 2012-11-8
(1, 1)
1
0
1
2
X
−1
−2
(2,5, −1,9)
4/35
Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
2º quadrante
1º quadrante
Y
2
(−2, 1)
−2
−1
(−1, −1,5)
v. 2012-11-8
(1, 1)
1
0
1
2
X
−1
−2
(2,5, −1,9)
4/35
Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
2º quadrante
1º quadrante
Y
2
(−2, 1)
−2
(1, 1)
1
−1
(−1, −1,5)
0
1
2
X
−1
−2
(2,5, −1,9)
3º quadrante
v. 2012-11-8
4/35
Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos
2º quadrante
1º quadrante
Y
2
(−2, 1)
−2
−1
(−1, −1,5)
3º quadrante
v. 2012-11-8
(1, 1)
1
0
1
2
X
−1
−2
(2,5, −1,9)
4º quadrante
4/35
Gráfico de uma função real
Definição 3
Seja f ∶ D → C uma função real. O gráfico de f é o subconjunto
do plano cartesiano
Gráf (f ) = {(x , y ) ∈ R2 ∣ y = f (x )}
v. 2012-11-8
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Gráfico de uma função real
Definição 3
Seja f ∶ D → C uma função real. O gráfico de f é o subconjunto
do plano cartesiano
Gráf (f ) = {(x , y ) ∈ R2 ∣ y = f (x )}
Definição equivalente: Gráf (f ) = {(x , f (x )) ∣ x ∈ D}
v. 2012-11-8
5/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 1
Represente o gráfico de
f ∶R → R
x
v. 2012-11-8
↦ f (x ) = x
6/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 1
Represente o gráfico de
f ∶R → R
x
↦ f (x ) = x
Y
2
1
−2
−1
0
1
2
X
−1
−2
v. 2012-11-8
6/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 1
Represente o gráfico de
f ∶R → R
x
↦ f (x ) = x
Y
2
1
−2
−1
0
Dom f = R
1
2
X
−1
−2
v. 2012-11-8
6/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 1
Represente o gráfico de
f ∶R → R
x
↦ f (x ) = x
Y
2
1
−2
−1
0
Dom f = R
1
2
X
Im f = R
−1
−2
v. 2012-11-8
6/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 2
Represente o gráfico de
f ∶R → R
x
v. 2012-11-8
↦ f (x ) = −x
7/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 2
Represente o gráfico de
f ∶R → R
↦ f (x ) = −x
x
Y
2
1
−2
−1
0
1
2
X
−1
−2
v. 2012-11-8
7/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 2
Represente o gráfico de
f ∶R → R
↦ f (x ) = −x
x
Y
2
1
−2
−1
0
Dom f = R
1
2
X
−1
−2
v. 2012-11-8
7/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 2
Represente o gráfico de
f ∶R → R
↦ f (x ) = −x
x
Y
2
1
−2
−1
0
Dom f = R
1
2
X
Im f = R
−1
−2
v. 2012-11-8
7/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 3
Represente o gráfico de f ∶ [−1, 2] → R
x
v. 2012-11-8
↦ f (x ) = x 2
8/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 3
Represente o gráfico de f ∶ [−1, 2] → R
↦ f (x ) = x 2
x
Y
4
3
2
1
−2
v. 2012-11-8
−1
0
1
2
X
8/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 3
Represente o gráfico de f ∶ [−1, 2] → R
↦ f (x ) = x 2
x
Y
4
3
Dom f = [−1, 2]
2
1
−2
v. 2012-11-8
−1
0
1
2
X
8/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 3
Represente o gráfico de f ∶ [−1, 2] → R
↦ f (x ) = x 2
x
Y
4
3
