prova de matemática - turmas do 3o ano do

PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - ABRIL DE 2010.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E
ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
QUESTÕES DE 01 A 08.
Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de
Respostas.
01. Considere o círculo abaixo de centro O.
É verdade que:
(01) Se os ângulos EÂB e EĈD são congruentes, então as cordas AB e CD são, também,
congruentes.
(02) A medida do ângulo AÊB é igual à metade da medida do ângulo AÔB.
(04) Se a corda CD é congruente ao raio do círculo, então o ângulo CÊD mede 30°.
(08) Os ângulos AĈD e AÊD são suplementares.
(16) Se AB e BC são os respectivos lados do hexágono regular e quadrado inscritos no círculo,
então AÊC mede 65°.
(32) Na hipótese da proposição anterior, o ângulo agudo formado pelas cordas AC e BD mede 65°
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Arcos congruentes determinam no círculo cordas congruentes.
(02) FALSA.
Pela figura ao lado vê-se que ângulo inscrito AÊB determina
o mesmo arco determinado pelo ângulo central AÔB, logo
eles são congruentes.
(04) VERDADEIRA.
Se a corda CD é congruente ao raio do círculo, o triângulo
CDO é equilátero e o arco CD mede 60°, logo o ângulo CÊD
mede 30°.
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(08) VERDADEIRA.
O quadrilátero determinado pelas cordas AC , CD , DE e EA é
inscritível, logo os ângulos opostos AĈD e AÊD são suplementares.
(16) FALSA.
Conforme figura ao lado.
(32) FALSA.
Se AB e BC são os respectivos lados do hexágono regular e quadrado
inscritos no círculo, o ângulo agudo β formado pelas cordas AC e BD
somente medirá 65° quando o arco CD medir 70°.
02. (UFBA2010/modificada)
Os dados a seguir referem-se aos alunos matriculados nas três termos turmas de um curso de
Inglês.
Número
meninos
Número
meninas
de
Turma
A
17
Turma
B
18
Turma
C
15
de
23
22
25
Com base nesses dados, é correto afirmar:
(01) Em cada turma, a razão entre o número de meninos e o número de meninas é menor que 75%.
(02) O número de meninos do curso é igual a 40% do total de alunos matriculados.
(04) A média do número de meninas por turma é maior que 23.
(08) O número de duplas que podem ser formadas apenas com meninos é igual a 1225.
(16) O número de comissões com 3 alunos da turma C, sendo 2 meninas e um menino, é igual a
4500.
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
Número de
meninos
Número de
meninas
r=
número meninos
número meninas
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Turma A
17
Turma B
18
Turma C
15
23
22
25
r=
17
= 0,739..
23
2
r=
18
= 0,818..
22
r=
15
= 0,60
25
(02) FALSA.
Número
meninos
Número
meninas
TOTAL
Turma
B
18
Turma
C
15
TOTAL
de
Turma
A
17
de
23
22
25
70
40
40
40
120
Total meninos
r=
Total de alunos
50
50
r=
= 0,41666...
120
(04) VERDADEIRA.
ma =
Total meninas
70
=
= 23,333.
Número de turmas
3
(08) VERDADEIRA.
C 50,2 =
50 × 49
= 1225
2
(16) VERDADEIRA.
C 25,2 × C15,1 =
25 × 24
× 15 = 4500
2
03. Sobre triângulos e quadriláteros é verdade que:
(01) Todo paralelogramo é inscritível num círculo.
(02) Em todo triângulo isósceles o ortocentro e o baricentro
coincidem.
(04) Se ABCD é um quadrilátero circunscrito a um círculo e AB + CD = 10cm , então o
perímetro desse quadrilátero é igual a 20cm.
(08) O circuncentro de um triângulo retângulo coincide com o ponto médio da hipotenusa.
(16) Se a diferença entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero
é igual a 2cm, então a altura desse triângulo é igual a 8cm.
