Energia Mecanica

NOTA DE AULA
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO
ENERGIA MECÂNICA
1 INTRODUÇÃO
Quando um mergulhador pula de um trampolim para uma piscina, ele atinge a água com velocidade
relativamente elevada, possuindo grande energia cinética. De onde provém essa energia? A resposta que aprendemos
no capítulo anterior é que a força gravitacional (seu peso) exerce um trabalho sobre o mergulhador durante sua queda.
A energia cinética do mergulhador — a energia associada com seu movimento — aumenta em quantidade igual ao
trabalho realizado sobre ele.
Contudo, existe um modo alternativo muito útil para estudar conceitos envolvendo trabalho e energia cinética.
Esse novo método se pauta no conceito de energia potencial, que é a energia associada com a posição da partícula, e
não com seu movimento. Segundo essa abordagem, existe energia potencial gravitacional mesmo no caso de o
mergulhador ficar parado sobre o trampolim. Nenhuma energia é adicionada ao sistema mergulhador—Terra durante
sua queda, porém uma energia armazenada é transformada de uma forma (energia potencial) para outra forma
(energia cinética) durante sua queda. Neste capítulo estudaremos como essa transformação pode ser entendida a partir
do teorema do trabalho-energia.
Quando o mergulhador oscila no trampolim antes de pular, a tábua encurvada acumula um segundo tipo de
energia potencial denominada energia potencial elástica.
Discutiremos a energia potencial elástica de sistemas simples, como o de molas comprimidas ou alongadas. (Um
terceiro tipo importante de energia potencial está associado com a posição relativa entre cargas elétricas. Esse tipo de
energia potencial será estudado em outra disciplina)
Demonstraremos que em alguns casos a soma da energia potencial com a energia cinética, que fornece a
energia mecânica total de um sistema, permanece constante durante o movimento do sistema. Isso nos conduzirá a
uma formulação geral da lei da conservação da energia, um dos princípios mais fundamentais e abrangentes de todas as
ciências.
2 TRABALHO E ENERGIA POTENCIAL
No capítulo anterior discutimos a relação entre o trabalho e a variação da energia cinética. Agora, vamos discutir
a relação entre trabalho e uma variação da energia potencial.
Suponha que um tomate seja arremessado para cima como na figura 1. Já sabemos que, enquanto o tomate
está subindo, o trabalho Wg realizado pela força gravitacional sobre o tomate é negativo, porque a força extrai energia
da energia cinética do tomate.
FIGURA 1 Um tomate é arremessado para cima. Enquanto sobe, a força
gravitacional realiza um trabalho negativo sobre o tomate, diminuindo sua
energia cinética. Quando desce, a força gravitacional realiza um trabalho
positivo, aumentando sua energia cinética.
Podemos agora concluir a história dizendo que esta energia é transferida pela força gravitacional da energia
cinética do tomate para a energia potencial gravitacional do sistema tomate-Terra.
1
O tomate perde velocidade, para e começa a cair de volta por causa da força gravitacional. Durante a queda, a
transferência se inverte: o trabalho Wg realizado sobre o tomate pela força gravitacional agora é positivo e a força
gravitacional passa a transferir energia da energia potencial do sistema tomate-Terra para a energia cinética do tomate.
Tanto na subida como na descida a variação ΔU da energia potencial gravitacional é definida como o negativo
do trabalho realizado sobre o tomate pela força gravitacional. Usando o símbolo geral W para o trabalho, podemos
expressar esta definição através da seguinte equação:
ΔU = -W
[1]
Esta equação também se aplica a um sistema massa-mola como o da figura 2. Se empurramos bruscamente o
bloco, movimentando-o para a direita, a força da mola atua para a esquerda e, portanto, realiza trabalho negativo sobre
o bloco, transferindo energia da energia cinética do bloco para a energia potencial elástica do sistema bloco-mola. O
bloco perde velocidade até parar; em seguida, começa a se mover para a esquerda, já que a força da mola ainda está
dirigida para a esquerda. A partir desse momento, a transferência de energia se inverte: a energia passa a ser
transferida da energia potencial do sistema bloco-mola para a energia cinética do bloco.
FIGURA 2 Um bloco, preso a uma mola e inicialmente em repouso em x = 0, é colocado em movimento para a direita. (a)
Quando o bloco se move para a direita (no sentido indicado pela seta) a força elástica da mola realiza trabalho negativo
sobre o bloco. (b) Mais tarde, quando o bloco se move para a esquerda. Em direção ao ponto x = 0, a força da mola
realiza trabalho positivo sobre ele.
FORÇAS CONSERVATIVAS E DISSIPATIVAS
Vamos fazer uma lista dos elementos principais das duas situações que acabamos de discutir:
1. O sistema é formado por dois ou mais objetos.
2. Uma força atua entre um objeto do sistema que se comporta como partícula (o tomate ou o bloco) e o resto do
sistema.
3. Quando a configuração do sistema varia, a força realiza trabalho (W1 digamos) sobre o objeto, transferindo energia
cinética K do objeto para alguma outra forma de energia do sistema.
4. Quando a mudança da configuração se inverte, a força inverte o sentido da transferência de energia, realizando um
trabalho W2 no processo.
Nas situações em que a relação W1 = - W2 é sempre observada, a outra forma de energia é uma energia
potencial, e dizemos que a força é uma força conservativa. Como o leitor já deve ter desconfiado, a força gravitacional e
a força elástica são conservativas (de outra forma, não poderíamos ter falado em energia potencial gravitacional e da
energia potencial elástica, como fizemos anteriormente).
Uma força que não é conservativa é chamada de força dissipativa. A força de atrito cinético e a força de arrasto
são forças dissipativas. Imagine, por exemplo, um bloco deslizando em um piso com atrito. Durante o deslizamento a
força de atrito cinético exercida pelo piso realiza um trabalho negativo sobre o bloco, reduzindo sua velocidade e
transferindo a energia cinética do bloco para uma outra forma de energia, chamada energia térmica (que está associada
ao movimento aleatório de átomos e moléculas). Os experimentos mostram que essa transferência de energia não pode
ser revertida (a energia térmica não pode ser transferida de volta para a energia cinética do bloco pela força de atrito
cinético). Assim, embora tenhamos um sistema (composto pelo bloco e pelo piso), uma força que atua entre partes do
sistema e uma transferência de energia causada pela força, a força não é conservativa. Assim, a energia térmica não é
uma energia potencial.
Quando um objeto que se comporta como uma partícula está sujeito apenas a forças conservativas, certos
problemas que envolvem o movimento do objeto se tornam muito mais simples. Na próxima seção, em que
apresentamos um método para identificar forças conservativas, será apresentado um exemplo desse tipo de
simplificação.
3 INDEPENDÊNCIA DA TRAJETÓRIA PARA O TRABALHO DE FORÇAS CONSERVATIVAS
O teste principal para determinar se uma força é conservativa ou dissipativa é o seguinte: deixa-se a força atuar
sobre uma partícula que se move ao longo de um percurso fechado, começando em uma certa posição e retornando a
essa posição (ou seja, fazendo uma viagem de ida e volta). A força é conservativa se e apenas se a energia total
2
transferida durante a viagem de ida e volta, ao longo deste ou de qualquer outro percurso fechado, for nula. Em outras
palavras:
O trabalho total realizado por uma força conservativa sobre uma partícula que se move ao longo de qualquer percurso
fechado é nulo.
Sabemos, através de experimentos, que a força gravitacional passa neste teste do percurso fechado. Um
exemplo é o tomate da figura 1. O tomate deixa o ponto de lançamento com velocidade v0 e energia cinética ½ mv02. A
força gravitacional que age sobre o tomate reduz sua velocidade a zero e depois o faz cair de volta. Quando o tomate
retoma ao ponto de partida ele possui novamente uma velocidade v0 e uma energia cinética ½ mv02. Assim, a força
gravitacional extrai tanta energia do tomate durante a subida quanto fornece energia ao tomate durante a descida. O
trabalho total realizado sobre o tomate pela força gravitacional durante a viagem de ida e volta é, portanto, nulo.
Uma consequência importante do teste do percurso fechado é a seguinte:
O trabalho realizado por uma força conservativa sobre uma partícula que se move entre dois pontos não depende da
trajetória seguida pela partícula.
Suponha, por exemplo, que a partícula se move do ponto a para o ponto b da figura 3a seguindo a trajetória 1
ou a trajetória 2.
FIGURA 3 (a) Uma partícula pode se mover do ponto a ao ponto b,
sob a ação de uma força conservativa, seguindo a trajetória 1 ou a
trajetória 2. (b) A partícula descreve um percurso fechado,
seguindo a trajetória 1 para ir do ponto a ao ponto b e a trajetória
2 para voltar ao ponto a.
Se todas as forças que agem sobre a partícula são conservativas, o trabalho realizado sobre a partícula é o mesmo para
as duas trajetórias. Em símbolos, podemos escrever este resultado como
Wab,1 = Wab,2
[2]
onde o índice ab indica os pontos inicial e final, respectivamente, e os índices 1 e 2 indicam a trajetória.
Este resultado é importante porque permite simplificar problemas difíceis quando apenas uma força
conservativa está envolvida. Suponha que você precise calcular o trabalho realizado por uma força conservativa ao
longo de uma certa trajetória entre dois pontos e que o cálculo seja difícil ou mesmo impossível sem informações
adicionais. Você pode determinar o trabalho substituindo a trajetória entre estes dois pontos por outra para a qual o
cálculo seja mais fácil.
DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO 2
A figura 3b mostra um percurso fechado arbitrário de uma partícula sujeita à ação de uma única força. A
partícula se desloca de um ponto inicial a para um ponto b seguindo a trajetória 1 e volta ao ponto a seguindo a
trajetória 2. A força realiza trabalho sobre a partícula enquanto ela se desloca em cada uma das trajetórias. Sem nos
preocuparmos em saber se o trabalho realizado é positivo ou negativo, vamos representar o trabalho realizado de a até
b ao longo da trajetória 1 como Wab,1 e o trabalho realizado de b até a ao longo da trajetória 2 como Wba,2. Se a força é
conservativa, o trabalho total realizado durante a viagem de ida e volta deve ser zero:
Wab,1 + Wba,2 = 0
e, portanto,
Wab,1 = - Wba,2
[3]
Em palavras, o trabalho realizado ao longo da trajetória de ida deve ser o negativo do trabalho realizado ao longo da
trajetória de volta.
Consideremos agora o trabalho Wab,2 realizado pela força sobre a partícula quando ela se move de a para b ao
longo da trajetória 2 (figura 3a). Se a força é conservativa, este trabalho é o negativo de Wba,2:
Wab,2 = - Wba,2
[4]
Substituindo -Wba,2 por Wab,2 na equação 3, obtemos
Wab,1 = Wab,2
como queríamos demonstrar.
3
4 DETERMINAÇÃO DE VALORES DE ENERGIA POTENCIAL
Os valores dos dois tipos de energia potencial discutidos neste capítulo, a energia potencial gravitacional e a
energia potencial elástica, podem ser calculados com o auxílio de equações. Para chegar a essas equações, porém,
precisamos encontrar uma relação geral entre uma força conservativa e a energia potencial a ela associada.
Considere um objeto que se comporta como uma partícula e que faz parte de um sistema no qual atua uma
força conservativa F. Quando essa força realiza um trabalho W sobre o objeto, a variação ΔU da energia potencial
associada ao sistema é o negativo do trabalho realizado. Este fato é expresso pela equação 1 (ΔU = - W). No caso mais
geral em que a força varia com a posição, podemos escrever o trabalho W como:
xf

