Notas de Aula

Capı́tulo 9
Corrente elétrica e Resistência
9.1
Transporte de Carga e Densidade de Corrente
As correntes elétricas são causadas pelo movimento de portadores de carga.
A corrente elétrica num fio é a medida da quantidade de carga que passa por
um ponto do fio por unidade de tempo.
I=
dq
dt
[I] = A (Ampere)
9.1.1
Conceito De Densidade De Corrente
Consideremos uma área a.
Perguntamos: Quantas partı́culas carregadas passam por unidade de
tempo?
Consideremos inicialmente que cada partı́cula possui carga q e velocidade
�u e temos n partı́culas por m3 .
121
122
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.1
Para o intervalo de tempo ∆t temos que a resposta será:
todas as partı́culas dentro de um volume de prisma.
V olume = base × altura
V olume =�a · �u∆t = au∆t cos θ
Densidade de partı́culas = n, então o número de partı́culas,∆N , que
passa pela área a no intervalo ∆t é:
∆N = n�a · �u∆t
Considerando que cada partı́cula possui carga q:
∆Q = nq�a · �u∆t
corrente =
Caso geral:
∆Q
= nq�a · �u = I (a)
∆t
9.1. TRANSPORTE DE CARGA E DENSIDADE DE CORRENTE
123
Consideremos que há partı́culas diferentes com cargas diferentes, velocidades diferentes em número diferente. Então a corrente será dada por:
I (a) = n1 q1�a · �u1 + n2 q2�a · �u2 + ... + nN qN �a · �uN
I (a) =
N
�
ni qi�a · �ui =
i=1
I (a) = �a ·
N
�
ni qi�ui
i=1
Chamamos
N
�
�
ni qi�ui de densidade de corrente J.
i=1
N
�
ni qi�ui = Densidade de corrente
i=1
J� =
N
�
ni qi�ui
i=1
� �
A
J� = 2
m
I (a) = �a · J�
Examinemos agora a contribuição da densidade de corrente para o caso
de elétrons que podem ter diferentes velocidades.
qi = −e
J� = −e
N
�
ni�ui
i=1
A velocidade média dos elétrons é dada por:
124
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
��ue � =
1 �
ni�ui
Ne i
Ne = N umero de eletrons por unidade de volume
J�e = −eNe ��ue �
A corrente de elétrons que passará através da área a dependerá somente
da velocidade média dos portadores (lembrando que esta de trata de
uma média vetorial).
A corrente I que atravessa qualquer superfı́cie S é exatamente igual à
integral de superfı́cie:
I=
�
J� · d�s
S
I é o ”fluxo”associado ao vetor J�
9.2
Equação da Continuidade da Carga elétrica
Figura 9.2
Consideremos uma superfı́cie fechada qualquer S, que delimita um volume
V.
Dentro do volume V temos uma quantidade de carga total igual a:
9.2. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DA CARGA ELÉTRICA
�
125
ρdv
V
Como
�
J� · d�s é igual à vazão instantânea de carga para fora do volume.
S
�
d
J� · d�s = −
dt
S
�
ρdv
V
Usando o Teorema de Gauss temos:
�
� · Jdv
� =−d
∇
dt
V
�
ρdv
V
Mas como ρ = ρ (x, y, z, t) e a superfı́cie que limita o volume permanece
no mesmo lugar:
d
dt
�
ρdv =
�
∂ρ
dv
∂t
Então:
�
� · Jdv
� =
∇
V
� �
∂ρ
−
∂t
V
�
dv
Como a equação é válida para qualquer V :
� · J� = − ∂ρ
∇
∂t
Equaç~
ao da Continuidade da carga
Portanto, O Princı́pio da Conservação da Carga é traduzidos pelas
equações:
�
S
d
J� · d�s = −
dt
�
V
ρdv
(9.1)
126
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
e
� · J� = − ∂ρ
∇
∂t
9.2.1
(9.2)
Caso De Corrente Estacionária
Corrente não varia com o tempo!!!
Figura 9.3
Suponha que temos um fio por onde passa uma corrente estacionária (não
varia com o tempo). Se considerarmos o volume V, a quantidade de carga
∆Q que entra num intervalo de tempo ∆t deve ser igual à que sai no mesmo
intervalo.
∆Q
dentro do volume = 0 ⇒ ∂ρ
=0
∆t
∂t
� · J� = 0
∇
Esta equação nada mais é do que a 1a Lei de Kirchoff , também conhecida como Lei dos Nós, da teoria de circuitos elétricos.
Figura 9.4
9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM
127
Figura 9.5
9.3
Condutividade Elétrica e a Lei de Ohm
Consideremos que a corrente elétrica é produzida pela presença de um campo
elétrico.
