Álgebra Capítulo Resoluções das atividades 4 6 084 3 042 1 521 507 169 13 1 Testando seus conhecimentos (página 42) 1 a) 196 196 98 49 7 1 2 2 7 7 2 2 2 2 2 5 5 5 5 3 15 876 15 876 7 938 3 969 1 323 441 147 49 7 1 Sabe-se que, após o 123, o primeiro número quadrado perfeito é o 144 (122). Então, dentro desse intervalo, são quadrados perfeitos os números: 652 = 4 225 (menor que 4 567) 662 = 4 356 (menor que 4 567) 672 = 4 489 (menor que 4 567) 682 = 4 624 (maior que 4567, ou seja, não convém) Então, o maior número quadrado perfeito desse intervalo é o 4 489 (672). Dessa forma, são 67 – 12 + 1 = 56 quadrados perfeitos nesse intervalo. Obs.: Soma-se + 1 porque, ao diminuir 12 de 67, retira-se o próprio 12 da conta. 2 2 3 3 3 3 7 7 Atividades propostas (página 43) 15 876 = 22 ⋅ 34 ⋅ 72 = 2 ⋅ 32 ⋅ 7 = 2 ⋅ 9 ⋅ 7 = 126 676 d) 6, 76 = 100 676 2 338 2 169 13 13 13 1 676 = 100 Para resolver esse problema, é necessário encontrar o maior número quadrado perfeito menor que 700. 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 .: 2 2 10 000 = 24 ⋅ 54 = 2 ⋅ 5 = 4 ⋅ 25 = 100 c) 2 2 3 3 13 13 25 · 25 = 625 (menor que 700) 26 · 26 = 676 (menor que 700) 27 · 27 = 729 (maior que 700, ou seja, não convém) Dessa forma, foram colocados 26 soldados em cada fila e 26 em cada coluna, ficando de fora 700 – 676 = 24 soldados. 10 000 10 000 5 000 2 500 1250 625 125 25 5 1 6 084 100 6 084 22 ⋅ 32 ⋅ 132 2 ⋅ 3 ⋅ 13 = = = 7, 8 100 10 2 10 196 = 22 ⋅ 72 = 2 ⋅ 7 = 14 b) 60, 84 = e) Conjunto dos números reais II 22 ⋅ 132 2 ⋅ 13 26 = = = 2, 6 10 2 10 10 1 a) 13 824 6 912 3 456 1 728 864 432 216 108 54 27 9 3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 13 824 = 3 29 ⋅ 33 = 23 ⋅ 3 = 8 ⋅ 3 = 24 8o ano – Ensino Fundamental – Livro 1 1 Álgebra b) 3 375 1 125 375 125 25 5 1 3 2 1 1 2 2 2 7 7 7 18 2 b) 9; 36 ; 18 ; −8 2 2 x2 + 42 = 142 x2 = 196 – 16 x2 = 180 x = 180 Para calcular a raiz quadrada aproximada de 180, é necessário verificar o intervalo em que ela se encontra: Logo, 180 ≅ 13, 4. Resposta: x = 13,4 3 x2 = 72 + 72 x2 = 49 + 49 x2 = 98 x = 98 O número procurado é irracional. Para calcular quantos números quadrados perfeitos existem entre 3 472 e 1252, é necessário saber qual é o primeiro número quadrado perfeito após o 3 472. Então, entre 3 472 e 1252, existem 125 – 59 + 1 = 67 números quadrados perfeitos. 5, − 3 13,12 = 171,61 13,22 = 174,24 13,32 = 176,89 13,42 = 179,56 13,52 = 182,25 (maior que 180, portanto não convém) Para resolver esse problema, é necessário encontrar o maior número quadrado perfeito menor que 360. 552 = 3 025 562 = 3 136 572 = 3 249 582 = 3 364 592 = 3 481 (primeiro quadrado perfeito após o 3 472) :. 