Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM112 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 81, 82 e 84 Lista 1 - Tiago de Oliveira Reveja a teoria e os exercı́cios feitos em sala. " # " # 1 −2 3 −1 2 0 1. Sejam A = eB= . Calcule 2A, 3B e 2A − 3B. 4 1 0 1 −2 0 ————————————————————————————————————————————— 2. Determine os valores de x, y e z em R para que as matrizes A e B dadas sejam iguais: " A= x+y z # 0 x − 2y " e B= 13 0 1 4 # . ————————————————————————————————————————————— 3. Dadas as matrizes " A= −1 2 4 −2 0 −1 # " , B= 0 0 1 −2 1 −1 # 1 , C= 1 3 e D= h −1 1 i , determine: a) A + B; b) −2C; c) AC; d) CD; e) BC; f ) DA. ————————————————————————————————————————————— 4. Considere as matrizes A = [aij ]4×5 com aij = i − j, B = [bij ]5×9 com bij = j C = [cij ] com C = AB. e a) É possı́vel determinar c63 ? Justifique a resposta. b) Determine c36 . ————————————————————————————————————————————— 5. Dada uma matriz A, dizemos que uma matriz X comuta com A se AX = XA. Determine todas as matrizes que comutam com " A= 1 0 0 3 # . ————————————————————————————————————————————— 6. Verdadeiro ou falso? Justifique a) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então (A − B)(A + B) = A2 − B 2 . b) Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB = AC, então B = C. 7. Mostre que se A é uma matriz triangular superior de ordem 2 ou 3, então A2 também é uma matriz triangular superior. ————————————————————————————————————————————— " # 1 2 3 T 8. a) Obtenha A , onde A = . 0 −1 4 b) Verifique que a transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior. c) Mostre que (A + B)T = AT + B T e (cA)T = cAT , onde A e B são matrizes de mesma ordem e c ∈ R. d) Se A é uma matriz m × n e B é uma matriz n × p, prove que (AB)T = B T AT . e) Mostre que (AT )T = A para toda matriz A de ordem m × n. ————————————————————————————————————————————— 9. Mostre que se B é uma matriz quadrada, então: a) B + B T e BB T são simétricas; b) B − B T é antissimétrica; c) Observando que B= B − BT B + BT + , 2 2 conclua que toda matriz quadrada se escreve como soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica. ————————————————————————————————————————————— 10. Dadas as matrizes " A= 10 −25 4 −10 # e −2 B= 2 4 1 −3 −4 −1 2 . 3 Calcule: a) Calcule A2 e classifique a matriz A; b) Calcule B 2 e classifique a matriz B. ————————————————————————————————————————————— 11. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casas: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: (Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência.) a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? b) Suponha agora que os preços por unidade ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15,8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? c) Qual o custo total do material empregado? ————————————————————————————————————————————— 2 12. Decida se as equações dadas são lineares. a) 5x + 7y − 8yz = 16; c) 3x + ky − 8z = 16. b) x + πy + ez = log 5; ————————————————————————————————————————————— 13. Reduza as matrizes à forma escalonada. 1 a) 2 3 −2 −1 1 3 −1 2 3 2 3 0 1 b) 2 1 2 3 −2 3 −1 3 −4 2 c) 0 1 3 2 2 2 1 3 −4 2 −3 1 . ————————————————————————————————————————————— 14. Resolva o seguinte sistema de equações lineares. 2x − 4x − x + 3x + y 3y y y + + + + 3z 2z z z = = = = 11 0 6 4 ————————————————————————————————————————————— = 1 3x + 5y 15. Dado o sistema 2x + z = 3 escreva a matriz aumentada, associada ao sistema e reduza-a à 5x + y − z = 0 forma escalonada, para resolver o sistema original. ————————————————————————————————————————————— 16. Considere o sistema ( x + ay ax + 9y = = 4 b a) Para quais valores de a o sistema tem solução única? b) Encontre os pares (a, b) de valores para os quais o sistema tem mais do que uma solução. ————————————————————————————————————————————— 17. Determine k, para que o sistema adimita solução. −4x 5x 2x + 3y − 4y − y = = = 2 0 k ————————————————————————————————————————————— 18. Considere o sistema x 3x 4x − y − 3y − 4y + 