� produz uma força no portador de carga → se movimenta ⇒ corrente
E
elétrica
Se há corrente elétrica ou não, depende da natureza fı́sica do sistema em
que o campo atua, ou seja, o meio.
Uma das mais antigas descobertas experimentais sobre a corrente elétrica
na matéria foi feita por G. S. Ohm, em um trabalho publicado em 1827
intitulado: ”Die Galvanische Ketle Mattematisch Bearbeitet”, e é expressa
através da Lei de Ohm:
V = RI
Observação 9.1. ( OBSERVAÇÃO IMPORTANTE )
Esta equação provém da observação experimental do comportamento de
muitas substâncias familiares, nós não a deduzimos das leis fundamentais do
eletromagnetismo.
9.3.1
Um Modelo Para a Condução Elétrica
⇒ Modelo De Drude = Modelo Clássico
Linha do tempo:
128
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
1827 - Ohm 1897 - J.J. Thompson → descoberta do elétron.
Impacto imediato nas teorias da estrutura da matéria e sugeriu um mecanismo para a condução em metais.
1900 - Drude construiu sua teoria para a condutividade elétrica utilizando
a teoria cinética dos gases para um metal, considerando um gás de elétrons
livres.
(Annalen der Phynik 1, 566 (1900) e Annalen der Phynik 3, 369 (1900))
Suposições:
Figura 9.6
Cada átomo contribui com z elétrons para a condução → carga = -ez
Na ausência de campo elétrico os elétrons se movem em todas as direções,
ao acaso, com velocidades que são determinadas pela temperatura.
O elétron deverá se mover em linha reta até que sofra uma colisão.
As colisões no modelo de Drude, como na teoria cinética, são eventos
instantâneos que alteram abruptamente a velocidade do elétron.
Não há relação (tanto em módulo quanto em direção e sentido) entre a
velocidade �u do elétron em t = 0 e sua velocidade depois da passagem de um
certo intervalo de tempo.
Isto corresponde a dizer que após um tempo t o vetor velocidade do
9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM
129
elétron poderá ser encontrado apontando em qualquer direção independente
da direção que tinha em t = 0.
A probabilidade de um elétron sofrer uma colisão em um intervalo de
tempo dt é dt
, onde τ = tempo médio entre as colisões.
τ
� ao sistema.
Agora vamos aplicar um campo elétrico uniforme E
Com a presença de um campo elétrico, o elétron ficará sujeito a uma força
elétrica.
Figura 9.7
Seja:
�u = velocidade imediatamente após a colisão.
Após um determinado t, o elétron sofre um incremento de momento igual
a:
�
p�t = −eEt
Momento original logo após a colisão era:
p�o = me�u
me = massa do elétron
Então, momento total após um determinado tempo t deve ser:
130
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
�
p� = me�u − eEt
Com isso, o momento total do sistema será:
�
p� =
�
me�ui +
i
��
i
�
� ti
−eE
O momento médio de todos os elétrons:
��p� =
��p� =
��p� = me
Mas:
�
1
Ne
�
1 �
p�
Ne
�
1 ��
� i
me�ui − eEt
Ne i
1 �
�ui
Ne i
�
�
− eE
�
1 �
ti
Ne i
�
�ui = velocidade média dos elétrons imediatamente após a colisão
i
→ deve ser igual a zero, pois �ui tem as direções distribuı́das totalmente ao
acaso e, portanto, tem contribuição nula para a média.
�
1
ti = tempo médio entre as colisões = τ
Ne
i
�
��p� = −eEτ
eτ �
��u� = − m
E = velocidade média = velocidade de drift ou de ”arrasto”.
e
Já vimos que a densidade de corrente pode ser escrita como:
J� = −Ne e ��u�
Ne e 2 τ �
J� =
E
me
Seja:
9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM
σ=
Então:
e 2 Ne τ
me
Lei de Ohm
�
J� = σ E
onde σ = condutividade elétrica.
� é equivalente a escrever V = RI.
Vejamos que escrever J� = σ E
Consideremos um fio de secção transversal A:
Figura 9.8
V = El
e
I = JA
J = σE = σ
V
l
I
V
l
=σ ⇒V =
I
A
l
σA
����
R
Então:
131
132
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
V = Ri
Definimos resistividade como sendo o inverso da condutividade:
ρ=
1
σ
R=
ρl
A
Temos:
⇒ De fato a resistência deve ser diretamente proporcional a l e inversamente proporcional a A.
R=
comprimento × resistividade
areadasecaotransversal
Na realidade a resistividade de um material varia com a temperatura T.
