Sumário - GTA UFRJ

Sumário
1. Luz
2. Óptica
3. Fontes de Luz
4. Meios de Propagação da Luz
5. Pincel de Luz - Feixe de Luz
6. Princípio da Independência dos Raios de Luz
7. Sombra e Penumbra
Exemplo 1: eclipse da Lua
Exemplo 2: eclipse do Sol
8. Câmara escura de orifício
9. Fenômenos físicos fundamentais na Óptica Geométrica
9. Reflexão e refração regulares e difusas
10. Ponto objeto e ponto imagem
Definições
Comentários
11. Reversibilidade da Propagação da Luz
12. Reflexão: conceito, elementos e leis
13. O espelho plano
14. Construção gráfica das imagens no espelho plano
15. Propriedade fundamental do espelho plano: simetria
16. Imagem e objeto não-superponíveis
17. Translação de um espelho plano
18. Rotação de um espelho plano
19. Imagens múltiplas em dois espelhos planos associados
20. Classificação e elementos geométricos dos espelhos esféricos
21. Espelhos esféricos gaussianos
22. Focos dos espelhos esféricos
23. Raios luminosos particulares
24. Construção gráfica das imagens nos espelhos esféricos
24. O referencial gaussiano
25. A função dos pontos conjugados (equação de Gauss)
26. Aumento linear transversal
Óptica Geométrica
1. Luz
A luz é uma forma de energia radiante, e energia radiante é o tipo de energia que se propaga
por meo de ondas eletromagnéticas. Dentro dessa ideia, podemos destacar as ondas de rádio,
as ondas de TV, raios infravermelhos (usados em controles remotos), os raios ultravioleta, os
raios X, etc.
Uma característica importantíssima comum a todos tipo de energia radiante (ondas
eletromagnéticas) é a sua velocidade, que, no vácuo, vale aproximadamente:
c = 3,00 x 105 km/s = 3,00 x 108 m/s
Embora a luz tenha muitas propriedades e abranja vários campos de estudo, o conceito de luz
que utilizaremos em nosso estudo de Óptica é um pouco mais específico. Assim diremos que:
Luz é o agente físico que, atuando nos órgãos de visuais, produz a sensação da visão.
2. Óptica
A óptica é a parte da Física que trata dos fenômenos que têm como causa
determinante a energia radiante , em particular a luz.
Por questões de didática, costuma-se estudá-la em dois grandes capítulos.
●
Óptica Geométrica: estuda os fenômenos ópticos em que apresentam interesse as
trajetórias seguidas pela luz. Fundamenta-se na noção de raio de luz e nas leis que
regulam seu comportamento.
●
Óptica Física: estuda os fenômenos ópticos que exigem uma teoria sobre a natureza
da luz.
A Óptica é um ramo da Física que tem largo emprego prático, dos simples óculos aos
sofisticados telescópios e microscópios. Algumas aplicações da Óptica são:
●
●
●
●
Correção dos defeitos da visão (óculos, lentes de contato);
Construção de instrumentos de observação: lupas, microscópios, lunetas, telescópios.
Fixação de imagens (fotografia e cinematografia);
Equipamentos de iluminação;
3. Fontes de Luz
Os diversos corpos que nos cercam podem ser vistos por que deles recebemos luz, que, incidindo sobre os
nossos órgãos visuais, promove os estímulos necessários para que possamos enxergar.
São considerados fontes de luz todos os corpos dos quais podemos receber luz.
Dependendo da origem da luz recebida de um corpo, os corpos em geral podem ser classificados em duas
categorias:
●
●
Fontes primárias: são os corpos que emitem luz própria. Exemplos: o Sol, a chama de uma vela,
lâmpadas acesas, etc.
Fontes secundárias: são corpos que nos enviam a luz recebida de outras fontes. O processo
ocorre pelo que chamamos de difusão, ou seja, a luz é refletida para todas as direções nos
arredores do corpo. Um bom exemplo é a Lua que reflete a luz do Sol a noite, e praticamente
qualquer objeto visível, que também reflete a luz para que chegue aos nossos olhos.
As fontes de luz também são classificadas em duas categorias:
●
●
Fontes pontuais: fonte de luz cujas dimensões são desprezíveis em comparação com a distância
até os corpos iluminados por ela. Como exemplo podemos citar as estrelas que parecem pequenos
pontos no céu, que embora sejam gigantescas, ficam tão longe que as vemos como pontos
brilhantes.
