Aula 2- Impulsos em Repouso e em Estados de Equilíbrio Limite

Aula 2- Impulsos em Repouso e em
Estados de Equilíbrio Limite- a Teoria
de Rankine
Paulo Coelho - FCTUC
Mestrado em Engª. Civil - Construções Civis
ESTG/IPLeiria
Revisão do Conceito de Tensão em Geotecnia
„
O comportamento mecânico de um maciço
depende fortemente das tensões nele instaladas.
„
Considere-se um maciço terroso seco em
equilíbrio estático sob a acção do seu peso
próprio e de forças aplicadas à superfície.
„
A origem do sistema de eixos cartesianos de
referência está situada à superfície- eixo vertical
é o eixo dos zz (sentido positivo descendente),
eixo xx é considerado no plano da figura e o eixo
dos yy perpendicular ao plano desta.
1
Forças transmitidas através de uma secção genérica
Imagine-se uma secção
horizontal, S, na imediata
vizinhança de um ponto P
Fz
Nz
Tz
Tzx
„
Tzy
Admita-se que:
- secção S tem dimensões (dx dy) tão pequenas
que é legítimo admitir que a força nela actuante
se distribui uniformemente.
- as dimensões dessa secção S são
suficientemente grandes para que sejam muito
superiores ao diâmetro das partículas do solo
- S faz pequeníssimos desvios do seu plano
médio para não seccionar nenhuma partícula,
antes passando nos pontos de contacto.
2
„
Através da secção S uma parte do maciço
transmite à outra uma força, Fz, força essa que é
transmitida através dos contactos interpartículas.
„
Essa força, Fz, pode ser decomposta numa força
normal, Nz, e noutra tangencial, Tz, à secção S.
„
Por sua vez, a força tangencial, Tz, pode ser
decomposta em duas forças paralelas aos eixos
ox e oy, respectivamente, Tzx e Tzy.
„
No âmbito da Mecânica dos Solos, as tensões
na secção S serão definidas por:
σ =σz =
Nz
dx.dy
τz =
Tz
dx.dy
τ zx =
Tzx
dx.dy
τ zy =
Tzy
dx.dy
3
„
As tensões são obtidas dividindo as forças
aplicadas na secção pela sua área total, a qual
compreende contactos entre partículas e poros.
„
Estudos mostram que a área dos contactos
entre partículas é muito pequena- em regra
menos de 1% da área de qualquer área
semelhante a S.
„
„
Área dos contactos muito pequena=> as
tensões instaladas nos contactos interpartículas
são muito elevadas (no mínimo 2 ordens de
grandeza acima das que foram definidas)
E se o maciço terroso estiver submerso?
N’z
Pressão neutra,
Pressão na água dos
poros ou pressão
intersticial, u
U
N’z = Nz - U
4
„
A secção S atravessa contactos interpartículas
e água, já que o solo está saturado.
„
Se os poros representam a quase totalidade da
área da secção=> através da água nos poros na
secção S é transmitida uma força U de valor:
U = u.dx.dy
„
Tal força é puramente normal pois nos fluidos
as tensões em qualquer secção são normais.
„
Assim, a parcela da força normal total
transmitida pelos contactos entre partículas será
a força N’z de valor:
N 'z = N z − U
„
Dividindo ambos os membros da expressão
anterior pela área da secção S (dx.dy), vem:
N 'z
Nz
U
=
−
dx.dy dx.dy dx.dy
que é equivalente a:
N 'z
=σ −u
dx.dy
Pressão neutra
Tensão total
Tensão efectiva (σ’) – representa a força transmitida
pelos contactos entre partículas dividida pela área
da secção
„
A relação:
σ '= σ − u
exprime o Princípio da Tensão Efectiva (Terzaghi)
5
Tipos de Tensões em maciços terrosos
„
Tensões virgens – existentes no maciço sem
qualquer acção humana;
„
¾
Tensões de repouso – tensões associadas
apenas ao peso próprio dos solos;
¾
Tensões tectónicas – tensões originadas
pelas forças tectónicas que se desenvolvem
na crusta terrestre (mais importantes em
maciços rochosos);
Tensões induzidas – associadas às acções
impostas pelas obras construídas pela acção
humana.
Estado de tensão em repouso
„
Estado de tensão num ponto – conj. de todas as
tensões que actuam em todos os elementos de
superfície que passam por esse ponto (3D =>
conhecer tensões actuantes em 3 facetas- 9
componentes; 2D=> conhecer tensões actuantes
em 2 facetas- 4 componentes).
6
„
Para descrever o estado de tensão no ponto P
escolhem-se, em geral, as seguintes facetas:
„
„
uma horizontal, onde actua σv;
„
duas verticais quaisquer, perpendiculares entre
si, onde actuam σh1 e σh2.
Porquê escolher tais facetas? No caso de
estarmos perante um maciço terroso de
superfície horizontal e não existirem sobrecargas
(acções exteriores) aplicadas à superfície, estas
facetas serem facetas principais.