Dom f = [−1, 2]
2
Im f = [0, 4]
1
−2
v. 2012-11-8
−1
0
1
2
X
8/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 4
Represente o gráfico de
g ∶Z → N
n ↦ g(n) = ∣n∣
v. 2012-11-8
9/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 4
Represente o gráfico de
g ∶Z → N
n ↦ g(n) = ∣n∣
Y
3
2
1
−3
v. 2012-11-8
−2
−1
0
1
2
3
X
9/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 4
Represente o gráfico de
g ∶Z → N
n ↦ g(n) = ∣n∣
Y
3
Dom g = Z
2
1
−3
v. 2012-11-8
−2
−1
0
1
2
3
X
9/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 4
Represente o gráfico de
g ∶Z → N
n ↦ g(n) = ∣n∣
Y
3
Dom g = Z
2
Im g = N
1
−3
v. 2012-11-8
−2
−1
0
1
2
3
X
9/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5
Represente o gráfico de h ∶ R → R tal que
⎧
−x
se
x < −1
⎪
⎪
⎪
se −1 ≤ x < 1
h(x ) = ⎨ 1
⎪
⎪
⎪
2
−
x
se
x ≥1
⎩
v. 2012-11-8
10/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5
Represente o gráfico de h ∶ R → R tal que
⎧
−x
se
x < −1
⎪
⎪
⎪
se −1 ≤ x < 1
h(x ) = ⎨ 1
⎪
⎪
⎪
2
−
x
se
x ≥1
⎩
Y
3
2
1
−3
−2
−1
0
1
2
3
X
−1
v. 2012-11-8
10/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5
Represente o gráfico de h ∶ R → R tal que
⎧
−x
se
x < −1
⎪
⎪
⎪
se −1 ≤ x < 1
h(x ) = ⎨ 1
⎪
⎪
⎪
2
−
x
se
x ≥1
⎩
Y
3
2
1
−3
−2
−1
0
1
2
3
X
−1
v. 2012-11-8
10/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5
Represente o gráfico de h ∶ R → R tal que
⎧
−x
se
x < −1
⎪
⎪
⎪
se −1 ≤ x < 1
h(x ) = ⎨ 1
⎪
⎪
⎪
2
−
x
se
x ≥1
⎩
Y
3
2
1
−3
−2
−1
0
1
2
3
X
−1
v. 2012-11-8
10/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5
Represente o gráfico de h ∶ R → R tal que
⎧
−x
se
x < −1
⎪
⎪
⎪
se −1 ≤ x < 1
h(x ) = ⎨ 1
⎪
⎪
⎪
2
−
x
se
x ≥1
⎩
Y
3
2
Dom h = R
1
−3
−2
−1
0
1
2
3
X
−1
v. 2012-11-8
10/35
Gráfico de uma função real: exemplos
Exemplo 5
Represente o gráfico de h ∶ R → R tal que
⎧
−x
se
x < −1
⎪
⎪
⎪
se −1 ≤ x < 1
h(x ) = ⎨ 1
⎪
⎪
⎪
2
−
x
se
x ≥1
⎩
Y
3
2
Dom h = R
1
−3
−2
−1
0
Im h = R
1
2
3
X
−1
v. 2012-11-8
10/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
Y
Para quais valores de x :
f (x ) = 0?
f (x)
-2,3
-2
v. 2012-11-8
-1
1
2
3
4
X
11/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
Y
Para quais valores de x :
f (x ) = 0?
f (x ) ≥ 0?
f (x)
-2,3
-2
v. 2012-11-8
-1
1
2
3
4
X
11/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
Y
g(x)
Para quais valores de x :
f (x ) = 0?
f (x ) ≥ 0?
g(x ) < 0?
2,5
-2
v. 2012-11-8
-1
1
2
4,3
3
4
X
11/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
Y
g(x)
Para quais valores de x :
f (x ) = 0?
f (x ) ≥ 0?
g(x ) < 0?
f (x)
2,5
-2,3
-2
v. 2012-11-8
-1
1
2
4,3
3
4
X
f (x ) − g(x ) > 0?
4,8
11/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
A função cujo gráfico está abaixo é injetora?
Y
X
v. 2012-11-8
12/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
A função cujo gráfico está abaixo é injetora?