W  F(x) dx
[5]
xi
Esta equação fornece o trabalho realizado pela força quando o objeto se desloca do ponto xi para o ponto xf, mudando a
configuração do sistema. (Como a força é conservativa, o trabalho é o mesmo para qualquer percurso entre esses dois
pontos.)
Substituindo a equação 5 na equação 1, descobrimos que a variação de energia potencial associada à mudança
de configuração é
xf

U   F(x) dx
[6]
xi
a) ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Consideremos inicialmente uma partícula de massa m que se move verticalmente ao longo de um eixo y (com o
sentido positivo para cima). Quando a partícula se move do ponto yi para o ponto yf a força gravitacional Fg realiza
trabalho sobre ela. Para determinar a variação correspondente da energia potencial gravitacional do sistema partículaTerra usamos a equação 6 com duas modificações: (1) integramos ao longo do eixo y em vez do eixo x, já que a força
gravitacional age na direção vertical. (2) Substituímos a força F por - mg, pois Fg possui módulo mg e está orientada no
sentido negativo do y. Temos:
yf
yf


U   (mg) dy  mg dy  mg[y]yfyi
yi
yi
e portanto,
ΔU = mg(yf - yi) = mg Δy
[7]
São apenas as variações ΔU da energia potencial gravitacional (ou de qualquer outro tipo de energia) que
possuem significado físico. Entretanto, para simplificar um cálculo ou uma discussão às vezes gostaríamos de dizer que
um certo valor de energia potencial gravitacional U está associado a um certo sistema partícula-Terra quando a partícula
está a uma certa altura y. Para isso, escrevemos a equação 7 na forma
U - Ui = mg(y- yi).
[8]
e tomamos Ui como sendo a energia potencial gravitacional do sistema quando ele se encontra em uma configuração de
referência na qual a partícula está em um ponto de referência yi. Normalmente tomamos Ui = 0 e yi = 0. Fazendo isso, a
equação 8 se torna
U(y) = mgy
[9]
Esta equação nos diz o seguinte:
A energia potencial gravitacional associada a um sistema partícula-Terra depende apenas da posição vertical y (ou
altura) da partícula em relação à posição de referência y = 0, e não da posição horizontal.
b) ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
Consideramos a seguir o sistema massa-mola da figura 2, com o bloco se movendo na extremidade de uma mola
de constante elástica k. Enquanto o bloco se desloca do ponto xi para o ponto xf, a força elástica Fx = -kx realiza trabalho
sobre o bloco. Para determinar a variação correspondente da energia potencial elástica do sistema bloco-mola
substituímos F(x) por - kx na equação 6. Obtendo
xf
xf
1
U   (kx) dx  k xdx  k[x2 ]xfxi
2
xi
xi


ou
1
1
U  kx2f  kxi2
[10]
2
2
Para associar um valor de energia potencial U ao bloco na posição x escolhemos a configuração de referência como
sendo aquela na qual a mola se encontra no estado relaxado e o bloco está em xi = 0. Nesse caso, a energia potencial
elástica Ui é zero e a equação 10 se torna
4
1
U  0  kx2  0
2
o que nos dá
1
U (x)  kx2
2
[11]
5 ENERGIA MECÂNICA E SUA CONSERVAÇÃO
A energia mecânica Emec de um sistema é a soma da energia potencial U do sistema com a energia cinética K dos
objetos que compõem o sistema:
Emec = K + U
[12]
Nesta seção, vamos discutir o que acontece com essa energia mecânica quando as transferências de energia dentro do
sistema são produzidas apenas por forças conservativas, ou seja, quando os objetos do sistema não estão sujeitos a
forças de atrito e de arrasto. Além disso, vamos supor que o sistema está isolado do ambiente, isto é, que nenhuma
força externa produzida por um objeto fora do sistema causa variações de energia dentro do sistema.
Quando uma força conservativa realiza um trabalho W sobre um objeto dentro do sistema, essa força é
responsável por uma transferência de energia entre a energia cinética K do objeto e a energia potencial U do sistema.
De acordo com o teorema da energia cinética, a variação ΔK da energia cinética é
ΔK = W
[13]
e, de acordo com a equação 1, a variação ΔU da energia potencial é
ΔU = -W
[14]
Combinando as equações 13 e 14, temos:
ΔK = -ΔU
[15]
Em palavras, uma dessas energias aumenta exatamente da mesma quantidade que a outra diminui.
Podemos escrever a equação 15 na forma
K2 – K1 = -(U2 – U1)
[16]
onde os índices se referem a dois instantes diferentes e, portanto, a duas configurações distintas dos objetos do
sistema. Reagrupando os termos da equação 16, obtemos a seguinte equação:
K2 + U 2 = K 1 + U 1
[17]
Em palavras, esta equação diz o seguinte:
 Soma de K e U para
  Soma de K e U para qualquer 



 qualquer estado do sistema   outro estado do sistema

quando o sistema é isolado e apenas forças conservativas atuam sobre os objetos do sistema. Em outras palavras:
Em um sistema isolado, onde apenas forças conservativas causam variações de energia, a energia cinética e a energia
potencial podem variar, mas sua soma, a energia mecânica Emec do sistema, não pode variar.
Este resultado é conhecido como princípio de conservação da energia mecânica. (Agora você pode entender a origem
do nome força conservativa.) Com o auxílio da equação 15, podemos escrever este princípio de outra forma:
ΔEmec = ΔK + ΔU = 0
[18]
O princípio de conservação da energia mecânica permite resolver problemas que seriam bastante difíceis de resolver
usando apenas as leis de Newton:
Quando a energia mecânica de um sistema é conservada, podemos relacionar a soma da energia cinética com a energia
potencial em um instante à soma em outro instante sem levar em conta o movimento intermediário e sem calcular o
trabalho realizado pelas forças envolvidas.
A figura 4 mostra um exemplo no qual o princípio de conservação da energia mecânica pode ser aplicado.
Enquanto um pêndulo oscila, a energia do sistema pêndulo-Terra é transferida da energia cinética K para a energia
potencial gravitacional U e vice-versa, com a soma K + U permanecendo constante. Se conhecemos a energia potencial
gravitacional quando o peso do pêndulo está no ponto mais alto (figura 4c), a equação 17 nos fornece a energia cinética
do peso no ponto mais baixo (figura 4e).
Vamos, por exemplo, escolher o ponto mais baixo como o ponto de referência, com a energia potencial
gravitacional U2 = 0. Suponha que a energia potencial no ponto mais alto seja U1 = 20 J em relação ao ponto de
referência. Como o peso se imobiliza momentaneamente ao atingir o ponto mais alto, a energia cinética nesse ponto é
K1 = 0. Substituindo estes valores na equação 17, obtemos a energia cinética K2 no ponto mais baixo:
K2 + 0 = 0 + 20J ou K2 = 20J
Observe que obtivemos este resultado sem considerar o movimento entre os pontos mais baixo e mais alto (como na
figura 4d) e sem determinar o trabalho realizado pelas forças envolvidas no movimento.
5
FIGURA 4 Um pêndulo, com a massa concentrada em um peso na extremidade inferior, oscila de um lado para o outro.
É mostrado um ciclo completo do movimento. Durante o ciclo os valores da energia potencial e cinética do sistema
pêndulo-Terra variam quando o peso sobe e desce, mas a energia mecânica Emec do sistema permanece constante.
Pode-se dizer que a energia Emec se alterna continuamente entre as formas de energia cinética e energia potencial. Nos
estágios (a) e (e) toda a energia está na forma de energia cinética, o peso tem velocidade máxima e se encontra no
ponto mais baixo de sua trajetória. Nos estágios (c) e (g) toda a energia está na forma de energia potencial, o peso tem
velocidade nula e se encontra no ponto mais alto da trajetória. Nos estágios (h), (d), (f) e (h) metade da energia é
energia cinética e a outra metade é energia potencial. Se a oscilação do pêndulo envolvesse uma força de atrito no
ponto onde o pêndulo está preso ao teto ou uma força de arrasto devido ao ar, Emec não seria conservada e o pêndulo
acabaria parando.
6 FORÇA E ENERGIA POTENCIAL
Para os dois tipos de força conservativa estudados (a elástica e a gravitacional), começamos com uma descrição
do comportamento da força e a partir disso deduzimos uma expressão para a energia potencial. Por exemplo, para um
corpo de massa m em um campo gravitacional uniforme, a força gravitacional é dada por Fy = -mg. Vimos que a energia
potencial correspondente é dada por U(y) = mgy. Para esticar uma mola ideal a uma distância x, devemos exercer uma
força igual a -kx. Pela terceira lei de Newton, a força que a mola ideal exercerá sobre o corpo é igual e contrária ou Fx = kx. A função da energia potencial correspondente é dada por U(x) = ½ kx2.
Ao estudar física, porém, você encontrará situações em que lhe é dada uma expressão para a energia potencial
em função da posição para que seja calculada a força correspondente. Veremos vários exemplos desse tipo, quando
estudarmos as forças elétricas em uma outra disciplina: é em geral mais fácil calcular a energia potencial elétrica
primeiro e depois determinar a força elétrica correspondente.
6
A seguir, mostraremos como proceder para calcular a força que corresponde a um dada expressão de energia
potencial. Inicialmente considere um movimento retilíneo, sendo x a coordenada. Designamos o componente x da
força, uma função de x, por Fx(x), e a energia potencial por U(x). Essa notação serve para lembrarmos de que tanto Fx
quanto U são funções de x. Lembramo-nos agora de que o trabalho realizado por uma força conservativa em qualquer
deslocamento é igual, mas de sinal contrário, à variação ΔU da energia potencial:
W = -ΔU
Vamos aplicar esse resultado a um deslocamento pequeno Δx. O trabalho realizado pela força Fx(x) durante esse
deslocamento é aproximadamente igual a Fx(x) Δx. Devemos dizer ‘aproximadamente’ porque Fx(x) varia ligeiramente ao
longo do deslocamento Δx. Logo, é aproximadamente verdade que
U
Fx (x)x  U e Fx (x)  
x
Você já deve ter percebido o que virá. Tomamos o limite quando Δx→0 nesse limite, a variação de Fx torna-se
desprezível, e achamos a expressão exata
Fx (x)  
dU(x)
dx
[19]
Esse resultado faz sentido; em regiões onde U(x) varia rapidamente com x (ou seja, onde dU(x)/dx é grande), ocorre a
realização de um trabalho grande em um dado deslocamento, e a força correspondente possui módulo elevado. Por
outro lado, quando Fx(x) está orientada no sentido positivo do eixo Ox, U(x) diminui quando x cresce. Logo, Fx(x) e
dU(x)/dx devem realmente possuir sinais contrários. O significado físico da equação (19) é que uma força conservativa
sempre atua no sentido de conduzir o sistema a uma energia potencial mais baixa. Para conferir, considere a função da
energia potencial elástica, U(x) = ½ kx2. Usando a equação (19), obtemos
Fx (x)  
d 1 2
kx   kx
dx  2

