PROGRESSÃO ARITMÉTICA CONTEÚDOS • Progressão
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PROGRESSÃO ARITMÉTICA CONTEÚDOS Progressão aritmética (PA) Razão de uma PA Progressão aritmética crescente Progressão aritmética decrescente Progressão aritmética constante Soma dos n termos de uma progressão aritmética AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Acompanhe as temperaturas registradas, durante 8 dias, nas madrugadas de um Temperatura em graus Celsius (°C) rigoroso inverno. Durante esse período, observa-se que no primeiro dia de registro, a temperatura foi de – 1°C. No segundo dia já inicia-se um aumento e a temperatura chega a 1 ºC. Ao longo da semana esse aumento permanece chegando a atingir 13 °C, 7 dias após o menor registro. Observe que a cada dia há um aumento constante, vamos acompanhar essa sequência que representa as temperaturas registradas. - 1°C, 1°C, 3°C, 5°C, 7°C, 9°C, 11°C e 13°C Veja que a cada dia há um aumento de 2 °C e, se esse aumento permanecesse, na próxima segunda-feira, a temperatura seria de 15°C. Essa sequência de registros das temperaturas, pode receber o nome de progressão aritmética (PA). Identifica-se uma PA quando temos uma sequência de termos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu anterior somado uma constante. No caso das temperaturas, temos como primeiro termo a temperatura de – 1 °C, o segundo termo representa o primeiro registro (- 1 ºC) somado a 2 °C. E assim, somando sempre 2 °C ao registro anterior, é dado continuidade a essa sequência de termos. Em uma progressão aritmética os termos podem ser identificados da seguinte maneira: 1º termo 3º termo 5º termo 7º termo a1 = - 1 °C a3 = 3 °C a5 = 7 °C a7 = 11 °C 2º termo 4º termo 6º termo 8º termo a2 = 1 °C a4 = 5 °C a6 = 9 °C a8 = 13 °C Cada termo ocupa uma posição, assim, sua identificação é de acordo com a posição ocupada. Veja que, para obter cada termo, a partir do segundo, pode-se fazer a seguinte relação: a2 = a1 + 2°C a3 = a2 + 2°C a4 = a3 + 2°C Em uma PA, esse valor constante que é somado a cada termo, é chamado de razão. Para conhecer a razão de uma PA basta verificar qual é a diferença entre um termo qualquer e seu anterior. No caso discutido, observa-se: a2 - a1 1°C - (- 1°C) = 2°C a6 - a 5 9°C - 7°C = 2°C a4 - a3 5°C - 3°C = 2°C a8 - a7 13°C - 11°C = 2°C Para obter um termo qualquer de uma progressão aritmética, utiliza-se a seguinte expressão: an = a1 + ( n -1) .r Essa expressão é chamada de fórmula do termo geral de uma PA. Vejamos um exemplo do uso da expressão an = a1 + ( n -1) .r Vamos supor que houve o acompanhamento das temperaturas registradas na madrugada, durante 15 dias consecutivos. No gráfico discutido no início desse capítulo, temos o registro dos 8 primeiros dias, considerando o mesmo aumento para os próximos dias, qual será o registro no 15º dia? Vejamos: n = 15° dia an = temperatura do 15° dia r = razão, neste caso igual a 2°C. a1 = - 1°C a15 = - 1 °C + ( 15 - 1).2 a15 = - 1 °C + 14.2 a15 = - 1 + 28 a15 = 27 Portanto, no décimo quinto dia a temperatura registrada, durante a madrugada, seria de 27 °C. Essa progressão aritmética representada pelas temperaturas registradas durante a madrugada, é identificada como uma progressão aritmética crescente. Isso porque cada termo, é maior que seu anterior e sua razão é maior que zero. Ao observar a relação entre os termos de uma PA, pode- se ainda fazer as seguintes análises: Dada uma PA de três termos representada por 3, 5, 7. Veja que se identificarmos o segundo termo como x, temos a seguinte relação: (x – r, x, x + r) ( 5 – 2, 5, 5 + 2) ( 3, 5, 7 ) Ou ainda, sendo o primeiro termo identificado como x, temos a seguinte relação: (x, x + r, x + 2r) ( 3, 3 + 2, 3 + 2.2) ( 3, 5, 7) Vejamos uma situação em que o uso dessas relações torna-se essencial. Considere que em uma PA de três termos, a razão é um número inteiro positivo. A soma dos termos é igual a 15 e o produto deles é igual a 80.Determine cada um dos termos dessa PA. Com as informações sobre a soma desses termos e o produto deles, podemos considerar que: ( x – r) + x + ( x + r) = 15 ( x – r). x. ( x + r) = 80 Se ( x – r) + x + ( x + r) = 15 temos: 3x = 15 Se ( x – r). x. ( x + r) = 80 temos: ( 5 – r). 