Y
X
v. 2012-11-8
sim!
12/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
A função cujo gráfico está abaixo é injetora?
Y
X
v. 2012-11-8
12/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
A função cujo gráfico está abaixo é injetora?
Y
f (x1 ) = f (x2 )
x1
v. 2012-11-8
x2
X
12/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
A função cujo gráfico está abaixo é injetora?
Y
f (x1 ) = f (x2 )
x1
v. 2012-11-8
x2
X
não!
12/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
O que podemos dizer do gráfico abaixo?
Y
X
v. 2012-11-8
13/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
O que podemos dizer do gráfico abaixo?
Y
x
v. 2012-11-8
X
13/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
O que podemos dizer do gráfico abaixo?
Y
f (x )?
x
X
f (x )?
v. 2012-11-8
13/35
Propriedades de funções a partir de seus gráficos
O que podemos dizer do gráfico abaixo?
Y
f (x )?
x
X
com certeza não é
gráfico de função!
f (x )?
v. 2012-11-8
13/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo.
Y
X
f (x)
v. 2012-11-8
14/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = f (x ) + c, para alguma constante c ∈ R.
Y
g (x)
se c > 0
+c
X
f (x)
v. 2012-11-8
14/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = f (x ) + c, para alguma constante c ∈ R.
Y
se c < 0
f (x)
+c
X
g (x)
v. 2012-11-8
14/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo.
Y
X
f (x)
v. 2012-11-8
15/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = f (x + c), para alguma constante c ∈ R.
Y
se c > 0
c
X
g (x)
v. 2012-11-8
f (x)
15/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = f (x + c), para alguma constante c ∈ R.
Y
se c < 0
c
X
f (x)
v. 2012-11-8
g (x)
15/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f uma função real e c ∈ R:
se g(x ) = f (x ) + c, o gráfico de g é uma translação vertical
do gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
v. 2012-11-8
16/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f uma função real e c ∈ R:
se g(x ) = f (x ) + c, o gráfico de g é uma translação vertical
do gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x ) = f (x + c), o gráfico de h é uma translação
horizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,
se c < 0)
v. 2012-11-8
16/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f uma função real e c ∈ R:
se g(x ) = f (x ) + c, o gráfico de g é uma translação vertical
do gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x ) = f (x + c), o gráfico de h é uma translação
horizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,
se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocada
Ex.: f1 (x ) = x 2 ,
v. 2012-11-8
16/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f uma função real e c ∈ R:
se g(x ) = f (x ) + c, o gráfico de g é uma translação vertical
do gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x ) = f (x + c), o gráfico de h é uma translação
horizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,
se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocada
Ex.: f1 (x ) = x 2 ,g1 (x ) = f1 (x ) + 1.
v. 2012-11-8
16/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f uma função real e c ∈ R:
se g(x ) = f (x ) + c, o gráfico de g é uma translação vertical
do gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x ) = f (x + c), o gráfico de h é uma translação
horizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,
se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocada
Ex.: f1 (x ) = x 2 ,g1 (x ) = f1 (x ) + 1.
Im f1 = [0; +∞)
v. 2012-11-8
16/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f uma função real e c ∈ R:
se g(x ) = f (x ) + c, o gráfico de g é uma translação vertical
do gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x ) = f (x + c), o gráfico de h é uma translação
horizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,
se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocada
Ex.: f1 (x ) = x 2 ,g1 (x ) = f1 (x ) + 1.
Im f1 = [0; +∞) Im g1 = [1; +∞)
v. 2012-11-8
16/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f uma função real e c ∈ R:
se g(x ) = f (x ) + c, o gráfico de g é uma translação vertical
do gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x ) = f (x + c), o gráfico de h é uma translação
horizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,
se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocada
Ex.: f1 (x ) = x 2 ,g1 (x ) = f1 (x ) + 1.