Fontes extensas: fontes de luz cujas dimensões não podem ser desprezadas, como por exemplo o
Sol, que visto da terra parece um disco brilhante, e não um ponto.
4. Meios de Propagação da Luz
Meios transparentes são aqueles que permitem que a luz os atravesse
descrevendo trajetórias regulares e bem definidas.
O único meio absolutamente transparente é o vácuo. Entretanto, em camadas
de espessura não muito grande, também podem ser considerados transparentes o ar
atmosférico, a água pura, entre outros.
Meios translúcidos são aqueles em que a luz descreve trajetórias irregulares
com intensa difusão (espalhamento aleatório), provocada pelas partículas
existentes nesses meios, fazendo com que não consigamos ver direito através. É o
que acontece, por exemplo, quando a luz atravessa a neblina ou o papel vegetal.
Meios opacos são aqueles através dos quais a luz não se propaga. Depois de
incidir num meio opaco, a luz é parcialmente absorvida e parcialmente refletida
por ele, sendo a parcela absorvida convertida em outras formas de energia, como a
energia térmica, como por exemplo quando deixamos um pedaço de metal no sol
por muito tempo. Quando de razoável espessura, são opacos os seguintes meios:
madeira, papelão, metais, etc.
5. Pincel de Luz - Feixe de Luz
Observe a figura abaixo, que representa uma lanterna comum colocada diante de
um obstáculo com um orifício de diâmetro relativamente pequeno (algo como 2
mm).
Nesse cenário podemos introduzir o conceito de pincel de luz e feixe de luz. Na parte esquerda da figura,
a região iluminada ao passar pelo obstáculo, que deve ter pequena abertura angular, denomina-se pincel
de luz.
Considerando agora a parte da direta da figura, reunindo-se os diversos pincéis de luz que são
emitidos de uma mesma parte da superfície, vemos uma região iluminada de abertura angular
relativamente grande, que recebe o nome de feixe de luz.
Os pincéis de luz (e também os feixes de luz) geralmente seguem a seguinte classificação:
● Cônicos divergentes: os raios de luz divergem a partir de um mesmo ponto P.
●
Cônicos convergentes: os raios de luz convergem para um mesmo ponto P.
●
Cilíndricos: os raios de luz são paralelos entre si.
6. Princípio da Independência dos Raios de Luz
Se tentarmos ligar duas lanternas e cruzar os feixes de luz provenientes de cada uma, notaremos que cada
feixe segue seu caminho independetemente do outro feixe luz, de modo que podemos enunciar a seguinte
conclusão:
A propagação de um pincel de luz não é perturbada pela propagação de outros na mesma região; um
independente da presença dos outros.
7. Sombra e Penumbra
Na montagem experimental sugerida na figura abaixo, F é uma fonte luminosa
puntiforme, D é um disco opaco e A é um anteparo(tela) também opaco.
Considerando que a propagação da luz é retilínea, teremos, na região entre D
(disco) e A(anteparo), um tronco de cone desprovido de iluminação direta de F.
Essa região é denominada sombra. Em A, notaremos uma região circular também
isente de iluminação direta de F. Essa região é chamada de sombra projetada.
É importante observar que o fato de a sombra de um corpo ser semelhante a
ele atesta que a luz se propaga em linha reta no meio considerado.
FOTO SOMBRA DISCO
Admita agora o esquema seguinte, em que L é uma fonte extensa de luz, D é um
disco opaco e A é um anteparo(tela) também opaco.
Neste caso, pelo fato de a fonte de luz ser extensa, além das regiões de
sombra e de sombra projetada teremos ainda regiões de penumbra e de
penumbra projetada. Nas regiões de penumbra, a iluminação será parcial, sendo
que aí se observará transição entre sombra e iluminação total.
É interessante observar que os eclipses são consequência da projeção de
sombras e de penumbras de um astro sobre outro, mostrado nos exemplos
seguintes:
Exemplo 1: eclipse da Lua
Neste caso, a Lua situa-se no cone de sombra da Terra.
Exemplo 2: eclipse do Sol
Neste caso, a Lua projeta sobre a Terra uma região de sombra e uma de penumbra.
8. Câmara escura de orifício
Esse dispositivo nada mais é que uma caixa de paredes opacas, sendo uma delas
dotada de um orifício O, diante do qual é colocado um corpo.
Os raios emanados por esse corpo, após atravessarem O, incidem na parede
no fundo da caixa, lá projetando uma figura semelhante ao corpo considerado, em
forma e em colorido. Tal figura, no entanto, apresenta-se invertida em relação ao
corpo.
