RELATIVIDADE

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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
RELATIVIDADE
Fundamentos de Fı́sica Moderna (1108090) - Capı́tulo 01
I. Paulino*
*UAF/CCT/UFCG - Brasil
2014.2
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Sumário
Relatividade Newtoniana
Transformação de Galileu
O experimento de Michelson-Morley
Relatividade Especial de Einstein
Postulados de Einstein, Transformações de Lorentz e efeitos
cinemáticos
Mecânica Relativı́stica: Momentum e energia relativı́sticos
Introdução à Relatividade Geral
Conceitos básicos e aspectos gerais
Exercı́cios
Exercı́cios
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de Galileu
Na fı́sica Clássica, um sistema mecânico qualquer fica
completamente determinado se:
For estabelecido um sistema de coordenadas adequado;
Conhecer a posição do sistema;
Conhecer seu momentum linear.
Além disso, se for possı́vel conhecer todas as forças que atuam
sobre o sistema, ou pela menos as forças equivalentes, é possı́vel
fazer previsões do comportamento do sistema em qualquer instante
futuro ou passado, utilizando-se as LEIS de NEWTON.
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Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de Galileu
Imaginando o sistema se movimentando em relação a um
referencial inicial. Muitas vezes é desejável conhecer o estado do
sistema durante ou após os cálculos em relação a um referencial
que se move em relação ao referencial inicial. Duas perguntas são
evidentes:
Como é que transforma-se a descrição do sistema de
coordenadas antigas para as novas coordenadas?
O que acontece com as equações que governam o
comportamento do sistema quando é feita esta
transformação?
Este é o tema de estudo da RELATIVIDADE!
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de Galileu
Para saber a resposta que a fı́sica clássica daria a essas duas
questões, considere um sistema mecânico mais simples possı́vel.
Ou seja, uma partı́cula de massa m movendo-se num sistema de
~.
coordenadas cartesiano sujeito a uma força F
A quádrupla (x, y , z, t) diz que a partı́cula no instante t tem
~ , a 2a lei de Newton fica:
coordenadas x, y , e z. Conhecendo-se F
2
m ddt x2 = Fx ,
2
m ddt y2 = Fy ,
(1)
2
m ddt 2z = Fz .
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de Galileu
Esse conjunto de equações diferenciais governa o movimento do
sistema e é válido apenas para um REFERENCIAL INERCIAL.
Considere agora a descrição do sistema num referencial (x 0 , y 0 , z 0 )
que se move na direção x com velocidade constante ~u em relação
ao sistema anterior e mantém a mesma orientação durante o seu
deslocamento. Diz-se que os dois sistema encontram-se em
translação uniforme um em relação ao outro.
Tem-se então dois conjuntos de números que descrevem o sistema
e servem para especificar a localização da partı́cula nos instantes t
e t 0 . Estes instantes são medidos nos sistemas de tal maneira que
t = t 0 = 0 quando os referenciais coincidirem. Qual é a relação
entre os conjuntos de números (x, y , z, t) e (x 0 , y 0 , z 0 , t 0 )?
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de Galileu
De acordo com a teoria clássica, pode-se escrever:
x 0 = x − ut ,
y0 = y ,
(2)
z0 = z ,
t0 = t .
Estas são as equações da TRANSFORMAÇÃO DE GALILEU!, e é
a resposta à primeira das questões anteriores.
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de Galileu
A segunda questão será respondida tomando-se a segunda derivada
da posição da partı́cula, ou seja:
dx 0
dt
=
dx
dt
−u ,
dy 0
dt
=
dy
dt
,
dz 0
dt
=
dz
dt
,
(3)
que é a primeira derivada.
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Exercı́cios
Transformação de Galileu
Portanto, a segunda derivada fica:
d 2x 0
d 2x d 2y 0
d 2y d 2z 0
d 2z
= 2 ; 2 = 2 ; 2 = 2 .
2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
0
Fazendo t = t pode-se escrever que
d 2x 0
d 2x d 2y 0
d 2y d 2z 0
d 2z
=
;
=
;
=
.
dt 02
dt 2 dt 02
dt 2 dt 02
dt 2
(4)
(5)
É também verdade que
Fx0 = Fx ; Fy0 = Fy e Fz0 = Fz .
(6)
porque a força deve ser a mesma em ambos os sistemas de
referência para todas as suas componentes.
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de Galileu
Desta maneira, a segunda lei de Newton fica:
2 0
m ddtx02 = Fx0 ,
2 0
m ddty02 = Fy0 ,
(7)
2 0
m ddt z02 = Fz0 .
Observe que estas equações tem a mesma forma das equações para
o referencial inicial. Isto implica que as leis de Newton são as
mesmas para quaisquer referenciais inerciais e não mudam quando
se efetua as transformações de Galileu.
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de Galileu
É fácil ver que os referenciais em questão são inerciais porque:
~ = 0 então:
Se F
dx 2
dy 2
dy 2
=
=
.
dt 2
dt 2
dt 2
(8)
Corolário
Nenhum fenômeno mecânico pode ser utilizado para diferenciar
referenciais inerciais, sendo, portanto, impossı́vel, através de
experiências mecânicas, provar que um dos referenciais está em
repouso absoluto.
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Exercı́cios
Transformação de Galileu e a Teoria eletromagnética
Os fenômenos eletromagnéticos são discutidos na fı́sica clássica em termos do
conjunto de equações de Maxwell, i.e.,
Lei de Gauss
~ =
∇•E
ρ
;
0
(9)
Lei de Faraday
~ =−
∇×E
~
∂B
;
∂t
(10)
Lei de Gauss para o magnetismo
~ =0;
∇•B
(11)
e
Lei de Ampère-Maxwell
~ = µ0~J + µ0 0
∇×B
~
∂E
.
∂t
(12)