5. ( 5 + r) = 80 5r² = 45 x=5 r² = 9 r = 3 ou r = - 3 Sendo a razão, um número inteiro positivo, devemos considerar r = 3. Portanto, nessa PA os termos são: 2, 5, 8 Aproveitaremos essa progressão aritmética para que você observe a seguinte relação: 28 5 2 Veja que a média entre os termos extremos, resulta no termo médio, essa situação pode ser observada para qualquer PA que tenha um número ímpar de termos. Veja, que essa relação pode ser observada nas seguintes progressões: 3, 10, 17,24, 31 10, 6, 2, -2, - 6 3 31 17 2 10 (6) 2 2 Progressão Aritmética decrescente. Considere que o primeiro termo de uma PA vale 21, o segundo termo vale 18 e o terceiro termo vale 15. Qual é a razão dessa progressão aritmética? Observe que o segundo termo é menor que o primeiro e o terceiro, menor que o segundo. 21, 18, 15,... Ao realizar a subtração entre o segundo e o primeiro termo, temos: 18 – 21 = - 3 Ou seja, essa PA apresenta razão negativa. Na situação trabalhada, temos uma PA decrescente de razão igual – 3. Observe que cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior. Em uma PA decrescente a razão será um número menor que zero. Progressão aritmética constante Para que seja compreendido quando uma sequência representa uma PA constante, vamos analisar a seguinte sequência. 10, 10 ,10 ,10 ,10 ,10 ,10... Observe que a diferença entre um termo qualquer e seu antecedente é nula. Isso ocorre porque a razão é igual a zero. Soma dos n termos de uma PA Para compreender o cálculo da soma dos n termos de uma PA, vamos trabalhar com a seguinte progressão: 1, 4, 7, 10,... Já sabemos que essa é uma PA crescente e que sua razão é igual a 3. E, para que seja possível determinar a soma de uma quantidade n de termos, faremos uso da seguinte expressão: Sn (a 1 a n ).n 2 Suponha que deseja-se saber qual é a soma dos 4 primeiros termos dessa sequência. Logo, temos: n = 4 a1 = 1 a4 = 10 S4 (1 10).4 2 S4 11.4 22 2 Portanto, a soma dos 4 primeiros termos dessa sequência é igual a 22. Vamos aplicar a soma dos n termos de uma PA em uma situação relacionada ao cotidiano de um atleta. Imagine que uma atleta deseja aumentar diariamente seu desempenho. Em determinado dia esse atleta correu 30 km, e decidiu que a partir de então, por um período de 30 dias, em cada dia, ele iria correr 1 km a mais que o dia anterior. Após o 30° dia, somando todos os quilômetros corridos diariamente, quantos quilômetros o atleta correu? Para encontrar a resposta para a situação colocada, é preciso lembrar que essa é uma PA de 31 termos, isso porque o primeiro termo é representado pelos 30 km. Além disso, é preciso lembrar que não temos o valor do 31° termo, logo, antes de calcular a soma de todos os termos, é preciso calcular o a31: an = a1 + ( n -1) .r a31 = 30 + ( 31 – 1) . 1 a31 = ? a31 = 30 + 30.1 a1 = 30 a31 = 30 + 30 a31 = 60 n = 31 r=1 Conhecido o valor do último termo, é possível calcular a soma de todos os termos da PA. Sn (a 1 a n ).n 2 S31= ? a1 = 30 S31 = (30 60).31 2 S31 = 90.31 2 S31 = 2.790 2 a31 = 60 n = 31 S31= 1.395 Após os 30 dias o atleta terá corrido 1.395 km. ATIVIDADES 1. Observe a sequência, verifique se ela é uma PA, e caso positivo, identifique sua razão. 