Geometria Anal´ıtica e Cálculo Vetorial - Aula 7

Geometria Analı́tica e Cálculo Vetorial - Aula 7
Alex Abreu
Conteúdo
1 Dependência linear
1
2 Base
1
3 Transformações lineares
2
4 Propriedades geométricas das transformações lineares
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1
Dependência linear
Dizemos que os vetores v1 , v2 , . . . , vn são linearmente dependentes (L.D.) se existem λ1 , λ2 , . . . , λn
reais, não todos nulos, tal que
λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn = ~0.
Dizemos que eles são linearmente independentes (L.I.) caso contrário.
Por exemplo, os vetores e1 e e2 são L.I. (verifique!). Já os vetores (1, 2) e (2, 4) são L.D., uma
vez que (2, 4) − 2(1, 2) = 0.
O que significa geometricamente a dependência linear? Dois vetores v1 e v2 são L.D. se existem
λ1 e λ2 (não ambos nulos) tal que λ1 v1 +λ2 v2 = 0, logo os vetores v1 e v2 tem a mesma direção, em
outras palavras, se considerarmos os vetores com a mesma origem, eles serão colineares. Claramente
se os dois vetores forem colineares então eles serão linearmente dependentes. Equivalentemente, eles
serão L.D. se o paralelogramo formado por eles tem área 0.
Três vetores v1 , v2 e v3 são L.D. se λ1 v1 + λ2 v2 + λ3 v3 = 0. Podemos assumir sem perda de
generalidade que λ1 = 1 e logo vale v1 = λ2 v2 + λ3 v3 . Então, os três vetores são L.D. se, quando
considerarmos os 3 com a mesma origem, eles forem coplanares. Por outro lado, se v1 , v2 e v3 são
coplanares, então já vimos que, se v2 e v3 não tem a mesma direção, então existem λ2 e λ3 tal que
v1 = λ2 v2 + λ3 v3 , logo eles são linearmente dependentes. Se v2 e v3 tem a mesma direção, então
já vimos acima que eles serão dependentes.
Fica claro então que 3 (ou mais) vetores no plano sempre serão linearmente dependentes. Já
no espaço, 3 vetores serão L.D. se e somente se o volume do paralelepı́pedo formado por eles tem
volume 0.
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Base
Dizemos que os vetores v1 , v2 , . . . , vn são geradores de R3 (ou R2 ) se para todo vetor u ∈ R3
existem λ1 , . . . , λn números reais tais que u = λ1 v1 + . . . λn vn (dizemos que u é uma combinação
linear de v1 , . . . , vn ).
Por exemplo, e1 , e2 , e3 são geradores de R3 . Bem como se v1 , v2 são vetores de R2 não colineares
então são geradores. Já os vetores (1, 2, 2), (1, 0, 0), (0, 1, 1) não são geradores de R3 (verifique que
o vetor (1, 2, 3) não pode ser escrito como combinação linear destes vetores).
Vamos mostrar agora que quaisquer 3 vetores v1 , v2 , v3 de R3 que são linearmente independentes
são geradores de R3 (poderı́amos fazer uma argumentação geométrica parecida com o plano, mas
vamos fazer uma demonstração puramente algébrica, que poderá ser generalizada facilmente para
dimensões maiores). Já sabemos que e1 , e2 , e3 são geradores de R3 . Logo, podemos escrever v1 =
x1 e1 + y1 e2 + z1 e3 , como v1 6= 0, pelo menos um dos x1 , y1 , z1 é diferente de 0. Podemos supor sem
perda de generalidade que x1 6= 0. Logo vale que
e1 =
v1
y1 e2
z1 e3
−
−
,
x1
x1
x1
1
e portanto v1 , e2 , e3 são geradores de R3 . Logo, podemos escrever v2 = x2 v1 + y2 e2 + z2 e3 , como
v1 , v2 são L.I., então pelo menos um dos y2 , z2 é diferente de 0. Assuma, sem perda, que y2 6= 0,
logo podemos escrever
v2
x2 v1
z2 e3
e2 =
−
−
,
y2
y2
y2
e portanto v1 , v2 , e3 são geradores de R3 . Repetindo agora com o v3 , chegamos a conclusão que
v1 , v2 , v3 são geradores.
Podemos concluir então, que quaisquer 4 (ou mais) vetores em R3 são dependentes. Por outro
lado, o argumento acima (simplesmente trocando os papéis de ei e vi ) também funciona para
mostrar que 2 vetores não podem gerar o R3 ,o que é geometricamente claro. Se v1 , v2 geram R3 ,
então podemos escrever e1 = x1 v1 + y1 v2 e logo
v1 =
e1
y1 v2
−
,
x1
x1
portanto e1 , v2 geram R3 . Repetindo o processo pro e2 e usando que e1 , e2 são L.I., chegamos a
conclusão que e1 , e2 geram R3 , o que é falso.
Dizemos que o conjunto de vetores {v1 , . . . , vm } é uma base de Rn se eles são L.I. e geram Rn .
Pelo que vimos acima concluı́mos que qualquer base de R2 tem 2 elementos e qualquer base de R3
tem 3 elementos (e qualquer base de Rn tem n elementos).
Pelo que vimos até agora, 3 vetores v1 , v2 , v3 formam uma base de R3 se e somente se são
L.I., se e somente se o paralelepı́pedo formado por eles tem volume diferente de 0, se e somente
se det(v1 , v2 , v3 ) 6= 0. Analogamente, dois vetores v1 , v2 formam uma base de R2 se e somente se
det(v1 , v2 ) 6= 0 (aqui o determinante é 2x2).
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Transformações lineares
Uma função T : Rn → Rm (n, m = 1, 2, 3) é uma transformação linear se valem as seguintes
propriedades:
1. T (λv) = λT (v).
2. T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ).
Segue dessas propriedades que T (~0) = ~0. Por exemplo, temos as seguintes transformações lineares
(verifique!):
R2
1.
→ R2
(x, y)
R3
2.
7→ (y, x)
→ R
(x, y, z) 7→ 2x − 3y + z
3.
4.
R
t
R3
→ R3
7
→
(3t, 5t, −t)
→ R3
(x, y, z) 7→ (2y − 3x, x + 2y, 3x − z)
Seja agora e1 , e2 , e3 base de R3 (note que os argumentos aqui também funcionam para R2 ). Seja
também T : R3 → Rm uma transformação linear. Defina os vetores u1 , u2 , u3 ∈ Rm por ui = T (ei ).
Agora podemos calcular T (v) para qualquer v ∈ R3 em função dos ui .
Escrevemos v = xe1 + ye2 + ze3 . Então podemos calcular T (v) por
T (v) = T (xe1 + ye2 + ze3 ) = xT (e1 ) + yT (e2 ) + zT (e3) = xu1 + yu2 + zu3 .
No exemplo 1 acima, temos T (e1 ) = (0, 1) e T (e2 ) = (1, 0), logo T (x, y) = T (xe1 + ye2 ) = x(0, 1) +
y(1, 0) = (y, x). Já no exemplo 4 vale que T (e1 ) = (−3, 1, 3), T (e2 ) = (2, 2, 0) e T (e3 ) = (0, 0, −1).
Portanto, transformações lineares são definidas pela escolha dos vetores u1 = T (e1 ), u2 = T (e2 ),
u3 = T (e3 ). Ou seja, dada uma transformação linear T temos os vetores u1 , u2 , u3 e dado vetores
u1 , u2 , u3 , temos uma transformação linear T , definida como acima. Logo, toda transformação
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linear é associada a uma matriz, que também chamaremos de T , cujas colunas são os vetores
u1 , u2 , u3 .
Por exemplo, no exemplo 4 acima, temos que a matriz associada é


