Matemática – 2ª Série - Colégio I. L. Peretz

Matemática – 2ª Série
LISTA DE EXERCÍCIOS - Geometria de Posição
Data: 12 de abril de 2008
Resolva os exercícios a seguir lembrando que :
- letras maiúsculas denotam pontos ( A , B , C , ...).
- letras minúsculas denotam retas ( a , b , c , ...).
- letras gregas minúsculas denotam planos ( α ,β , γ , δ ,... ).
- E denota o Espaço .
1) Classifique em Verdadeira (V) ou Falsa (F) cada uma das afirmações abaixo . Caso
seja falsa justifique ou dê um contra-exemplo .
a) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano então ela é perpendicular ou ortogonal
às retas desse plano .
Resp : V
b) ( ) Se duas retas r e s têm um único ponto em comum e r está contida em um plano
α , então s e α têm um único ponto em comum . Resp : F
c) (
d) (
) Duas retas paralelas distintas determinam um plano . Resp : V
) Duas retas paralelas a um mesmo plano são paralelas entre si .
Resp : F
2) Classifique em Verdadeira (V) ou Falsa (F) cada uma das afirmações abaixo . Caso
seja falsa justifique ou dê um contra-exemplo .
a) ( ) Se r e s são retas distintas então r ∩ s = ∅. Resp : F
b) ( ) Se uma reta é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano então ela é
perpendicular ao plano .
Resp : V
c) ( ) Duas retas concorrentes têm um único ponto em comum . Resp : V
d) ( ) Se uma reta e um plano têm um ponto em comum , então são secantes .
Resp : F
3) Observando a figura , dê as posições relativas entre :
D
A
C
B
H
E
G
F
a) a reta AE e a reta GH : ______________________
b) a reta BF e o plano ACD : ______________________
c) a reta DH e o plano ACE : ______________________
Resp : ortogonais
Resp : perpendicular
Resp : pararlela
4) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo . Caso seja falsa justifique
.
a) Duas retas que têm intersecção vazia são paralelas .
Resp : F
b) r ⊥ α ∧ s ⊂ α → r ⊥ s
Resp : F
c) r ≠ s ∧ r // t → s // t
Resp : F
5) Complete com V ou F :
a) ( ) r ≠ s ∧ r // s ∧ s ⊂ α → r // α
b) ( ) r × s ∧ r __ t → s __ t
c) ( ) Duas retas que não têm pontos em comum são reversas .
d) ( ) r // s ∧ t × s → t × r
e) Duas retas que têm intersecção vazia são paralelas .
f) Duas retas paralelas a um mesmo plano são paralelas entre si .
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Resp : V
Resp : F
Resp : F
Resp : F
Resp : F
Resp : F
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LISTA DE EXERCÍCIOS - Geometria de Posição
Data: 12 de abril de 2008
6) (PUC-SP) Assinale a afirmação verdadeira :
a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si .
b) Dois planos perpendiculares a uma reta são perpendiculares entre si .
c) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas entre si.
d) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si.
e) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si.
Resp : C
7) (UNESP-91) Sejam α e β planos perpendiculares , α∩β = r . Em α considera-se uma reta s
perpendicular a r , s∩r = {A} ,e em β considera-se t oblíqua a r , t∩r = {A} . Dentre as afirmações :
I)
s é perpendicular a β.
II)
t é perpendicular a s .
III)
O plano determinado por s e t é perpendicular a β.
IV)
Todo plano perpendicular a s que não contém A é paralelo a β.
Pode-se garantir que :
a) somente I é falsa.
b) somente II é falsa.
c) somente III é falsa.
d) somente IV é falsa.
e) nenhuma é falsa.
Res: B
8) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo .Caso seja falsa justifique .
a) Dois planos que possuem uma reta em comum são secantes . Resp : F
b) Se dois planos α e β são secantes , então existe uma reta de α que é perpendicular a uma
reta de β .
Resp : V
c) α Χ β → α ∩ β = r
Resp : V
d) a // α ∧ a // β ∧ α ≠ β → α // β
Resp : F
e) A ∉ α → ∃ β / β//α ∧ A ∈ β
Resp : V
f) Se dois planos α e β são secantes , então toda reta de α é paralela ou reversa às retas
Resp : F
de β .
g) Se um plano α contém uma reta r e r é paralela a outro plano β , então α é paralelo a β .
Resp : F
9) Na figura , a ⊥ α , CD ⊥ AC , AB = 3 cm , AC = 4 cm e CD = 12 cm . Determine o
comprimento de BD .
Resp : 13 cm
B
D
α
A
C
a
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LISTA DE EXERCÍCIOS - Geometria de Posição
Data: 12 de abril de 2008
10) Na figura AP ⊥ PQ , AP ⊥ PC , PQ ⊥ QC , AP = 2 , PQ = 3 e QC =
Resp : 5
12 . Calcule AC .
A
C
P
Q
11) Dois planos α e β são secantes cuja reta comum é r . Dois pontos distintos A e B são tais
que B ∈ r , A ∈ α , AB ⊥ r , AB mede 8 cm e a projeção ortogonal A ' B , de AB sobre β , mede 4
cm . Qual é a medida de um ângulo agudo formado por α e β?
Resp : 60º
12) Uma reta s é secante às faces de um diedro α r β e é ortogonal a r . Se os ângulos agudos
que s forma com α e β , respectivamente , medem 50º e 20º , qual é a medida do diedro ?
Resp : 110 º
13 ) Calcule a medida de um diedro , sabendo que duas semi retas de mesma origem ,
perpendiculares às suas faces , formam um ângulo de 70º . Resp : 110 º
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