que é a expressão correta da força exercida por uma mola ideal (figura 5a). Analogamente, para a energia potencial
gravitacional temos U(y) = mgy; tomando o cuidado de substituir x por y na escolha do eixo, obtemos Fy = -dU/dy = d(mgy)/dy = -mg, que é a expressão correta para a força gravitacional (figura 5b).
FIGURA 5 Uma força conservativa é a derivada negativa da energia potencial correspondente.
FORÇA E ENERGIA POTENCIAL EM TRÊS DIMENSÕES
Podemos estender a análise anterior para três dimensões, onde a partícula pode se mover ao longo do eixo Ox,
Oy ou Oz, ou então, mover-se no espaço com componentes simultaneamente em todas essas direções, quando está sob
a ação de uma força que possui componentes FX, FY e FZ. Cada componente da força pode ser uma função das
coordenadas x, y e z. A função da energia potencial U é sempre uma função dessas três coordenadas espaciais.
Podemos agora usar a equação (19) para achar cada componente da força. A variação da energia potencial ΔU quando a
partícula se move de uma pequena distância Δx ao longo do eixo Ox é novamente dada por -FxΔx; ela não depende de FY
ou de FZ, que são componentes da força ortogonal ao deslocamento e não realizam trabalho. Sendo assim, temos
novamente a expressão aproximada
U
Fx  
x
Os componentes y e z da força são obtidos de modo análogo:
Fy  
U
y
Fz  
U
z
Para fazer essas relações tornarem-se exatas, precisamos tomar os limites quando Δx→0, Δy→0 e Δz→0, de modo que
essas relações se transformem nas respectivas derivadas. Como U é uma função dessas três coordenadas, devemos
lembrar que ao calcular cada uma dessas, somente uma coordenada varia de cada vez. Calculamos a derivada de U em
relação a x supondo y e z constantes e somente x variando, e assim por diante. Esse tipo de derivada denomina-se
7
derivada parcial. A notação usual para a derivada parcial é ∂U/∂x e assim por diante; o símbolo ∂ é um d modificado
para lembrar-nos da diferença entre os dois tipos de derivada. Logo escrevemos
Fx  
U
x
Fy  
U
y
Fz  
U
z
[20]

Podemos usar vetores unitários para escrever uma expressão vetorial compacta para a força F :

 U U U 
F   i 
j k
z 
 x y
[21]
A expressão no interior dos parênteses representa uma operação particular, na qual tomamos as derivadas parciais de U
em relação a cada uma das coordenadas, multiplicamos pelo respectivo vetor unitário e fazemos a soma vetorial. Essa

operação, geralmente abreviada como U é chamada de gradiente de U. Portanto, a força é o gradiente da energia
potencial com o sinal contrário:


F  U
[22]
Para conferirmos, substituindo a expressão da energia potencial gravitacional U = mgy na equação (22), encontramos:


 (mgy) (mgy) (mgy) 
F  (mgy)   
i
j
k   (mg)j
y
z
 x

Este resultado é a expressão familiar da força gravitacional.
7 TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA EXTERNA SOBRE UM SISTEMA
No capítulo anterior definimos o trabalho como a energia transferida para um objeto ou de um objeto através
de uma força que age sobre o sistema. Podemos agora estender essa definição para uma força externa que age sobre
um sistema de objetos.
Trabalho é a energia transferida para um sistema ou de um sistema através de uma força externa que age sobre o
sistema.
A figura 6a mostra um trabalho positivo (uma transferência de energia para um sistema) e a figura 6b mostra
um trabalho negativo (uma transferência de energia de um sistema). Quando mais de uma força age sobre um sistema,
o trabalho total dessas forças é a energia transferida para o sistema ou retirada do sistema.
FIGURA 6 (a) O trabalho positivo W realizado sobre um sistema corresponde a uma transferência de energia para o
sistema. (b) O trabalho negativo corresponde a uma transferência de energia para fora do sistema.
Essas transferências são semelhantes às transferências de dinheiro em uma conta bancária através de depósitos
e saques. Se um sistema contém uma única partícula ou um único objeto que se comporta como uma partícula, como
no capítulo anterior, o trabalho realizado por uma força sobre o sistema pode mudar apenas a energia cinética do
sistema. Esta transferência é governada pelo teorema do trabalho e energia cinética expresso pela equação ΔK = W, ou
seja, uma única partícula possui apenas uma conta de energia, chamada energia cinética. Forças externas podem
apenas transferir energia para esta conta ou retirar energia desta conta. Se um sistema é mais complicado, porém, uma
força externa pode alterar outras formas de energia (como a energia potencial), ou seja, um sistema mais complexo
pode ter várias contas de energia.
Vamos formular definições de energia para esses sistemas mais complexos examinando duas situações básicas,
uma que não envolve o atrito e outra que envolve o atrito.
NA AUSÊNCIA DE ATRITO
Em uma competição de arremesso de bolas de boliche, primeiro você se agacha e coloca as mãos em concha
debaixo da bola. Em seguida, você se levanta rapidamente e ao mesmo tempo levanta as mãos, lançando a bola quando
as mãos atingem o nível do rosto. Durante o movimento para cima a força que você aplica à bola obviamente realiza
trabalho. Ela é uma força externa que transfere energia, mas para qual sistema?
Para responder a essa pergunta vamos verificar quais são as energias que mudam. Há uma variação ΔK da
energia cinética da bola e, como a bola e a Terra ficaram mais afastadas uma da outra, há também uma variação ΔU da
energia potencial gravitacional do sistema bola-Terra. Para levar em conta essas duas variações é preciso considerar o
sistema bola-Terra. Assim, a força que você aplica é uma força externa que realiza trabalho sobre esse sistema, e o
trabalho é dado por
8
W = ΔK + ΔU
[23]
ou W = ΔEmec
[24]
onde ΔEmec é a variação da energia mecânica do sistema. Essas duas equações, que estão representadas na figura 7, são
equivalentes no caso de um trabalho realizado por uma força externa sobre o sistema na ausência de atrito.
FIGURA 7 Um trabalho positivo W é realizado sobre um sistema
composto por uma bola de boliche e a Terra, causando uma variação
ΔEmec da energia mecânica do sistema, uma variação ΔK da energia
cinética da bola e uma variação ΔU da energia potencial gravitacional
do sistema.
NA PRESENÇA DE ATRITO
Vamos agora considerar o exemplo da figura 8a. Uma força horizontal constante F puxa um bloco ao longo de
um eixo x, deslocando-o de uma distância d e aumentando a velocidade do bloco de v0 para v. Durante o movimento o
piso exerce uma força de atrito cinético constante fk sobre o bloco. Inicialmente, vamos escolher o bloco como nosso
sistema e aplicar a ele a segunda lei de Newton.
FIGURA 8 (a) Um bloco é puxado por uma força F enquanto uma força de atrito cinético fk se opõe ao movimento. O
bloco tem uma velocidade v0 no inicio do deslocamento e uma velocidade v no final do deslocamento. (b) Um trabalho
positivo W é realizado pela força F sobre o sistema bloco-piso, produzindo uma variação ΔEmec da energia mecânica do
bloco e uma variação ΔEt da energia térmica do bloco e do piso.
Podemos escrever essa lei para as componentes ao longo do eixo x (Fres,x = max) na forma
F – fk = ma
[25]
Como as forças são constantes, a aceleração a também é constante. Assim, podemos usar a equação
v2 = v02 + 2ad
Explicitando a nesta equação, substituindo o resultado na equação 25 e reagrupando os termos, obtemos
Fd =1/2 mv2 – 1/2 mv02 + fkd
[26]
ou, como 1/2 mv2 – 1/2 mv02 = ΔK para o bloco.
Fd = ΔK + fkd
[27]
Em uma situação mais geral (na qual, por exemplo, o bloco esteja subindo uma rampa) pode haver uma variação da
energia potencial. Para levar em conta essa possível variação generalizamos a equação 27, escrevendo
Fd = ΔEmec + fkd
[28]
Observamos experimentalmente que o bloco e a parte do piso ao longo da qual o bloco se desloca ficam mais
quentes quando o bloco está se movendo. Como será visto posteriormente, a temperatura de um objeto está
relacionada à sua energia térmica Et (energia associada ao movimento aleatório dos átomos e moléculas do objeto).
Neste caso, a energia térmica do bloco e do piso aumenta porque (1) existe atrito entre eles e (2) há movimento.
Lembre-se de que o atrito é causado pelas soldas a frio entre as duas superfícies. Quando o bloco desliza sobre o piso as
soldas são repetidamente rompidas e refeitas, o que aquece o bloco e o piso. Assim, o deslizamento aumenta a energia
térmica Et do bloco e do piso.
9
Experimentalmente, observa-se que o aumento ΔEt da energia térmica é igual ao produto do módulo da força
de atrito cinético, fk por d, o módulo do deslocamento:
ΔEt = fk d
[29]
Assim, podemos reescrever a equação 28 na forma
Fd = ΔEmec + ΔEt
[30]
Fd é o trabalho W realizado pela força externa F (a energia transferida pela força), mas sobre que sistema o
trabalho é realizado (onde são feitas as transferências de energia)? Para responder a esta pergunta, verificamos quais
são as energias que variam. A energia mecânica do bloco varia e as energias térmicas do bloco e do piso também
variam. Assim, o trabalho realizado pela força F é realizado sobre o sistema bloco-piso. Esse trabalho é dado por
W = ΔEmec + ΔEt
[31]
Esta equação, que está representada na figura 8b, é a definição do trabalho realizado por uma força externa sobre um
sistema no qual existe atrito.
8 DIAGRAMAS DE ENERGIA
Quando uma partícula se desloca em linha reta sob a ação de uma força conservativa, podemos inferir diversas
possibilidades de movimentos examinando o gráfico da função U(x) da energia potencial. A figura 9a mostra um
cavaleiro de massa m que se move ao longo do eixo Ox em um trilho de ar. A mola exerce sobre o cavaleiro uma força
na direção do eixo Ox dada por Fx = -kx. A figura 9b mostra um gráfico da energia potencial correspondente U(x) = ½ kx2.
Se a força elástica da mola for a única força horizontal atuando sobre o cavaleiro, a energia mecânica total E = K + U
permanecerá constante, não dependendo de x. Assim, o gráfico de E em função de x é uma linha reta horizontal.
Usamos o termo diagrama de energia para um gráfico como esse, que mostra tanto a função da energia potencial U(x)
quanto a energia da partícula sujeita à força que corresponde a U(x).
A distância vertical entre a curva de U e a curva de E para cada ponto do diagrama dada pela diferença E - U
fornece a energia cinética K nesse ponto. Note que K possui seu valor máximo para x = 0. Ele se anula para os valores de
x referentes à intersecção das duas curvas, indicadas por A e -A no diagrama. Portanto, a velocidade v possui seu valor
máximo para x = 0 e se anula para x = ± A, os pontos que, para um dado valor da energia total E, correspondem ao
deslocamento máximo possível a partir de x = 0. A energia potencial U nunca pode ser maior do que a energia total E; se
isso ocorresse, K teria valor negativo, o que é impossível. Trata-se de um movimento oscilatório entre os extremos x = A
e x = -A.
FIGURA 9 (a) Um cavaleiro sobre um trilho de ar. A mola exerce uma força Fx = –kx. (b) A função da energia potencial.
Para cada ponto, a força Fx sobre o cavaleiro é dada pela inclinação da curva U(x) com sinal contrário: Fx = dU/dx (figura 5a). Quando a partícula está em x = 0, a inclinação e a força são iguais a zero, portanto essa é uma posição
de equilíbrio. Quando x é positivo, a inclinação da curva U(x) é positiva e a força Fx é negativa, orientada para a origem.
Quando x é negativo, a inclinação da curva U(x) é negativa e a força Fx é positiva, orientada novamente para a origem.
Essa força algumas vezes é chamada de força restauradora; quando o cavaleiro se desloca para qualquer um dos lados
de x = 0, a força resultante tende a ‘restaurar’ sua posição para x = 0. Situação análoga ocorre quando uma bola de gude
rola dentro de um recipiente com o fundo redondo. Dizemos que x = 0 é um ponto de equilíbrio estável. De modo geral,
qualquer mínimo na curva da energia potencial corresponde a um ponto de equilíbrio estável.
A figura 10a mostra uma função da energia potencial U(x) hipotética e geral. A figura 10b mostra a força
correspondente Fx = -dU/dx. Os pontos x1 e x3 são pontos de equilíbrio estável. Em cada um desses pontos, Fx é igual a