(32) Considere um círculo de diâmetro BC = R circunscrito ao triângulo ABC.
Se o ângulo AB̂C mede 30°, então o comprimento do arco
é igual a
πR
3
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
Pois, para um quadrilátero ser inscritível é necessário e suficiente que dois ângulos opostos
sejam suplementares. Em relação ao paralelogramo isso somente acontece quando os seus
ângulos são retos.
(02) FALSA.
O triângulo ao lado é um contra-exemplo. O ponto O é o
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3
ortocentro e
o ponto B é o baricentro.
(04) VERDADEIRA.
Se ABCD é um quadrilátero circunscrito a um círculo, a soma das medidas de seus lados
opostos são iguais e AB + CD = BC + AC = 10cm , então o seu perímetro é igual a 20cm.
(08) VERDADEIRA.
Todo triângulo retângulo é inscritível numa semicircunferência e tem como raio o próprio do
círculo.
(16) FALSA.
A altura do triângulo equilátero ABC em função do raio é 3R.
No triângulo retângulo BCO:
sen30° =
R
1
R
⇒ =
⇒ 2R = R + 2 ⇒ R = 2 ⇒ AH = 6.
R+2
2 R+2
(32) VERDADEIRA.
Como o triângulo ABC possui como um de seus lados o
diâmetro AB , ele é retângulo. Se o ângulo AB̂C mede 30°,
tem comprimento
o ângulo AĈB mede 60° e o arco
120°
2πR
× 2πR =
.
360°
3
04. (CESPE/Adaptada)
Dica de segurança: saiba mais sobre o código de acesso
O código de acesso consiste em uma sequência de três letras distintas do alfabeto, gerada
automaticamente pelo sistema e informada ao cliente. Para efetuar transações a partir de um
terminal de auto-atendimento, esse código de acesso é exigido do cliente pessoa física, conforme
explicado a seguir. É apresentada ao cliente uma tela em que as 24 primeiras letras do alfabeto
estão agrupadas em 6 conjuntos disjuntos de 4 letras cada. Para entrar com a primeira letra do seu
código de acesso, o cliente deve selecionar na tela apresentada o único conjunto de letras que a
contém. Após essa escolha, um novo agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 novos
conjuntos é mostrado ao cliente, que deve então selecionar o único conjunto que inclui a segunda
letra do seu código. Esse processo é repetido para a entrada da terceira letra do código de acesso do
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4
cliente. A figura abaixo ilustra um exemplo de uma tela com um possível agrupamento das 24
primeiras letras do alfabeto em 6 conjuntos.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir:
(01)Considerando que o BB tenha 15,6 milhões de clientes pessoa física e que todos possuam um
código de acesso como descrito acima, conclui-se que mais de 1.000 clientes do BB possuem o
mesmo código de acesso.
(02) Utilizando-se as 24 primeiras letras do alfabeto, é possível formar um conjunto de 4 letras
distintas de mais de 10.000 maneiras diferentes.
(04)Para um cliente do BB chamado Carlos, o número de códigos de acesso em que todas as letras
sejam diferentes das letras que compõem o seu nome é inferior a 8000.
(08)Para um cliente do BB chamado Carlos, o número de códigos de acesso em que todas as letras
estejam incluídas no conjunto das letras que formam o seu nome é superior a 100.
(16)Suponha que uma pessoa observe atentamente um cliente do BB enquanto este digita o seu
código de acesso. Suponha ainda que ela observe que os três conjuntos de letras em que
aparecem o código do cliente são disjuntos(não tem elementos em comum) e, tendo
memorizado esses três conjuntos de letras, na ordem em que foram escolhidos, faça um palpite
de qual seria o código de acesso do cliente. Nessas condições, o número de palpites possíveis é
64.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
24 × 23 × 22 = 12.144
15.600.000 ÷ 12.144 ≈ 1284,58
(02) VERDADEIRA.
24 × 23 × 22 × 21 = 255.024.
(04) VERDADEIRA.
