MMN 2.0 8.0 + - Centro de Estudos Espaço

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
– Eletromagnetismo
Capítulo I - Carga elétrica e Matéria
TIPLER, P. A. Física para Cientistas e
Engenheiros; Eletricidade, Magnetismo e Ótica.
Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos, 2000.
UNIVERSIDADE ESTADUAL
PAULISTA
"Júlio de Mesquita Filho"
Campus de Sorocaba/lperó
YOUNG, H. D., FREEDMAN, R. A. Física III.
Pearson , 2004.
Unidade Diferenciada:
Sorocaba/lperó
Engenharia de Controle e Automação;
Habilitação:
Controle e Automação
ALONSO, M.; FINN, E. J. Física: Um Curso
Universitário. 2.ed. São Paulo: Edgard Blücher
Ltda, 2002, v.2.
Eletromagnetismo I
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica:
Eletromagnetismo. São Paulo: Edgard Blücher
Ltda, 2002
Ementa:
1 - Carga e Matéria
Quantização da carga elétrica. Conservação
da carga elétrica. A lei de Coulomb. Condutores e
isolantes.
2 -Campo Elétrico e Lei de Gauss
3 -Potencial Elétrico Blindagem Efeito das
Pontas
4 - Capacitância e Energia Eletrostática
Capacitância Dielétricos Energia Eletrostática
5 - Corrente e Resistência Elétrica
Definição de Corrente Condutividade e
Resistividade Materiais Ohmicos
6 - Campo Magnético de Correntes
Estacionárias e Lei de Ampere:
Definição de Campo Magnético
Lei de Biot-Savart
Lei de Ampere
Energia Magnética
7 - Indução Magnética e Lei de FaradayLenz. Indutância Motores Geradores
8 - Circuitos Elétricos
Medida de Corrente e Diferença de
Potencial
Força Eletromotriz
Leis de Kirchoff e dos Nós
Circuitos RC e RLC
Circuitos AC
Bibliografia complementar:
HAYT Jr., W. H. Eletromagnetismo.
4ªed e 6ªed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos Editora, 1994.
K.RAUS, J. D.; FLEISCH, D. A.;
Electromagnetics with Appiications. New York,
McGraw-Hill 1992.
EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo.
São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1980.
SEELY, S. Introduction Electromagnetic
Fields. Tokyo: Kogakusha Company, Ltd.,
Intemational Student Edition.
1958.
HELD, M. A.; MARION, J. B. Classical
Eletromagnetic Radiation. 3.ed. Philadelfia/USA:
Harcout Brace &Company, 1995.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DA
APRENDIZAGEM
Provas escritas
Obietivos (ao término da disciplina o
aluno devera ser capaz de):
Compreender os principais fenômenos
eletromagnéticos. Conhecer as principais leis do
eletromagnetismo
e
resolver
problemas
envolvendo circuitos elétricos.
Peso de provas: 8,0
Peso de trabalhos: 2,0
Onde Mp é a média aritmética das notas
obtidas pelo aluno nas provas e Mr a média
aritmética das notas dos trabalhos. Durante o
semestre, além de duas provas individuais
obrigatórias, será ofertada a todos os alunos uma
terceira prova cuja realização é facultativa. Caso o
aluno opte por fazê-la, a média Mp será obtida a
partir da média aritmética das notas obtidas nas
três
Notas de aula baseada na:
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
RESN1CK, R.; HALLIDAY, D.; KLRANE, K:.
Física 3. 5.ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos, 2003.
™ Nota final: N p = 0.8M P + 0.2 M T
HALLIDAY, D.; RESNICK.R.; WALK.ER, J.
Fundamentos de Física. 6.ed. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos, 2002. v.3.
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– Eletromagnetismo
Capítulo I - Carga elétrica e Matéria
Introdução:
A carga elétrica
O termo eletricidade vem da palavra grega elektron, que significa âmbar, resina que quando atritada
com lã provoca atração em palha, fenômeno conhecido desde a antiguidade. Pode-se considerar que os
conhecimentos sobre a eletricidade tiveram seu início em 600 AC, quando Thales de Mileto verificou que um
bastão de âmbar (uma resina fóssil) atritado atraía pequenos fragmentos de palha. Aliás, a origem da palavra
está no grego elektron, que significava âmbar amarelo.
A evolução das constatações de Mileto levou à conclusão da existência de cargas elétricas, que
podem ser de duas espécies: positiva e negativa. Entre cargas da mesma espécie ocorre uma repulsão e entre
espécies diferentes, uma atração.
No final do século XIX e início do século XX, diversos experimentos realizados por físicos, que
descreveremos mais adiante, demonstraram que a matéria possui massa e ocupa lugar no espaço, sendo
constituída por partículas muito pequenas chamadas de átomos e estes por sua vez são constituídos por
prótons e nêutrons, situados no núcleo, e elétrons que orbitam o núcleo em camadas definidas.
A descoberta do elétron
A existência do elétron foi postulada por G. Johnston e Stoney como uma unidade de carga no
campo da eletroquímica. O elétron foi descoberto por Thomson em 1897 no Laboratório Cavendish, da
Universidade de Cambridge, enquanto estudava o comportamento dos raios catódicos. Influenciado pelo
trabalho de Maxwell e o descobrimento dos raios X, deduziu que no tubo de raios catódicos existiam
partículas com carga negativa, que denominou de corpúsculos. Ainda que Stoney haja proposto a existência
do elétron, foi Thomson quem descobriu seu caráter de partícula fundamental. Para confirmar a existência do
elétron, era necessário medir suas propriedades, em especial a sua carga elétrica. Este objetivo foi alcançado
por Millikan, através da célebre experiência da gota de óleo, realizada em 1909.