1252 18 ; −8 2 Percebe-se, então, que a raiz procurada está entre 13 e 14. Fazendo os testes com aproximação de uma casa decimal: Conclui-se, então, que a raiz de 19,9 é aproximadamente 4,4. Dessa forma, conclui-se que foram colocados 18 músicos em cada fila e em cada coluna, sobrando 360 – 324 = 36 músicos. 36 ; 0, 444...; 11 · 11 = 121 12 · 12 = 144 13 · 13 = 169 14 · 14 = 196 4,12 = 16,81 4,22 = 17,64 4,32 = 18,49 4,42 = 19,36 4,52 = 20,25 (maior que 19,9) 15 · 15 = 225 = (menor que 360) 16 · 16 = 256 = (menor que 360) 17 · 17 = 289 = (menor que 360) 18 · 18 = 324 = (menor que 360) 19 · 19 = 361 = (maior que 360, ou seja, não convém) 3 ; − 2, 6; 4 e) Todos. 23 ⋅ 73 ⋅ 1000 = 3 23 ⋅ 73 ⋅ 23 ⋅ 53 = 2 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 5 = 14 ⋅ 10 = 140 Para calcular a raiz aproximada de 19,9, é necessário verificar entre quais números naturais esse número está. 2 a) 9; 36 ; d) Dessa forma, entende-se que a raiz quadrada de 19,9 está entre 4 e 5. Como o enunciado pede aproximação com uma casa decimal, é preciso fazer mais um teste: 4 d) R e) R f) I c) 9; 42 = 16 (menor que 19,9) 52 = 25 (maior que 19,9) 3 a) R b) I c) I Testando seus conhecimentos (página 49) 3375 3 33 ⋅ 53 3 ⋅ 5 15 = = = = 1, 5 1000 10 3 10 10 c) 2 744 1 372 686 343 49 7 1 3 Agora é com você! (página 46) 3 3 3 5 5 5 9,52 = 90,25 9,62 = 92,16 9,72 = 94,09 9,82 = 96,04 9,92 = 98,01 (não convém) x ≅ 9,8 cm 4 a) C = 2 · r · π C = 2 · 5,05 · 3,14 C = 31,714 m b) 31,714 · 2,25= 71,3565 = R$ 71,36 8o ano – Ensino Fundamental – Livro 1 Álgebra Atividades propostas (página 50) 1 a) ( I ) b) ( I ) c) ( Q ) 4 d) ( Q ) e) ( Q ) f) ( I ) 1 9 3 60 x 30 C = 2 ⋅r ⋅ π 2 ⋅ 118π C= 4 C = 59 ⋅ 3,14 C = 185, 26 m x2 + 302 = 602 x2 = 3 600 – 900 x2 = 2 700 x = 51,9 Resposta: Ele percorreria 185,26m. Resposta: João andou 8,19 km. C 128 64 32 16 8 4 2 1 5 Perímetro = 2 · (30 + 51,9) = 163,8 Distância = 50 · 163,8 = = 8 190 m = 8,19 km 2 2 2 2 2 2 2 128 = 5 27 = 2 5 22 5 a) ( V ) b) ( F ) c) ( V ) d) ( F ) e) ( F ) f) ( V ) g) ( F ) 6 C = 2 · π · r → C = 2 · 440 · 3,14 C = 2 763,2 m 7 a) 2,8 · 2,2 = 6,16 b) 2,8 + 2,2 = 5,0 c) 2,8 – 2,2 = 0,6 8 d2 = 402 + 202 d2 = 1 600 + 400 = 2 000 D2 = 152 + d2 = 225 + 2 000 = 2 225 D = 47,1 cm 19 ; 0 ; − 0, 345678..., 0, 333... ; 2 3 2 3 ⎛1 ⎞ ⎛ 1⎞ J = ⎜ − 5 + + 5 ⎟ + ⎜ 1⋅ ⎟ − 4 ⋅ 9 4 ⎝4 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1⎞ J = ⎜ + ⎟ + ⎜ 1⋅ ⎟ − 2 ⋅ 3 ⎝4 4⎠ ⎝ 2⎠ 1 9 1 J = 1+ − 6 = − 5 = − 2 2 2 Mergulhando fundo (página 51) 1 I. d2 = 122 + 152 d2 = 144 + 225 d2 = 369 m II. D2 = 32 + d2 D2 = 9 + 369 D = 19,4 m 8o ano – Ensino Fundamental – Livro 1 3