3, 7, 11,15, 19, 23,... 2. Numa PA de razão 2, o 1º termo é 8. Que posição ocupa o termo cujo valor é 56? 3.(ENEM – 2012)Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é a) 21. b) 24. c) 26. d) 28. e) 31 4. ( Saresp – 2007) Considere o evento: "Um atleta corre sempre 200 metros a mais do que no dia anterior". É verdade que, o número de metros percorridos a cada dia, constituem os termos de uma progressão a) geométrica de razão 2. b) aritmética de razão 2. c) geométrica de razão 200. d) aritmética de razão 200. 5. O valor da soma de todos os múltiplos positivos de 10, formados por dois algarismos, está indicado na alternativa a) S = 150 b) S = 250 c) S = 350 d) S = 450 e) S = 850 6. (ENEM – 2013) O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados. Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013. No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número a) 32. b) 34. c) 33. d) 35. e) 31. LEITURA COMPLEMENTAR Gauss, O Príncipe da Matemática Um professor, para manter seus alunos ocupados, mandou que somassem todos os números de um a cem. Esperava que eles passassem bastante tempo executando a tarefa. Para sua surpresa, em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.050. Como ele fez a conta tão rápido? Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último, 1 + 100, obtinha 101. Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101. Figura 1 - Carl Friedrich Gauss Fonte: Wikimedia Commons Somando o terceiro número com o antepenúltimo, 3 + 98, o resultado também era 101. Percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050. E assim, ainda criança Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritméticas. (...) Gauss percebeu rapidamente que a soma de todos os números de 1 a 100 resulta em 5.050. Para isso, vamos somar os termos de dois em dois, de uma forma bem especial. Veja: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, 4 + 97 = 101, . . . 47 + 54 = 101, 48 + 53 = 101, 49 + 52 = 101, 50 + 51 = 101. Nas somas acima, ocupando o lugar da primeira parcela temos todos os números de 1 a 50. No lugar da segunda parcela, temos todos os números de 51 a 100. São 50 somas e cada uma delas resulta sempre no mesmo número: 101. Portanto, para somar todos os números de 1 a 100 basta somar 50 vezes 101, isto é, calcular 50 x 101 = 5050. (...) Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi sem dúvida um dos maiores matemáticos que já existiram. É por muitos considerado o maior gênio matemático de todos os tempos, razão pela qual também é conhecido como o Príncipe da Matemática. Disponível em:<http://www.uff.br/sintoniamatematica/curiosidadesmatematicas/curiosidadesmatematicashtml/audio-gauss-br.html>. Acesso em: 28 mar. 2016. 12h. INDICAÇÕES Para estudar um pouco mais as progressões aritméticas, consulte os links indicados a seguir. Podcast – Progressões aritméticas Disponível em: http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/matematica/podcasts/Lists/Podcast/Dis pForm.aspx?ID=19&Source=http%3A%2F%2Fwww%2Eeja%2Eeducacao%2Eorg%2E br%2Fbibliotecadigital%2Fmatematica%2Fpodcasts%2FPaginas%2FPodcastEM%2Ea spx Atividade podcast: Progressões aritméticas Disponível em: http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/matematica/podcasts/Lists/Podcast/Dis pForm.aspx?ID=19&Source=http%3A%2F%2Fwww%2Eeja%2Eeducacao%2Eorg%2E br%2Fbibliotecadigital%2Fmatematica%2Fpodcasts%2FPaginas%2FPodcastEM%2Ea spx Progressão aritmética – Para correr a São Silvestre Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1150. REFERÊNCIAS BARRETO FILHO, Benigno. BARRETO, Cláudio Xavier. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD, 2000. CECIERJ, Fundação. Matemática e suas Tecnologias – Módulo III/ Matemática. Rio de Janeiro, 2013. Disponível em: <http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/eja/materialaluno/modulo-03/Miolo_Matematica_Nova_Eja_Aluno_Mod03.pdf>. Acesso em: 29 mar. 2016. 10h. ENEM 2012 – Exame Nacional do Ensino Médio. INEP – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Ministério da Educação. Disponível em:<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2012/caderno_enem2 012_dom_amarelo.pdf>.Acesso em: 29 mar. 2016. 9h ENEM 2013 – Exame Nacional do Ensino Médio. INEP – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Ministério da Educação. Disponível em:<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2013/caderno_enem2 013_dom_amarelo.pdf>.Acesso em: 29 mar. 2016. 15h SARESP 2007 – Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do estado de São Paulo. SEE/SP. Disponível em:<http://saresp.fde.sp.gov.br/2007/Arquivos/Provas%202007/Matem%C3%A1tica/E M%203%C2%AA%20s%C3%A9rie/1_Manh%C3%A3/Prova-MAT-3EMManha.pdf>Acesso em: 28 mar. 2016. 12h. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, v 2: livro do professor. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. p. 222 - 260. UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE. Gauss, O Príncipe da Matemática. Disponível em:<http://www.uff.br/sintoniamatematica/curiosidadesmatematicas/curiosidadesmate maticas-html/audio-gauss-br.html>. Acesso em: 29 mar. 2016. 13h. WIKIMEDIA COMMONS. Carl Friedrich Gauss. Disponível em: <https://commons.wikimedia.org/wiki/Johann_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F#/media/Fil e:Carl_Friedrich_Gauss.jpg>. Acesso em: 30 mar. 2016. 9h15. GABARITO 1. Uma PA é uma sequência de termos em que cada termo, a partir do segundo é a soma do termo anterior com uma constante. Na sequência apresentada, observa-se que a partir do primeiro, para obter cada termo, é somado o valor 4. Portanto, essa é uma PA de razão 4. 2. Neste caso, deseja-se descobrir a posição de um determinado termo, conhecendo o valor dele, a razão e o primeiro termo da PA, tem-se: an = a1 + ( n -1) .r an = 56 a1 = 8 n=? r=2 56 = 8 + ( n -1) .2 50 = 2n 56 = 8 + 2n – 2 n 50 2 56 = 2n + 6 56 - 6 = 2n n = 25 Portanto, a posição ocupada pelo termo de valor igual a 56 é a 25°. 3. Alternativa correta é a letra B. Para saber qual é a quantidade de cartas que tem no monte, pode-se utilizar a soma dos n termos de uma PA. Neste caso, vamos calcular apenas qual é a soma das cartas que estão nas 7 colunas. Sn (a 1 a n ).n 2 S7 (1 7).7 2 S7 8.7 = 28 2 Nas 7 colunas há um total de 28 cartas. Se o jogo tem 52 cartas, há no monte um total de 24 cartas. 52 – 28 = 24 4. Alternativa correta é a letra D. Se a cada dia o atleta corre 200 metros a mais que o dia anterior, o número de metros percorridos representa uma progressão aritmética de razão 200. 5. A alternativa correta é a D O menor múltiplo de 10 que tem 2 algarismos é o próprio 10. O maior múltiplo de 10 que tem 2 algarismos é o número 90. Considerando os números de 2 algarismos, são múltiplos de 10 os números que apresentam o algarismo zero na unidade. Assim, temse: 10, 20, 30, 40, 50, 60 ,70 ,80 e 90. Para calcular a soma desses números podemos utilizar a soma dos termos de uma PA. Sn (a 1 a n ).n 2 S9 (10 90).9 2 S9 100.9 450 2 6. Se o ciclo tem um período de 11 anos, esse valor representa a razão dessa PA. Considerando que o primeiro termo dessa PA é 1755, e deseja-se saber a posição do termo de valor igual a 2101, temos: 2101 – 1755 = 346 346 = 31, 45 (aproximadamente) 11 Portanto, em 2101 o Sol estará no 32° ciclo de atividade magnética, pois de acordo com os cálculos já terá passado o 31º ciclo.