George Paget Thomson, filho de J.J. Thomson, demonstrou a natureza ondulatória do elétron,
provando a dualidade onda-partícula postulada pela mecâncica quântica. Esta descoberta lhe valeu o Prêmio
Nobel de física de 1937.
O spin do elétron foi observado pela primeira vez pela experiência de Stern-Gerlach. Sua carga
elétrica pode ser medida diretamente através de um eletrômetro e a corrente gerada pelo seu movimento com
um galvanômetro.
Os raios catódicos são de elétrons que atravessam um tubo com gás em baixa pressão entre dois
pólos, que produzem luminosidade de acordo com a pressão. Para chegar a conclusão de que os gases, quando
submetidos a baixa pressão, podem conduzir eletricidade, Henrich Geissler (1859), Johann Hittorf (1896) e
Willian Crookes (1886), utilizaram o chamado tubo de raios catódicos. Esse aparelho é formado por uma
ampola de vidro ligada a uma bomba de vácuo que tem por utilidade diminuir a pressão interna. Nas duas
pontas do tubo há extremidades metálicas (eletrodos) ligadas a uma bateria.
Quando a pressão interna chega a um décimo da pressão ambiente, o gás que existe entre os
eletrodos passa a emitir uma luminosidade. Quando a pressão diminui ainda mais (100 mil vezes menor que a
pressão ambiente) a luminosidade desaparece, restando uma "mancha" luminosa atrás do pólo positivo.
Cientistas atribuíram essa mancha a raios provenientes do pólo negativo (catodo). Então foram denominados
raios catódicos. Os raios catódicos nada mais são do que feixes de elétrons que atravessam o tubo. São
comumente encontrados em aparelhos de televisão e monitores de microcomputadores.
Nas ruas podemos encontrá-los em alguns letreiros. As cores desses raios dependem do gás usado.
Com algumas modificações nos tubos, os raios catódicos dão origem a outros tipos de luzes, como por
exemplo:
• Luminosos de néon: o gás usado é o neônio. É usado em letreiros publicitários.
• Luminosos de sódio: o gás usado é o vapor de sódio. Confere uma luminosidade amarela
característica. É usado em iluminações de vias públicas e túneis.
• Lampadas fluorescentes de mercúrio: o gás usado é vapor de mercúrio. Emite uma luz
violeta e ultravileta (luz negra). É revestida com uma tinta fluorescente (a base de fósforo) que absorve a luz
emitida e reemite como luz branca. São usadas em residências, vias públicas, escritórios, etc.
Joseph John Thomson Origem: (Wikipédia, a enciclopédia livre).
Físico britânico nascido em Manchester em 1856 e falecido em Cambridge em 1940. Formou-se em Cambridge em 1884,
onde foi professor de Física Experimental e diretor do Laboratório Cavendish até se jubilar em 1919. Mediu pela primeira vez a carga
específica do elétron em 1897 e mostrou que o efeito termiônico é devido a elétrons. Pela ação de campos elétricos e magnéticos sobre
um feixe de íons de néon, verificou em 1913 a existência de isótopos em elementos não radioactivos, descobrindo o "método das
parábolas". Foi-lhe atribuído o Prêmio Nobel de Física em 1906 por investigações teóricas e experimentais sobre a passagem da
eletricidade através dos gases.
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Capítulo I - Carga elétrica e Matéria
Figura 1 – a) J.J. Thomson el seu laboratório (a) utilizando o tubo de raios catódicos (b) onde constatou a deflexaão de raios
catódicos após aplicar um campo elétrico entre as placas Q e E (c).
a)
b)
c)
A experiência da gota de óleo de Millikan
A experiência de Millikan foi a primeira e direta medida experimental da carga de um elétron.
Foi realizada em 1909 pelo físico americano Robert A. Millikan, que construiu um dispositivo capaz
de medir a carga elétrica presente em gotas de óleo demonstrando a natureza discreta da carga do elétron e
medindo-a pela primeira vez.
A montagem de Millikan é mostrada na figura 2. Duas placas metálicas rigorosamente paralelas e
horizontais, são isoladas e afastadas entre si por uma distância de alguns milímetros.
a)
G
Q⋅E
G
vT
Q<0
d
G
f
G
m⋅g
(b) Gota em repouso.
(c) forças sobre uma gota
caindo.quando o
campo é desligado.
Figura 2 –Aparato construído por Millikan para medida da carga elétrica (a).
Espalhando as gotículas de óleo por um atomizador sobre a placa superior, algumas das gotículas
caem através de um pequeno furo existente nessa placa. Um feixe de luz é dirigido horizontalmente entre as
placas e uma luneta é instalada com seu eixo perpendicular ao feixe. As gotículas de óleo, observadas pela
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Capítulo I - Carga elétrica e Matéria
luneta, quando iluminadas pelo feixe de luz, aparecem como pequeninas estrelas brilhantes caindo lentamente
com velocidade terminal constante, dada pelo seu peso e pela força viscosa da resistência do ar, que se opões
ao movimento: Verifica-se que algumas das gotículas de óleo se encontram eletrizadas, presumivelmente
devido a efeitos de atrito. Pode-se também carregar as gotículas, ionizando-se o ar no interior da câmara por
meio de raio X ou com ums pequena quantidade de material radioativo. Dessa maneira, alguns elétrons ou
íons colidem com as gotículas de óleo e são por elas capturadas. As gotículas têm normalmente carga
negativa, mas, ocasionalmente, pode-se encontrar uma ou outra gotícula com carga positiva.