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de Galileu e a Teoria eletromagnética
~ representa o campo elétrico, B
~ o campo magnético; ~J a
em que E
densidade de corrente elétrica, ρ a densidade volumétrica de carga,
0 a permissividade elétrica no vácuo e µ0 a permeabilidade
magnética no vácuo.
Quando se efetua a transformação da Galileu às equações de
Maxwell, estas mudam sua forma em contraste ao que acontece
com as as leis de Newton.
Este é um importante ponto que motivou ao desenvolvimento da
teoria da RELATIVIDADE RESTRITA.
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de Galileu e a Teoria eletromagnética
Os fı́sicos do século XIX que tinham uma concepção bastante
mecanicista, acreditavam que as ondas eletromagnéticas
precisavam de um meio para se propagar, assim como ondas
mecânicas se propagam na água, por exemplo.
A esse meio foi dado o nome de ÉTER.
O ÉTER precisava ter algumas propriedades como:
Não deveria ter massa;
Contudo, deveria ter propriedades elásticas para suportar o
movimento ondulatório.
Para época era mais conveniente aceitar essas propriedades
estranhas do que simplesmente admitir que as ondas
eletromagnéticas pudessem se propagar no vácuo.
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de Galileu e a Teoria eletromagnética
Acreditava-se que as equações de Maxwell só eram válidas para um
referencial fixo em relação ao éter, ou seja, o chamado
REFERENCIAL DO ÉTER. Sabia-se que a velocidade de
propagação das ondas eletromagnéticas em relação ao referencial
do Éter era c (∼ 3 • 108 m/s). Quando a velocidade de propagação
das ondas eletromagnéticas foi calculada, num referencial em
movimento em relação ao referencial do éter, utilizando-se as
equações de Maxwell, o resultado foi uma valor diferente de c.
Não é difı́cil perceber que o valor da velocidade com relação ao
novo referencial seria a velocidade relativa ao éter, como é obtido
numa soma vetorial. Estes argumentos intuitivos são basicamente
os mesmos utilizados na obtenção da transformação de Galileu.
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Exercı́cios
Alicerce da Fı́sica no final do século XIX
A fı́sica do século XIX era alicerçada nas seguintes ideias:
1
A validade das leis de Newton;
2
A validade das equações de Maxwell;
3
A validade das transformações de Galileu.
QUASE tudo que podia ser deduzido dessas hipóteses concordava
plenamente com a experiência cada vez que esta fosse
apropriadamente efetuada.
T
odos os referencias inerciais eram equivalentes do ponto de vista de
fenômenos mecânicos, mas, com relação aos fenômenos
eletromagnéticos, não eram equivalentes. Havia um único
referencial que a velocidade da luz era c, o referencial do éter.
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Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
Este experimento foi realizado em 1887 e tinha como objetivo
demonstrar a existência do referencial do éter e determinar o
movimento da Terra em relação à esse referencial.
A Terra tem um perı́odo de rotação de 1 ano. Isto implica numa
velocidade orbital de ∼ 104 m/s.
As hipóteses defendidas na época culminavam para a ideia de que
o éter não se movimentava com a Terra. Era mais palpável aceitar
que o éter deveria estar em repouso em relação ao sistema solar ou
até mesmo em relação à nossa galaxia.
Desta maneira, a velocidade da Terra em relação ao éter deveria
variar de 104 m/s, inclusive a direção do vetor velocidade deveria
mudar ao longo do ano.
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
Sendo assim, a ideia básica do experimento era medir a velocidade
da luz num referencial fixo em duas direções perpendiculares.
Portanto, seria possı́vel esperar diferenças nas medidas da ordem
de:
vTE
104 m/s
≈ 8
≈ 10−4 ,
vLE
10 m/s
em que vTE seria a velocidade da Terra em relação ao Éter e vLE
seria a velocidade da luz em relação ao éter.
Este seria o valor esperado da diferença que deveria ser observado
caso o éter estivesse fixo em relação ao sistema solar.
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
Existe, porém, um Teorema de Fresnel-Lorentz que diz ser
impossı́vel construir uma experiência óptica na qual a velocidade
do aparelho óptico em relação ao éter produza um efeito de
primeira ordem. Desta maneira o maior efeito possı́vel seria o de
segunda ordem.
Isto implica que as medidas experimentais para verificar a
existência do éter deveriam ser capazes de observar uma diferença
de (10−4 )2 = 10−8 na velocidade da luz se propagando em
direções perpendiculares.
O dispositivo criado por Michelson era um INTERFERÔMETRO
que mais tarde recebeu seu nome.
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Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
VÍDEO
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Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
O interferômetro de Michelson funciona da seguinte forma:
A luz emitida pela fonte S é colimada pela lente C e direcionada
para o espelho M;
O espelho prateado M deixa passar metade da luz incidente e a
outra metade é refletida;
O espelho M é posicionado de tal maneira de a luz incidente seja
dividida em dois feixes que são direcionados para os espelho M1 e
M2 ;
Os espelhos M1 e M2 estão posicionados nas distâncias l1 e l2 , são
perpendiculares entre si e têm a propriedade de refletir
completamente os feixes de luz novamente em direção ao espelho
M;