2z + 6z + 8z = 3 = −a = b. Encontre os valores de a e b para que o sistema possua alguma solução. Então a + b é igual a: ————————————————————————————————————————————— 3 19. Classifique em V ou F : Seja k um número real. Considerando-se o sistema linear nas variáveis x e y dado por: ( 4kx k3 x (k − 1)y (k − 1)y + + = = 1 2 a) uma solução para o sistema é x = 0 e y = 3. b) se k = −2, o sistema não tem solução. c) se k = 2, o sistema tem infinitas soluções. d) existem infinitos valores de k para os quais o sistema possui solução única. ————————————————————————————————————————————— 20. Encontre todas as soluções do sistema x1 2x1 x1 + 3x2 + 6x2 + 3x2 + 2x3 + x3 − x3 + 3x4 − 2x4 − 7x5 + 5x5 + 2x5 = 14 = −2 = −1 ————————————————————————————————————————————— 21. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes aumentada, associada ao sistema e reduza-a à forma escalonada, para resolver o sistema original. Por final classifique-o. ( a) x + 2x + x b) 2x x ( x c) 2x x1 x 1 d) x 1 x1 y 5y + z − 2z = = + y + 5y + 7y + z − 2z − 7z = 4 = 3 = 5 − 2y + 5y + + 3z 6z = = 0 0 + + + − + + − + x3 x3 x3 x3 + − + + x4 x4 x4 x4 x2 x2 x2 x2 x + 2y + 3z = e) 2x + y + 3z = 3x + 2y + z = 3x + 2y − 4z = x − y + z = f) x − y − 3z = 3x + 3y − 5z = −x + y + z = 4 3 = = = = 0 4 −4 2 0 0 0 1 3 −3 0 1 ————————————————————————————————————————————— 22. Para a festa do Natal, uma creche necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma doação de R$ 370,00. Esperavase comprar carrinhos a R$2,00 cada, bonecas a R$ 3,00 e bolas a R$3,50. Se o número de bolas deveria ser igual ao número de bonecas e carrinhos juntos, a solução seria comprar: ————————————————————————————————————————————— 23. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y , 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,00 , R$3,00 e R$5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2500,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. ————————————————————————————————————————————— 4 " 24. Dadas as matrizes A = 1 1 2 0 # " eB= 3 0 −1 1 # , calcule a) det A + det B b) det(A + B) ————————————————————————————————————————————— 2 3 1 −2 5 3 1 4 25. Dada A = calcule 0 1 2 2 3 −1 −2 4 b) |A23 | a) A23 c) ∆23 d) det A ————————————————————————————————————————————— 2 1 −3 26. Dada a matriz A = 0 2 1 calcule 5 1 3 a) adj A c) A−1 b) det A ————————————————————————————————————————————— 27. Sejam A e B matrizes do tipo n × n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. a) ( b) ( ) det(AB) = det(BA) T ) det(A ) = det A c) ( ) det(2A) = 2 det A d) ( ) det(A2 ) = (det A)2 ————————————————————————————————————————————— 2 0 1 28. Seja D = 0 1 0 e E uma matriz 3 × 3 qualquer com det(E) = 2. Determine det(−2EDT E −1 ). −1 0 −1 ————————————————————————————————————————————— 29. Seja A a seguinte matriz 1 0 0 0 0 2 1 5 0 0 4 0 1 0 0 2 0 1 4 1 1 1 1 1 2 a) Determine det A; b) Determine det(ABA−1 B T ), em que B é uma matriz triangular superior 5 × 5 tal que os elementos de sua 1 diagonal são tais que aii = i, se 1 ≤ i ≤ 3 e a44 = a55 = . 2 ————————————————————————————————————————————— 30. Considere a seguinte matriz (α − 4) 0 0 0 0 1 0 0 1 2 3 2 (α − 1) 1 0 2 Quais são os valores de α para que o sistema DX = 0 possua apenas a solução trivial? ————————————————————————————————————————————— 5 1 1 1 1 1 2 −1 2 1 0 31. Resolva a equação matricial AX = B, sendo A = . eB= −1 2 −1 −1 −1 0 1 −3 1 2 ————————————————————————————————————————————— " # " # 1 3 1 0 32. Considere a equação det(A − xI)= 0 onde A = e I = . Calcule a soma das raı́zes dessa 2 4 0 1 equação ————————————————————————————————————————————— 33. Sejam Li , i = 1, 2, 3, 4 as linhas da matriz A. Suponha que a matriz B= 2 0 0 0 10 −1 0 0 9 11 2 3 1 15 0 2 tenha sido obtida de A, aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares: a) Troca da linha L1 com a linha L3 ; b) Substituição da linha L3 por L3 + 7L1 ; 1 c) Substituição da linha L4 por L4 . 4 Dessa forma, calcule det(A). ————————————————————————————————————————————— 1 1 −1 1 34. Considere a matriz A = 2 1 1 e o sistema AX = 2 . 