Observando o esquema, você pode constatar que os triângulos OAB e OA’B’ são
semelhantes. Por isso:
Para uma mesma câmara e um mesmo corpo luminoso, os comprimentos b e AB
são constantes. Por isso, podemos afirmar que, nesse caso, A’B’ (comprimento da
figura projetada) é inversamente proporcional à distância a. Se, por exemplo,
dobrarmos a, A’B’ se reduzirá à metade.
É importante destacar que a figura projetada na parede do fundo da câmara pode
ser contemplada por um observador situado na posição sugerida no esquema. Para
tudo, basta que ele substitua a parede do fundo da câmara por uma lâmina de vidro
fosco ou papel vegetal, por exemplo.
Para obter uma boa definição na figura projetada (boa nitidez), não se deve
aumentar o diâmetro do orifício além de 2 mm.
Pode-se dizer também que a câmara de orifício constitui um ancestral da
câmara fotográfica, sendo ainda um dispositivo que comprova o Princípio da
Propagação Retilínea da Luz.
9. Fenômenos físicos fundamentais na Óptica
Geométrica
A Óptica Geométrica trata basicamente das trajetórias da luz na sua propagação.
São de especial interesse nesse estudo dois fenômenos físicos fundamentais: a
reflexão e a refração, que vamos abordar nessa seção de maneira mais básica,
porque aprofundaremos nas seções seguintes.
Considere uma superfície (grego é chique) separadora de dois meios
transparentes (lembra o que é?) 1 e 2. Admita um pincel luminoso cilíndrico que,
propagando-se no meio 1, incide sobre (ou seja, indo atravessar para 2).
Uma parte da energia luminosa incidente retorna ao meio 1, caracterizando,
assim, o fenômeno da reflexão.
Reflexão é o fenômeno que consiste no fato de a luz voltar a se propagar no meio
de origem, após incidir na superfície de separação deste meio com outro.
Outra parte da energia luminosa incidente poderá passar para o meio 2,
caracterizando, assim, o fenômeno da refração.
Refração é o fenômeno que consiste no fato de a luz apssar de um meio para
outro diferente.
A figura abaixo ilustra a reflexão e a refração da luz:
Imagine, por exemplo, que você está num local bastante iluminado, diante
de uma porta de vidro transparente que dá acesso a outro ambiente, mais
escurecido. Parte da luz difundida por seu corpo sofrerá reflexão na porta de vidro,
permitindo que você veja uma imagem sua. Outra parte da luz difundida por seu
corpo atravessará a porta de vidro, refratando-se e possibilitando que pessoas
situadas dentro do outro ambiente (o mais escurecido) também o vejam.
9. Reflexão e refração regulares e difusas
A maior ou menos regularidade da superfície sobre a qual incide a luz pode
determinar dois tipos de reflexão e de refração: a regular e a difusa.
Considere, por exemplo, a superfície da água de um lago isenta de quaisquer
perturbações (lisa). Nessas condições, essa superfície apresenta-se praticamente
desprovida de ondulações ou irregularidades.
Fazendo incidir sobre a água do lago um pincel cilíndrico de luz
monocromática (uma só cor/frequência), podemos observar reflexão e refração
regulares. Os pincéis luminosos refletido e refratado também serão cilíndricos; os
raios de luz que formam esses pincéis serão paralelos entre si, da mesma forma
que os raios luminosos que formam o pincel incidente. A figura abaixo mostra
exatamente essa situação.
Imagine, agora, que a superfície do lago é perturbada pelas gotas de uma chuva
muito forte.
Fazendo incidir sobre a água do lago um pincel cilíndrico de luz
monocromática (uma cor/frequência), podemos observar reflexão e refração
difusas. Os pincéis luminosos refletido e refratado não serão cilíndricos; os raios
de luz que formam esses pincéis terão direções diversas, expandindo-se de modo
aleatório por todo o espaço. A figura abaixo mostra essa situação.
Vale lembrar algumas coisas:
● Mesmo na reflexão e refração difusas, por mais que não pareça, ainda
valem as leis da reflexão e da refração (que veremos adiante), as direções
diversas assumidas pelos raios se dão exclusivamente pela irregularidade da
suprefície.
● Como não existe superfície perfeitamente lisa, sempre que ocorre reflexão
ou refração uma parte da luz incidente é difundida. É claro que quando mais
lisa for a suprefície, menos é a parcela de luz difundida.