O método mais simples da medida da carga numa gota consiste em: supor que a gotícula possui uma
carga negativa e que as placas sejam mantidas a uma diferença de potencial constante, tal que o campo
elétrico é dirigido para baixo. Assim, a força elétrica sobre a gotícula é para cima. Ajustando-se o campo
elétrico E, pode-se fazer com que a força elétrica se iguale ao peso, de modo a manter a gota em repouso
(Figura 2 (b)). Assim:
G G
m⋅ g
{1}
Fe + P = 0 ⇒ Q ⋅ E = m ⋅ g ⇒ Q =
E
Como a massa da gota é a sua densidade multiplicada pelo volume: m =
ρ ⋅ 43 π ⋅ R 3 {2}
O Campo elétrico é dado pela diferença de potencial U dividida pela distância entre as placas l:
U
{3}. Substituindo {2} e {3} em {1}, teremos:
E=
l
3
4⋅π ρR gl
3
U
Q=
{4}
Todas essas quantidades podem ser medidas, com exceção do raio da gota, que é muito pequeno para
ser medido, da ordem de 10-5cm. Pode-se calculá-lo desligando-se o campo elétrico e medindo-se a
velocidade terminal vT da gotaquando esta cai por uma distância d. A velocidade terminal ocorre quando o
peso é igual à força viscosa f sobre a gota, dada pela Lei de Stokes:
f = 6πηvR
Montando a segunda lei de Newton, teremos:
f = P ⇒ 6πηvR = mg ⇒ 6πηvT R = ρ 43 πR 3 g
R=3
η vT
2 ρg
{5}
Substituindo {5} em {4}, teremos:
Q = 18π
l η 3vT3
U 2 ρg
Millikan e seus colaboradores mediram as cargas de alguns milhares de gotas e concluíram que,
dentro dos limites de seus erros experimentais, cada gota possuía uma carga igual a um múltiplo inteiro de
certa carga básica, e, isto é, haviam observadas gotas com cargas 2e, 3e, 4e. A conclusão que se chega é que a
carga é múltipla da carga e. O melhor valor experimental já medido para e é:
e = 1,602192 ⋅ 10 −19 C
Experimento de Rutherford
As partículas alfa (núcleos de átomos de hélio 24α) de uma fonte radioativa foram usadas para
golpear uma folha fina do ouro. As partículas alfa produzem um pequeno flash minúsculo, mas visível de luz
quando golpeiam uma tela fluorescente. Espantosamente, as partículas de alfa foram encontradas em ângulos
grandes da deflexão e algumas foram encontradas para trás ao serem dispersas.
Figura 3 – Aparato experimental do Experimento de Rutherford.
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Capítulo I - Carga elétrica e Matéria
Esta experiência mostrou que a matéria positiva nos átomos está concentrada em um volume
muitíssimo pequeno e deu o nascimento à idéia do átomo nuclear. Assim, representou um dos maiores
avanços na nossa compreensão da natureza.
Se a folha do ouro possuir espessura de 1 micrômetro (1µm), usando o diâmetro do átomo do ouro
da tabela periódica, sugere que a folha é possui aproximadamente 2800 átomos.
O tamanho do núcleo do átomo comparado ao tamanho do átomo em que reside é pequeno. Por
exemplo, o espaço dentro de um átomo pode ser comparado ao espaço no sistema solar, em um modelo em
escala, como mostrado na figura anterior. Escolhendo o núcleo de ouro, o raio atômico é 18000 vezes o
tamanho do núcleo. Esta disparidade no tamanho foi descoberta primeiramente com o espalhamento de
partículas alfa realizado por Rutherford em folhas finas do ouro. A extremidade desta comparação do espaço
é destacada pelo fato que um átomo com números iguais dos nêutrons e dos prótons, o núcleo compreende
aproximadamente 99,97% da massa do átomo!
É interessante observar alguns aspectos como a ordem de grandeza do tamanho do átomo, que é em
torno de Angstron:
0
1 A = 10 −10 m
Já a ordem de grandeza do tamanho do núcleo é da ordem de fentômetro, usualmente chamado
Fermi:
1 fm = 10 −15 m .
As massas nucleares são medidas em termos da unidade de massa atômica com o núcleo de carbono
12 definido como tendo uma massa de exatamente 12 u.m.a..
1 uma = 1.66054 ⋅ 10 −27 kg
Para termos uma idéia das dimensões do sistema atômico comparada com o sistema Solar,
mostramos alguns dados na tabela abaixo:
™ Modelo de Escala Relativa de um átomo e o sistema solar.
Nessa escala, a próxima estrela estaria a aproximadamente 10000 milhas distante.
(Figura extraída de: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu)
Figura 4 – Comparação do modelo atômico e sistema solar.
Dados do Modelo Comparativo:
Densidade nuclear: 2.1017 kg/m3.
Átomo de Ouro:
3
Densidade (material): 19.32 g/cm .
Massa Atômica: 196 uma (1 mole = 196.97 g)
1 uma = 1,66 . 10-27kg
Número de Avogadro: 6,02.1023 átomos/mole
Raio atômico: 1,3.10 -10m.
Raio nuclear: 7,3.10-15 m.
Sistema Solar
Raio do Sol: 695000 km
Raio da Terra: 6376 km.
Distância Sol-Terra: 150.10 6 km.
Distância Sol-Plutão: 5900.106km
Alguns experimentos realizados (espalhamento) sugerem que o núcleo tem a forma
aproximadamente esférica e possui essencialmente a mesma densidade. Mantém-se unido devido a existência
da chamada força nuclear forte, existente entre quaisquer pares de partículas nucleares (prótons ou nêutrons)
ou núcleons. O número de prótons é chamado de número atômico (Z) e determina o elemento químico.