Im f1 = [0; +∞) Im g1 = [1; +∞)
Obs. 2: na translação
horizontal, o domínio é deslocado
√
Ex.: f2 (x ) = 1 − x 2 ,
v. 2012-11-8
16/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f uma função real e c ∈ R:
se g(x ) = f (x ) + c, o gráfico de g é uma translação vertical
do gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x ) = f (x + c), o gráfico de h é uma translação
horizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,
se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocada
Ex.: f1 (x ) = x 2 ,g1 (x ) = f1 (x ) + 1.
Im f1 = [0; +∞) Im g1 = [1; +∞)
Obs. 2: na translação
horizontal, o domínio é deslocado
√
Ex.: f2 (x ) = 1 − x 2 ,h2 (x ) = f2 (x + 2).
v. 2012-11-8
16/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f uma função real e c ∈ R:
se g(x ) = f (x ) + c, o gráfico de g é uma translação vertical
do gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x ) = f (x + c), o gráfico de h é uma translação
horizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,
se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocada
Ex.: f1 (x ) = x 2 ,g1 (x ) = f1 (x ) + 1.
Im f1 = [0; +∞) Im g1 = [1; +∞)
Obs. 2: na translação
horizontal, o domínio é deslocado
√
Ex.: f2 (x ) = 1 − x 2 ,h2 (x ) = f2 (x + 2).
Dom f2 = [−1; 1]
v. 2012-11-8
16/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f uma função real e c ∈ R:
se g(x ) = f (x ) + c, o gráfico de g é uma translação vertical
do gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x ) = f (x + c), o gráfico de h é uma translação
horizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,
se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocada
Ex.: f1 (x ) = x 2 ,g1 (x ) = f1 (x ) + 1.
Im f1 = [0; +∞) Im g1 = [1; +∞)
Obs. 2: na translação
horizontal, o domínio é deslocado
√
Ex.: f2 (x ) = 1 − x 2 ,h2 (x ) = f2 (x + 2).
Dom f2 = [−1; 1] Dom h2 = [−3; −1]
v. 2012-11-8
16/35
Transformações do gráfico: translações
Seja f uma função real e c ∈ R:
se g(x ) = f (x ) + c, o gráfico de g é uma translação vertical
do gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)
se h(x ) = f (x + c), o gráfico de h é uma translação
horizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,
se c < 0)
Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocada
Ex.: f1 (x ) = x 2 ,g1 (x ) = f1 (x ) + 1.
Im f1 = [0; +∞) Im g1 = [1; +∞)
Obs. 2: na translação
horizontal, o domínio é deslocado
√
Ex.: f2 (x ) = 1 − x 2 ,h2 (x ) = f2 (x + 2).
Dom f2 = [−1; 1] Dom h2 = [−3; −1]
Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.
Por exemplo, considere G tal que G(x ) = f (x + 1) + 2.
v. 2012-11-8
16/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo.
Y
f
X
v. 2012-11-8
17/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = c ⋅ f (x ), para alguma constante c ∈ R.
Y
se c > 1
c f (x)
g
f (x)
f
x
v. 2012-11-8
X
17/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = c ⋅ f (x ), para alguma constante c ∈ R.
Y
se 0 < c < 1
f (x)
f
c f (x)
g
x
v. 2012-11-8
X
17/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = c ⋅ f (x ), para alguma constante c ∈ R.
Y
se c = −1
f (x)
f
X
x
-- f (x)
v. 2012-11-8
g
17/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = c ⋅ f (x ), para alguma constante c ∈ R.
Y
se −1 < c < 0
f (x)
f
X
x
c f (x)
v. 2012-11-8
g
-- f
17/35
Transformações do gráfico: homotetias
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = c ⋅ f (x ), para alguma constante c ∈ R.