−3 2 0
T =  1 2 0 ,
3 0 −1
e, recordando do produto de matrizes, vemos que

 
 

−3 2 0
x
2y − 3x
 1 2 0  ·  y  =  x + 2y  ,
z
3x − z
3 0 −1
o que traduz muito bem o fato de T (x, y, z) = (2y − 3x, x + 2y, 3x − z). Em algum sentido,
transformações lineares é a generalização natural da multiplicação dos número reais. Reescrevendo
os outro exemplos na forma de matrizes ficamos com
0 1
x
y
1.
·
=
.
1 0
y
x


x
2.
(2, −3, 1) ·  y  = (2x − 3y + z).
z




3
3t
 5  · (t) =  5t  .
3.
−1
−t
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Propriedades geométricas das transformações lineares
Agora que já definimos transformações lineares, vamos entender suas propriedades geométricas.
Primeiro, transformações lineares levam retas em retas.
Seja T : Rn → Rm uma transformação linear e l uma reta em Rn pelos pontos A e B, ou seja
l = {P |P = A + t(B − A)}. Logo, a imagem de um ponto P em l é
T (P ) = T (A + t(B − A)) = T (A) + t(T (B) − T (A)),
e portanto a imagem da reta l é a reta pelos pontos T (A) e T (B).
A razão entre segmentos paralelos também é preservada via uma transformação linear. Sejam
AB
AB e CD dois segmento paralelos, tal que CD
= λ. Como, AB é paralelo a CD, isso quer dizer
que os vetores B − A e D − C tem a mesma direção e logo vale B − A = λ(D − C) (uma vez que
já sabemos a razão entre os tamanhos). Portanto, temos que
T (B) − T (A) = T (B − A) = T (λ(D − C)) = λ(T (D − C)) = λ(T (D) − T (C)),
Logo, os vetores T (B) − T (A) e T (D) − T (C) tem a mesma direção, e portanto os segmentos
T (A)T (B) e T (C)T (D) são paralelos, e vale que
T (A)T (B)
T (C)T (D)
= λ.
Em particular, vale que se M é o ponto médio de AB então T (M ) é o ponto médio de T (A)T (B).
Transformações lineares não preservam produto interno. No exemplo 4 acima 19 = h(−3, 1, 3), (−3, 1, 3)i =
hT (e1 ), T (e1 )i e he1 , e1 i = 1. Consequentemente, transformações lineares não preservam distâncias
nem ângulos, uma vez que esses podem ser calculados em função do produto interno. Veremos mais
pra frente que propriedades precisa ter uma transformação linear para preservar o produto interno.
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