O espelho M, por sua vez, faz com que os raios refletidos por M1 e
M2 sejam somados em direção ao telescópio T ;
Assim, um observador olhando através do telescópio T poderá ver
padrões diferentes de luz, dependendo das distâncias l1 e l2 .
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
Considere agora o interferômetro em movimento com velocidade ~v em
relação ao Éter conforme ilustra a figura abaixo. Admita ~v paralelo ao
raio R2 que é direcionada para o espelho M2 . Seja ainda, l = l1 = l2 .
VÍDEO
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Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
A relação de fase entre os raios R1 e R2 será obtida após estes
percorrerem suas trajetórias e se encontrarem no espelho M. Nesta
figuras os elementos rotulados por ’ (apóstrofos) indicam as
posições dos respectivos elementos sem apóstrofos após percorrem
um tempo t. Olhando para o raio 1 da figura anterior pode ser
visto do raio 1 que:
c 2t 2 = v 2t 2 + l 2 ,
(13)
o que dá:
− 21
l
v2
t=
1− 2
,
c
c
utilizando o teorema binomial, ou seja,
(1 + x)n = 1 +
nx
n(n − 1)x 2
+
+ · · · (x 2 < 1) .
1!
2!
(14)
(15)
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Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
obtém-se:
t=
l
c
1 v2
1+
.
2 c2
(16)
Agora, o tempo total para o raio 1 sair do espelho m e retorna a
este é
1 v2
2l
1+
.
(17)
t1 = 2t =
c
2 c2
Com relação ao raio 2, o tempo necessário para fazer seu percusso
será
t2 =
l
l
2l
+
=
c −v
c +v
c
−1
v2
2l
v2
=
1− 2
1+ 2 .
c
c
c
(18)
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Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
A defasagem para os raios se recombinarem será portanto, δt
τ , em
λ
que τ = c é o perı́odo da onda de luz com comprimento de onda
λ.
Desta forma, calculando-se a defasagem, tem-se
δt
t2 − t1
l v2
=
c=
.
τ
λ
λ c2
(19)
Na experiência, Michelson e Morley fizeram uma medida com o
aparelho na posição indicada na figura anterior e outra
rotacionando-o por π2 , o que dá uma defasem de
δt 0
l v2
=− 2 .
τ
λc
(20)
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Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
Desta maneira, o efeito de gira o aparelho produzirá uma
defasagem total de
∆≡
δt
δt 0
2l v 2
−
=
.
τ
τ
λ c2
(21)
Na experiência, Michelson e Morley utilizaram luz com
comprimento de onda de 6 • 10−3 m e l = 10 m. Sendo assim, se
v 2 /c 2 = 10−8 . utilizando a equação anterior pode-se achar ∆ da
ordem de 0, 5. Isto significa que se na primeira medida os raios
estivessem totalmente em fase, na segunda medida estaria
defasados. Para um observador, seria percebido no telescópio a
mudança do brilho pela escuridão ou vice-versa.
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Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
O experimento foi repetido inúmeras vezes e a conclusão foi que:
A velocidade da luz era a mesma quando medida ao longo de dois
eixos perpendiculares, em um sistema de referência que
presumidamente se move em relação ao éter.
Três teorias foram propostas para explicar as discrepâncias dos
resultados experimentais com a fı́sica teórica da época:
Arrastamento do éter;
Contração de Lorentz;
Teorias de emissão.
Todas estas hipóteses foram rapidamente refutadas.
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Exercı́cios
Experimento de Michelson-Morley
O experimento foi repetido inúmeras vezes e a conclusão foi que:
A velocidade da luz era a mesma quando medida ao longo de dois
eixos perpendiculares, em um sistema de referência que
presumidamente se move em relação ao éter.
Três teorias foram propostas para explicar as discrepâncias dos
resultados experimentais com a fı́sica teórica da época:
Arrastamento do éter;
Contração de Lorentz;
Teorias de emissão.
Todas estas hipóteses foram rapidamente refutadas.
Era necessário uma nova fı́sica!
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Exercı́cios
Postulados de Einstein
Em 1905, Albert Einstein publicou um trabalho intitulado “Sobre a
eletrodinâmica dos corpos em movimento”. Neste trabalho, ele
propõe uma explicação para os fenômenos relativı́sticos a partir da
mudança de pesamento das correntes mecanicistas clássicas.
A explicação da relatividade especial, no qual um fenômeno fı́sico é
estudado do ponto de vista de dois referenciais inerciais que
movem-se com velocidade constante, um com relação ao outro, é
baseado nos seguintes postulados, que são conhecidos como
postulados de Einstein:
1
As leis dos fenômenos eletromagnéticos, bem como as leis da
mecânica são as mesmas em todos os referencias inerciais,
consequentemente, todos os referenciais inerciais são
equivalentes;
2
A velocidade da luz é independente do movimento da fonte.
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Exercı́cios
Transformações de Lorentz
Considere os seguintes referenciais mostrado na figura abaixo, em
que (x, y , z, t) são as coordenadas de um evento observado por um
observador O e, consequentemente (x 0 , y 0 , z 0 , t 0 ) são as
coordenadas de um evento observado por O’.
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Exercı́cios
Transformações de Lorentz
Quando os sistemas coincidem, t = t = 0. Seja ~v a velocidade do
sistema de O’ em relação ao sistema de O. A separação das origens
após um determinado instante é vt, vista por O e vt 0 vista por O’.
De acordo com as transformações de Galileu, tem-se