Y
se c < −1
f (x)
f
X
x
c f (x)
v. 2012-11-8
-- f
g
17/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = c ⋅ f (x ).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relação
ao gráfico de f
v. 2012-11-8
18/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = c ⋅ f (x ).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relação
ao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente em
relação ao gráfico de f
v. 2012-11-8
18/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = c ⋅ f (x ).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relação
ao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente em
relação ao gráfico de f
se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X do
gráfico de f
v. 2012-11-8
18/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = c ⋅ f (x ).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relação
ao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente em
relação ao gráfico de f
se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X do
gráfico de f
se −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X
do gráfico de f , seguida de uma contração vertical
v. 2012-11-8
18/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = c ⋅ f (x ).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relação
ao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente em
relação ao gráfico de f
se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X do
gráfico de f
se −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X
do gráfico de f , seguida de uma contração vertical
se c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X do
gráfico de f , seguida de uma dilatação vertical
v. 2012-11-8
18/35
Transformações do gráfico: homotetias verticais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = c ⋅ f (x ).
se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relação
ao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente em
relação ao gráfico de f
se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X do
gráfico de f
se −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X
do gráfico de f , seguida de uma contração vertical
se c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X do
gráfico de f , seguida de uma dilatação vertical
Observe que o conjunto Im g é dilatado/contraído/refletido em
relação a Im f .
v. 2012-11-8
18/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo.
Y
f
X
v. 2012-11-8
19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = f (c ⋅ x ), para alguma constante c ∈ R.
Y
se c > 1
g
g(x/c) = f(x)
x/c
v. 2012-11-8
x
f
X
19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = f (c ⋅ x ), para alguma constante c ∈ R.
Y
se 0 < c < 1
f
g(x/c) = f(x)
x
v. 2012-11-8
x/c
g
X
19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = f (c ⋅ x ), para alguma constante c ∈ R.
Y
se c = −1
g(--x) = f(x)
g
f
--x
v. 2012-11-8
x
X
19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = f (c ⋅ x ), para alguma constante c ∈ R.
Y
se −1 < c < 0
g
f
x/c
v. 2012-11-8
x
X
19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a função
real g tal que g(x ) = f (c ⋅ x ), para alguma constante c ∈ R.
Y
se c < −1
g
f
x/c
v. 2012-11-8
x
X
19/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = f (c ⋅ x ).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente em
relação ao gráfico de f
v. 2012-11-8
20/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = f (c ⋅ x ).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente em
relação ao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente em
relação ao gráfico de f
v. 2012-11-8
20/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = f (c ⋅ x ).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente em
relação ao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente em
relação ao gráfico de f
se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y do
gráfico de f
v. 2012-11-8
20/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = f (c ⋅ x ).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente em
relação ao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente em
relação ao gráfico de f
se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y do
gráfico de f
se −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y
do gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontal
v. 2012-11-8
20/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = f (c ⋅ x ).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente em
relação ao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente em
relação ao gráfico de f
se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y do
gráfico de f
se −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y
do gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontal
se c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y do
gráfico de f , seguida de uma contração horizontal
v. 2012-11-8
20/35
Transformações do gráfico: homotetias horizontais
Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal que
g(x ) = f (c ⋅ x ).
se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente em
relação ao gráfico de f
se 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente em
relação ao gráfico de f
se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y do
gráfico de f
se −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y
do gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontal
se c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y do
gráfico de f , seguida de uma contração horizontal
Observe que o conjunto Dom g é dilatado/contraído/refletido em
relação a Dom f .
v. 2012-11-8
20/35
Transformações do gráfico: reflexões
Sejam f uma função real, c ∈ R e as funções g, h tais que:
g(x ) = −f (x )
h(x ) = f (−x )
Ambas são casos especiais de homotetias:
v. 2012-11-8
21/35
Transformações do gráfico: reflexões
Sejam f uma função real, c ∈ R e as funções g, h tais que:
g(x ) = −f (x )
h(x ) = f (−x )
Ambas são casos especiais de homotetias:
o gráfico de g é a reflexão em relação ao eixo X do gráfico
de f
v. 2012-11-8
21/35
Transformações do gráfico: reflexões
Sejam f uma função real, c ∈ R e as funções g, h tais que:
g(x ) = −f (x )
h(x ) = f (−x )
Ambas são casos especiais de homotetias:
o gráfico de g é a reflexão em relação ao eixo X do gráfico
de f
o gráfico de h é a reflexão em relação ao eixo Y do gráfico
de f
v. 2012-11-8
21/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.