zero porque a inclinação da curva U(x) é nula. Quando a partícula se desloca para qualquer um dos lados, a força a
empurra de volta para o ponto de equilíbrio. A inclinação da curva U(x) também é nula nos pontos x2 e x4, que também
são pontos de equilíbrio. Contudo, quando a partícula se desloca um pouco para a direita de qualquer um desses
10
pontos, a inclinação da curva U(x) torna-se negativa e a força correspondente Fx torna-se positiva, empurrando a
partícula para longe do ponto de equilíbrio. Quando a partícula se desloca um pouco para a esquerda, a força Fx tornase negativa, empurrando novamente a partícula para longe do ponto de equilíbrio. Situação análoga ocorre quando uma
bola de gude rola a partir do equilíbrio no topo de uma bola de boliche. Os pontos x2 e x4 correspondem a pontos de
equilíbrio instável; qualquer máximo na curva da energia potencial corresponde a um ponto de equilíbrio instável.
Quando a partícula possui energia total E1 e está inicialmente em repouso próximo do ponto x1, ela pode se
mover somente na região entre xa e xb delimitada pela intersecção entre a reta E1 e o gráfico de U (figura 10a).
Novamente, U não pode ser maior do que E1 porque K não pode ter valores negativos. Dizemos que a partícula se move
em um poço de potencial, e xa e xb são os pontos de inversão do movimento da partícula (porque nestes pontos a
partícula para momentaneamente e inverte o sentido do movimento). Quando a energia total aumenta para um valor
E2, a partícula pode se mover em uma região maior, entre xc e xd. Quando a energia total é maior do que E3, a partícula
pode ‘escapar’ e se deslocar para valores infinitamente grandes de x. No outro extremo, E0 representa o menor valor
possível da energia total do sistema.
FIGURA 10 Os máximos e mínimos de uma função da energia potencial U(x) correspondem aos pontos onde Fx = 0.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Um saco de farinha de 5,0 kg é elevado verticalmente até uma altura de 15,0 m com uma velocidade constante de
3,5 m/s.
a) Qual é o módulo da força necessária?
b) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre o saco? Em que se transforma esse trabalho?
SOLUÇÃO
Aplique ΣF = ma ao saco para encontrar a força. O trabalho é dado por W = Fd cos φ. A força de elevação atua na mesma
direção que o movimento do saco, portanto φ = 0°.
a) Para velocidade constante, a força líquida é zero, então a força necessária é o peso do saco, P = (5,00 kg) (9,80 m/s2) =
49,0 N.
b) W = (49,0 N) (15,0 m) = 735 J. Este trabalho torna-se energia potencial.
02. A figura a seguir mostra um pedaço de 2,0 kg de queijo gorduroso que desliza por um trilho sem atrito do ponto a ao
ponto b. O queijo percorre uma distância total de 2,0 m ao longo do trilho e uma distância vertical de 0,80 m.
11
Qual é o trabalho realizado sobre o queijo pela força gravitacional durante o deslocamento?
SOLUÇÃO
(1) Não podemos usar a equação (W = mgd cos) para calcular o trabalho, pois o ângulo  entre a força gravitacional Fg
e o deslocamento d varia de ponto para ponto de forma desconhecida. (Mesmo que conhecêssemos a forma da
trajetória e pudéssemos calcular  para todos os pontos, o cálculo poderia ser muito difícil.)
(2) Como Fg é uma força conservativa, podemos calcular o trabalho escolhendo outra trajetória entre a e b, uma que
tome os cálculos mais simples.
Vamos escolher o percurso tracejado da figura abaixo; ele é formado por dois segmentos de reta. Ao longo do segmento
horizontal o ângulo  é constante e igual a 90°.
Não conhecemos o deslocamento horizontal de a para b, mas a equação (W = mgd cos) nos diz que o trabalho Wh
realizado ao longo deste segmento é Wh = mgd cos 90° = 0.
No segmento vertical, o deslocamento d é 0,80 m e, com Fg e d apontando verticalmente para baixo, o ângulo  é
constante e igual a 0°. Assim, a equação (W = mgd cos) nos fornece, para o trabalho W, realizado ao longo do trecho
vertical do percurso tracejado, Wv = mgd cos 0° = (2,0 kg)(9,8 m/s2)(0,80 m)(1) = 15,7 J.
O trabalho total realizado sobre o queijo por Fg quando o queijo se desloca do ponto a para o ponto b ao longo do
percurso tracejado é, portanto, W = Wh + Wv = 0 + 15,7 J = 15,7 J.
Este é também o trabalho realizado quando o queijo escorrega ao longo do trilho de a até b.
03. Um trabalhador de 75 kg sobe por uma escada de 7,0 m até o telhado plano de uma casa. Ele caminha 12 m sobre o
telhado, desce por outra escada vertical de 7,0 m e finalmente caminha pelo solo de volta ao seu ponto de partida.
Quanto trabalho a gravidade realiza sobre ele
a) enquanto ele sobe;
b) enquanto ele desce;
c) enquanto ele caminha sobre o telhado e sobre o solo?
d) Qual é o trabalho total realizado sobre ele pela gravidade no percurso completo?
e) Com base na resposta do item d), você afirmaria que a gravidade é uma força conservativa ou não conservativa?
Explique.
SOLUÇÃO
O trabalho da força peso(gravidade) é dado por Wgrav = mg cosφ. Quando ele se move para cima, φ = 180° e quando se
move para baixo, φ = 0°. Quando ele se move paralelo ao solo, φ = 90°.
a) Wgrav = (75 kg) (9,80 m/s2) (7,0 m) cos180 ° = -5100 J.
b) Wgrav = (75 kg) (9,80 m/s2) (7,0 m) cos0 ° = +5100 J.
c) φ = 90 ° em cada caso e Wgrav = 0 em cada caso.
d) O trabalho total realizado pela gravidade durante a viagem de ida e volta é de -5100 J + 5100 J = 0.
e) A gravidade é uma força conservativa, uma vez que o trabalho total realizado para uma viagem de ida e volta é zero.
A força de gravidade é independente da posição e do movimento do objeto. Quando o objeto se move para cima, a
gravidade faz trabalho negativo e quando o objeto se move para baixo, a gravidade faz trabalho positivo.
04. Uma preguiça de 2,0 kg está pendurada a 5,0 m acima do solo (figura abaixo):
12
a) Qual é a energia potencial gravitacional U do sistema preguiça-Terra se tomamos o ponto de referência y = 0 como
estando (1) no do solo, (2) no piso de uma varanda que está a 3,0 m acima do solo, (3) no galho onde está a preguiça e
(4) 1,0 m acima do galho? Considere a energia potencial como sendo nula em y = 0.
b) A preguiça desce da árvore. Para cada escolha do ponto de referência, qual é a variação ΔU da energia potencial do
sistema preguiça-Terra?
SOLUÇÃO
a) Uma vez escolhido o ponto de referência para y = 0, podemos calcular a energia potencial gravitacional U do sistema
em relação a esse ponto de referência usando a equação 9.
No caso da opção (l),a preguiça está em y = 5,0m e U = mgy = (2,0 kg)(9,8 m/s2)(5,0 m) = 98J
Para as outras escolhas, os valores de U são
(2) U = mgy = mg(2,0 m) = 39 J,
(3) U = mgy = mg(0) = 0J,
(4) U = mgy = mg(-1,0 m) = - 19,6 J
b) A variação da energia potencial não depende da escolha do ponto de referência, mas apenas de Δy, a variação de
altura. Nas quatro situações temos o mesmo valor Δy = -5,0 m. Assim, para as situações (1) a (4), a equação 7 nos diz
Que ΔU = mg Δy = (2,0 kg)(9,8 m/s2)( -5,0 m) = - 98 J.
05. Uma mola armazena energia potencial U0 quando está comprimida em uma distância x0 em relação ao seu
comprimento sem deformação.
a) Em termos de U0, quanta energia ela armazena quando está comprimida (i) no dobro e (ii) pela metade?
b) Em termos de x0, em quanto ela deve estar comprimida a partir do seu comprimento sem deformação, para
armazenar (i) o dobro da energia e (ii) metade da energia?
SOLUÇÃO
Usaremos Uel = ½ kx2.
U0 = ½ kx02. Onde x é a distância que a mola é esticada ou comprimida.
a) (i) com x = 2x0 teremos Uel = ½ k(2x0)2 = 4(½ kx02) = 4U0.
(ii) x = x/2 teremos Uel = ½ k(x0/2)2 = ¼.(½ kx02) = U0/4.
b) (i) U = 2U0 teremos ½ kx2 = 2(½ kx02) e x = x0 2 .
(ii) U =U/2 teremos ½ kx2 = ½.(½ kx02) e x = x0/ 2 .
06. Na figura a seguir uma criança de massa m parte do repouso no alto de um toboágua, a uma altura h = 8,5 m acima
da base do brinquedo.
13
Supondo que a presença da água torna o atrito desprezível, encontre a velocidade da criança ao chegar à base do
toboágua.
SOLUÇÃO
(1) Não podemos calcular a velocidade da criança usando a aceleração durante o percurso, como fizemos em capítulos
anteriores, porque não conhecemos a inclinação (ângulo) do toboágua. Entretanto, como a velocidade está relacionada
à energia cinética talvez possamos usar o princípio da conservação da energia mecânica para calcular a velocidade da
criança. Nesse caso não precisaríamos conhecer a inclinação do brinquedo.
(2) A energia mecânica é conservada em um sistema se o sistema é isolado e se as transferências de energia dentro do
sistema são causadas apenas por forças conservativas. Vamos verificar.
Duas forças atuam sobre a criança. A força gravitacional, que é uma força conservativa, realiza trabalho sobre ela. A
força normal exercida pelo toboágua sobre a criança não realiza trabalho, pois sua direção em qualquer ponto da
descida é sempre perpendicular à direção em que a criança se move.
Como a única força que realiza trabalho sobre a criança é a força gravitacional, escolhemos o sistema criança-Terra
como o nosso sistema, que podemos considerar isolado.
Assim, temos apenas uma força conservativa realizando trabalho em um sistema isolado e, portanto, podemos usar o
princípio de conservação da energia mecânica.
Seja Emec,a a energia mecânica quando a criança está no alto do toboágua e Emec,b a energia mecânica quando a criança
está na base. Nesse caso, de acordo com o princípio da conservação da energia mecânica, Emec,b = Emec,a.
Explicitando os dois tipos de energia mecânica, escrevemos