18 × 17 × 16 = 4896
(08) VERDADEIRA.
6 × 5 × 4= 120.
(16) VERDADEIRA.
4 × 4 × 4 = 64
05. Sobre polígonos regulares pode-se afirmar que:
(01) Os ângulos internos de um octógono regular medem 115°.
(02) O lado de um triângulo equilátero de raio R é l = R 3
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5
(04) O lado de um octógono regular de raio R é l = R 2 − 2 .
(08) A área de um dodecágono regular de raio R é S = 3 3 R².
(16) Se ABCDE é um pentágono regular o ângulo agudo formado pelas diagonais AC e BD é
menor que 70°.
(32).Ligando-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular obtem-se outro hexágono
regular. A razão entre as áreas desses hexágonos é 4/3.
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
Cada ângulo interno de um octógono regular mede: a i =
180°(8 − 2) 1080°
=
= 135° .
8
8
(02) VERDADEIRA.
O triângulo equilátero ABC está inscrito num círculo de centro O e raio
l
3
l
R. No triângulo retângulo BHO: cos 30° = 2 ⇒
=
⇒l=R 3.
R
2
2R
(04) Considerando o triângulo isósceles AOB e aplicando a lei dos
cossenos
em
relação
ao
lado
AB:
l 2 = R 2 + R 2 − 2 × R × R × cos45° = 2R 2 − R 2 2 ⇒ l = R 2 − 2 .
(08) FALSA.
Na figura ao lado vê-se um dodecágono regular dividido em 12
triângulos congruentes ao triângulo AOB. Logo, sua área é:
S = 12 ×
1
1
× R 2 × sen30° = 6R 2 × = 3R 2 .
2
2
(16) FALSA.
Seja o pentágono regular ABCDE. O ângulo interno AB̂C mede
108°. O triângulo ABC é isósceles, então os ângulos da base
medem 36°. O triângulo BCF também é isósceles e o ângulo AF̂B é
externo a ele, logo a sua medida é 36° + 36° = 72° > 70°.
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6
(32) VERDADEIRA.
G, H, I, J, L e M são os pontos médios do hexágono regular
ABCDEF.
OH é a altura do triângulo equilátero AOB e ao mesmo tempo
lado do hexágono regular GHIJLM.
OH =
AO 3
⇒ a razão entre os lados dos hexágonos ABCDEF
2
e GHIJLM é
2
 2 
4
. Então a razão entre suas áreas é   =
3
3
 3
2
06. Sobre análise combinatória, pode-se afirmar:
(01) Utilizando uma vez o algarismo 0, duas vezes o algarismo 3 e duas vezes o algarismo 7 é
possível escrever exatamente 24 números inteiros positivos de 5 algarismos.
(02) Se num campeonato de futebol com doze times todos os times enfrentam cada um dos outros
uma única vez, então o número de partidas realizadas neste campeonato é inferior a 70.
(04) Se num hospital trabalham 6 cardiologistas e 5 anestesistas, então o número de equipes médicas
que podemos formar com 3 cardiologistas e 2 anestesistas é 30.
(08) Com vértices nos pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I da figura abaixo, o número de triângulos que
podemos formar é superior a 34 .
(16) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3
agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários.
(32) Ao tomar conhecimento de que o placar de uma partida de futebol entre Bahia e Vitória foi 4 a
2 para o Bahia, um torcedor tricolor ficou curioso para saber como foi a sequência dos 6 gols
marcados ao longo da partida, não importando nesta sequencia qual jogador marcou cada gol,
mas apenas o time. Sendo assim existem exatamente 15 possibilidades para esta sequência.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
DM
UM
7
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3
C
D
U
3
7
0
Total de possibilidades para as
quatro primeiras ordens
4!
= 12
2!
7
3
7
7
3
4!
= 12
2!
0
TOTAL
24
(02) FALSA.
N=
n(n − 1) 12 × 11
=
= 66
2
2
(04) FALSA.