ρ = ρo [1 + α (T − To )]
α = coeficiente de temperatura da resistividade
α > 0 para metais
α < 0 para semicondutores
Figura 9.9
9.4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
9.4
9.4.1
Associação de Resistores
Associação em Paralelo
Figura 9.10
V = Req Ieq
Req =
V
I1 + I2 + I3
1
I1 I2 I3
1
1
1
=
+ +
=
+
+
Req
V
V
V
R1 R2 R3
N
� 1
1
=
Req
Ri
i=1
9.4.2
Associação em Série
V = V 1 + V 2 = R1 I + R2 I
V = (R1 + R2 ) I
Req = (R1 + R2 )
133
134
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.11
Req =
N
�
Ri
i=1
Exercı́cio 9.1. Um material condutor possui condutividade dada por:
σ(x) = σa +
(σb − σa )
x
l
onde σa e σb são constantes.
O condutor possui comprimento l e área de secção transversal constante.
Determine a resistência entre as faces A e B do condutor.
Figura 9.12
R=
ρl
l
⇒ R(x) =
A
σ(x)A
135
9.4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Figura 9.13
n
Req = Σ Ri ⇒ R =
i=1
�l
dx
1
=
σ(x)A
A
0
�l
0
σa +
�
dx
� σ −σa �
b
l
x
⇒
�
l
σb
R=
ln
A(σb − σa )
σa
Exercı́cio 9.2. Um material condutor é moldado na forma de um tronco de
cone. O raio da base menor é a e o raio da base maior é b. O comprimento
é l e a resistividade é uniforme. Determine a resistência entre as bases.
Figura 9.14
R=
ρ
R=
π
�l
0
�
dR ⇒dR =
ρdx
πr2 (x)
⇒ r (x) = a +
dx
ρ
�
� b−a � �2 ⇒ R =
π
a+ l x
R=
ρl
se
πab
�
l
b−a
a=b ⇒R=
b−a
x
l
��
�
1 1
− +
⇒
b a
ρl
πa2
136
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Exercı́cio 9.3. Um material é moldado na forma de uma cunha, como ilustra a figura abaixo. O material possui uma resistividade ρR . Determine a
resistência entre as faces A e B
Figura 9.15
R=
ρ
R=
w
�l
0
se
b → a,
�
a+
dx
� b−a �
l
ρdx
a+
(b−a)
x
l
�
w
ρ
l
⇒R=
ln
w (b − a)
x
(b − a) → 0 ⇒ ln
⇒R=
9.5
dR = �
dR
�b�
a
= ln
� b−a
a
� �
b
a
�
+1 ≈
b−a
a
ρl
(b − a)
ρl
=
w (b − a) a
aw
Força Eletromotriz
É necessário se gastar energia elétrica para manter uma corrente constante
em um circuito fechado. A fonte de energia é chamada de fonte de força
eletromotriz (fem - sı́mbolo ε ).
Exemplos: baterias, células solares, etc
Matematicamente: ε ≡
dw
dq
Ou seja, o trabalho para mover uma unidade de carga na direção do
potencial mais alto.
137
9.5. FORÇA ELETROMOTRIZ
[ε] = V (volt)
Considere o circuito:
Figura 9.16
Assumindo que a bateria não possui resistência interna, então a diferença
de potencial VA − VB = V = ε
Corrente: I =
ε
R
No entanto, uma bateria real sempre possui um resistência interna r.
Neste caso, a diferença de potencial nos terminais da bateria é:
Vc − Va = ∆V = ε − rI
Figura 9.17
No circuito todo:
ε − rI − RI = 0 ⇒ I =
ε
r+R
138
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.18
. Voltagem cai ao passar por cada resistor.
. Nos fios é constante.
9.5.1
Potência
A potência é dada por:
dW
dq
=V
dt
dt
Taxa de Transferência de Energia
Como P = V I é sempre válido:
Usando a Lei de Ohm:
→ P = I 2R
A potência gasta pela bateria:
P = Iε = I (IR + Ir) = I 2 R + I 2 r
Potência da fonte é igual a Potência dissipada em R + Potência
dissipada em r.
9.5.2
Potência Máxima Transmitida
P = RI 2
139
9.6. LEIS DE KIRCHOFF
Figura 9.19
I=
P =
ε
R+r
Rε2
(R + r)2
dP
dP
ε2
2Rε2
=0→
=
−
=0
dR
dR
(R + r)2 (R + r)3
⇒ R + r = 2R
R=r
9.6
Leis de Kirchoff
As leis de Kirchoff:
1- Dos nós: ΣIentram = ΣIsaem
2- Das malhas:
Σ
circuito
fechado
∆V = 0
Nos circuitos temos:
Va > Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = −RI
140
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.20
Figura 9.21
Va < Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = +ε
Exercı́cio 9.4. Qual o valor de I1 , I2 e I3 ?
Figura 9.22
Consideremos que o sentido das correntes são como mostrados na figura.