K b + U b = K a + Ua
½ mvb2 + mgyb = ½ mva2 + mgya
Dividindo a equação por m e reagrupando os termos, temos:
vb2 = va2 + 2g(ya – yb)
Fazendo va = 0 e ya - yb = h, temos vb = 13 m/s.
Esta é a mesma velocidade que a criança teria se caísse verticalmente de uma altura de 8,5 m. Em um brinquedo de
verdade haveria algum atrito e a criança chegaria à base com uma velocidade um pouco menor.
07. Um “bungee jumper” de 2m de altura e 100 kg de massa pula de uma ponte usando uma “bungee cord”, de 18m de
comprimento quando não alongada, constante elástica de 200N/m e massa desprezível, amarrada aos seus pés. Na sua
descida, a partir da superfície da ponte, a corda atinge a extensão máxima sem que ele toque nas rochas embaixo. Qual
a menor distância entre a superfície da ponte e as rochas?
SOLUÇÃO
Seja d a distância pedida e x a máxima deformação da corda.
d = 18 + x + 2,0 (em metros)
d = 20 + x (em metros)
Emf = Emi (referencial na posição mais baixa do centro de massa do
bungee - jumper):
K x2/2 = m g h
200 x2/2 = 100 · 10 · (20 + x)
x2 – 10 x – 200 = 0
Resolvendo-se a equação:
x = 20 m
Logo: d = 20 + 20 (em metros)
d = 40 m
08. Considere a situação esquematizada na figura em que um aro circular de raio R = 50 cm e massa M = 3,0 kg, disposto
verticalmente, é apoiado sobre uma balança graduada em newtons. Uma pequena esfera de massa m = 200 g será
lançada por um operador de modo a percorrer a parte interna do aro, sem perder o contato com a trajetória e sem
sofrer a ação de forças de atrito.
14
No local, a influência do ar é desprezível e adota-se g = 10 m/s2. Supondo que nos instantes em que a esfera passa no
ponto A, o mais alto do aro, a balança indique zero, determine:
a) a intensidade da velocidade da esfera no ponto B, o mais baixo do aro;
b) a indicação da balança nos instantes da passagem da esfera no ponto B.
SOLUÇÃO
a) Para que a balança indique zero nos instantes em que a esfera passa no ponto A, a força de contato trocada entre ela
e o aro nesse ponto deve ser vertical e de intensidade igual ao peso do aro.
FnA = Paro = M · g
FnA = 3,0 · 10 (N)
FnA = 30 N
Ponto A:
FnA + P = Fcp
mv2A
R
0,2.v2A
30  0,2.10 
 v2A  80
0,5
Sistema conservativo:
mvB2 mv2A

 mg2R
2
2
vB2  80  2.10.2.0,5  vB  10m / s
b) Ponto B:
FnB + P = Fcp
FnA  mg 
mvB2
R
0,2.(10)2
FnB  0,2.10 
0,5
FnB  42N
A indicação da balança nos instantes da passagem da esfera no ponto B, (I), corresponde à intensidade da força vertical
total transmitida ao aparelho.
I = Paro + FnB
I = M g + FnB
I = 3,0 · 10 + 42 (N)
I = 72 N
FnB  mg 
15
09. A figura, fora de escala, mostra um pêndulo simples abandonado à altura h do ponto mais baixo da trajetória. Na
vertical que passa pelo ponto de sustentação, um pino faz o fio curvar-se e o pêndulo passa a descrever uma trajetória
circular de raio r e centro C.
Qual o menor valor de h para que a esfera pendular descreva uma circunferência completa?
SOLUÇÃO
(I) No ponto B:
FcpB = P
mvB2
 mg  vB2  gr (I)
r
(II) Sistema conservativo:
EmA = EmB (II)
mv2
m g h – 2 r   B
2
2
v
g h-2gr  B
(II)
2
Substituindo (I) em (II):
gr
gh-2gr 
 h  2,5r
2
10. Uma pequena esfera penetra com velocidade V em um tubo oco, recurvado e colocado em um plano vertical, como
mostra a figura, num local onde a aceleração da gravidade tem módulo igual a g. Supondo que a esfera percorra a
região interior do tubo sem atrito e acabe saindo horizontalmente pela extremidade, pergunta-se: que distância x,
horizontal, ela percorrerá até tocar o solo?
SOLUÇÃO
16
Emsaída = Ementrada (referencial no ponto de saída)
mv2S mv2

 mgR / 2
2
2
v S  v 2  gR
(I)
Movimento balístico:
Na vertical: MUV
Δy = v0y t + αy/2 t2
3 R/2 = g/2 t2q
(II)
tq  3 R/g
Na horizontal: MU
Δx = vHΔt
x = v s tq
(III)
Substituindo (I) e (II) em (III):
3R
x  v 2  gR
g
Do qual:
3R 2
x
(v  gR)
g
11. Na figura, tem-se um cilindro de massa 5,0 kg, dotado de um furo, tal que, acoplado à barra vertical indicada, pode
deslizar sem atrito ao longo dela. Ligada ao cilindro, existe uma mola de constante elástica igual a 5,0 · 102 N/m e
comprimento natural de 8,0 cm, cuja outra extremidade está fixada no ponto O. Inicialmente, o sistema encontra-se em
repouso (posição A) quando o cilindro é largado, descendo pela barra e alongando a mola. Calcule o módulo da
velocidade do cilindro depois de ter descido 16 cm (posição B). Adote nos cálculos g = 10 m/s2.
SOLUÇÃO
Emf = Emi
mv2B/2 + K (ΔxB)2/2 = m · g · hA + K (ΔxA)2/2
5,0 v2B/2 + 5,0 · 102 · (0,12)2/2 = 5,0 · 10 · 0,16 + 5,0 · 102 · (0,040)2/2
Da qual: vB = 1,4 m/s
12. Uma bolinha de gude de dimensões desprezíveis é abandonada, a partir do repouso, na borda de um hemisfério oco
e passa a deslizar, sem atrito, em seu interior.
17
Calcule o ângulo θ (expresso por uma função trigonométrica) entre o vetor-posição da bolinha em relação ao centro C e
a vertical para o qual a força resultante f sobre a bolinha é horizontal.
SOLUÇÃO
A componente f na direção radial ao hemisfério é a resultante centrípeta.
sen θ = Fcp/f
sen θ = m v2/R f
m v2 = R · f sen θ
(I)
Sistema conservativo:
EmB = EmA
m v2/2 = m g h
Mas h = R cos θ; logo:
m v2 = 2 m g R cos θ
Comparando (I) e (II):
R f sen θ = 2 m g R cos θ
f tg θ = 2 m g
Donde:
tg θ = f/P
tg θ = f/m g
Onde: f = m g tg θ
Substituindo (IV) em (III):
m g tg θ tg θ = 2 m g
tg2 θ = 2
tg   2
(II)
(III)
(IV)
13. Um pequeno bloco de gelo parte do repouso do ponto A da superfície hemisférica representada na figura e desce
sem sofrer ação de atritos ou da resistência do ar:
Sendo R o raio do hemisfério, calcule a que altura h do solo o bloco perde o contato com a superfície, passando a se
mover sob a ação exclusiva da gravidade g .
SOLUÇÃO
18
Ponto Q: Pn = Fcp
m g cos θ = m v2/R
v2 = g R cos θ
v2 = g h
(I)
EmA = EmQ (referencial no solo):
m g R = m v2/2 + m g h
g R = v2/2 + g h
(II)
Substituindo (I) em (II), vem:
g R = g h/2 + g h
h = 2R/3
14. Considere um trilho envergado em forma de arco de circunferência com raio igual a R instalado verticalmente, como
representa a figura. No local, a aceleração da gravidade tem módulo g e a resistência do ar é desprezível. Supondo-se
conhecido o ângulo θ, qual deve ser a intensidade da velocidade V0 com que se deve lançar um pequeno objeto do
ponto O, o mais baixo do trilho, para que ele possa deslizar livremente saltando da extremidade A para a extremidade
B, executando assim um movimento periódico?
SOLUÇÃO
Do movimento balístico, o alcance horizontal pode ser calculado por:
AB = V2A sen 2θ/g ou
AB = V2A 2 sen θ cos θ/g
(I)
Partindo-se do triângulo retângulo destacado, conclui-se que:
AB = 2 R sen θ
(II)
Comparando-se (I) e (II):
V2A 2 sen θ cos θ/g = 2 R sen θ onde:
V2A = g R/cos θ
(III)
Sistema conservativo:
EmO = EmA
19
m V20/2 = m V2A/2 + m g (R + R cos θ)
V20 = V2A + 2 g R (1 + cos θ)
(IV)
(III) em (IV):
V20 = g R/cos θ + 2 g R (1 + cos θ)
V0 
 1

gR 
 2 1  cos   
cos



15. Uma partícula com carga elétrica é mantida em repouso no ponto x = 0, enquanto uma segunda partícula com a
mesma carga pode mover-se livremente ao longo do sentido positivo do eixo Ox. A energia potencial do sistema é
U(x) 
C
x
onde C é uma constante positiva que depende do módulo das cargas. Deduza em função da posição uma expressão para
o componente x da força que atua sobre a carga que se move.
SOLUÇÃO
A energia potencial U(x) foi fornecida, e devemos encontrar a função da força Fx(x). Usaremos a equação (19), Fx(x)= dU(x)/dx. A derivada em relação a x da função 1/x é -1/x2. Logo, a força que atua sobre a carga que se move para x > 0 é
dada por
Fx (x)  
dU(x)
 1
 C   2
dx
 x
 C
 2
 x
O componente x da força é positivo, correspondendo a uma interação repulsiva entre cargas elétricas de mesmo sinal. A
energia potencial é muito elevada quando as partículas estão próximas (x é pequeno) e tende a zero quando as
partículas se afastam (x é grande); a força empurra a carga móvel para os valores x mais positivos, para os quais a
energia potencial é menor. A força Fx(x) = C/x2 torna-se mais fraca quando as partículas se afastam (x aumenta).
16. Um disco de hóquei desliza sobre uma mesa de ar sem atrito. As coordenadas do disco são x e y. Sobre ele atua uma
força conservativa oriunda de uma energia potencial dada pela função
1
U(x,y)  k(x 2  y 2 )
2
Deduza uma expressão para a força que atua sobre o disco de hóquei e ache uma expressão para o módulo da força em
função da posição.
SOLUÇÃO