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Capítulo I - Carga elétrica e Matéria
1A
0
2
1
H
1,008
3
Li
6,94
11
Na
He
2A
3A
5
6
10,8
12,0
B
Be
Elementos de transição externa
24,3
3B
20
21
39,1
37
Rb
Sc
40,1
44,9
38
39
Sr
85,5
87,6
55
56
Y
88,9
5B
6B
7B
22
23
25
Ti
24
50,9
52,0
41
42
4B
V
47,9
40
Zr
91,2
Nb
92,9
Cr
Mo
95,9
74
73
72
lantaníW
Ta
Cs Ba
Hf 180,9
183,8
132,9 137,3 deos
178,5
87
88 actiní- 104
105
106
Fr
Ra dios
Unq Unp Unh
223
226
8B
8B
8B
1B
28
29
26
27
54,9
55,8
58,9
58,7
63,5
43
44
45
46
47
Mn
Tc
98,9
75
Re
186,2
107
Fe
Co
Ru
Rh
Os
77
108
Ag
78
107,9
79
Pt
Ir
190,2 192,2
Uns Uno
Pd
106,4
101,1 102,9
76
Cu
Ni
Au
195,1 197,0
8
N
14,0
O
7A
4,00
9
10
F
16,0
19,0
17
Ne
20,2
13
14
15
16
P
2B
28,1
31,0
32,1
30
31
32
33
34
35
78,9
Se
Br
83,8
I
Xe
Al
23,0
Ca
C
6A
27,0
12
Mg
5A
7
4
9,01
19
K
4A
Zn
Ga
Si
Ge
As
65,4
69,7
72,6
74,9
48
49
50
Cd
In
51
Sn
112,4 114,8 118,7
80
Hg
200,6
81
Tl
82
Pb
204,4 207,2
Sb
S
52
Te
121,8 127,6
83
Bi
209,0
84
Po
209
Cl
35,5
79,9
53
18
Ar
39,9
36
Kr
54
126,9 131,3
85
At
210
86
Rn
222
109
Une
Elementos de transição interna
Série dos lantanídeos
57
La
58
Ce
59
60
61
62
63
Pr
Nd
Pm
Sm
Eu
138,9 140,1 140,9
144,2
145
150,4
64
Gd
152,0 157,3
65
Tb
66
Dy
67
Ho
158,9 162,5 164,9
68
Er
69
Tm
167,3 168,9
70
71
Yb
Lu
173,0 175,0
número atômico
símbolo
massa atômica
Série dos actinídios
89
Ac
227,0
90
Th
91
Pa
92
U
93
Np
232,0 231,0 238,0 237,0
94
Pu
244,0
95
96
Am
Cm
243
247,0 247,0
97
Bk
98
Cf
99
100
Es
Fm
251,0 252,0 257,0
101
Md
102
No
103
Lr
258,0 259,0 260,0
Figura 4 – Tabela periódica dos elementos.
O núcleo de um dado elemento (mesmo número atômico Z) pode ter diferentes números de nêutrons.
São tratados como isótopos do elemento.
Os átomos são constituídos por partículas subatômicas: elétrons, prótons e nêutron. O elétron possui
a carga negativa (-e) unidade de carga fundamental da eletricidade. Os elétrons giram em torno do núcleo, ou
centro do átomo, em trajetórias de "camadas" concêntricas, ou órbitas, como mostramos na figura 5. O próton
possui a carga positiva (+e). Os prótons são encontrados no núcleo. O número de prótons, dentro do núcleo de
qualquer átomo específico, determina o elemento e o número atômico Z.
Por exemplo, o átomo de silício tem 14 prótons no seu núcleo e, portanto, o número atômico do
silício é 14. O nêutron, que é a carga neutra fundamental da eletricidade, também é encontrado no núcleo.
Figura 5 – Representação de um átomo e suas dimensões.
As massas nucleares são medidas nos termos de unidades maciças atômicas com o núcleo do
carbono-12 definido como tendo u.m.a. exatamente 12. É também prática comum citar a chamada energia de
repouso E = m0c2). A correspondência da energia de repouso a u.m.a. é:
1u = 1.66054 ⋅ 10 −27 kg ⇒ 931.494 MeV
6
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
A Carga elétrica
Como certos átomos são capazes de ceder
elétrons e outros capazes de receber elétrons, é
possível produzir uma transferência de elétrons de
um corpo para outro. Quando isto ocorre, a
distribuição igual das cargas positivas e negativas
em cada corpo deixa de existir. Portanto, um
corpo conterá um excesso de elétrons e a sua
carga terá uma polaridade elétrica negativa, ou
menos (-). O outro corpo conterá uma deficiência
de elétrons, ou um excesso de prótons e a sua
carga terá uma polaridade positiva, ou mais (+).
Quando um par de corpos contém a mesma
carga, isto é, ambas positivas (+) ou ambas
negativas (-), diz-se que os corpos têm cargas
iguais. Quando um par de corpos contém cargas
diferentes, isto é, um corpo é positivo (+)
enquanto o outro é negativo (-), diz-se que eles
apresentam cargas desiguais ou opostas.
A lei das cargas elétricas pode ser enunciada
da seguinte forma:
•
Quantização das cargas elétricas:
A matéria é constituída por átomos que são
eletricamente neutros. Os átomos de elementos
diferentes diferem entre si pelo número de
elétrons e de prótons que contêm. No seu estado
natural, um átomo de qualquer elemento contém
um número igual de elétrons e de prótons. Como a
carga negativa (-) de cada elétron tem o mesmo
valor absoluto que a carga positiva (+) de cada
próton, as duas cargas opostas se cancelam. Um
átomo nestas condições é eletricamente neutro, ou
está em equilíbrio..