Pela lei das malhas:
Começando em A:
V 1 − R1 I 1 − R3 I 1 + R3 I 2 = 0
Começando em B:
−R3 I2 + R3 I1 − R2 I2 + V2 = 0
141
9.7. CIRCUITO R-C
Temos duas equações e duas incógnitas, I1 e I2
I3 = I1 − I2
Se I1 der negativo, então o sentido da corrente é oposto ao que supomos
inicialmente, o mesmo para I2 .
9.7
9.7.1
Circuito R-C
Carregando um capacitor
Considere o circuito abaixo:
Figura 9.23
Bateria com uma fem ε constante e resistência interna nula.
Inicialmente o capacitor está completamente descarregado q( t=0 ) = 0
e a chave passa para a posição (1).
A corrente começa a circular: I (0) =
ε
R
A medida que o tempo passa ( t ¿ 0 ), o capacitor vai carregando até
atingir a carga máxima ( t = tf ) Q = Cε
Analisemos o que ocorre entre os dois instantes ( 0 ¡ t ¡ tf ).
Pela Lei da Malhas: ε − I (t) R −
q(t)
C
=0
Podemos resolver a equação em termos da corrente ou da carga.
Escolhendo a carga:
142
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.24
ε − RI (t) −
I (t) =
⇒
q (t)
=0
C
dq (t)
dq
q
⇒ε−R − =0
dt
dt C
dq
1�
q�
dq
dt
=
ε−
⇒
=
dt
R
C
εC − q
RC
Integrando ambos os lados, temos:
�q
dq
1
=−
q − εC
RC
0
�t
0
dt ⇒ ln
�
q − εC
−εC
�
=−
t
RC
�
�
t
t
q − εC = −εC e−( RC ) ⇒ q (t) = εC 1 − e−( RC )
�
�
t
q (t) = Q 1 − e− RC
Onde Q é a carga máxima armazenada no capacitor.
dq
I (t) =
dt
I (t) =
�
q (t) = Q 1 − e
Q −t
εC −t
e RC =
e RC
RC
RC
−t
RC
�
143
9.7. CIRCUITO R-C
Figura 9.25
I (t) =
ε −t
e RC
R
Figura 9.26
τ = RC é uma medida do tempo de decaimento da função exponencial.
Depois de t = τ a corrente cai de um fator de 1e = 0, 368.
Tensão no Capacitor
Vc (t) =
�
�
�
t
t
q (t)
Q�
=
1 − e− RC = ε 1 − e− RC
C
C


 q (t → ∞) = Cε = Q
t→∞⇒
Vc (t → ∞) = ε


I (t → ∞) = 0
144
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.27
Depois de um tempo t = τ a diferença de potencial entre os capacitores
aumenta de um valor igual a (1 − e−1 ) = 0, 632 do seu valor final.
Vc (τ ) = 0, 632ε
9.7.2
Descarregando um capacitor
Considerando que a chave permaneceu por um longo tempo na posição (1),
vamos mudar a chave para a posição (2).
Figura 9.28
Podemos prever que a corrente terá o mesmo comportamento que o processo anterior, com a diferença que mudará de sentido.
t
ε
Idescarga (t) = −Icarga (t) = − e− RC
R
Montando a equação:
145
9.7. CIRCUITO R-C
q (t)
− RI (t) = 0
C
I (t) = −
dq
dt
q (t)
dq (t)
−R
=0
C
dt
dq (t)
q (t)
dq
dt
=−
⇒
=−
⇒
dt
RC
q
RC
�q
dq
=−
q
Q
� �
q
t
ln
=−
⇒
Q
RC
t
q (t) = Qe− RC
Vc (t) =
t
t
q (t)
Q
= e− RC = εe− RC
C
C
I (t) = −
t
dq
ε
= e− RC
dt
R
Figura 9.29
�t
0
dt
RC
146
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.30
Figura 9.31
Figura 9.32
t < 0 ⇒ Req = R1 + R2
147
9.7. CIRCUITO R-C
τ = Req C = (R1 + R2 ) C
�
q (t) = εC 1 − e
−( τt )
�
Figura 9.33
Figura 9.34
τ � = R2 C
t
q � (t) = εCe− τ �
Corrente entre A e B como função do tempo depois que o circuito é
fechado.
148
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
ε = R1 I 1 ⇒ I 1 =
ε
R1
q (t)
− R2 I2 (t) = 0
C
q (t)
dq2 (t)
+ R2
=0
C
dt
Figura 9.35
dq2(t)
dt
− t
=−
⇒ q2 (t) = εCe R2 C
q2
R2 C
I2 (t) = −
I = I1 + I2 =
ε − R tC
e 2
R2
ε
ε − R tC
+
e 2
R1 R2