Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matemática
MTM112 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 81, 82 e 84
Lista 1 - Tiago de Oliveira
Reveja a teoria e os exercı́cios feitos em sala.
"
#
"
#
1 −2 3
−1 2 0
1. Sejam A =
eB=
. Calcule 2A, 3B e 2A − 3B.
4 1 0
1 −2 0
—————————————————————————————————————————————
2. Determine os valores de x, y e z em R para que as matrizes A e B dadas sejam iguais:
"
A=
x+y
z
#
0
x − 2y
"
e
B=
13 0
1 4
#
.
—————————————————————————————————————————————
3. Dadas as matrizes
"
A=
−1
2
4 −2
0 −1
#
"
, B=
0
0
1 −2
1 −1
#
1
, C= 1
3
e
D=
h
−1
1
i
,
determine:
a) A + B;
b) −2C;
c) AC;
d) CD;
e) BC;
f ) DA.
—————————————————————————————————————————————
4. Considere as matrizes
A = [aij ]4×5
com
aij = i − j,
B = [bij ]5×9
com
bij = j
C = [cij ]
com
C = AB.
e
a) É possı́vel determinar c63 ? Justifique a resposta.
b) Determine c36 .
—————————————————————————————————————————————
5. Dada uma matriz A, dizemos que uma matriz X comuta com A se AX = XA. Determine todas as matrizes que
comutam com
"
A=
1
0
0
3
#
.
—————————————————————————————————————————————
6. Verdadeiro ou falso? Justifique
a) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então
(A − B)(A + B) = A2 − B 2 .
b) Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB = AC, então B = C.
7. Mostre que se A é uma matriz triangular superior de ordem 2 ou 3, então A2 também é uma matriz triangular
superior.
—————————————————————————————————————————————
"
#
1 2 3
T
8. a) Obtenha A , onde A =
.
0 −1 4
b) Verifique que a transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior.
c) Mostre que (A + B)T = AT + B T e (cA)T = cAT , onde A e B são matrizes de mesma ordem e c ∈ R.
d) Se A é uma matriz m × n e B é uma matriz n × p, prove que (AB)T = B T AT .
e) Mostre que (AT )T = A para toda matriz A de ordem m × n.
—————————————————————————————————————————————
9. Mostre que se B é uma matriz quadrada, então:
a) B + B T e BB T são simétricas;
b) B − B T é antissimétrica;
c) Observando que
B=
B − BT
B + BT
+
,
2
2
conclua que toda matriz quadrada se escreve como soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica.
—————————————————————————————————————————————
10. Dadas as matrizes
"
A=
10 −25
4 −10
#
e
−2
B= 2
4
1
−3
−4
−1
2 .
3
Calcule:
a) Calcule A2 e classifique a matriz A;
b) Calcule B 2 e classifique a matriz B.
—————————————————————————————————————————————
11. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casas: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade
de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
(Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência.)
a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas
unidades de cada material serão empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15,8,
5, 1 e 10 u.c.p. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
—————————————————————————————————————————————
2
12. Decida se as equações dadas são lineares.
a) 5x + 7y − 8yz = 16;
c) 3x + ky − 8z = 16.
b) x + πy + ez = log 5;
—————————————————————————————————————————————
13. Reduza as matrizes à forma escalonada.
1
a) 2
3
−2
−1
1
3 −1
2 3
2 3
0 1
b) 2 1
2 3
−2
3
−1
3
−4
2
c)
0
1
3
2
2 2
1 3
−4 2
−3 1
.
—————————————————————————————————————————————
14. Resolva o seguinte sistema de equações lineares.
2x −
4x −
x +
3x +
y
3y
y
y
+
+
+
+
3z
2z
z
z
=
=
=
=
11
0
6
4
—————————————————————————————————————————————
= 1
3x + 5y
15. Dado o sistema
2x
+ z = 3 escreva a matriz aumentada, associada ao sistema e reduza-a à
5x + y − z = 0
forma escalonada, para resolver o sistema original.