Cada átomo tem um pequenino núcleo,
de massa notável, constituído por prótons e
nêutrons. Como vimos anteriormente, a
experiência de Millikan comprovou que toda
carga existente na natureza é múltipla da carga
elétrica fundamental, que denominamos de e e
vale:
e = 1,6 ⋅ 10
−19
C
CAPÍTULO I
1
Assim, qualquer corpo carregado na
natureza possui um número inteiro da carga elétrica
fundamental, resultado conhecido como a
quantização da carga elétrica:
Q = n ⋅ e ⇔ n = 0,±1,±2,±3, "
Exemplo 2 - Descreva os dois átomos mais simples.
O átomo mais simples é o átomo de hidrogênio, que
contém l próton no seu núcleo em equilíbrio com l elétron que
gira em tomo do núcleo. O átomo seguinte mais simples é o
átomo de hélio, que possui 2 prótons no seu núcleo equilibrados
por 2 elétrons orbitando em tomo do núcleo.
Niels Bohr postulou que no átomo existem
níveis de energias permitidos, ou seja, ocorrem as
chamadas camadas de energia e existe uma “cota”
de elétrons permitida em cada camada. Quando a
camada mais externa de um átomo tem um déficit na
sua cota de elétrons, ela pode ganhar ou perder
elétrons. Se um átomo perder um ou mais elétrons
da sua camada mais externa, o número de prótons
supera o número de elétrons e o átomo passa a
conter uma carga elétrica efetiva positiva. Nestas
condições, o átomo é chamado de íon positivo
(cátion). Se um átomo ganhar elétrons, a sua carga
elétrica efetiva torna-se negativa. O átomo é então
chamado de íon negativo (ânion). O processo em
que os átomos recebem ou cedem elétrons é
chamado de ionização.
Assim, a energia total que o elétron pode
ter é definida em valores discretos e, portanto, ele só
pode ocupar determinadas órbitas ou níveis de
energia. Os níveis possíveis são sete e estão
representados na figura 6.
O número máximo de elétrons que cada
nível pode ter é limitado segundo o princípio de
exclusão de Pauli e é dado por 2n2 onde n é o
número do nível. Assim, o nível 1 poderá no
máximo 2, o nível 2 no máximo 8 e assim
sucessivamente.
Figura 6 – Representação dos níveis de energia de um
átomo.
Onde C é a unidade no sistema
internacional de carga elétrica, denominada de
Coulomb.
A carga do próton, q p e a carga do
elétron qe são dadas por:
q p = +e = +1,6 ⋅ 10 −19 C
q e = −e = −1,6 ⋅ 10 −19 C
1
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
É regra geral na natureza a estabilização
na menor energia possível. Assim, os níveis são
preenchidos na seqüência do menor para o maior e
um nível só poderá conter elétrons se o anterior
estiver completo. A Figura 6 mostra isso.
Os elétrons em cada nível ocupam
subníveis e cada um pode conter um número
máximo de elétrons e são, de forma similar,
preenchidos do menor para o maior.Os subníveis
são designados pelas letras s, p, d e f e os valores
máximos são respectivamente 2, 6, 10 e 14.
Evidente que, por exemplo, o nível 1 só
pode ter o subnível s, pois o número máximo do
nível é 2. Já o nível 2 pode ter os subníveis s e p e
assim sucessivamente.
A figura 7 dá o exemplo da distribuição
dos elétrons em um átomo de cobre, número
atômico 29.
O nível mais externo (4, neste exemplo)
é chamado de nível de valência e os elétrons
presentes nele são os elétrons de valência.
O número de elétrons de valência é um
fator importante do elemento. Ele define a
capacidade do átomo de ganhar ou perder elétrons
e de se combinar com outros elementos.Muitas
das propriedades químicas e elétricas dependem
da valência.A convenção adotada para a
representação gráfica da distribuição de elétrons
no átomo do elemento é a indicação seqüencial
dos níveis e respectivos subníveis, com o número
de elétrons de cada subnível colocado na forma de
expoente.
Para
este
caso
do
cobre:
1s22s22p63s23p63d104s1.
Figura7 –Configuração eletrônica para o átomo de
cobre.
2
CAPÍTULO I
Valor
Massa
relativo relativa
Natureza
Próton
Positiva
+1e
1
Nêutron
Não
existe
0
1
Elétron
Negativa
-1e
1/1836
As Camadas eletrônicas:
Os elétrons estão distribuídos em camadas ou níveis
de energia:
camada
núcleo
K
L
M
N
O
P
Q
1
2
3
4
5
6
7
nível
O número máximo de elétrons nas camadas
ou níveis de energia:
K
L
M
N
O
P
Q
2
8
18
32
32
18
2
Subníveis de energia
As camadas ou níveis de energia são formados de
subcamadas ou subníveis de energia, designados
pelas letras s, p, d, f.
Subnível
s
p
d
f
Número máximo
de elétrons
2
6
10
14
Os subníveis conhecidos em cada nível de
energia:
Exemplo 1 - Descreva o que ocorre com o
átomo de cobre quando ele perde um elétron da
sua camada mais externa.
O átomo de cobre toma-se um íon
positivo com uma carga efetiva de +1.
Quanto as partículas fundamentais,
teremos para a Carga elétrica:
Subnível
Nível
1s
2s
2p
3s
3p
3d
4s
4p
4d
4f
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
1
2
3
4
5
6
7
K
L
M
N
O
P
Q
Subníveis em ordem crescente de energia:
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d
2
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
•
Preenchimento dos subníveis
Os
subníveis
são
preenchidos
sucessivamente, na ordem crescente de energia,
com o número máximo de elétrons possível em
cada subnível. (Regra de aufbau)Os números
quânticos indicam a energia do elétron no átomo e
a região de máxima probabilidade de se encontrar
o elétron.