v. 2012-11-8
22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
v. 2012-11-8
22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
v. 2012-11-8
22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
Seja y = f (x ).
v. 2012-11-8
22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
Seja y = f (x ). Pela definição de f −1 , temos que f −1 (y ) = x .
v. 2012-11-8
22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
Seja y = f (x ). Pela definição de f −1 , temos que f −1 (y ) = x .
Ou seja, (x , y ) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x ) ∈ Gráf (f −1 )
v. 2012-11-8
22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
Seja y = f (x ). Pela definição de f −1 , temos que f −1 (y ) = x .
Ou seja, (x , y ) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x ) ∈ Gráf (f −1 )
Y
(x , y )
X
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
Seja y = f (x ). Pela definição de f −1 , temos que f −1 (y ) = x .
Ou seja, (x , y ) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x ) ∈ Gráf (f −1 )
Y
(y , x )
(x , y )
X
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
Seja y = f (x ). Pela definição de f −1 , temos que f −1 (y ) = x .
Ou seja, (x , y ) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x ) ∈ Gráf (f −1 )
Y
X
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
Seja y = f (x ). Pela definição de f −1 , temos que f −1 (y ) = x .
Ou seja, (x , y ) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x ) ∈ Gráf (f −1 )
Y
(y , x )
(x , y )
X
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
Seja y = f (x ). Pela definição de f −1 , temos que f −1 (y ) = x .
Ou seja, (x , y ) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x ) ∈ Gráf (f −1 )
Y
(y , x )
(x , y )
X
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
Seja y = f (x ). Pela definição de f −1 , temos que f −1 (y ) = x .
Ou seja, (x , y ) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x ) ∈ Gráf (f −1 )
Y
(y , x )
(x , y )
X
v. 2012-11-8
22/35
O gráfico da função inversa
Seja f ∶ A → B uma função real bijetora.Sabemos que existe
f −1 ∶ B → A, a função inversa de f .
Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?
Seja y = f (x ). Pela definição de f −1 , temos que f −1 (y ) = x .
Ou seja, (x , y ) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x ) ∈ Gráf (f −1 )
Y
(y , x )
O gráfico de f −1 é a reflexão do gráfico de f em relação à bissetriz do
primeiro e terceiro quadrantes.
(x , y )
X
v. 2012-11-8
22/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja
gráfico.
f ∶R→R
. Determine f −1 e esboce o seu
x ↦ f (x ) = x 3
Y
f
X
v. 2012-11-8
23/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja
gráfico.
f ∶R→R
. Determine f −1 e esboce o seu
x ↦ f (x ) = x 3
Y
f
f −1
X
v. 2012-11-8
23/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja
gráfico.
f ∶R→R
. Determine f −1 e esboce o seu
x ↦ f (x ) = x 3
Y
f −1
X
v. 2012-11-8
f −1 (x ) =
√
3
x
23/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja
o seu gráfico.
f ∶ [0, +∞) → R
. Determine f −1 e esboce
x ↦ f (x ) = x 2
Y
X
v. 2012-11-8
24/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja
o seu gráfico.
f ∶ [0, +∞) → R
. Determine f −1 e esboce
x ↦ f (x ) = x 2
Y
f
X
v. 2012-11-8
24/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja
o seu gráfico.
f ∶ [0, +∞) → R
. Determine f −1 e esboce
x ↦ f (x ) = x 2
Y
f
X
v. 2012-11-8
24/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja
o seu gráfico.
f ∶ [0, +∞) → R
. Determine f −1 e esboce
x ↦ f (x ) = x 2
Y
f
f −1
X
v. 2012-11-8
24/35
O gráfico da função inversa
Exemplo: Seja
o seu gráfico.