● A difusão da luz é decisiva para a visão das coisas que nos cercam. Um
pincel de luz que atravessa um quarto escuro, por exemplo, poderá ser
observado se na região abrangida por ele espalharmos fumaça, cujas
partículas constituentes difundem a luz, enviando-a aos nossos olhos.
10. Ponto objeto e ponto imagem
Definições
O conceito de ponto objeto e ponto imagem são essenciais no estudo da Óptica
Geométrica, e por mais que você pense “nunca vou usar isso”, vale a pena dar uma
olhada por que vai aparecer mais pra frente, e saber que isso existe é importante!
Considere as três figuras a seguir, em que são representados três sistemas
ópticos genéricos S¹, S² e S³, nos quais incide luz:
Relativamente a determinado sistema óptico, chama-se ponto objeto o vértice do
pincel luminoso INCIDENTE (ponto de onde sai a luz).
E é importante destacar que (se liga na figura pra entender melhor):
● Ponto objeto real é o vértice de um pincel incidente divergente, sendo
formado pelo cruzamento efetivo dos raios de luz. Relativamente a S¹, temos
um ponto objeto real (POR).
● Ponto objeto virtual é o vértice de um pincel incidente convergente,
sendo formado pelo cruzamento dos prolongamentos dos raios de luz.
Relativamente a S², temos um ponto objeto virtual (POV).
● Ponto objeto impróprio é o vértice de um pincel incidente cilíndrico,
estando situado no infinito. Relativamente a S³, temos um ponto objeto
impróprio (POI).
Relativamente a determinado sistema óptico, chama-se ponto imagem o vértice
do pincel luminoso EMERGENTE (ponto para onde vai a luz).
E covém destacar que (se liga na imagem acima):
● Ponto imagem real é o vértice de um pincel emergente convergente, sendo
formado pelo cruzamento efetivo dos raios de luz. Relativamente a S4 ,
temos um ponto imagem real (PIR).
● Ponto imagem virtual é o vértice de um pincel emergente divergente,
sendo formado pelo cruzamento dos prolongamentos dos raios de luz.
Relativamente a S5, temos um ponto imagem virtual (PIV).
● Ponto imagem impróprio é o vértice de um pincel emergente cilíndrico,
estando situado no infinito. Relativamente a S6, temos um ponto imagem
impróprio (PII).
Para tentar facilitar a compreensão, observe os exemplos seguintes:
Curiosidade:
Uma lupa (lente de aumento) tem o poder de concentrar a luz recebida do Sol
numa pequena região P. Colocando-se a extremidade inflamável de um palito de
fósforo em P, ela poderá se incendiar (irado!). Em relação ao sistema óptico lupa,
o Sol, situado a grande distância, comporta-se como objeto impróprio (situado no
infinito), enquanto P é uma imagem real do sol (como um reflexo do sol) formada
efetivamente por raios luminosos.
Comentários
As imagens reais podem ser projetadas em anteparos, como telões ou paredes.
Isso ocorre pelo fato de os pontos imagens reais constituirem vértices efetivos de
feixes luminosos emergentes do sistema óptico.
Depois de incidir no anteparo, a luz que determina a imagem real é
difundida para o ambiente, isto é, visão da figura projetada por parte dos vários
observadores simultaneamente. No cinema, por exemplo, a imagem projetada na
tela é real (viu que serve?).
Convém salientar, entretanto, que uma imagem real também pode ser
visualizada diretamente, isto é, sem estar projetada em anteparos. Para isso, basta
que o observador disponha o seu globo ocular de modo a ser atingido pela luz,
conforme a figura abaixo:
As imagens virtuais não podem ser projetadas em anteparos.
Isso ocorre por que não há luz na região em que se forma uma imagem virtual.
Observe que, embora não possa ser projetada em anteparos, uma imagem virtual
pode ser vista por um observador, comportando-se em relação ao seu globo ocular
como um objeto real. No esquema ao lado, representamos o exposto.
11. Reversibilidade da Propagação da Luz
A experiência a seguir envolve um observador, um espelho, uma lente e
uma pequena lanterna capaz de emitir um estreito pincel cilíndrico de luz
monocromática.
Ligando-se a lanterna, inicialmente situada na posição A, o pincel luminoso
emitido por ela descreverá a trajetória mostrada na figura a seguir, atingindo o olho
do observador situado na posição B.