Cardiologistas
C 6,3
6×5× 4
=
= 20
3× 2
Anestesistas
Número de equipes
5× 4
=
= 10
2
C 5,2
20 × 10 = 200
(08) FALSA.
C 9,3 − C 4,3 =
9×8× 7
− 4 = 84 − 4 = 80 < 81
3× 2
(16) FALSA.
3!×C12,4 × C8,4 × C 4,4 = 6 ×
12 × 11 × 10 × 9 8 × 7 × 6 × 5
×
= 6 × 495 × 70 = 6 × 34650 = 207900.
4 × 3× 2
4 × 3× 2
Existem 207900 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3
agências, de modo que cada
agência receba 4 funcionários.
(32) VERDADEIRA.
Representando os seis gols por :B B B B V V , existem
6!
6×5
=
= 15 possibilidades para a
4!× 2!
2
sequência.
07.
O triângulo na figura acima, é retângulo em A e tal que BC = 6cm e AC = 3cm. O setor circular
CAD tem centro em C.
É verdade que:
(01) AB = 3 3 cm.
(02) A altura relativa à hipotenusa mede 3 2 cm.
(04) A área do triângulo ABC é igual a
9 3
cm².
2
(08) O raio do círculo inscrito nesse triângulo é igual
(
)
3 3 −1
cm.
2
(16) O raio do círculo circunscrito a esse triângulo é igual a 2 3 cm.
(32) A área da região hachurada é igual a
RESOLUÇÃO:
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(
)
33 3 −π
cm².
2
8
(01) VERDADEIRA.
Como o senAB̂C =
(02) FALSA.
3
3 1
= , AB̂C = 30° e AĈB = 60° , AB = BCsen60° = 6 ×
= 3 3 cm.
6 2
2
1
2
No triângulo retângulo AHB, AH = ABsen30° = 3 3 × =
(04) VERDADEIRA.
A área do triângulo ABC é igual a
3 3
cm.
2
AC × AB 3 × 3 3 9 3
=
=
cm².
2
2
2
(08) VERDADEIRA.
Sendo CE = CF e BG = BE, tem-se:
CE
+
BE
=
3 − r + 3 3 − r = 6 ⇒ 2r = 3 3 − 3 ⇒ r =
(
⇒
BC
)
3 3 −1
cm.
2
(16) FALSA.
O medida do raio do círculo circunscrito a um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa.
Logo R = 3cm.
(32) VERDADEIRA.
A área da região hachurada é igual a SABC − Ssetor circular ACB =
(
)
9 3 1
33 3 −π
− × 9π =
cm².
2
6
2
08. Sobre polinômios é verdade que:
(01) 3 é um dos zeros do polinômio p(x) = x³ + 4x − 7 3 .
2
2
(02) p(x) = (x 4 + 1) − (x 4 − 1) é um polinômio de grau 8.
(04) A soma dos coeficientes do polinômio p(x) = (x³ + x + 1)³ 3(x + 2) é um múltiplo de 9.
(08) O termo independente de x do polinômio p(x) = (x + 1)n+1  (x² + x + )n + 2; n ∈ N*, independe
de n.
(16) Se a igualdade
3x + 1
a
b
é uma identidade, então a + b = 2.
=
+
x2 −1 x −1 x +1
(32) Se o polinômio p(x) = (a + 1)x³ + (x + b)(c – x)+ dx² + 4ª, com b> 0, é idêntico a zero, então
a + b + c + d = 4.
RESOLUÇÃO:
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
9
(01) VERDADEIRA.
Pois, p( 3 ) = 3 ³ + 4 3 − 7 3 = 3 3 − 3 3 = 0 .
(02) FALSA.
( )
2
2
p(x) = (x 4 + 1) − (x 4 − 1) = ( x 4 + 1 + x 4 − 1)(x 4 + 1 − x 4 + 1) = 2 2 x 4  = 4 x 4 é um polinômio de grau 4.