O número quântico principal (n) indica
o nível de energia. Varia de n = 1 a n = 7,
respectivamente, no 1º, 2º, 3º, ... nível de energia.
O número máximo de elétrons em cada
nível é dado por 2n2. Entre os átomos conhecidos,
no estado fundamental, o número máximo de
elétrons num mesmo nível é 32.
O número quântico secundário ou
azimutal (l) indica a energia do elétron no
subnível. Nos átomos conhecidos, no estado
fundamental, há quatro subníveis, representados
por s, p, d, f, em ordem crescente de energia.
Subnível
s
p
d
f
Número
quântico
azimutal
l=0
l=1
l=2
l=3
• Orbitais
Os subníveis são formados de orbitais.
Orbital é a região da eletrosfera onde há maior
probabilidade de estar localizado o elétron do
átomo. O número máximo de elétrons em cada
orbital é 2.A cada orbital foi atribuído um número
quântico magnético (m) cujo valor varia de -l a +l,
passando por zero.
subnível s
um só orbital s
(0)
subnível p
três orbitais p
(-1) (0) (+1)
subnível d
cinco orbitais d
(-2) (-1) (0) (+1) (+2)
subnível f
sete orbitais f
(-3) (-2) (-1)
(0)
(+1) (+2) (+3)
O orbital s tem forma esférica. Os
orbitais p têm forma de duplo ovóide e são
perpendiculares entre si (estão dirigidos segundo
três eixos ortogonais x, y e z).
• Spin
Spin é o movimento de rotação do
elétron em torno de seu eixo. Pode ser paralelo ou
antiparalelo. A cada um deles foi atribuído um
número quântico: + 1/2 e -1/2.
CAPÍTULO I
3
• Princípio da exclusão de Pauli
Em um mesmo átomo, não existem dois
elétrons com quatro números quânticos iguais.
Como conseqüência desse princípio, dois
elétrons de um mesmo orbital têm spins opostos.
Um orbital semicheio contém um elétron
desemparelhado; um orbital cheio contém dois
elétrons emparelhados (de spins opostos).
• Regra de Hund
Ao ser preenchido um subnível, cada
orbital desse subnível recebe inicialmente apenas
um elétron; somente depois de o último orbital desse
subnível ter recebido seu primeiro elétron começa o
preenchimento de cada orbital semicheio com o
segundo elétron.
Elétron de maior energia ou elétron de
diferenciação é o último elétron distribuído no
preenchimento da eletrosfera, de acordo com as
regras estudadas.
Um átomo estável (neutro) possui uma
certa quantidade de energia, que é igual à soma das
energias dos seus elétrons. Os elétrons, por sua vez,
possuem energias diferentes chamadas de níveis de
energia. O nível de energia de um elétron é
proporcional a sua distância do núcleo. Portanto, os
níveis de energia de elétrons em camadas mais
afastadas do núcleo são maiores do que os de
elétrons em camadas mais próximas do núcleo. Os
elétrons situados na camada mais externa são
chamados de elétrons de valência. Quando se aplica
a certos materiais energia externa como calor, luz ou
energia elétrica, os elétrons adquirem energia. Isto
pode fazer com que o elétron se desloque para um
nível de energia mais alto. Diz-se que um átomo em
que isto aconteceu está num estado excitado. Um
átomo num estado excitado é instável.
Ao ser deslocado para a camada mais
externa do átomo, o elétron sofre a mínima atração
possível pelas cargas positivas dos prótons dentro do
núcleo do átomo. Se for aplicada ao átomo uma
energia suficiente, alguns dos elétrons de valência
ou da camada mais externa abandonarão o átomo.
Estes elétrons são chamados de elétrons livres. É o
movimento dos elétrons livres que produz a corrente
elétrica num condutor metálico.
Cada camada de um átomo pode conter somente um
certo número de elétrons. Este número é chamado
de cota da camada. Os elétrons em órbita
encontram-se em camadas sucessivas denominadas
pelas letras K, L, M, N, O, P e Q, cada uma delas
mais afastada do núcleo. Cada camada contém um
número máximo de elétrons para a condição de
estabilidade (Fig. 1-3). Depois da camada K ter sido
preenchida com 2 elétrons, a camada L pode conter
até 8 elétrons. O número máximo de elétrons nas
camadas restantes pode ser de 8, 18 ou 32, conforme
3
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
o elemento. Entretanto, para a camada mais
externa, o número máximo é sempre 8.
Exemplo 3 - Mostre a estrutura do átomo de cobre
identificando suas camadas de energia.
No átomo de cobre há 29 prótons no núcleo
contrabalanceados pêlos 29 elétrons orbitais. Os 29 elétrons
preenchem a camada K com 2 elétrons e a camada L com 8
elétrons. Os 19 elétrons restantes preenchem a camada M com
18 elétrons e, conseqüentemente, sobra l elétron que fica na
camada N mais externa.
Se a cota da camada mais externa de um
átomo for preenchida, diz-se que o elemento
formado por tais átomos é inerte ou estável.
™ Conservação da Carga:
Quando esfregamos dois corpos, um
deles fica com excesso de elétrons e carregado
com carga negativa, e o outro com falta de
elétrons e carregado com carga positiva. A carga
líquida dos dois corpos permanece constante, ou
seja, a carga se conserva.
A Lei da conservação da carga é uma Lei
fundamental na Natureza.
CAPÍTULO I
No processo de eletrização por atrito por
dois corpos, um corpo tem afinidade em doar
elétrons e outro tem afinidade em receber elétrons.
Após atritar um corpo com outro, os dois ficarão
carregados com cargas de sinais opostos.
Um exemplo de eletrização por atrito é o
denominado Gerador de Van de Graaff.