f ∶ [0, +∞) → R
. Determine f −1 e esboce
x ↦ f (x ) = x 2
Y
f −1
X
v. 2012-11-8
f −1 (x ) =
√
x
24/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de g tal que
f (x )
se x ≥ 0
g(x ) = {
f (−x ) se x < 0
Y
f
X
v. 2012-11-8
25/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de g tal que
f (x )
se x ≥ 0
g(x ) = {
f (−x ) se x < 0
Y
f
g
X
v. 2012-11-8
25/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de g tal que
f (x )
se x ≥ 0
g(x ) = {
f (−x ) se x < 0
Y
g
X
v. 2012-11-8
25/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de g tal que
f (x )
se x ≥ 0
g(x ) = {
f (−x ) se x < 0
Y
g
X
v. 2012-11-8
Uma função real g é
chamada função par se
g(x ) = g(−x ) para todo x
no domínio de g.
25/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de h tal que
f (x )
se x ≥ 0
h(x ) = {
−f (−x ) se x < 0
Y
f
X
v. 2012-11-8
26/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de h tal que
f (x )
se x ≥ 0
h(x ) = {
−f (−x ) se x < 0
Y
f h
X
v. 2012-11-8
26/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de h tal que
f (x )
se x ≥ 0
h(x ) = {
−f (−x ) se x < 0
Y
h
X
v. 2012-11-8
26/35
Simetrias do gráfico de uma função
Seja f como abaixo. Determine o gráfico de h tal que
f (x )
se x ≥ 0
h(x ) = {
−f (−x ) se x < 0
Y
h
X
v. 2012-11-8
Uma função real h é chamada função ímpar se
h(−x ) = −h(x ) para todo
x no domínio de g.
26/35
Funções pares, funções ímpares
Definição 4 (funções simétricas)
Seja f ∶ D → C uma função real. Dizemos que:
f é par se, e somente se, f (−x ) = f (x ) para todo x ∈ D
v. 2012-11-8
27/35
Funções pares, funções ímpares
Definição 4 (funções simétricas)
Seja f ∶ D → C uma função real. Dizemos que:
f é par se, e somente se, f (−x ) = f (x ) para todo x ∈ D
f é ímpar se, e somente se, f (−x ) = −f (x ) para todo x ∈ D
v. 2012-11-8
27/35
Funções pares, funções ímpares
Definição 4 (funções simétricas)
Seja f ∶ D → C uma função real. Dizemos que:
f é par se, e somente se, f (−x ) = f (x ) para todo x ∈ D
f é ímpar se, e somente se, f (−x ) = −f (x ) para todo x ∈ D
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Y .
v. 2012-11-8
27/35
Funções pares, funções ímpares
Definição 4 (funções simétricas)
Seja f ∶ D → C uma função real. Dizemos que:
f é par se, e somente se, f (−x ) = f (x ) para todo x ∈ D
f é ímpar se, e somente se, f (−x ) = −f (x ) para todo x ∈ D
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Y .
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem
(0, 0).
v. 2012-11-8
27/35
Exemplo de função par
A função f tal que f (x ) = x 4 − 4x 2 + 1 é par.
Y
X
v. 2012-11-8
28/35
Exemplo de função par
A função módulo é par.
Y
X
v. 2012-11-8
29/35
Exemplo de função par
A função cosseno é par.
Y
X
v. 2012-11-8
30/35
Exemplo de função ímpar
A função f tal que f (x ) = x 5 − 3x 3 + 2x é ímpar.
Y
X
v. 2012-11-8
31/35
Exemplo de função ímpar
A função identidade é ímpar (função f tal que f (x ) = x ).
Y
X
v. 2012-11-8
32/35
Exemplo de função ímpar
A função seno é ímpar.
Y
X
v. 2012-11-8
33/35
Exemplo de função nem par, nem ímpar
A função f tal que f (x ) = x 3 + x 2 não é par nem ímpar.
Y
X
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Para casa
Ler capítulo 7
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