x = x 0 + vt 0



y = y0
(22)
z = z0



t = t0
e as transformações inversas fornecem
 0
x = x − vt 0


 0
y =y
z0 = z


 0
t =t
(23)
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Exercı́cios
Transformações de Lorentz
Para as transformações relativı́sticas de Einstein, que são
chamadas de transformações de Lorentz, considera-se que a
transformação para a coordenada x seria semelhante à de Galileu,
exceto por uma constante, i.e.,
x = γ(x 0 + vt 0 )
(24)
e a transformação inversa dada por:
x 0 = γ(x − vt) .
(25)
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Exercı́cios
Transformações de Lorentz
Suponha um feixe de luz partindo da origem dos sistemas de
coordenadas em t = t 0 = 0 na direção positiva do eixo x.
Utilizando o segundo postulado de Einstein, a posição x do feixe de
luz será dada por:
x = ct ,
(26)
x 0 = ct 0 ,
(27)
para o observado O e
para o observado O’. Em que c é a velocidade da luz que é a
mesma para todos os referenciais.
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Exercı́cios
Transformações de Lorentz
Substituindo estes resultados nas equações de transformações de
Einstein, obtem-se:
x = ct = γ(c + v )t 0
(28)
x 0 = ct 0 = γ(c − v )t .
(29)
e
Manipulando algebricamente estas equações, obtém-se:
γ=q
1
1−
v2
c2
,
(30)
que é conhecido como fator de Lorentz.
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformações de Lorentz
O fator de Lorentz γ é sempre maior que um e quando v << c,
γ ≈ 1. Isto implica que no limite de baixas velocidades, as
transformações de Lorentz se aproximam das transformações de
Galileu.
Fazendo
x 0 = γ(x − vt)
(31)
e substituindo x = γ(x 0 + vt 0 ) nesta expressão obtém-se
x 0 = γ{[γ(x 0 + vt 0 )] − vt}
(32)
vx 0
0
t=γ t + 2
.
c
(33)
o que fornece
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Exercı́cios
Transformações de Lorentz
Portanto, o conjunto de transforções de Lorentz fica:

x = γ(x 0 + vt 0 )







0


 y =y
.


z = z0







 t = γ t 0 + vx 0
2
c
(34)
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Exercı́cios
Transformações de Lorentz
Já as transformações inversas assumem a seguinte forma:
 0
x = γ(x − vt)








 y0 = y
.