—————————————————————————————————————————————
16. Considere o sistema
(
x + ay
ax + 9y
=
=
4
b
a) Para quais valores de a o sistema tem solução única?
b) Encontre os pares (a, b) de valores para os quais o sistema tem mais do que uma solução.
—————————————————————————————————————————————
17. Determine k, para que o sistema adimita solução.
−4x
5x
2x
+ 3y
− 4y
− y
=
=
=
2
0
k
—————————————————————————————————————————————
18. Considere o sistema
x
3x
4x
− y
− 3y
− 4y
+ 2z
+ 6z
+ 8z
= 3
= −a
= b.
Encontre os valores de a e b para que o sistema possua alguma solução. Então a + b é igual a:
—————————————————————————————————————————————
3
19. Classifique em V ou F :
Seja k um número real. Considerando-se o sistema linear nas variáveis x e y dado por:
(
4kx
k3 x
(k − 1)y
(k − 1)y
+
+
=
=
1
2
a) uma solução para o sistema é x = 0 e y = 3.
b) se k = −2, o sistema não tem solução.
c) se k = 2, o sistema tem infinitas soluções.
d) existem infinitos valores de k para os quais o sistema possui solução única.
—————————————————————————————————————————————
20. Encontre todas as soluções do sistema
x1
2x1
x1
+ 3x2
+ 6x2
+ 3x2
+ 2x3
+ x3
− x3
+ 3x4
− 2x4
− 7x5
+ 5x5
+ 2x5
= 14
= −2
= −1
—————————————————————————————————————————————
21. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes aumentada, associada ao sistema e reduza-a à forma escalonada, para resolver o sistema original. Por final classifique-o.
(
a)
x +
2x +
x
b)
2x
x
(
x
c)
2x
x1
x
1
d)
x
1
x1
y
5y
+ z
− 2z
=
=
+ y
+ 5y
+ 7y
+ z
− 2z
− 7z
= 4
= 3
= 5
− 2y
+ 5y
+
+
3z
6z
=
=
0
0
+
+
+
−
+
+
−
+
x3
x3
x3
x3
+
−
+
+
x4
x4
x4
x4
x2
x2
x2
x2
x + 2y + 3z =
e)
2x + y + 3z =
3x + 2y + z =
3x + 2y − 4z =
x − y + z =
f)
x − y − 3z =
3x + 3y − 5z =
−x + y + z =
4
3
=
=
=
=
0
4
−4
2
0
0
0
1
3
−3
0
1
—————————————————————————————————————————————
22. Para a festa do Natal, uma creche necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma doação de R$ 370,00. Esperavase comprar carrinhos a R$2,00 cada, bonecas a R$ 3,00 e bolas a R$3,50. Se o número de bolas deveria ser igual
ao número de bonecas e carrinhos juntos, a solução seria comprar:
—————————————————————————————————————————————
23. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de
cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y , 1 grama de
insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do
kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,00 , R$3,00 e R$5,00, respectivamente. Com a venda de toda a
produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2500,00. Determine
quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.
—————————————————————————————————————————————
4
"
24. Dadas as matrizes A =
1
1
2
0
#
"
eB=
3
0
−1
1
#
, calcule
a) det A + det B
b) det(A + B)
—————————————————————————————————————————————
2 3
1 −2
5 3
1
4
25. Dada A =
calcule
0 1
2
2
3
−1
−2
4
b) |A23 |
a) A23
c) ∆23
d) det A
—————————————————————————————————————————————
2 1 −3
26. Dada a matriz A = 0 2 1 calcule
5 1 3
a) adj A
c) A−1
b) det A
—————————————————————————————————————————————
27. Sejam A e B matrizes do tipo n × n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas.
a) (
b) (
) det(AB) = det(BA)
T
) det(A ) = det A
c) (
) det(2A) = 2 det A
d) (
) det(A2 ) = (det A)2
—————————————————————————————————————————————
2 0 1
28. Seja D = 0 1 0 e E uma matriz 3 × 3 qualquer com det(E) = 2. Determine det(−2EDT E −1 ).
−1 0 −1
—————————————————————————————————————————————
29. Seja A a seguinte matriz
1
0
0
0
0
2
1
5
0
0
4
0
1
0
0
2
0
1
4
1
1
1
1
1
2
a) Determine det A;
b) Determine det(ABA−1 B T ), em que B é uma matriz triangular superior 5 × 5 tal que os elementos de sua
1
diagonal são tais que aii = i, se 1 ≤ i ≤ 3 e a44 = a55 = .