Permutando-se, agora, as posições da lanterna e do olho do observador, notaremos
que, acendendo-se a lanterna na posição B, a luz emitida por ela descreverá a
mesma trajetória do caso anterior, atingindo o olho do observador situado na
posição A. A figura a seguir ilustra o exposto:
Essa experiência e outras similares constituem a evidência de que a propagação da
luz é reversível, isto é:
Em idênticas condições, a trajetória seguida pela luz independe do sentido de
propagação.
12. Reflexão: conceito, elementos e leis
Conceito
Este tópico refere-se ao fenômeno da reflexão da luz e suas aplicações em sistemas
ópticos de grande utilização prática, como espelhos planos e esféricos.
Anteriormente já demos uma olhada que:
Reflexão é o fenômeno que consiste no fato de a luz voltar a se propagar no meio
de origem, após incidir na superfície de separação desse meio com outro.
Elementos
Considere o esquema seguinte, que representa a reflexão de um raio de luz,
destacando os elementos nela envolvidos:
Leis
O fenômeno da reflexão é regido por duas leis, que podem ser verificadas teórica e
experimentalmente.
1º Lei da Reflexão
O raio refletido pertence ao plano de incidência, ou seja, o raio refletido, a reta
normal no ponto de incidência e o raio incidente são coplanares (se situam no
mesmo plano).
2º Lei da Reflexão IMPORTANTE
O ângulo de reflexão é sempre igual ao ângulo de incidência.
Observe o esquema seguinte, que representa a reflexão de um raio luminoso em
uma superfície S:
De acordo com as leis da reflexão, se AB e N estiverem contidos no plano do papel
(esse que você está lendo), o mesmo deverá acontecer com BC. Porém, teremos,
ainda, r = i.
13. O espelho plano
Chama-se espelho plano qualquer superfície plana, polida e com alto poder
refletor.
Bons espelhos planos são obtidos com o polimento de chapas metálicas. Entretanto, os
espelhos obtidos assim nem sempre são baratos e funcionais. Em geral, os espelhos planos
são confeccionados a partir de uma lâmina de vidro hialino(transparente) de faces paralelas,
sobre a qual se deposita, por processos fisico-químicos (pergunta lá pro Prof. de química), uma
película de prata que, posteriormente, recebe um verniz fixante.
O símbolo que adotaremos para representar os espelhos planos é o representado
abaixo.
Convém observar que num espelho plano há predominância da reflexão regular.
14. Construção gráfica das imagens no espelho plano
Consideremos o espelho plano abaixo e o ponto luminoso P. Pretendemos traçar
a imagem de P conjugada ao espelho. Para isso, utilizamos dois raios luminosos
(pelo menos) que, partindo de P, incidem no espelho. Esses raios incidentes
determinam raios refletidos, cujos prolongamentos interceptam-se no ponto P’.
O ponto P’, que é o vértice do pincel luminoso emergente do sistema, é a
imagem do objeto P, conjugada pelo espelho.
Observe que, no caso, P é um objeto real, enquanto P’ é uma imagem virtual
(formada “atrás do espelho”, isto é, obtida pelo cruzamento dos prolongamentos
dos raios refletidos).
Convém destacar que, em relação ao olho do observador, P’ se comporta
como objeto real, tudo se passando como se a luz fosse proveniente desse ponto.
Façamos agora, o traçado da imagem conjugada ao ponto P pelo espelho plano
indicado na figura abaixo:
Observe, neste caso, que, em relação ao espelho, P é um objeto virtual
(formato “atrás do espelho”, isto é, obtido pelo cruzamento dos prolongamentos
dos raios incidentes), enquanto P’ é uma imagem real (vértice efetivo do sistema).
O que acaba de ser exposto, além de mostrar o processo de construção das
imagens, permite uma conclusão importante:
Nos espelhos planos, o objeto e a respectiva imagem têm sempre naturezas
opostas, isto é, se o primeiro for real, o outro será virtual e vice-versa.
15. Propriedade fundamental do espelho plano:
simetria
Nos espelhos planos, a imagem é sempre simétrica do objeto em relação ao
espelho.
16. Imagem e objeto não-superponíveis
É importante observar que, devido à simetria, a imagem de um objeto
extenso fornecida por um espelho plano, embora idêntica a ele, não lhe é, em geral,
superponível.
Considere, por exemplo, a ilustração abaixo, que representa um espelho
diante do qual se coloca a letra F.