Materiais que estão mais próximos do extremo mais
negativo, têm uma disposição por assumir uma carga elétrica
negativa. Os materiais mais próximos ao extremo mais positivo
tendem a assumir carga elétrica positiva. Idealmente, os materiais
da correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais
afastados dessa lista, enquanto o material do cilindro superior
deve estar na região dos neutros.
•
Uma Nota em Relação possível à
Polaridade de um Van de Graaff
Para uma dada combinação rolete inferior- correiarolete superior, a polaridade do domo do GVDG fica
determinada. Por exemplo, se a correia é de borracha, o rolete
inferior é de plástico e o rolete superior é de alumínio, o domo
ficará negativo. Usando o mesmo desenho, porém colocando-se o
rolete de plástico como superior e o de alumínio como inferior, o
domo ficará positivo.
Exemplo 4 – A massa de uma moeda de cobre é de
3 g (ZCu=29). Qual a carga total dos elétrons na moeda?
A carga total é o produto do número total de
elétrons e a carga do elétron: Q = Ne (-e)
O número de elétrons é igual ao produto do número
átomos de cobre e Z: Ne = Z Na.
Como a massa molecular do cobre é 63,5g, teremos
que o número de átomos será:
6,02⋅1023 átomosmol
Na = (3)
= 2,84⋅1022átomos
g
63,5 mol
Ne = ZNa = 29⋅ 2,84⋅1022 = 8,24⋅1023elétrons
Q= Ne ⋅(−e) =8,24⋅1023⋅ −1,6⋅10−19 =−1,32⋅105C
Processos de eletrização:
™ Atrito
mais
positivo
Ar,vidro,fibra
sintética,lã,chumbo,alumínio,papel
neutro
Algodão,aço,madeira,borracha,
cobre,acetato,poliéster,poliuretano,
polipropileno, vinil (PVC), silicone
teflon
mais
negativo
™ Condutores e Isolantes:
Em muitos materiais, por exemplo, cobre
e outros metais, os elétrons podem se deslocar
livremente, Esses materiais são chamados de
condutores. Outros, como a madeira, o vidro e a
borracha, os elétrons estão ligados aos átomos
mais próximos e não podem se deslocar em
liberdade. São chamados de isolantes.
4
Robert Jemison Van de Graaff
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de
dezembro de 1901 em Tuscaloosa, Alabama. A chamava-se
Minnie Cherokee Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de
Graaff. Robert frequentou o Tuscaloosa escolas públicas e a
Universidade de Alabama onde ele recebeu um grau de BS em
1922 e um grau de MS em 1923. Ambos os graus estavam em
engenharia mecânica.
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a
Companhia Alabama durante um ano como um assistente de
pesquisa. Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e lá,
assistiu conferências de Marie Curie sobre radiação. Em 1925 ele
entrou para Universidade de Oxford na Inglaterra como um
Estudioso de Rhodes. Em Oxford ele recebeu um BS em física
em 1926 e um Ph.D. em física em 1928. Enquanto em Oxford,
ele se deu conta da esperança de trabalhar em experimentos
nucleares com Ernest Rutherford que poderiam acelerar
partículas a velocidades suficiente para desintegrar núcleos.
Desintegrando núcleos atômicos seria possível aprender sobre a
natureza de átomos individuais. Essas idéias que Robert Van de
Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de
partículas.
Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados
Unidos para se juntar ao Laboratório de Pesquisas Físicas na
Universidade de Princeton como um assessor de Pesquisa
Nacional. No outono daquele ano ele construiu o primeiro
modelo de funcionamento do acelerador electrostatico que
produzia 80,000 volts. Foram feitas melhorias ao modelo básico e
em novembro, 1931 no jantar inaugural do Instituto americano de
Física, foi exibido um modelo de demonstração que produziu
mais de 1,000,000 volts.
Quando Karl T. Compton se tornou o presidente de
Instituto de Massachusetts de Tecnologia, Van de Graaff foi
4
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
convidado a vir ao MIT como um sócio de pesquisa. Van de
Graaff construiu a primeira máquina grande em um hangar de
aeronave em Sul Dartmouth, Massachusetts. A máquina usava
duas esferas de alumínio polidas, cada 15 pés em diâmetro
montado em 25 pé colunas isolantes altas que tinham 6 pés em
diâmetro. As colunas estavam montadas em suportes de
estrada de ferro que impulsionaram as esferas para 43 pés
sobre nível de solo. A máquina seu funcionamento em 28 de
novembro de 1933 e pôde produzir 7,000,000 de volts. Esta
realização foi informada no New York Times durante 29 de
novembro de 1933 em uma história intitulada "Parafuso de
Lances de Homem de 7,000,000 Volts". Em 1937 a máquina
foi movida a um local anexo pressurizado no MIT.
John D. Cockcroft e Ernest Walton do Laboratório de
Cavendish na Inglaterra tinham construído um acelerador de
partícula próspero em 1932. Esta máquina consistia de
circuitos de voltagem-multiplicadores usados para produzir as
voltagens altas exigidas para aceleração de partículas.
Era vultoso e complicado e limitou em sua
capacidade de voltagem. Em contraste com a máquina de
Cockcroft-Walton, a máquina de Van de Graaff era simples e
compacta e era mais fácil regular e capaz de produzir
voltagens mais altas e então acelerações mais altas.
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenção dele. Ele preparou a aplicação de patente por Karl T.
Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de
MIT. Van de Graaff também trabalhou com John G. Trunfo,
professor de engenharia elétrica no MIT e com William W.
Buechner, professor de físicas a MIT. Um aparelho médico de
Graaff produzia raios X por tratar tumores cancerosos com
radiação penetrante pela primeira vez usado clinicamente
1937 na Escola Médica de Harvard . Em 1936 Van de Graaff e
Catherine Boyden casaram-se. Eles tiveram dois filhos, John e
William.