2
—————————————————————————————————————————————
30. Considere a seguinte matriz
(α − 4)
0
0
0
0
1
0
0
1
2
3
2
(α − 1) 1
0
2
Quais são os valores de α para que o sistema DX = 0 possua apenas a solução trivial?
—————————————————————————————————————————————
5
1
1
1
1
1
2
−1 2
1
0
31. Resolva a equação matricial AX = B, sendo A =
.
eB=
−1
2 −1 −1 −1
0
1 −3 1
2
—————————————————————————————————————————————
"
#
"
#
1 3
1 0
32. Considere a equação det(A − xI)= 0 onde A =
e I =
. Calcule a soma das raı́zes dessa
2 4
0 1
equação
—————————————————————————————————————————————
33. Sejam Li , i = 1, 2, 3, 4 as linhas da matriz A.
Suponha que a matriz
B=
2
0
0
0
10
−1
0
0
9 11
2 3
1 15
0 2
tenha sido obtida de A, aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares:
a) Troca da linha L1 com a linha L3 ;
b) Substituição da linha L3 por L3 + 7L1 ;
1
c) Substituição da linha L4 por L4 .
4
Dessa forma, calcule det(A).
—————————————————————————————————————————————
1 1 −1
1
34. Considere a matriz A = 2 1 1 e o sistema AX = 2 .
3 2 0
4
Classifique em Verdadeiro(V) ou Falso(F) justificando as seguintes afirmações:
a) (
) A é invertı́vel;
b) (
) O sistema AX = 0 possui somente a solução trivial;
c) (
) A forma escalonada reduzida de A não é igual a identidade;
d) (
) A possui determinante não nulo.
1
) Para que o sistema AX = 2 possua solução, o valor de b = 3.
b
e) (
—————————————————————————————————————————————
35. Verifique se as matrizes abaixo são inversı́veis. Caso sejam, encontre suas inversas:
a) A =
−1
2
0
0
0
3
−1
0
1
−2
2
1
0
6
0
5
b) B =
−1
1
0
2
2 6
3 3
7 4
1 −1
2
−2
0
−4
—————————————————————————————————————————————
6
36. Considere
k
D= 0
−1
0 k2
1 0
0 −1
a) Quais são os valores de k para que a matriz D é invertı́vel;
b) Faça k = −1 e seja E uma matriz 3 × 3 qualquer com det(E)= 2. Determine det(2EDT E −1 ).
—————————————————————————————————————————————
"
#
x−3 x+k
37. Considere o conjunto das matrizes da forma
, x ∈ R. Determine o valor de k para qual o qual
1
x−5
exista exatamente uma matriz não inversı́vel nesse conjunto.
—————————————————————————————————————————————
38. Para uma matriz quadrada A, sabe-se que det(A) = 2 e que a inversa é tal que:
A−1
1
= 0
−10
2
−1
2
2
a
−1
Calcule o valor desta constante a ∈ R.
—————————————————————————————————————————————
39. São dados as matrizes quadradas e invertı́veis A, B e C de ordem 3. Sabe-se que o determinante de C vale
1
(4 − x), onde x é um número real, o determinante da matriz inversa de B vale − e que (CAT )T = P −1 BP ,
3
onde P é uma matriz inversı́vel.
Sabendo que
0
A= 3
1
0 1
x 0
0 0
determine todos os possı́veis valores de x.