Nessas condições, a imagem fornecida pelo espelho é um F ao contrário,
não-superponível ao objeto que lhe deu origem. Diz-se que a imagem é
enantiomorfa (IMPORTANTE), isto é, tem forma contrária à do objeto.
Entretanto, a imagem fornecida por um espelho plano de um objeto
monocromático que admite um eixo de simetria é superponível a ele.
Se, por exemplo, tivermos a letra A (abaixo) diante de um espelho plano, o
objeto, suposto monocromático, admite um eixo de simetria, por isso sua imagem
lhe é superponível.
17. Translação de um espelho plano
No esquema seguinte, tem-se um objeto AB (uma vela de novo) situado diante
de um espelho plano. Nesse caso, o espelho conjuba AB a imagem A’B’ indicada
na figura. O espelho é então transladado, afastando-se de AB paralelamente a si
mesmo. Agora, em sua nova posição, o espelho conjuba a AB a nova imagem
A’’B’’.
Sejam ‘l’ o comprimento correspondente à translação do espelho e x o
comprimento correspondente à translação da imagem de AB. Relacionando x e l
através dos outros comprimentos referidos na figura, temos:
x = 2d2 - 2d1 => x = 2(d2 - d1) (I)
l = d2 - d1 (II)
Substituindo (II) em (I):
x = 2l
Concluímos portanto, o seguinte:
Quando um espelho plano é transladado paralelamente a si mesmo, a imagem
de um objeto fixo sofre translação no mesmo sentido, dupla em relação à do
espelho.
18. Rotação de um espelho plano
De forma análoga que na translação, podemos chegar à seguinte conclusão:
Quando um espelho plano sofre uma rotação de um ângulo
em torno de um
eixo normal (perpendicular) ao plano de incidência de um raio de luz fixo, o raio
refletido correspondente sofre uma rotação, no mesmo sentido, de um ângulo
duas vezes maior.
19. Imagens múltiplas em dois espelhos planos
associados
A figura seguinte representa dois espelhos planos E1 e E2, que formam entre suas
superfícies refletoras um ângulo
. O ponto P representa um objeto pontual
colocado diante dos espelhos.
A luz emanada de P sofrerá múltiplas reflexões, até emergir do sistema.
Devido a isso, a associação de espelhos conjugará a P várias imagens, que se
apresentação distribuídas ao longo de uma circunferência de centro em O e raio
OP.
O número n de imagens fornecidas pela associação fica determinado pela
fórmula:
onde
, o ângulo formado pelos espelhos, deve ser divisor de 360º, como por
exemplo 30º,60º,90º, etc.
Notas:
●
●
Se o quociente
der como resultado um número par, a fórmula será
aplicável qualquer que seja a posição de P entre os espelhos.
Se o quociente
der como resultado um número ímpar, a fórmula
só será aplicável se P estiver no plano bissetor do ângulo formado pelos
espelhos (na linha que divide o ângulo exatamente ao meio).
A título de ilustração, vamos analisar o caso em que se tem um objeto P situado
entre as superfícies refletoras de dois espelhos planos que formam entre si um
ângulo
= 60º.
O número de imagens que se obtém é:
No esquema seguinte, fazemos uma representação esquemática correspondente à
situação em estudo:
20. Classificação e elementos geométricos dos
espelhos esféricos
Considere a superfície esférica
da figura abaixo, seccionada (dividida) por
um plano
. O seccionamento corta
em duas partes, denominadas calotas
esféricas (como calotas de carro).
Chama-se espelho esférico qualquer calota esférica polida e com alto poder
refletor.
Se a superfície refletora está voltada para dentro da esfera, o espelho esférico
correspondente é denominado côncavo.
Se a superfície refletora da calota está voltada para fora da esfera, o espelho
esférico correspondente é denominado convexo.
Veja o esquema de um espelho esférico com seus principais elementos
geométricos:
● O centro C da esfera que originou a calota é chamado de centro de
curvatura do espelho.
● O pólo V da calota é chamado de vértice do espelho.
● Todas as demais retas que contêm o centro C são chamadas de eixos
secundários.
, que tem o vértice no centro C e os lados passando por pontos
● O ângulo
diamentralmente opostos da calota, é chamado de abertura do espelho (da
uma olhada na figura).
● O raio R da esfera que originou a calota é denominado raio de curvatura
do espelho.
● Qualquer plano perpendicular ao eixo principal é denominado plano
frontal.