3 2 0 4 Classifique em Verdadeiro(V) ou Falso(F) justificando as seguintes afirmações: a) ( ) A é invertı́vel; b) ( ) O sistema AX = 0 possui somente a solução trivial; c) ( ) A forma escalonada reduzida de A não é igual a identidade; d) ( ) A possui determinante não nulo. 1 ) Para que o sistema AX = 2 possua solução, o valor de b = 3. b e) ( ————————————————————————————————————————————— 35. Verifique se as matrizes abaixo são inversı́veis. Caso sejam, encontre suas inversas: a) A = −1 2 0 0 0 3 −1 0 1 −2 2 1 0 6 0 5 b) B = −1 1 0 2 2 6 3 3 7 4 1 −1 2 −2 0 −4 ————————————————————————————————————————————— 6 36. Considere k D= 0 −1 0 k2 1 0 0 −1 a) Quais são os valores de k para que a matriz D é invertı́vel; b) Faça k = −1 e seja E uma matriz 3 × 3 qualquer com det(E)= 2. Determine det(2EDT E −1 ). ————————————————————————————————————————————— " # x−3 x+k 37. Considere o conjunto das matrizes da forma , x ∈ R. Determine o valor de k para qual o qual 1 x−5 exista exatamente uma matriz não inversı́vel nesse conjunto. ————————————————————————————————————————————— 38. Para uma matriz quadrada A, sabe-se que det(A) = 2 e que a inversa é tal que: A−1 1 = 0 −10 2 −1 2 2 a −1 Calcule o valor desta constante a ∈ R. ————————————————————————————————————————————— 39. São dados as matrizes quadradas e invertı́veis A, B e C de ordem 3. Sabe-se que o determinante de C vale 1 (4 − x), onde x é um número real, o determinante da matriz inversa de B vale − e que (CAT )T = P −1 BP , 3 onde P é uma matriz inversı́vel. Sabendo que 0 A= 3 1 0 1 x 0 0 0 determine todos os possı́veis valores de x. ————————————————————————————————————————————— 40. Demonstre os seguintes casos a) A matriz inversa é única; b) A = (A−1 )−1 ; c) (AT )−1 = (A−1 )T ; d) (AB)−1 = B −1 A−1 ; e) Se B = AAT A−1 , então det(A) = det (B); f ) Se A = P T DP , onde D é uma matriz diagonal, então AT = A. 7 Respostas " −4 2 2 8 1. 2A = 2. x = 10, " 3. a) # 6 0 , 3B = y=3 −1 2 " e 5 −4 1 −2 # −3 3 z = 1. −2 b) −2 −6 6 −6 " c) 0 0 # −3 −1 # " e 2A − 3B = −1 d) −1 −3 1 1 3 5 5 # −10 8 6 0 " # −5 −2 e) e) h 3 −4 1 i . 4. a) Não. Porque para determinar c63 , a matriz A deveria ter, no mı́nimo, 6 linhas. b) c36 = 0. ! a b 5. X = comuta com A se, e somente se, b = c = 0 e a e d são números reais quaisquer. c d 6. a) Falso e b) Falso 7. Provar 1 T 8. a) A = 2 3 0 −1 , 4 b) Provar c) Provar d) Provar 3) Provar 9. a) , b) e c) Provar. " 10. a) A2 = 0 0 0 0 # , como A2 é igual a matriz nula, A é nihilpotente de ı́ndice 2. −2 b) B 2 = 2 4 1 −3 −4 −1 2 , 3 como B 2 = B, a matriz B é idempotente. 492 h i 11. a) 146 526 260 158 388 , b) 528 e c) Ct = 11736, 00 465 12. a) Não , b) Sim , 1 0 0 13. a) 0 1 0 0 0 1 c) Para k variável não, para k constante sim. 1 0 1 0 −7/2 5/2 22/7 0 1 3 −2 c) −11/7 b) 0 1 0 0 0 0 0 0 −17/7 0 0 2 1 0 0 14. S = {x = −1, y = 2, z = 5} 7 1 17 15. S = x = ;y = − ;z = 16 16 8 16. a) a 6= 3 , b) (3, 12) e (−3, −12) 17. k = −6 18. a + b = 3 19. a) F 20. x1 x3 x4 b) V = = = c) F d) F 1 − 3x2 − x5 2 + x5 3 + 2x5 5 4 4 7 7 4 17 7 21. a) S.P.I x = − z e y = − + z b) S.P.I x = − − z e y = + z 3 3 3 3 9 3 9 3 x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2 e x4 = −2 e) S.P.D x = y = z = 0 f) S.I 22. 40 bonecas, 20 carrinhos e 60 bolas. 8 c) S.P.I x = 3z e y = 0 d) S.P.D 23. Foram vendidos 700kg do produto X, 200kg do produto Y e 100kg do produto Z. 24. a) −1 b) 3. 2 = 0 3 3 1 −1 b) V c) F −2 25. a) A23 2 b) |A23 | = 36 c) ∆23 = −36 d) det 4 0, 11 5 −6 7 −1 26. a) adj A = 5 21 −2 b) det A 45 c) A = 0, 11 −0, 22 −10 3 4 27. a) V V. 28. det(−2EDT E −1 ) = 8. 29. 30. α ∈ R − {1, 4}. 31. x = 0, y = 0, z = 2 e w = −1. 32. x1 + x2 = 5. 33. det A = 4. 34. a) Falsa 35. a) A−1 b) Falsa c) Verdadeira −7/12 5/24 5/8 5/6 5/12 1/4 = 5/12 5/24 5/8 −1/12 −1/24 −1/8 36. a) k ∈ R − {0, 1} 37. k = − 21 4 38. a = − 39 44 d) Falsa e) Verdadeira. −1/8 −1/2 b) Não existe B −1 . −1/4 1/4 b) det(2EDT E −1 ) = 16. 39. x1 = 3 e x2 = 1. 40. Provar 9 A = 0. −0, 13 0, 16 0, 47 −0, 04 . 0, 07 0, 09