A partir da função U(x,y), precisamos encontrar os componentes dos vetores e o módulo da força conservativa F
correspondente.
Os componentes da força de U(x,y) podem ser determinados usando-se a equação (21). Essa função não depende de z,
portanto a derivada parcial de U em relação a z é ∂U/∂z = 0, e a força não possui nenhum componente de z. A seguir,
determinamos o módulo da força usando a fórmula para o módulo de um vetor: F  Fx2  Fy2 .
Os componentes de x e y da força são
Fx  
U
 kx
x
Fy  
U
 ky
y
Pela equação (21), o resultado anterior corresponde ao vetor

F  k(xi  yj)

Porém, (xi  yj) é somente o vetor posição r da partícula, de modo que podemos reescrever essa relação do seguinte


modo F  kr : Essa força é contrária ao vetor posição em cada ponto, ou seja, uma força que em cada ponto é dirigida
para o sentido da origem. A energia potencial é mínima na origem, de modo que novamente vemos que a força aponta
no sentido da diminuição da energia potencial. O módulo da força em cada ponto é dado por
F  (kx)2  (ky)2  k x 2  y 2  kr
onde r é a distância da partícula à origem. Esse resultado é igual ao da força que atua sobre uma mola que obedece à lei
de Hooke e que possui comprimento muito pequeno (em comparação com outras dimensões do problema) quando ela
não está esticada. (A outra extremidade da mola está presa à origem da mesa de ar.)
Para conferir nosso resultado, note que a função energia potencial também pode ser escrita como U = ½ kr2. Escrito
dessa forma, U é uma função de uma única coordenada r, de modo que podemos encontrar a força substituindo x por r
na equação (19):
Fr  
dU d  1 2 

kr  kr
dr dr  2 
20
exatamente como calculamos acima, a força possui módulo kr; o sinal negativo indica que a força possui direção radial
para dentro (no sentido da origem).
17. Os habitantes pré-históricos da ilha da Páscoa esculpiram centenas de gigantescas estátuas de pedra em uma
pedreira e depois as espalharam por toda a ilha (figura abaixo).
A forma como transportaram essas estátuas por até 10 km sem usar máquinas sofisticadas até hoje é motivo para
acaloradas discussões. Provavelmente colocaram as estátuas, uma a uma, em uma espécie de trenó de madeira e
puxaram o trenó por uma "pista" formada por toras de madeira quase do mesmo tamanho, que funcionavam como
roletes. Em uma reconstituição moderna dessa técnica, 25 homens conseguiram transportar uma estátua de 9000 kg,
semelhante às da ilha da Páscoa, a uma distância de 45 m, em terreno plano, em 2 min.
a) Estime o trabalho realizado pela força total F exercida pelos 25 homens durante o transporte da estátua e determine
o sistema sobre o qual a força realizou o trabalho.
b) Qual foi o aumento ΔEt da energia térmica do sistema durante o deslocamento de 45 m?
c) Estime o trabalho que teria sido realizado pelos 25 homens se eles tivessem transportado a estátua por 10 km sobre
um terreno plano na ilha da Páscoa. Estime também a variação total ΔEt que teria ocorrido no sistema estátua-trenótroncos-solo.
SOLUÇÃO
a) (1) Podemos calcular o trabalho realizado usando a equação (W = Fd cos).
(2) Para determinar qual é o sistema sobre o qual a força realizou o trabalho, vamos verificar quais foram as energias
que mudaram.
Na equação acima, d é a distância percorrida, 45 m, F é o módulo da força exercida pelos 25 homens sobre a estátua e 
= 0°. Vamos supor que cada homem puxou a estátua com uma força cujo módulo era igual ao dobro do seu peso, que
consideraremos como tendo o mesmo valor mg para todos os homens. Assim, o módulo da força resultante era F =
(25)(2mg) = 50mg. Estimando a massa de um homem em 80 kg, podemos escrever
W = Fd cos  = 50mgd cos  = (50)(80 kg)(9,8 m/s2)(45 m) cos0° = 1,8 x 106 J
Como a estátua se moveu, houve certamente uma mudança ΔK da energia cinética durante o movimento. Podemos
supor que houve um atrito cinético considerável entre o trenó, os troncos e o solo, o que resultou em uma variação ΔEt
da energia térmica desses objetos. Assim, o sistema sobre o qual o trabalho foi realizado era formado pela estátua, o
trenó, os troncos e o solo.
b) Podemos relacionar ΔEt ao trabalho W realizado por F através da equação 31 para um sistema no qual existe atrito:
W = ΔEmec + ΔEt
O valor de W foi determinado no item (a). A variação ΔEmec da energia mecânica da estátua foi nula, pois a estátua
estava em repouso no início e no fim do deslocamento e não mudou de altura. Assim, temos:
ΔEt = W = 1,8 X 106 J.
c) Calculamos W como em(a),mas com d = 1.104 m. Além disso, podemos igualar ΔEt a W. O resultado é o seguinte: W =
ΔEt = 3,9 x 108 J
Isso mostra que a quantidade de energia transferida pelos homens durante o movimento da estátua teria sido enorme.
Mesmo assim, os 25 homens poderiam ter transportado a estátua por 10 km sem recorrer a nenhuma fonte misteriosa
de energia.
18. Um operário empurra um engradado de repolhos (massa total m = 14 kg) sobre um piso de concreto com uma força
horizontal constante F de módulo 40 N. Em um deslocamento retilíneo de módulo d = 0,50 m, a velocidade do
engradado diminui de v0 = 0,60 m/s para v = 0,20 m/s.
21
a) Qual foi o trabalho realizado pela força F e sobre que sistema esse trabalho foi realizado?
b) Qual é o aumento ΔEt da energia térmica do engradado e do piso?
SOLUÇÃO
a) Como a força aplicada F é constante, podemos calcular o trabalho realizado pela força usando a equação (W = Fd
cos). Substituindo os valores conhecidos e levando em conta o fato de que a força F e o deslocamento d apontam na
mesma direção, temos:
W = Fd cos  = (40 N)(0,50 m) cos 0° = 20 J.
Para determinar o sistema sobre o qual o trabalho é realizado devemos examinar quais são as energias que variam.
Como a velocidade do engradado varia, certamente existe uma variação ΔK da energia cinética do engradado. Existe
atrito entre o piso e o engradado e, portanto, uma variação da energia térmica? Observe que F e a velocidade do
engradado apontam no mesmo sentido. Assim, se não existisse atrito F aceleraria o engradado, fazendo a velocidade
aumentar. Como a velocidade do engradado está diminuindo, deve existir atrito e uma variação ΔEt da energia térmica
do engradado e do piso. Assim, o sistema sobre o qual o trabalho é realizado é o sistema engradado-piso, porque as
variações de energia ocorrem nesse sistema.
b) Podemos relacionar ΔEt ao trabalho W realizado pela força F à definição de energia da equação 31 para um sistema
no qual existe atrito: W = ΔEmec + ΔEt
O valor de W foi calculado no item (a). Como a energia potencial não variou, a variação ΔEmec da energia mecânica do
engradado é igual à variação da energia cinética, e podemos escrever: ΔEmec + ΔK = 1/2 mv2 – 1/2 mv02
Substituindo esta expressão na equação W = ΔEmec + ΔEt e explicitando ΔEt, obtemos
ΔEt = W - (1/2mv2 – 1/2mv02) = W – 1/2m(v2 – v02) = 20 J – 1/2(14 kg)[(0,20 m/s)2 - (0,60 m/s)2] = 22,2 J
19. Um pêndulo de comprimento L é abandonado na posição indicada na figura e, quando passa pelo ponto mais baixo
da sua trajetória, tangencia a superfície de um líquido, perdendo em cada uma dessas passagens 30% da energia
cinética que possui. Após uma oscilação completa, qual será, aproximadamente, o ângulo que o fio do pêndulo fará com
a vertical?
SOLUÇÃO
EPf = 0,70 EPi – 0,30 (0,70 · EPi)
EPf = 0,49 EPi
m g L (1 – cos θ) = 0,49 m g L
cos θ = 0,51  θ = 60°
20. Uma bola de borracha deixada cair de uma altura de 1,80 m é rebatida várias vezes pelo chão, perdendo 10% de sua
energia cinética de cada vez. Depois de quantas colisões a bola não conseguirá se elevar acima de 0,90 m?
SOLUÇÃO
Considere o seguinte esquema:
Seja K0 a energia cinética inicial, K1 a energia cinética após a primeira rebatida, K2 a energia cinética após a segunda
rebatida, etc., e KN a energia cinética da bola após a N-ésima rebatida.
Temos que:
22
K1 = 0,9K0
K2 = 0,9K1 = 0,92K0
K3 = 0,9K2 = 0,93K0
Logo:
KN = 0,9NK0
(1)
Também pode-se usar o trabalho da força gravitacional na subida da bola após cada rebatida para fazer o cálculo de K1,
K2, etc., KN.
W = ΔK
-mgh1 = K – K0 = 0 – K1
K1 = mgh1
Logo:
K2 = mgh2
Portanto, após a N-ésima rebatida:
KN = mghN
(2)
Queremos saber N tal que hN ≤ 0,90 m. Igualando-se (1) e (2):
0,9NK0 = mghN
0,9Nmgh0 = mghN
0,9N = hN/h0
hN/h0 = 0,90/1,80 = 0,5 = 0,9N
ln0,5 = ln0,9N
N = ln0,5/ln0,9
N = 6,57...
A altura h = 0,90 só deixa de ser atingida após N = 6,57 rebatidas. Logo: N = 7
21. A curva na figura 10b possui um máximo em um ponto entre x2 e x3. Qual das seguintes afirmações descreve
corretamente o que ocorre com a partícula quando ela está nesse ponto?
i) A aceleração da partícula é igual a zero;
ii) A partícula acelera no sentido positivo do eixo x; o módulo da aceleração é menor do que em qualquer outro ponto
entre x2 e x3;
iii) A partícula acelera no sentido positivo do eixo x; o módulo da aceleração é maior do que em qualquer outro ponto
entre x2 e x3;
iv) A partícula acelera no sentido negativo do eixo x; o módulo da aceleração é menor do que em qualquer outro ponto
entre x2 e x3;
v) A partícula acelera no sentido negativo do eixo x; o módulo da aceleração é maior do que em qualquer outro ponto
entre x2 e x3.
SOLUÇÃO
(iii) A figura 10b mostra o componente x da força, Fx. Onde ele é máximo (mais positivo), o componente x da força e a
aceleração possuem valores mais positivos do que nos valores adjacentes de x.
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER
01. Um halterofilista ergue uma anilha de 10,0 kg verticalmente até uma altura de 1,5 m com uma velocidade constante
de 1,5 m/s.
a) Qual é o módulo da força necessária?
b) Qual é o trabalho realizado pelo halterofilista sobre a anilha? Em que se transforma esse trabalho?
02. Uma caixa de massa M começa a se deslocar a partir do repouso, no topo de uma rampa sem atrito e inclinada a um
ângulo α acima da horizontal. Calcule sua velocidade escalar na extremidade inferior da rampa a uma distância d do
ponto de partida. Faça isso de duas formas:
a) Considere que o nível no qual a energia potencial é igual a zero situa-se na extremidade inferior da rampa, com y
positivo orientado de baixo para cima.
b) Considere o nível zero para a energia potencial no topo da rampa, com y positivo orientado de baixo para cima.
c) Por que a força normal não foi considerada na solução?
03. Você está testando uma nova montanha-russa em um parque de diversões com um carro vazio de massa de 120 kg.
Uma parte da trajetória é uma espira vertical com raio de 12,0 m. No ponto inferior da espira (ponto A) o carro tem
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velocidade escalar de 25,0 m/s, e no topo da espira (ponto B) ele tem velocidade de 8,0 m/s. Enquanto o carro desliza
do ponto A para o ponto B, quanto trabalho é realizado pelo atrito?
04. Dois blocos com massas diferentes estão amarrados a cada extremidade de uma corda leve que passa sobre uma
polia leve e sem atrito, que está suspensa a partir do teto. As massas são libertadas do repouso, e a mais pesada começa
a descer. Após essa massa descer 1,20 m, sua velocidade é 3,0 m/s. Se a massa total dos dois blocos é 15,0 kg, qual é a
massa de cada bloco?
05. Em um acidente, um carro atropelou um pedestre, e em seguida o motorista pisou nos freios para parar o carro.
Durante o julgamento, o advogado do motorista alegou que ele obedecia ao limite de velocidade de 35 milhas/h, mas
que a velocidade legal era alta demais para permitir que ele enxergasse o pedestre e reagisse em tempo para evitar o
atropelamento. Você foi convocado como testemunha. Sua investigação do acidente constatou que as marcas de
frenagem deixadas no local do acidente tinham 2,80 pés de comprimento e que a freada produziu um coeficiente de
atrito cinético de 0,30 com a rua.
a) Em seu testemunho no tribunal, você afirmaria que o motorista obedecia ao limite de velocidade? Você deve ter
fortes argumentos para comprovar sua conclusão e passar pelo crivo dos advogados.
b) Se a multa por excesso de velocidade fosse de R$ 10 a cada milha por hora que o motorista dirigisse acima do limite
de velocidade, ele teria que pagar alguma multa? Em caso afirmativo, de quanto seria?
06. Uma bola de gude de 5,0 g é lançada verticalmente para cima usando uma espingarda de mola. A mola deve ser
comprimida de exatamente 8,0 cm para que a bola alcance um alvo colocado 20m acima da posição da bola de gude na
mola comprimida.
a) Qual é a variação ΔUg da energia potencial gravitacional do sistema bola de gude-Terra durante a subida de 20m?
b) Qual é a variação ΔUE da energia potencial elástica da mola durante o lançamento da bola de gude?
c) Qual é a constante elástica da mola?
07. Uma massa de 2,50 kg é empurrada contra uma mola horizontal de constante elástica 25,0 N/cm sobre uma mesa
de ar sem atrito. Amola é presa ao tampo da mesa, e a massa não está presa à mola. Quando a mola foi suficientemente
comprimida para armazenar 11,5 J de energia potencial, a massa é subitamente libertada do repouso.
a) Ache a maior velocidade escalar que a massa atinge. Quando isso ocorre?
b) Qual é a maior aceleração da massa e quando ela ocorre?
08. Sobre uma superfície horizontal, uma caixa com massa de 50,0 kg é colocada contra uma mola que armazena 360 J
de energia. A mola é libertada, e a caixa desliza por 5,60 m antes de parar. Qual é a velocidade escalar da caixa, quando
ela está a 2,0 m da sua posição inicial?
09. Uma caixa de 10,0 kg é puxada por um cabo horizontal formando um círculo sobre uma superfície horizontal áspera,
para a qual o coeficiente de atrito cinético é 0,250. Calcule o trabalho realizado pelo atrito durante uma volta circular
completa, considerando o raio de
a) 2,0 m e
b) 4,0 m.
c) Com base nos resultados obtidos, você afirmaria que o atrito é uma força conservativa ou não conservativa? Explique.
10. Seja k a constante de uma mola ideal que possui um bloco de massa m preso a uma de suas extremidades.
a) O bloco se move de x1 a x2, onde x2 > x1. Qual o trabalho realizado pela força da mola durante esse deslocamento?
b) O bloco se move de x1 a x2 e a seguir retorna de x2 para x1. Qual o trabalho realizado pela força da mola durante o
deslocamento de x2 para x1? Qual o trabalho total realizado pela força da mola durante o deslocamento total x1 → x2
→x1? Explique por que você encontrou a resposta esperada.
c) O bloco se move de x1 a x3, onde x3 > x2. Qual o trabalho realizado pela força da mola durante esse deslocamento? A
seguir o bloco se move de x3 a x2. Qual o trabalho realizado pela força da mola durante esse deslocamento? Qual é o
trabalho total realizado pela força da mola durante o deslocamento total x1 → x3 →x2? Compare essa resposta com sua
resposta do item (a), notando que o ponto inicial e o ponto final nos dois casos são os mesmos, porém as trajetórias são
diferentes.
24
11. A energia potencial entre dois átomos de hidrogênio separados por uma distância x muito grande é dada por U(x) =C6/x6, onde C6 é uma constante positiva. Qual é a força que um átomo exerce sobre o outro? Essa força é de atração ou
de repulsão?
12. Uma força paralela ao eixo Ox atua sobre uma partícula que se desloca ao longo deste eixo. Essa força produz uma
energia potencial dada por U(x) = αx4, onde α = 1,20 J/m4. Qual é a força (módulo, direção e sentido) quando a partícula
se encontra em x = -0,800 m?
13. Um objeto se desloca no plano xy submetido à ação de uma força conservativa descrita pela função energia
potencial dada por U(x, y) = α (1/x2 + 1/y2), onde α é uma constante positiva. Deduza uma expressão para a força em
termos dos vetores unitários i e j.
14. Uma partícula com massa m sofre ação de uma força conservativa e se desloca ao longo de uma trajetória dada por
x = x0cosω0t e y = y0senω0t, onde x0, y0 e ω0 são constantes.
a) Ache os componentes da força que atua sobre a partícula.
b) Ache a energia potencial da partícula em função de x e y. Considere U = 0 quando x = 0 e y = 0.
c) Ache a energia total da partícula quando (i) x = x0 = 0 e (ii) x = 0, y = y0.
15. A energia potencial de uma molécula diatômica (um sistema de dois átomos, como H2 ou O2) é dada por
U
A B