21. Espelhos esféricos gaussianos
Em geral, as imagens fornecidas por espelhos esféricos são sensivelmente
distorcidas em comparação com os objetos correspondentes. As distorções
provocadas por esses espelhos são denominadas aberrações de esfericidade.
Entretanto, o físico e matemático alemão Karl Fredrich Gauss (1777-1855,
o cara era sinistro) observou que, operando-se com raios luminosos pouco
inclinados e pouco afastados em relação ao eixo principal (raios paraxiais), as
aberrações de esfericidade inerentes aos espelhos esféricos ficam sensivelmente
minimizadas.
Pra vocês que estão estudando pro vestibular, só interessam os espelhos
esféricos gaussianos, isto é, aqueles em que os raios luminosos envolvidos são
pouco inclinados e pouco afastados em relação ao eixo principal. Por raios
luminosos “pouco afastados” em relação ao eixo principal entendemos aqueles
cuja distância do ponto de incidência ao referido eixo é pequena em comparação
com o raio de curvatura do espelho.
22. Focos dos espelhos esféricos
De maneira geral:
O foco de um sistema óptico qualquer é um ponto que tem por conjugado um
ponto impróprio (“situado no infinito”). Não fique assustado se não entendeu,
vale a pena revisar a seção sobre Ponto Objeto e Ponto Imagem, mas antes da
uma lida nos exemplos.
Exemplo 1:
O fogão solar, projetado para ser utilizado no campo, tem funcionamento
parecido com o dos radiotelescópios. Raios solares paralelos incidem sobre um
captador parabólico e, depois de refletidos, convergem para o foco do sistema,
onde é colocada a panela contendo os alimentos.
Exemplo 2:
Nos holofotes e refletores que emitem feixes luminosso cilíndricos
(constituidos de raios paralelos), uma pequena lâmpada é instalada sobre o foco de
um espelho parabólico côncavo que conjuga à fonte de luz uma imagem imprópria.
Considere os espelhos esféricos gaussianos abaixo, nos quais incidem raios
luminosos paralelos entre si e ao eixo principal. A experiência mostra que as
direções dos raios refletidos passam, necessariamente, por um mesmo ponto do
eixo principal, denominaod foco principal (F, ou simplesmente ‘foco’).
Sobre o foco principal, temos a seguinte afirmação:
Nos espelhos esféricos gaussianos, o foco principal é aproximadamente
equidistante do centro de curvatura e do vértice. Ou seja
.
23. Raios luminosos particulares
Nos espelhos esféricos, alguns raios luminosos particulares de simples traçado
apresentam grande interesse, pois facilitam a construção gráfica das imagens.
1º raio particular
Todo raio luminoso que incide no espelho alinhado com o centro de curvatura
reflete-se sobre si mesmo.
Essa afirmação pode ser constatada de imediato, pois um raio luminoso que incide
alinhado com o centro de curvatura é normal à suprecficie refletora.
Sendo a incidência normal, o ângulo de incidência é nulo, o mesmo devento
ocorrer com o ângulo de reflexão (por que?). Daí dizermos que o “raio reflete-se
sobre si mesmo”. Sacou?
Usando a representação esférica gaussiana, temos as figuras:
2º raio particular
Todo raio luminoso que incide paralelamente ao eixo principal reflete-se
alinhado com o foco principal.
Observe que essa afirmação decorre da própria definição de foco principal.
E considerando a reversibilidade dos raios de luz (ahn?), podemos enunciar
também:
Todo raio luminoso que incide alinhado com o foco principal reflete-se
paralelamente ao eixo principal.
3º raio particular
Todo raio luminoso que incide no vértice do espelho gera, relativamente ao eixo
principal, um raio refletido simétrico.
Essa afirmação é consequência da 2º Lei da Reflexão. A reta normal à superfície
refletora V é o próprio eixo principal. Como o ângulo de reflexão deve ser igual ao
de incidência, justifica-se a simetria citada.
24. Construção gráfica das imagens nos espelhos
esféricos
Para construir a imagem de um ponto conjugada por um sistema óptico,
necessitamos de pelo menos dois raios luminosos incidentes. Em relação ao
traçado das imagens fornecidas pelos espelhos esféricos, devemos utilizar os
raios luminosos particulares descritos no item anterior. Essa seção é bastante
IMPORTANTE.
Considere, por exemplo, o espelho convexo abaixo, diante do qual há um
objeto AB(uma vela de novo) que tem o extremo B no eixo principal. Nesse caso,
para obter a imagem de AB, basta obtermos a imagem do extremo A, pois a
imagem correspondente ao extremo B estará situada no eixo principal.