0 =z

z






 0
t = γ t − vx
c2
(35)
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Exercı́cios
Simultaneidade
Considere a quarta equação das transformações de Galileu, ou seja,
t = t0 .
(36)
Esta equação diz que a escala de tempo é universal. Quando se
observa dois eventos no mesmo local, nenhuma discussão adicional
é feita.
Não é óbvio, porém, determinar a simultaneidade de eventos que
ocorrem em lugares diferentes. Todos os métodos de determinação
envolvem transmissão de sinais entre os dois lugares fisicamente
separados. Se fosse possı́vel transmitir informações com velocidade
infinita, não haveria problema. Esta é, portanto, a falha das
transformações de Galileu.
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Simultaneidade
Dois instantes t1 e t2 observados em dois pontos x1 e x2 , em um
dado referencial são simultâneos, se os sinais de luzes emitidos
simultaneamente a partir do ponto médio geométrico entre x1 e x2
chegarem em x1 no tempo t1 e em x2 no tempo t2 . A Figura
abaixo ilustra esta situação.
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Simultaneidade
Considere o seguinte experimento em que um observador O
colocando cargas de dinamite em C1 e C2 conforme ilustra a figura
abaixo.
Suponha que o observador O acione simultaneamente pela emissão
de luz os dinamites. Se OC1 = OC2 , o observador O’ dentro do
trem que se move com velocidade v , após a explosão, ele mede
O 0 C10 = O 0 C20 . As explosões também emitem sinais luminosos que
são detectados por O e O’.
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Simultaneidade
O observador O certamente verá os raios de luzes simultâneos.
Contudo, o observador O’ receberá o sinal produzido por C20
primeiro que o raio oriundo de C10 , porque o trem está em
movimento. Como as explosões ocorrem em pontos equidistantes e
o tempo de detecção é distinto, o observador O’ conclui que os
eventos não são simultâneos.
Do ponto de vista do observador O, C1 C2 = C10 C20 , porém, do
ponto de vista do observador O’, C20 passou por C2 antes de C10
passar por C1 . Portanto, C1 C2 < C10 C20 .
Este desacordo é de tal maneira que ambos meçam c para a
velocidade da luz (segundo postulado de Einstein).
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Comprimentos orientados perpendicularmente à direção do
movimento
Considere o esquema mostrado na figura abaixo. Pretende-se
medir o comprimento de duas barras idênticas AB e A0 B 0 a partir
dos referenciais (x,y,z,t) e (x’,y’,z’,t’), respectivamente.
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Comprimentos orientados perpendicularmente à direção do
movimento
Devido à simetria do problema mostrado no arranjo anterior. Após
os referenciais se cruzaram, o observador O receberá sinais
luminosos de A e B simultaneamente e, mais ainda, O’ também
receberá sinais simultâneos de A’ e B’. O que conclui-se que
AB = A0 B 0 .
(37)
Logo, infere-se que, para qualquer observador, barras idênticas têm
o mesmo comprimento quer sejam no repouso, quer sejam em
movimento uniforme em relação a um dado observador numa
direção ortogonal à sua direção de movimento.
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Intervalos de tempo medidos por relógios em movimento
relativo
Considere dois relógios idênticos um para o observador O e outro
para o observador O’ que estão perfeitamente sincronizados
quando ambos estão em repouso. O observador O’ move-se com
velocidade de módulo v em relação ao observador O como pode
ser visto na figura abaixo.
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Intervalos de tempo medidos por relógios em movimento
relativo
Quando C1 coincide com C 0 um feixe de luz é disparado em
relação a um espelho. A recepção do sinal de luz é feita pelo
observador O’ no ponto C 0 e pelo observador O em C2 .
O tempo entre os dois eventos medidos pelo observador O’ é 2∆t 0 ,
em que
∆t 0 =
l0
c
(38)
neste caso, c é a velocidade de luz.
O tempo que é medido pelo observador O é 2∆t que é dado por:
c 2 ∆t 2 = v 2 ∆t 2 + l 2 ⇒
∆t = cl q 1 v 2
1−
(39)
c2
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Intervalos de tempo medidos por relógios em movimento
relativo
Sabe-se, porém, que l = l 0 , logo conclui-se que
∆t =
∆t =
l0 q 1
2
c
1− v 2
c
γ∆t 0
⇒
(40)
em que γ é o fator de Lorentz.
O intervalo de tempo medido no sistema de referência no qual os
eventos acontecem no mesmo lugar é chamado de tempo próprio.
O efeito envolvido é conhecido como DILATAÇÃO DO TEMPO
que diz que: o intervalo de tempo ∆t medido em qualquer outro
sistema de referência é sempre maior que o tempo próprio