r12 r6
onde r é a distância entre os átomos da molécula e A e B são constantes positivas. Esta energia potencial está associada
à força de ligação entre os dois átomos.
a) Determine a distância de equilíbrio, ou seja, a distância entre os átomos para a qual as forças a que os átomos estão
submetidos é nula. A força é repulsiva ou atrativa se a distância é
b) menor e
c) maior que a distância de equilíbrio?
16. A figura mostra um gráfico da energia potencial U em função da posição x de uma partícula de 0,90 kg que pode se
deslocar apenas ao longo de um eixo x. (Forças dissipativas não estão envolvidas.) Os três valores mostrados no gráfico
são UA = 15,0 J, UB = 35,0 J e UC = 45,0 J. A partícula é liberada em x = 4,5 m com uma velocidade inicial de 7,0 m/s, no
sentido negativo de x.
a) Se a partícula puder chegar ao ponto x = 1,0 m, qual será sua velocidade nesse ponto? Se não puder, qual será o
ponto de retorno?
Quais são
b) o módulo e
c) a orientação da força experimentada pela partícula quando ela começa a se mover para a esquerda do ponto x = 4,0
m? Suponha que a partícula seja liberada no mesmo ponto e com a mesma velocidade, mas o sentido da velocidade seja
o sentido positivo de x.
d) Se a partícula puder chegar ao ponto x = 7,0 m, qual será sua velocidade nesse ponto? Se não puder, qual será o
ponto de retorno? Quais são
e) o módulo e
f) a orientação da força experimentada pela partícula quando ela começa a se mover para a direita do ponto x = 5,0m?
17. Uma bola de gude move-se ao longo do eixo Ox. A energia potencial é indicada na figura abaixo.
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a) Para quais valores de x indicados no gráfico a força é igual a zero?
b) Para quais valores de x indicados no gráfico o equilíbrio é estável?
c) Para quais valores de x indicados no gráfico o equilíbrio é instável
18. Um biscoito de mentira, deslizando em uma superfície horizontal, está preso a uma das extremidades de uma mola
horizontal de constante elástica k = 400 N/m; a outra extremidade da mola está fixa. O biscoito possui uma energia
cinética de 20,0 J ao passar pela posição de equilíbrio da mola. Enquanto o biscoito desliza, uma força de atrito de
módulo 10,0 N age sobre ele.
a) Que distância o biscoito desliza a partir da posição de equilíbrio antes de parar momentaneamente?
b) Qual é a energia cinética do biscoito quando ele passa de volta pela posição de equilíbrio?
19. O Professor Gomes empurra um bloco de 2,0 kg contra uma mola horizontal, comprimindo-a 15 cm. Em seguida,
solta o bloco e a mola o faz deslizar sobre uma mesa. O bloco para depois de percorrer 75 cm a partir do ponto em que
foi solto. A constante elástica da mola é 200 N/m. Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa?
20. Um pacote de 4,0 kg começa a subir um plano inclinado de 30° com uma energia cinética de 128 J. Que distância ele
percorre antes de parar, se o coeficiente de atrito cinético entre o pacote e o plano é 0,30?
21. Uma criança que pesa 267 N desce em um escorregador de 6,1 m que faz um ângulo de 20° com a horizontal. O
coeficiente de atrito cinético entre o escorregador e a criança é 0,10.
a) Qual é a energia transformada em energia térmica?
b) Se a criança começa a descida no alto do escorregador com uma velocidade de 0,457 m/s, qual é sua velocidade ao
chegar ao chão?
22. Um pequeno objeto de massa m = 234 g desliza em um trilho que tem a parte central horizontal e as extremidades
são arcos de círculo.
A parte horizontal mede L = 2,16 m e nas porções curvilíneas não há atrito. O objeto é solto no ponto A, situado à altura
h = 1,05 m acima do trecho horizontal, no qual ele perde 688 mJ de energia mecânica, devido ao atrito. Em que ponto o
objeto irá parar?
23. No tampo horizontal de uma mesa apóia-se um sólido de massa m = 2,0 kg sujeito a uma mola leve de constante
elástica k = 200 N/m. O coeficiente de atrito dinâmico entre o móvel e a mesa é μ = 0,20. Inicialmente o móvel se situa
no ponto que corresponde a esforço nulo na mola; esse ponto é adotado como origem do eixo de abscissas Ox. O móvel
é deslocado para o ponto de abscissa x = 5,0 cm. É dado g = 10 m/s2. Abandonado em repouso, o móvel desliza para a
esquerda e estaciona.
Determinar a abscissa x do ponto em que o móvel estaciona.
26
24. A figura representa um bloco de massa m = 1,0 kg apoiado sobre um plano inclinado no ponto A. A mola tem
constante elástica K = 10 N/m e está vinculada ao bloco. O bloco é solto da altura h = 40 cm, com a mola na vertical, sem
deformação. Adotando g = 10 m/s2, determine sua velocidade ao passar pelo ponto B.
25. Um corpo de massa M igual a 2kg é abandonado de uma certa altura de um plano inclinado e atinge uma mola ideal
de constante elástica igual a 900 N/m, deformando-a de 10 cm. Entre os pontos A e B, separados 0,50 m, existe atrito
cujo coeficiente de atrito vale 0,10. As outras regiões não possuem atrito. A que distância de A o corpo M irá parar?
26. Uma bola de borracha de 650 gramas é largada de uma altura inicial de 2,50 m, e a cada quique ela retorna a 75% da
sua altura anterior.
a) Qual é a energia mecânica inicial da bola assim que é libertada da sua altura inicial?
b) Quanta energia mecânica a bola perde durante o seu primeiro quique? O que acontece com essa energia?
c) Quanta energia mecânica é perdida durante o segundo quique?
27. A peça de uma máquina de massa m é presa a uma mola ideal horizontal de constante elástica k e que está presa à
borda de uma superfície horizontal sem atrito. A peça é empurrada contra a mola, comprimindo-a por uma distância x0,
e em seguida é libertada do repouso. Ache
a) a velocidade escalar máxima e
b) a aceleração máxima da peça.
c) Em que ponto do movimento ocorrem as máximas obtidas nos itens (a) e (b)?
d) Qual será a extensão máxima da mola?
e) Descreva o movimento subsequente dessa peça. Ela vai parar permanentemente?
28. Um bloco de 3,0 kg está conectado a duas molas ideais horizontais com constantes elástica k1 = 25,0 N/cm e k2 =
20,0 N/cm (ver figura). O sistema está inicialmente em equilíbrio sobre uma superfície horizontal, sem atrito. O bloco é
empurrado 15,0 cm para a direita e libertado do repouso.
a) Qual é a velocidade escalar máxima do bloco? Em que ponto do movimento essa velocidade máxima ocorre?
b) Qual é a compressão máxima da mola 1?
29. Um dispositivo experimental de massa m está apoiado sobre uma mola vertical com massa desprezível e empurrado
para baixo até que a mola seja comprimida de uma distância x. O dispositivo é então libertado e atinge uma altura
máxima h acima do ponto onde ele foi libertado. O dispositivo não está ligado à mola, e para essa altura máxima ele não
está mais em contato com a mola. A aceleração máxima que o dispositivo pode suportar sem se danificar é a, onde a >
g.
a) Qual deve ser a constante elástica da mola necessária?
b) Até que distância a mola é comprimida inicialmente?
30. Um bloco de 263 g é jogado sobre uma mola vertical com uma constante elástica k = 2,52 N/cm (ver figura). O bloco
adere à mola que se comprime 11,8 cm antes de ficar momentaneamente em repouso. Enquanto a mola está sendo
comprimida, qual é o trabalho realizado
a) pela força da gravidade e
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b) pela mola?
c) Qual era a velocidade do bloco imediatamente antes de atingir a mola?
d) Se esta velocidade inicial do bloco for dobrada, qual será a máxima compressão da mola? Despreze o atrito.
31. Um bloco de 700 g é liberado a partir do repouso de uma altura h0 acima de uma mola vertical com constante
elástica k = 400 N/m e massa desprezível. O bloco se choca com a mola e para momentaneamente depois de comprimir
a mola 19,0 cm. Qual é o trabalho realizado
a) pelo bloco sobre a mola e
b) pela mola sobre o bloco?
c) Qual é o valor de h0?
d) Se o bloco fosse solto de uma altura 2,00h0 acima da mola, qual seria a máxima compressão da mola?
32. Alega-se que até 900 kg de água podem ser evaporados diariamente pelas grandes árvores. A evaporação ocorre
nas folhas e para chegar lá a água tem de ser elevada desde as raízes da árvore.
a) Suponha que em média a água seja elevada de 9,20 m acima do solo; que energia deve ser fornecida?
b) Qual a potência média envolvida, se admitirmos que a evaporação ocorra durante 12 horas?
33. Uma haste delgada de comprimento L = 2,13 m e de massa desprezível pode girar em um plano vertical, apoiada
num de seus extremos. A haste é afastada de θ = 35,5° e largada, conforme na figura. Qual a velocidade da bola de
chumbo presa à extremidade inferior, ao passar pela posição mais baixa?
34. Duas crianças brincam de acertar, com uma bolinha lançada por um revólver de brinquedo situado na mesa, uma
caixinha colocada no chão a 2,20 m da borda da mesa da figura. Caio comprime a mola de 1,10 cm, mas a bolinha cai a
27,0 cm antes da caixa. De quanto deve a mola ser comprimida por Gabriel para atingir o alvo?
35. Um pequeno bloco de massa m escorrega ao longo de um aro como mostrado na figura. O bloco sai do repouso no
ponto P.
a) Qual a força resultante que atua nele quando estiver em Q?
b) A que altura acima do fundo deve o bloco ser solto para que, ao passar na parte mais alta do círculo, esteja a ponto
de desprender-se dele?
28
36. Na figura abaixo um pequeno bloco de massa m = 0,032 kg pode deslizar em uma pista sem atrito que forma um
loop de raio R = 12 cm.
O bloco é liberado a partir do repouso no ponto P, a uma altura h = 5,0R acima do ponto mais baixo do loop. Qual é o
trabalho realizado sobre o bloco pela força gravitacional enquanto o bloco se desloca do ponto P para
a) o ponto Q e
b) o ponto mais alto do loop?
Se a energia potencial gravitacional do sistema bloco-Terra for tomada como nula na base do loop, quanto valerá essa
energia potencial quando o bloco estiver
c) no ponto P.
d) no ponto Q e
e) no topo do loop?
f) Se, em vez de ser simplesmente liberado, o bloco recebe uma velocidade inicial dirigida para baixo ao longo da pista,
as respostas dos itens de (a) até (e) aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas?
37. Um bloco com massa m = 2,00 kg é apoiado em uma mola em um plano inclinado sem atrito de ângulo θ = 30°
(figura abaixo). (O bloco não está preso à mola.) A mola, de constante elástica k = 19,6 N/cm, é comprimida de 20 cm e
depois liberada.
a) Qual é a energia potencial elástica da mola comprimida?
b) Qual é a variação da energia potencial gravitacional do sistema bloco-Terra quando o bloco se move do ponto em que
foi liberado até o ponto mais alto que atinge no plano inclinado?
c) Qual é a distância percorrida pelo bloco ao longo do plano inclinado até atingir esta altura máxima?
38. De um ponto S fixo em relação à Terra pende um fio suportando um sólido na extremidade livre. O comprimento do
fio é L, a massa do sólido é m, a aceleração local da gravidade é g. Mediante um fio tenso horizontalmente o Professor
Gomes puxa o sólido quase estáticamente até a distância x da vertical, por S. Os fios são leves, flexíveis e inextensíveis.
No sólido suspenso o Professor Gomes exerce uma força horizontal F (mediante o fio de tração), e o fio de suspensão
exerce uma força T. Demonstrar que na operação descrita o trabalho da força T é nulo; o trabalho da força F é igual ao
do peso, com sinal trocado. Determinar o trabalho do Professor Gomes. Em particular considerar o caso em que x << L.
29
39. Um objeto pontual de massa m desliza com velocidade inicial v, horizontal, do topo de uma esfera em repouso, de
raio R. Ao escorregar pela superfície, o objeto sofre uma força de atrito de módulo constante dado por f = 7m.g/4 π.
Determine o módulo de sua velocidade inicial para que o objeto se desprenda da superfície esférica após percorrer um
arco de 60° (veja figura).
40. Uma esquiadora parte com velocidade inicial desprezível do topo de uma esfera de neve com raio muito grande e
sem atrito, desloca-se diretamente para baixo (ver figura). Em que ponto ela perde o contato com a esfera e voa
seguindo a direção da tangente? Ou seja, no momento em que ela perde o contato com a esfera, qual é o ângulo a
entre a vertical e a linha que liga a esquiadora ao centro da esfera de neve?
41. Uma haste rígida de comprimento L e massa desprezível é suspensa por uma das extremidades de tal maneira que a
mesma possa oscilar sem atrito. Na outra extremidade da haste acha-se fixado um bloco de massa m = 4,0kg.
A haste é abandonada no repouso, quando a mesma faz um ângulo θ = 60° com a vertical. Nestas condições, determine
a tensão T sobre a haste, quando o bloco passa pela posição mais baixa. Adotar g = 10,0m/s2.
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42. Um bloco de massa m é abandonado sobre o trilho e desliza, a partir do ponto A, como representado na figura
abaixo.
O coeficiente de atrito cinético entre o trilho e o bloco no trajeto retilíneo AB é μ. A seção circular que se inicia no ponto
B não tem atrito.
a) Qual o módulo da menor velocidade que o bloco deve ter no ponto B para que consiga passar pelo ponto C?
b) Qual a altura hA para que isso ocorra?
A aceleração da gravidade tem módulo g e despreza-se o efeito do ar.
43. O fio da figura tem comprimento L = 120 cm e a distância d ao pino fixo P é de 75,0 cm.
Quando se larga a bola em repouso na posição mostrada ela oscilará ao longo do arco pontilhado. Qual será a sua
velocidade
a) quando alcançar o ponto mais baixo do movimento?
b) quando alcançar o ponto mais elevado depois que o fio encostar no pino?
44. Na figura abaixo uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito com um quarto do comprimento pendurado
fora da mesa. Se a corrente tem um comprimento L = 28 cm e massa m = 0,012 kg, qual é o trabalho necessário para
puxar a parte pendurada de volta para cima da mesa?
45. Uma corrente uniforme de comprimento 2L e massa M está situada numa tábua absolutamente lisa. Uma pequena
parte da corrente foi introduzida numa abertura na tábua.
No momento inicial o extremo da corrente, que se encontrava sobre a tábua, estava fixo, mas depois foi liberado e a
corrente começou a mover-se sob a ação da força da gravidade na parte da corrente que ficou pendurada fora da tábua.
Determinar a velocidade de movimento da corrente no momento em que o comprimento da parte pendurada da
corrente é x (x < l). Determinar, para esse mesmo momento, a aceleração da corrente e a reação do extremo da tábua.
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