(04) VERDADEIRA.
Sendo p(x) = (x³ + x + 1)³ 3(x + 2) , p(1) = 3³ × 9 .
(08) VERDADEIRA.
Pois todos os termos do polinômio p(x) = (x + 1)n+1  (x² + x + 1)n + 2; n ∈ N*, são positivos.
(16) FALSA.
3x + 1
a
b
3x + 1 ax + a − bx + b
3x + 1 (a − b )x + a + b
=
+
⇒ 2
=
⇒ 2
=
⇒ a + b = 1.
2
2
x −1 x −1 x +1
x −1
x −1
x −1
x2 −1
(32) VERDADEIRA.
Se o polinômio, com b> 0, é idêntico a zero, então
a + b + c + d = 4.
p(x) = (a + 1)x³ + (x + b)(c – x)+ dx² + 4a ⇒
p(x) = (a + 1)x³ + (d – 1)x² + (c – b)x + bc + 4a ⇒
a + 1 = 0
a = −1 e d = 1
d − 1 = 0


⇒ c = b
⇒ (a = −1, d = 1, b = 2, c = 2 ⇒ a + b + c + d = 4

c − b = 0
 2
bc + 4a = 0 b = 4 ⇒ b = 2
09 A figura representa um trecho de um loteamento ao qual pertence
o lote ABC com
a forma de um setor circular de raio 12m e centro no ponto A.
A metade da área do lote é igual a área do triângulo ACD que deve
ser incorporada a um lote vizinho.
Determine a parte inteira da medida, em metros, de CD ,
considerando π = 3 e 3 = 1,7 .
RESOLUÇÃO:
FIGURA 2
FIGURA 1
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10
a) (Figura 1) Área do setor de 30°: S =
1
× 144π = 12π
12
=36.
b) Área do triângulo ACD (figura 2): Como a área do triângulo ACD é a metade da área do
setor:SACD = 18 ⇒
1
1
1
× AC × AD × sen30° = 18 ⇒ × 12AD × = 18 ⇒ AD = 6 .
2
2
2
c) Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ACD (figura 2):
CD 2 = AC 2 + AD 2 − 2 × AC × ADcos30° ⇒ CD 2 = 144 + 36 − 2 × 12 × 6 ×
3
⇒
2
CD 2 = 180 − 72 3 ⇒ CD 2 = 180 − 122,4 = 57,6 ⇒ CD = 7,56
RESPOSTA: 7,56
10. Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, o algarismo 1 é escrito exatamente x
vezes. Calcule x/8.
RESOLUÇÃO:
De 1 a 9
Total de “algarismo 1”
1
U
1
D
U
1
a ≠1
1
1
a
1
≠1
TOTAL
C
1
1
1
1
a ≠1 e a ≠0
a ≠1 e a ≠0
a ≠1 e a ≠0
UM
1
1
1
1
1
1
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
D
a ≠1
a ≠1
1
1
1
1
a ≠1
TOTAL
C
0
0
0
0
1
1
De 10 a 99
Total de “algarismo 1”
9
2
8
19
De 100 a 999
U
Total de “algarismo 1”
a ≠1
9 × 9 = 81
1
2 × 9 = 18
a ≠1
2 × 9 = 18
1
3
1
2 × 8 = 16
a ≠1
8 × 9 = 72
1
8 × 9 = 72
280
De 1000 a 1111
D
U
a ≠1
a ≠1
1
a ≠1
1
a ≠1
1
1
0
1
0
a ≠1
11
Total de “algarismo 1”
9 × 9 = 81
2 × 9 = 18
9 × 2 = 18
3
3
9 × 2 = 18
1
1
3
4
TOTAL
148
Então, escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, o algarismo 1 é escrito exatamente x =
(1 + 19 + 280 + 148) = 448 vezes.
Logo
1
1
1
1
0
1
x 448
=
= 56 .
8
8
RESPOSTA: 56
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
12