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Comprimentos orientados paralelamente à direção do
movimento
A velocidade do observador O e da barra com relação a O’ é −v .
Seja t10 o instante de tempo em que O’ passa pela frente da barra e
t20 o instante de tempo que ele passa pela extremidade. Assim,
∆t 0 = t20 − t10 é o intevalo de tempo para estas medidas feitas pelo
observador O’. Logo, o comprimento da barra será
L0 = v ∆t 0 .
(41)
Para o observador O, o ponto C viaja uma distância L no tempo
∆t, logo:
L = v ∆t
(42)
e
L0 = L
∆t 0
.
∆t
(43)
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Comprimentos orientados paralelamente à direção do
movimento
Agora,
∆t 0
1
=
∆t
γ
(44)
L
.
γ
(45)
o que implica em:
L0 =
O comprimento medido num sistema de referência no qual o objeto
está em repouso é chamado comprimento próprio. Portanto, o
comprimento medido por um observador que se move é sempre
menor que o comprimento próprio. este fenômeno é conhecido
como CONTRAÇÃO DO COMPRIMENTO.
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Sincronização de relógios
Dois observadores em movimento relativo discordam quanto à
simultaneidade de dois eventos. Da equação de dilatação do
tempo tem-se:
∆t 0
∆t = q
.
2
1 − vc 2
(46)
Para o exemplo mostrado, o observador O’ faz as medidas de
tempo com um único relógio. Porém o observador O precisa utilizar
dois relógios. Para fazer um estimativa da sincronização necessária
para os relógio em c1 e c2 , escreve-se o intervalo de tempo medido
pelo observado O’ em relação ao observador O da seguinte forma:
∆t + δ
∆t 0 = q
,
2
1 − vc 2
(47)
em que δ é quantidade a ser determinada pela sincronização.
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Sincronização de relógios
Neste caso,
∆t 0 =
L0
v
(48)
∆t =
L
.
v
(49)
e
Sendo assim,
L
+δ
L0
= qv
.
2
v
1 − vc 2
(50)
Utilizando a equação de contração do comprimento, obtém-se:
r
L
+δ
L
v2
1 − 2 = qv
.
(51)
2
v
c
1− v
c2
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Sincronização de relógios
Simplificando, obtém-se:
h
L
v
1−
v2
c2
i
=
L
v
+δ ⇒
.
δ=
(52)
− Lv
c2
O sinal negativo significa que, para o observador O’, o segundo
relógio C2 está na frente do primeiro relógio C1 . Nota-se ainda que
δ é proporcional a L e a v . Isto é, os observadores discordam não
somente da sincronia, mas também do sinal do efeito. Fato que
também ocorre com relação à contração do comprimento e à
dilatação do tempo.
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de velocidade
Considere uma partı́cula conforme ilustra a figura abaixo se
~ com relação ao observador O.
movendo com velocidade V
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de velocidade
O vetor velocidade possui as seguintes componentes:
dx
dy
dz
; Vy =
e Vz =
.
dt
dt
dt
em relação ao observador O’, este vetor velocidade é
Vx =
0
0
0
~ 0 = V 0 x̂ + V 0 ŷ + V 0 ẑ = dx x̂ + dy ŷ + dz ẑ
V
x
y
z
dt 0
dt 0
dt 0
mas, de acordo com as transformações de Lorentz, tem-se
x0 = q
1
1−
v2
c2
(x − vt) , y 0 = y , z 0 = z
(53)
(54)
(55)
e
1
t0 = q
1−
v2
c2
t−
xv .
c2
(56)
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de velocidade
Tomando as diferenciais desta equações, obtém-se:
dx 0 =
q 1
2
1− v 2
(dx − vdt) ;
c
(57)
dy 0 = dy ;
dz 0 = dz
e
1
dt 0 = q
1−
v2
c2
dt −
v dx .
c2
(58)
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de velocidade
Desta maneira,
Vx0
=
q 1
2
1− v 2
(dx − vdt)
=
Vx − v
,
1 − vVx
c2
v2
1− 2
c
Vy
x
1 − vV
c2
c
q 1
2
1− v 2
dt −
v
dx
c2
(59)
c
Vy0 =
q 1
2
1− v 2
dy
dt −
r
v
dx
c2
=
!
,
(60)
c
e
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformação de velocidade
Vz0 =
q 1
2
1− v 2
dz
dt −
r
v
dx
c2
=
v2
1− 2
c
Vz
x
1 − vV
c2
!
.
(61)
c
Quando vc tende a zero, ou seja, para pequenos valores de v , estas
equações tendem as mesmas obtidas por Galileu. Não é possı́vel
~ e ~v para que o módulo de V
~ 0 seja maior que
fazer arranjo com V
c. Ou seja, o segundo postulado de Einstein é assegurado.
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Momentum linear relativı́stico
Foi necessário fazer modificações nas leis da mecânica para que
elas continuem a satisfazer o requisito de invariância de forma.
O momentum linear pode ser escrito por:
~p = m~v
(62)
em que ~v é a velocidade da partı́cula. A lei de conservação do
momentum linear diz que:
#
#
"
"
X
X
p~i
=
p~i
.
(63)
i
inicial
i
final
Isto será válido para a mecânica relativı́stica desde que m = m(v ).
Deve-se ter m(v ) → m0 quando u → 0. Neste caso, m0 é a massa
do sistema medida classicamente e será chamada de massa de
repouso.