„
Nas facetas principais, as tensões tangenciais são
nulas, pelo que as tensões actuantes nessas
facetas são puramente normais.
„
As tensões que actuam nas facetas principais são
chamadas de tensões principais e as direcções
destas tensões são direcções principais de tensão.
„
Como calcular as tensões num maciço terroso
homogéneo de superfície horizontal, com peso
volúmico, γ, constante em prof. e em que a água
freática se encontra em repouso (condições
hidrostáticas), com o nível freático à superfície?
7
„
Tensões principais efectivas de repouso num
maciço de superfície horizontal
σ’v0
σ’h0
σ’h0
„
A tensão total vertical em P actua nas facetas
horizontais e vale:
σ v 0 = γ .z
O índice “0” é usado para simbolizar que a tensão
é exclusivamente devida ao peso próprio, ou seja,
é uma tensão de repouso.
„
Estando a água em condições hidrostáticas e o
nível freático à superfície do terreno, a pressão
na água dos poros em P vale:
u 0 = γ w .hw = γ w .z
8
„
A tensão efectiva vertical de repouso em P
vale:
σ ' v 0 = σ v 0 − u0 = γ .z − γ w .z = (γ − γ w ).z = γ '.z
„
Nas facetas verticais as tensões actuantes
(horizontais) são iguais. O seu cálculo não resulta
de considerações puramente gravíticas.
„
Coeficiente de impulso em repouso, K0 – é igual á
razão da tensão efectiva horizontal de repouso
pela tensão efectiva vertical de repouso:
K0 =
„
σ ' h0
σ ' v0
Assim, as tensões horizontais efectiva e total no
estado de repouso são, respectivamente:
σ ' h 0 = K 0 .σ ' v 0 = K 0 .γ '.z
σ h 0 = σ ' h 0 +u0 = K 0 .γ '.z + γ w .z
„
Nos maciços de superfície horizontal são iguais 2
das tensões principais no estado de repouso:
Caso 1 - quando K0 < 1 (muito mais comum!):
⎧σ ' = σ '1
⎧σ = σ 1
⎪ v0
⎪ v0
; ⎨
⎨
⎪σ ' = σ '2 = σ '3
⎪σ = σ 2 = σ 3
⎩ h0
⎩ h0
9
Caso 2 - quando K0 > 1:
⎧σ = σ 3
⎧σ ' = σ '3
⎪ v0
⎪ v0
; ⎨
⎨
⎪σ = σ 1 = σ 2
⎪σ ' = σ '1 = σ '2
⎩ h0
⎩ h0
Caso 3 - quando K0 = 1:
σ v 0 = σ h 0 = σ 1 = σ 2 = σ 3 ; σ ' v 0 = σ ' h 0 = σ '1 = σ '2 = σ '3
„
Casos 1 e 2- estados de tensão são simétricos
em relação ao eixo dos zz: estados de tensão
axissimétricos.
„
caso 3- estados de tensão são estados de
tensão hidroestáticos ou isotrópicos.
„
Evolução (+ comum) de tensões em profundidade
10
„
Circunferências de Mohr representativas dos
estados de tensão total e efectiva de repouso
num ponto a 10 m de profundidade.
Coeficiente de impulso em repouso, K0
„
Depende da história geológica do maciço que
determina a evolução das tensões por este
experimentadas (história de tensões).
„
A sua avaliação é efectuada por meio de
ensaios, nomeadamente ensaios in situ, com
base em correlações empíricas com outros
parâmetros de mais simples determinação, ou
com recurso a valores já estimados para
maciços com histórias de tensão semelhantes.
11
„
Algumas expressões empíricas para estimar K0:
Que valores são usuais? Característica intrínseca
do solo?
Impulsos de Terras sobre Paramentos
„
De que depende o valor do impulso das terras sobre
um paramento?
- das características resistentes do terreno…
- das características geométricas do terreno…
- do peso volúmico do solo…
- e sobretudo do sentido e magnitude dos
deslocamentos do paramento relativamente ao
maciço!
12
Exemplo:
„
Qual o valor o impulso das terras sobre as caves de
um edifício (abaixo) de tal modo que a sua
construção não induziu quaisquer deformações no
maciço? I0 (impulso em repouso)
Será a situação anterior comum?
„
De facto não!
- Em alguns casos, o paramento faz parte de
estrutura destinada a suportar o solo- estrutura de
suporte, p.ex.-, pelo que se tende a afastar deste (se
tal for possível!)
- Em alguns casos, o paramento faz parte de
estrutura destinada a solicitar o solo -maciço de
fundação, p.ex.-, pelo que tende a ser empurrado
contra este.
E o que acontece em cada caso?
13
H
Conclusões:
„
Se o paramento se afastar do maciço, o impulso das
terras diminui, mobilizando o impulso activo:
- I a < I0;
- deslocamento exigido usual/ atingido (sa);
„
Se o paramento se deslocar contra o maciço, o
impulso das terras aumenta, mobilizando o impulso
passivo:
- Ip >>> I0;
- deslocamento exigido muito grande (sp);
14
Qual a magnitude dos deslocamento exigidos?
