Solução

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No sistema da figura ao lado as polias 1 e 2 são ideais, a polia 1 é
fixa e a polia 2 é móvel. O bloco A possui massa 11 kg e o bloco B sobe
com aceleração 1 m/s2. Determinar a aceleração do bloco A, a massa do
bloco B e a tensão na corda. Adote a aceleração da gravidade igual a 10
m/s2.
Dados do problema
•
•
•
massa do corpo A:
aceleração do corpo B:
aceleração da gravidade:
m A = 11 kg;
a B = 1 m/s2;
g = 10 m/s2.
Esquema do problema
 A ) produz uma tração T
 na corda, esta
A força peso do corpo A ( P
é transferida pela corda para o outro lado da polia fixa no teto. Esta tração é
transmitida pela corda que passa pela segunda polia (móvel) para o outro
lado da polia, e para equilibrar estas duas trações temos na corda que sai da
 , esta tração atua na corda que prende o corpo
polia uma tração igual a 2 T

B onde atua a força peso P B (figura 1).
figura 1
Solução
Quando o bloco A desce uma
distância h um ponto C da corda desce h
(figura 2), como esta polia está fixa no teto, a
corda o do outro lado da polia sobe h. Como
a segunda polia está livre um ponto D na
h
corda deve subir h, deste valor
são o
2
deslocamento do ponto, em relação a polia, e
h
os outros
são resultante da subida da
2
própria polia que é puxada para cima. Então
temos a condição
ΔS A = 2ΔS B
figura 2
(I)
Da Cinemática Escalar temos que um corpo se movimentando sob a ação de uma
aceleração constante está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) descrito
pela equação horária
S = S 0 v 0 t
1
a 2
t
2
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S−S 0 = v 0 t 
a 2
t
2
como Δ S = S−S 0 , temos
ΔS = v 0t
a 2
t
2
(II)
Escrevendo a expressão (II) para cada um dos blocos, obtemos
Δ S A = v 0 A t
aA 2
t
2
e
Δ S B = v 0 B t
aB 2
t
2
(III)
adotando que os blocos partem do repouso, suas velocidade iguais serão nulas
( v 0 A = v 0 B = 0 ), substituindo estes valores as expressões de (III) se reduzem a
aA 2
t
2
aA 2
ΔS A =
t
2
Δ S A = 0 . t
e
Δ S B = 0.t 
e
ΔS B =
aB 2
t
2
aB 2
t
2
(IV)
substituindo as expressões de (IV) na condição (I), temos]
aA 2
aB 2
t = 2.
t
2
2
aA 2
t = aB t 2
2
2
2
a A t = 2aB t
como os deslocamentos ocorrem ao mesmo tempo podemos simplificar t 2 de ambos os lados
da igualdade
a A = 2aB
substituindo o valor da aceleração do corpo B dado
a A = 2 .1
a A = 2 m/s
2
Isolando os corpos e pesquisando as forças que agem em cada um deles aplicamos a
2.ª Lei de Newton
 = m
F
a
Corpo A:
•
•
PA : peso do corpo A;
T : tensão na corda.
Adotamos o sentido positivo no mesmo sentido da aceleração. Na
direção horizontal não há forças atuando, na direção vertical temos que a 2.ª Lei
de Newton nos fornece a equação
P A −T = m A a A
2
figura 3
(V)
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Corpo B:
•
•
PB : peso do corpo B;
T : tensão na corda.
Adotamos o sentido positivo no mesmo sentido da aceleração. Na
direção horizontal não há forças atuando, na direção vertical temos que a 2.ª
Lei de Newton nos fornece a equação
2 T −P B = m B a B
figura 4
(VI)
Com as equações (V) e (VI) acima temos um sistema de duas equações a duas
incógnitas (T e m B),
∣
P A −T = m A a A
2 T −P B = m B a B
multiplicando a primeira equação por 2 e somando as duas, temos
∣
∣
P A −T = m A a A
2 T −P B = m B a B
.2
2 P A −2T = 2 m A a A
2 T −P B = m B a B
2 P A −P B = 2 m A a A m B a B
(VII)
O módulo das forças peso dos corpos A e B são dadas por
P A = mA g
e
P B = mB g
(VIII)
substituindo o valor da aceleração do bloco A encontrada acima e as expressões de (VIII) em
(VII), obtemos
2 m A g −mB g = 2 m A . 2 a Bm B a B
2 m A g−m B g = 4 m A a Bm B a B
−m B a B−m B g = 4 m A a B− 2m A g
colocando o termo – m B em evidência do lado esquerdo da igualdade e 2 m A do lado direito,
temos
−m B  a Bg  = 2 m A  2 a B− g 
2 m A  2 aB −g 
m B =−
 aB g 
substituindo os valores dados no problema e a aceleração do corpo B encontrada acima,
obtemos
2 .11.  2. 1−10 
 110 
22.  2−10 
mB = −
11
mB = −2 . −8 
mB = −
m B = 16 kg
3
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Na expressão (V) isolando o valor da tração e substituindo a força peso do corpo A
pelo valor dado em (VIII), temos
T = m A g− mA a A
T = 11. 10−11 .2
T = 110−22
T = 88 N
A tração na corda presa ao corpo A será de T = 88 N e a tração na corda presa ao
corpo B será de 2 T = 2 . 88 = 176 N.
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