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Momentum linear relativı́stico
Para calcular m = m(v ), considere a seguinte experiência:
Neste caso, um observador no referencial (x, y , z) ver dois outro
observadores O1 e O2 movendo-se um em direção ao outro com
velocidade relativa v .
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Momentum linear relativı́stico
Estes observadores possuem bolas idênticas de massa m que são
arremessadas uma em direção a outra com velocidade vertical V
cada perpendiculares a direção x. Caso, a colisão seja elástica, a
conservação do momentum linear implicará que θ1i = θ1f e,
consequentemente, θ2i = θ2f .
Olhando o processo do ponto de vista do observador O1 , a
perspectiva é a mostrada na figura abaixo.
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Momentum linear relativı́stico
Não é difı́cil notar que a perspectiva do observador O2 é bastante
semelhante a perspectiva do observador O1 .
O módulo da componente vertical da velocidade da bola B2 vista
por O2 é simplesmente V . Note ainda que do ponto de vista de O2
não existe componente horizontal para velocidade. Sendo assim,
utilizando a equação da transformação da velocidade, obtém-se:
V20 =
1 V2
,
2x
γ 1 − vV
c‘2
(64)
V
,
γ
(65)
o que resulta em:
V20 =
que é a velocidade da bola B2 vista pelo observador O1 .
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Momentum linear relativı́stico
A componente y dos momentos lineares B1 e B2 medidas pelo
observador O1 mudam de sinal depois da colisão,
consequentemente a componente y do momentum linear total das
duas bolas também muda de sinal. Pela conservação do
mementum linear, isto só é possı́vel se o momentum linear inicial e
o final forem nulos. Desta maneira pode-se se escrever:
mB1 ~vB1 + mB2 ~vB2 = 0 ⇒
mV − m Vγ = 0 ⇒
(66)
1=1−
v2
c2
⇒
v =0,
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Momentum linear relativı́stico
ou seja, se a massa das bolas forem tomadas da forma convencional
(classicamente), a conservação do momentum linear só será válida
caso, o módulo da velocidade v seja nulo, o que implica, que os
observadores não podem ter velocidades relativas entre si.
Portanto, a massa precisa ser alterada para garantir a conservação
do momentum linear na situação em que haja movimento relativo
entre os observadores. Por outro lado, conclui-se que quando
v → 0, m(v ) → m. Então pode-se reescrever a conservação do
momentum linear por com a massa dependendo do módulo da
velocidade, ou seja,
r
V
v2
2
2
Vm(V ) = γ m
v + V 1 − c2
⇒
.
q
m(V ) = 1 −
v2
c2
r
m
v2 + V 2 1 −
v2
c2
(67)
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Momentum linear relativı́stico
O conteúdo no interior dos parênteses indica apenas que a massa
m = m(|~v |). Utilizando a condição m(v ) = m(0) = m0 quando
v → 0, tem-se
q
2
m(0) = m0 = 1 − vc 2 m (v ) ⇒
.
m(v ) =
q m0
2
1− v 2
(68)
= γm0
c
em que m0 é conhecida como massa de repouso.
Sendo assim, uma teoria consistente com a conservação da momentumm
linear exige que a massa seja função da velocidade conforme a equação
acima. Neste caso m = m(v ) é conhecida como massa relativı́stica. Note
que a massa relativı́stica, mesmo para valores de velocidade muito
elevados, por exemplo, v = 0, 1c implica apenas no aumento de meio
porcento do valor total da massa de repouso. Porém, quando v → c, o
valor da massa relativı́stica cresce bastante e tende a infinito.
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Energia relativı́stica
Sabe-se que o trabalho realizado por uma força que atua sobre
uma partı́cula que move-se ao longo de uma curva C pode ser
escrito por:
Z
~ · d~r .
W =
F
(69)
C
~ atuando
Apenas por questões de simplificação considere a força F
apenas na direção do deslocamento da partı́cula x. Se a partı́cula é
deslocada da posição x = 0 até a posição x = xf , então, pode-se
reescrever a equação acima por:
Z xf
W =
Fdx ,
(70)
0
a diferencial dx pode ser escrita por dx =
dx
dt dt,
então
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Energia relativı́stica
Z
tf
W =
F
0
dx
dt ,
dt
(71)
mas dx
dt = v é a velocidade com que a partı́cula se movimenta,
então
Z tf
W =
Fvdt .
(72)
0
Agora, a segunda lei de Newton fornece F =
Z pf
W =
vdp ,
dp
dt ,
então
(73)
0
esta
integral pode
R
R ser resolvida por partes, ou seja,
vdp = vp − pdv .
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Energia relativı́stica
Sendo assim,
Z
Z
pdv =
Z
mvdv = m0
γvdv =
m0
2
Z
d(v 2 )
q
.
2
1 − vc 2
A integral a ser resolvida é do tipo
√
Z
dx
2 ax + b
√
=
+ cte .
a
ax + b
Comparando os termos obtém-se:

Z
m0 
−2c 2
pdv =
2
q
1−
1
v2
c2

 + cte = −m0 c
(75)
r
2
(74)
1−
v2
+ cte .
c2
(76)
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Exercı́cios
Energia relativı́stica
Substituindo na equação do trabalho, obtém-se
W =
[vp]v0f
−
R vf
0
q
2
vf
2
pdv = v γm0 0 + m0 c
1−
h 2
ivf
h 2
W = m0 c 2 γ vc 2 + γ1
= m0 c 2 γ vc 2 + 1 −
0
v2
c2
v2
c2
ivf
0
vf
⇒
0
⇒
,
W = m0 c 2 [γ]v0f = γm0 c 2 − m0 c 2
(77)
que é o trabalho procurado.
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Energia relativı́stica
2
Quando vc 2 → 0, ou seja para valores pequenos de v , pode-se
escrever:
W = m0 c 2
1−
v2
c2
−1/2
h
− 1 ≈ m0 c 2 1 +
v2
2c 2
i
−1 ⇒
,
W ≈ 12 m0 v 2
(78)
que é o teorema do trabalho-energia cinética da forma clássica. O
que implica que no limite de baixas velocidade existe a coincidência
da teoria relativı́stica com a mecânica newtoniana.
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Relatividade Newtoniana
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Exercı́cios
Energia relativı́stica
Desta forma, o teorema do trabalho-energia cinética na forma
relativı́stica fica:
W = ∆T = mc 2 − m0 c 2 ⇒
T = mc 2 − m0 c 2 ⇒
mc 2 = T + m0 c 2
.
(79)
Sem nenhuma perda de generalidade, caso a partı́cula estivesse
sujeita a um potencial U, pode-se escrever
mc 2 = T + U + m0 c 2 .
(80)
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Exercı́cios
Energia relativı́stica
Nesta expressão, pode-se identificar os termos da seguinte forma:
m0
E = E (v ) = mc 2 = q
1−
v2
c2
(81)
é a ENERGIA RELATIVÍSTICA e
E0 = E (v = 0) = m0 c 2
(82)
é a chamada ENERGIA DE REPOUSO.
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Relatividade Newtoniana
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Exercı́cios
Energia relativı́stica
Qualquer acréscimo na energia (de qualquer forma que seja)
aumentará a energia relativı́stica total do sistema. Desta forma, o
princı́pio de conservação de energia pode ser escrito por:
Em um sistema de referência isolado, a energia relativı́stica total se
conserva.
Mais ainda, para qualquer acréscimo na energia total do sistema,
por exemplo, aumentando a energia cinética. No lado esquerdo
como c é sempre constante, quando a partı́cula ganha mais energia
cinética (aumenta a velocidade), a massa precisa aumentar para
garantir a igualdade. Então, quanto mais próximo tenta-se
aproximar a velocidade de uma partı́cula da velocidade de luz c
mais energia é necessário porque a massa desta começa a crescer
bastante.
70 / 80
Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformações de momentum linear e energia
~ possui
Uma partı́cula de massa m se movendo com velocidade V
um momentum linear dado por:
~ .
~p = mV
(83)
~ = V x̂, então têm-se
Caso a velocidade possa ser escrita por V
m0 V
px = mV = q
.
V2
1 − c2
(84)
A energia relativı́stica total pode ser escrita por:
m0 c 2
.
E = mc 2 = q
2
1 − Vc 2
(85)
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformações de momentum linear e energia
Para um observador O’ que se move com velocidade v na direção
de x em relação ao observador O, tem-se:
m0 V 0
px0 = mV 0 = q
,
02
1 − Vc 2
(86)
em que V 0 é a velocidade da partı́cula em relação ao observador
O’. A energia relativı́stica total é:
m0 c 2
E 0 = mc 2 = q
.
02
1 − Vc 2
(87)
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformações de momentum linear e energia
Calculando as quantidades
V0
c2
q
; q
02
1 − Vc 2
1−
V 02
c2
(88)
em termos de V, utilizando a transformação de velocidade
V −v
V0 = q
,
1 − Vv
c2
(89)
obtém-se:
px0
px − vE
c2
=q
2
1 − vc 2
(90)
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Relatividade Newtoniana
Relatividade Especial de Einstein
Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Transformações de momentum linear e energia
e
E − px v
E0 = q
.
v2
1 − c2
(91)
py0 = py
(92)
pz0 = pz .
(93)
Por outro lado,
e
Independente do sentido do vetor da velocidade da partı́cula.
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Relatividade Newtoniana
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Introdução à Relatividade Geral
Exercı́cios
Verificação experimental da teoria da relatividade especial
Como toda teoria, a relatividade especial precisava de evidência
experimentais para que pudesse ser aceitada pela comunidade cientı́fica.
A primeira evidência foi obtida por Bucherer em 1909 quando conseguiu
medir massas de elétrons em altas velocidade. O resultado é mostrado na
Figura abaixo.
Uma das mais claras evidência experimentais é a que envolve o tempo de
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Relatividade Especial de Einstein
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Relatividade Geral
Os conceitos básicos sobre a teoria da relatividade geral podem ser
visto no seguinte FILME.
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Exercı́cios
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1. Dois eventos ocorrem no mesmo ponto x00 no referencial O’,
nos tempos t10 e t20 . O referencial O’ move-se com velocidade
v em relação ao referencial O. (a) Determine a separação
espacial entre os eventos no referencial O. (b) Qual é a
separação temporal desses eventos no referencial O? (c)
Quanto vale o intervalo de tempo próprio para os eventos em
relação ao referencial O’ ?
2. Astronautas de uma nave espacial viajando a uma velocidade
de 0, 9c em relação à Terra interrompem a comunicação com
a comando da missão da Terra para repousarem por 8 h. Qual
é o tempo de duração do descanso visto pelos controladores
da Terra?
3. O comprimento próprio de uma régua é 1 m. Esta se move na
direção de seu comprimento de tal maneira que um observado
mede seu comprimento por 0,9 m. Qual é o valor da
velocidade de locomoção da régua?
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4. Um observador em uma nave espacial possui uma lanterna e
um espelho. A distância da lanterna até o espelho é 1
minuto-luz. A nave viaja com velocidade 0,1c em relação a
uma plataforma espacial. Determine o intervalo de tempo
entre a emissão do raio de luz, sua reflexão no espelho e sua
chegada ao ponto de partida (a) no referencial da nave e (b)
no referencial da plataforma. (c) Determine a distância
percorrida pela nave.
5. Um avião supersônico se move em linha reta afastando-se de
uma observador O com velocidade de 1000 m/s. Um segundo
avião se afasta do primeiro a uma velocidade de 500 m/s. (a)
Qual é a velocidade do segundo avião em relação ao
observador O? (b) Se a velocidade do primeiro avião fosse
0,1c em relação a O e a velocidade do segundo fosse 0,9c em
relação ao primeiro, como ficariam os resultados do item (a)?
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6. A velocidade de um referencial O’ em relação a uma
referencial O é 0,8c. Se um fóton de luz está viajando em
relação a o referencial O’. Qual é o seu valor em relação a um
referencial O?
7. Um elétron, cuja energia de repouso vale 0,511 MeV, se move
a uma velocidade igual à 0,8c. Determine (a) a sua energia
total, (b) sua energia cinética e (c) o módulo do momentum
linear.
!
3
2 −2
8. mostre que d qmv v 2 = m 1 − vc 2
dv .
1−
c2
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9. Mostre que o momentum linear para um observador em
movimento com velocidade v na direção x é dado por
px0 =
px − vE
q c2
2
1− v 2
c
10. Mostre que a energia relativı́stica para o observador O’ é
E −px v
E0 = q
.
v2
1−
c2
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