—————————————————————————————————————————————
40. Demonstre os seguintes casos
a) A matriz inversa é única;
b) A = (A−1 )−1 ;
c) (AT )−1 = (A−1 )T ;
d) (AB)−1 = B −1 A−1 ;
e) Se B = AAT A−1 , então det(A) = det (B);
f ) Se A = P T DP , onde D é uma matriz diagonal, então AT = A.
7
Respostas
"
−4
2
2
8
1. 2A =
2. x = 10,
"
3. a)
#
6
0
, 3B =
y=3
−1
2
"
e
5 −4
1 −2
#
−3
3
z = 1.
−2
b) −2
−6
6
−6
"
c)
0
0
#
−3
−1
#
"
e
2A − 3B =
−1
d) −1
−3
1
1
3
5
5
#
−10
8
6
0
"
#
−5
−2
e)
e)
h
3
−4
1
i
.
4. a)
Não. Porque para determinar c63 , a matriz A deveria ter, no mı́nimo, 6 linhas. b) c36 = 0.
!
a b
5. X =
comuta com A se, e somente se, b = c = 0 e a e d são números reais quaisquer.
c d
6. a) Falso
e
b) Falso
7. Provar
1
T
8. a) A = 2
3
0
−1 ,
4
b) Provar
c) Provar
d) Provar
3) Provar
9. a) , b) e c) Provar.
"
10. a) A2 =
0
0
0
0
#
, como A2 é igual a matriz nula, A é nihilpotente de ı́ndice 2.
−2
b) B 2 = 2
4
1
−3
−4
−1
2 ,
3
como B 2 = B, a matriz B é idempotente.
492
h
i
11. a) 146 526 260 158 388 , b) 528 e c) Ct = 11736, 00
465
12. a) Não ,
b) Sim ,
1 0 0
13. a) 0 1 0
0 0 1
c) Para k variável não, para k constante sim.
1 0
1 0 −7/2 5/2
22/7
0 1
3
−2 c)
−11/7 b) 0 1
0 0
0 0
0
0
−17/7
0 0
2
1
0
0
14. S = {x = −1, y = 2, z = 5}
7
1
17
15. S = x =
;y = − ;z =
16
16
8
16. a) a 6= 3 ,
b) (3, 12) e (−3, −12)
17. k = −6
18. a + b = 3
19. a) F
20.
x1
x3
x4
b) V
=
=
=
c) F
d) F
1 − 3x2 − x5
2 + x5
3 + 2x5
5 4
4 7
7 4
17 7
21. a) S.P.I x =
− z e y = − + z b) S.P.I x = − − z e y = + z
3
3
3 3
9 3
9 3
x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2 e x4 = −2 e) S.P.D x = y = z = 0 f) S.I
22. 40 bonecas, 20 carrinhos e 60 bolas.
8
c) S.P.I x = 3z e y = 0
d) S.P.D
23. Foram vendidos 700kg do produto X, 200kg do produto Y e 100kg do produto Z.
24. a) −1
b) 3.
2
= 0
3
3
1
−1
b) V
c) F
−2
25. a) A23
2 b) |A23 | = 36 c) ∆23 = −36 d) det
4
0, 11
5
−6 7
−1
26. a) adj A = 5
21 −2 b) det A 45 c) A = 0, 11
−0, 22
−10 3
4
27. a) V
V.
28. det(−2EDT E −1 ) = 8.
29.
30. α ∈ R − {1, 4}.
31. x = 0, y = 0, z = 2 e w = −1.
32. x1 + x2 = 5.
33. det A = 4.
34. a) Falsa
35. a) A−1
b) Falsa c) Verdadeira
−7/12 5/24
5/8
5/6
5/12
1/4
=
5/12
5/24
5/8
−1/12 −1/24 −1/8
36. a) k ∈ R − {0, 1}
37. k = −
21
4
38. a = −
39
44
d) Falsa e) Verdadeira.
−1/8
−1/2
b) Não existe B −1 .
−1/4
1/4
b) det(2EDT E −1 ) = 16.
39. x1 = 3 e x2 = 1.
40. Provar
9
A = 0.
−0, 13 0, 16
0, 47 −0, 04 .
0, 07
0, 09
