01 Notação Científica

Notação Científica
Introdução
Observe os números abaixo:
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600 000
30 000 000
500 000 000 000 000
7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
0,0004
0,00000001
0,0000000000000006
0,0000000000000000000000000000000000000000000000008
A representação desses números na forma convencional torna-se difícil, em especial no quarto e oitavo
exemplos. O principal fator de dificuldade é a quantidade de zeros extremamente alta para a velocidade normal
de leitura dos números.
Pode-se pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Mas este
pensamento é incorreto. Em áreas como a Física e a Química esses valores são frequentes.
Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000
metros, e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 gramas.
Para valores como esses, a notação científica é mais compacta. Outra vantagem da notação científica é que ela
sempre pode representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância
observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 30 algarismos significativos. Mas isso
não é verdade (seria coincidência demais 25 zeros seguidos numa aferição).
Descrição
Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo:
e
m · 10
O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza.
Notação científica padronizada
A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. Mas a
notação científica padronizada inclui uma restrição: a mantissa deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10.
Desse modo cada número é representado de uma única maneira.
Como transformar
Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula
obedecendo o príncípio de equlíbrio.
Vejamos o exemplo abaixo:
253.756,42
A notação científica padronizada exige que a mantissa esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado
seria 2,5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da
vírgula). Para o exponente, vale o princípio de equilíbrio:
"Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa".
Nesse caso, o expoente é 5.
Observe a transformação passo a passo:
1
2
3
4
5
253 756,42 = 25 375,642 · 10 = 2 537,5642 · 10 = 253,75642 · 10 = 25,375642 · 10 = 2,5375642 · 10
Um outro exemplo, com valor menor que 1:
-1
-2
-3
-4
-5
0,0000000475 = 0,000000475 · 10 = 0,00000475 · 10 = 0,0000475 · 10 = 0,000475 · 10 = 0,00475 · 10 =
-6
-7
-8
0,0475 · 10 = 0,475 · 10 = 4,75 · 10
Desse modo, os primeiros exemplos ficarão:
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5
6 · 10
3 · 107
5 · 1014
33
7 · 10
-4
4 · 10
1 · 10-8
-16
6 · 10
-49
8 · 10
Operações
Adição e Subtração
Para somar dois números em notação científica, é necessário que o expoente seja o mesmo. Ou seja, um dos
valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro.. O resultado possivelmente não
estará na forma padronizada, sendo convertido posteriormente.
Exemplos:
7
5
7
7
7
4,2 · 10 + 3,5 · 10 = 4,2 · 10 + 0,035 · 10 = 4,235 · 10
9
9
9
6,32 · 10 - 6,25 · 10 = 0,07 · 10 (não padronizado) = 7 · 107 (padronizado)
Multiplicação
Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será
padronizado, mas pode ser convertido:
Exemplos:
(6,5 · 108) . (3,2 · 105) = (6,5 · 3,2) · 108+5 = 20,8 · 1013 (não padronizado) = 2,08 · 1014 (convertido para a
notação padronizada)
(4 · 106) · (1,6 · 10-15) = (4 · 1,6) · 106+(-15) = 6,4 · 10-9 (já padronizado sem necessidade de conversão)
Divisão
Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será
padronizado, mas pode ser convertido:
Exemplos:
(8 · 1017) / (2 · 109) = (8/2) . 1017-9 = 4 · 108 (padronizado)
-7
-11
-7-(-11)
4
3
(2,4 · 10 ) / (6,2 · 10 ) = (2,4 /6,2) · 10
≈ 0,3871 · 10 (não padronizado) = 3,871 · 10 (padronizado)
Exponenciação
A mantissa é elevada ao expoente externo e o expoente da base dez é multiplicado pelo expoente externo.
(2 · 106)4 = (24) · 106 · 4 = 16 · 1024 = 1,6 · 1025 (padronizado)