Observe que, nessa situação, a imagem formada é:
● virtual: obtida pelo cruzamento dos prolongamentos dos raios refletidos (a
imagem é situada “atrás do espelho”).
● direita: “de cabeça pra cima” em relação ao objeto;
● menor: o “tamanho” da imagem é menor que o do objeto.
É importante destacar que:
A um objeto real, um espelho esférico convexo conjuba uma imagem sempre
virtual, direita e menor, compreendida entre o foco principal e o vértice,
independentemente da distância do objeto à superfície refletora.
Por outro lado, as características das imagens produzidas pelos espelhos côncavos
dependem da posição do objeto em relação ao espelho. Há cinco casos importantes
a considerar:
24. O referencial gaussiano
Podemos nos fundamentar em dados matemáticos e equações para discutir as
características das imagens produzidas em espelhos esféricos. É importante
salientar que tudo o que se pode concluir graficamente - por meio de esquemas também pode ser determinado analiticamente, isto é, por meio dos procedimentos
que apresentamos a seguir. Esta seção também é muito IMPORTANTE.
Para tanto, devemos considerar o referencial gaussiano, que nada mais é
que um sistema cartesiano constituído de dois eixos orientados perpendiculares
entre si, Ox e Oy.
Esses eixos terão sempre origem no vértice do espelho, sendo o eixo das
abscissas (Ox) orientado no sentido oposto ao da luz incidente, conforme mostram
os esquemas abaixo.
Elementos reais (objetos e imagens situados em frente ao espelho): Abscissa
positiva (Ox).
Elementos virtuais(objetos e imagens situados em atrás ao espelho): Abscissa
negativa (Ox).
Convém observar que nos espelhos côncavos a abscissa do foco principal é
positiva, enquanto nos espelhos convexos essa abscissa é negativa.
Observe o exemplo abaixo, em que é traçada a imagem do objeto AB,
situado diante de um espelho côncavo.
Considerando o referencial gaussiano, temos, nesse caso, que:
●
●
●
●
p > 0 (objeto real)
p’ < 0 (imagem virtual)
f > 0 (no espelho côncavo o foco principal é real)
o>0ei>0
A simbologia adotada nesse exmplo sera utilizada também nas próximas situações:
p = abscissa do objeto
p’ = abscissa da imagem
f = abscissa focal
o = ordenada do objeto
i = ordenada da imagem
Nota:
● O módulo de f recebe o nome de distância focal.
25. A função dos pontos conjugados (equação de
Gauss)
Chamada por alguns autores de equação de Gauss, a função dos pontos
conjugados tem grande importância nesse curso. Ela diz o seguinte:
Convém destacar que, ao utilizar essa fórmula, devem ser considerados os sinais
algébricos (+ e -) dados pelo referencial gaussiano. IMPORTANTE.
26. Aumento linear transversal
Representemos por o a ordenada (Oy) de um objeto linear colocado frontalmente
diante de um espelho esférico e por i a ordenada da respectiva imagem, ambas
dadas em relação ao referencial gaussiano.
Por definição, o aumento linear transversal é a grandeza adimensional A,
calculada pelo quociente da ordenada da imagem (i) pela pordenada do objeto
(o):
Se o aumento é negativo (A < 0), i e o têm sinais opostos e a imagem é invertida.
Considere, agora, a situação da figura a seguir.
Os triângulos ABC e A’B’V são semelhantes. Por isso podemos escrever:
Mas, da figura, temos:
Substituindo na expressão anterior, segue que:
Observe, no caso da situação propsota, que i < 0, o > 0, p > 0 (objeto real) e p’ >
0 (imagem real). Considerando os sinais algébricos de i,o,p e p’ e lembrando que
, podemos escrever que:
Com base nessa fórmula, convém comentar aqui duas situações importantes. em
cada caso, faremos a discussão analítica correspondente.
1º situação: Aumento positivo
Se A > 0, devemos ter:
a) i e o com o mesmo sinal: a imagem é direita;
b) p’ e p com sinais opostos: o objeto e a imagem têm naturezas opostas (se um é
real, o outro é virtual).
2º situação: Aumento negativo
Se A < 0, devemos ter:
a) i e o com sinais opostos: a imagem é invertida;
b) p’ e p com o mesmo sinal: o objeto e a imagem têm a mesma natureza (ambos
são reais ou ambos são virtuais).