Qual a magnitude dos deslocamento exigidos em
estuturas rígidas?
H
s= ?
Impulso activo:
sa≈ 0,001xH-0,002xH
Impulso passivo:
sp≈ 0,05xH - 0,2xH (!)
15
Exemplos:
Podem os deslocamentos exigidos para mobilizar Ia e
Ip ser sempre atingidos? Estrutura do paramento e
suas vizinhas?
Teoria de Rankine:
„
Hipóteses base:
i) Maciço puramente friccional (não coesivo; c’=0)
ii) Terrapleno horizontal
iii) Paramento vertical e rígido
iv) Atrito solo-paramento nulo
Nota 1- existem extensões para a Teoria de Rankine
que permitem eliminar as hipóteses base i), ii) e iii).
Nota 2- validade da hipótese iv) governa magnitude do
erro; resultado sempre do lado da segurança=> ?
16
„
Estados de equilíbrio limite activo
τ
En
de
ente
volv
ra
rotu
σ’h0
σ’ha
Estado activo
σ’v0
Estado em repouso
σ 'h 0 = K 0 .σ 'v 0
σ 'ha = K a .σ 'v
„
σ’
Estados de equilíbrio limite passivo
τ
tura
e ro
d
e
t
n
olve
Env
σ’h0
σ’v0
Estado em repouso
σ 'h 0 = K 0 .σ 'v 0
σ’h
σ’
Estado passivo
σ 'hp = K p .σ 'v
17
Teoria de Rankine:
„
Por considerações puramente geométricas no plano
de Mohr facilmente se prova que, quando são
válidas as hipóteses base (c’= 0):
Ka =
1 − senφ '
: σ 'ha = K a .σ 'v
1 + senφ '
Kp =
1 + senφ '
: σ 'hp = K p .σ 'v
1 − senφ '
Quais as principais vantagens de Teoria de
Rankine na estimativa de impulsos?:
i) aplicação simples;
ii) resultados sempre do lado da segurança!
Infelizmente, em alguns casos de muros de maior
altura, a solução é tão conservadora que se torna
economicamente inviável de aplicar…
18
EXERCÍCIO: determine as acções externas sobre
o muro de suporte, utilizando a teoria de Rankine,
nas seguintes situações:
1.
EXERCÍCIO: determine as acções externas sobre
o muro de suporte, utilizando a teoria de Rankine,
nas seguintes situações:
2.
19
EXERCÍCIO: determine as acções externas sobre
o muro de suporte, utilizando a teoria de Rankine,
nas seguintes situações:
3.
EXERCÍCIO: determine as acções externas sobre
o muro de suporte, utilizando a teoria de Rankine,
nas seguintes situações:
4.
20
Teoria de Rankine (extensão para solos coesivos):
„
Também por considerações puramente geométricas
Ka =
⎛ 1 − senφ ' ⎞
1 − senφ ' 2 ⋅ c ' cos φ '
2 ⋅ c '⋅ cos φ '
: σ 'ha = K a ⋅ σ 'v = ⎜
−
⋅
⎟ ⋅ σ 'v −
1 + senφ ' σ 'v 1 + senφ '
1 + senφ '
⎝ 1 + senφ ' ⎠
Kp =
⎛ 1 + senφ ' ⎞
1 + senφ ' 2 ⋅ c ' cos φ '
2 ⋅ c '⋅ cos φ '
: σ 'hp = K p ⋅ σ 'v = ⎜
+
⋅
⎟ ⋅ σ 'v +
1 − senφ ' σ 'v 1 − senφ '
1 − senφ '
⎝ 1 − senφ ' ⎠
O uso de c´ deve ser considerado com muito
cuidado… pois pode resultar em dimensionamentos
inseguros… Porquê?
Tensões nulas no caso activo (solos coesivos)
„
Uma vez que o contacto terras paramento não
resiste à tracção (e fendas de tracção podem
aparecer no solo). Para carga nula à superfície:
σ’ha= 0
Zc
⎛ 1 − senφ ' ⎞
2 ⋅ c'⋅ cosφ '
⎟⎟ ⋅ σ 'v −
0 = ⎜⎜
1 + senφ '
⎝ 1 + senφ ' ⎠
=> Z c =
2⋅c'
γ
.
cos φ '
1 − senφ '
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EXERCÍCIO: determine as acções externas sobre
o muro de suporte, utilizando a teoria de Rankine,
nas seguintes situações:
5.
Teoria de Rankine (extensão para terraplenos
inclinados):
K a = cos β
β
Ia
β
Ka.γ.H
K p = cos β
cos β − cos 2 β - cos 2φ'
cos β + cos 2 β - cos 2φ'
cos β + cos 2 β - cos 2 φ'
cos β − cos 2 β - cos 2 φ'
Regra geral: a teoria de Rankine estabelece que o
impulso é sempre paralelo à inclinação do terrapleno
22
EXERCÍCIO: determine as acções externas sobre
o muro de suporte, utilizando a teoria de Rankine,
nas seguintes situações:
6.
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