Durante 2ª Guerra Mundial Van de Graaff era o
diretor do Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic.
Junto com William W. Buechner ele dirigiu a adaptação do
gerador de eletricidade para exame de radiografias de
precisão da Marinha norte-americana. Depois da guerra, em
1945, o Van de Graaff recebeu como prêmio da Fundação
Rockefeller uma concessão para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT. Em 19 de dezembro de
1946 Van de Graaff e Trunfo formaram a Corporação Alta
Voltagem (HVEC) em Burlington, Massachusetts. HVEC foi
formado para a produção comercial de aceleradores de
partícula. Denis M. Robinson, professor de engenharia
elétrica da Inglaterra, se tornou o presidente da corporação
nova. John G. Trunfo se tornou o diretor técnico e Van de
Graaff se tornou o físico principal e sócio. HVEC se tornou o
provedor principal de geradores eletrosttáticos
5
CAPÍTULO I
™ Eletrização por contato:
Se um corpo metálico C com carga Q1i ,
eletrizado, for colocado em contato com outro
corpo, D, também metálico, com carga Q2i o
Princípio da conservação da carga garante que a
soma das cargas finais e iniciais será a mesma:
Figura 8 –Eletrização por contato.
C
Q1i Antes
Contato
C
C
Q1f
Q2i
D
D
Q2f D
Q1i + Q2i = Q1 f + Q2 f
Princípio da conservação da carga
Se o corpo C estiver inicialmente
descarregado (Q2i = 0), haverá transferência de
apenas parte da carga de C para D. A transferência
de carga é parcial porque ela será interrompida
quando os potenciais dos dois corpos se igualarem.
Suponha que o corpo D possuísse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela. Nestas
condições, a carga de C induzirá cargas elétricas nas
superfícies interna e externa de D. Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo módulo da
carga no corpo C (que provocou a indução). Então,
se este corpo for colocado em contato com a parede
interna de D, a carga induzida nesta parede será
neutralizada pela carga de C. O corpo D ficará
eletrizado com uma carga de mesmo sinal e de
mesmo módulo que a carga inicial do corpo C. Tudo
5
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
se passa como de a carga de C fosse integralmente
transferida para D.
Quando há contato interno, a transferência de
carga do corpo que está dentro da cavidade para o
corpo externo é integral, mesmo que este já
possua uma carga inicial. Assim se o corpo C for
novamente eletrizado e outra vez ligado
internamente ao corpo D, sua carga se transferirá
totalmente para D. Esta operação pode ser
repetida várias vezes e, assim, é possível acumular
em D uma quantidade de carga cada vez maior. A
quantidade de carga em D naturalmente, é
limitada pela rigidez dielétrica do ar que o
envolve. Se a rigidez dielétrica do ar for
ultrapassada, parte da carga acumulada em D
tende a escoar e, portanto, a carga máxima que
pode existir em D é aquela que cria um campo
igual à rigidez dielétrica do ar.
Princípio de Funcionamento do
Gerador de Van De Graaff
O fato da carga elétrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro, quando
há contato interno, constitui o princípio básico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff.
Este aparelho é constituído por uma
correia que passa por duas polias, uma delas
acionada por um motor elétrico que faz a correia
se movimentar A segunda polia encontra-se no
interior de uma esfera metálica oca, que está
apoiada em duas colunas isolantes.
Enquanto a correia se movimenta, ela recebe
carga elétrica por meio de uma ponta elétrica por
meio de uma ponta ligada a uma fonte de alta
tensão (cerca de 10.000 V). Esta carga é
transportada pela correia para o interior da esfera
metálica. Uma ponta ligada a esta esfera recolhe a
carga transportada pela correia. Em virtude do
contato interno, esta carga se transfere
integralmente para a superfície externa da esfera
do gerador.
Como as cargas são transportadas
continuamente pela correia, elas vão se
acumulando na esfera, até que a rigidez dielétrica
do ar seja atingida. Nos geradores de Van de
Graaff usados em trabalhos científicos o diâmetro
da esfera é de alguns metros e a altura do aparelho
atinge, às vezes, 15 m. Nestas condições, é
possível obter voltagens de até 10 milhões de
volts.
CAPÍTULO I
6
Figura 9 –Gerador de Van de Graaff.
™ Eletrização Por Indução
A figura ilustra duas situações: um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b), onde há uma
nova redistribuição de carga no corpo neutro em
ambos os casos.
Figura 11 –Aproximação do indutor n
(a)
(b)
6
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
A presença do corpo carregado
negativamente faz com que haja uma
redistribuição das cargas positivas e negativas do
corpo neutro, onde as cargas positivas do corpo
neutro (induzido) ficam mais próximas do corpo
carregado (indutor). Esse processo é conhecido
como indução eletrostática. Caso o indutor estiver
carregado
positivamente,
haverá
uma
aproximação das cargas negativas do induzido em
relação ao indutor.
•
Eletroscópio de folhas de ouro:
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de indução e contato é
o eletroscópio de folhas de ouro. Consiste de duas
fitas laminadas de ouro, coladas na extremidade
de uma haste, tendo na outra extremidade uma
esfera, colocada num invólucro isolante.
Aproximando um bastão carregado da esfera, a
carga oposta se acumula na esfera e a mesma
carga do bastão se acumula nas folhas, repelindose mutuamente. Se encostarmos o bastão na haste
neutra, esta se carregará com a mesma carga;
assim, as lâminas permanecerão abertas.
Figura 12 – Eletroscópio de folhas de ouro.
™ A Lei de Coulomb
CAPÍTULO I
7
Em 1758, também Charles Augustin deixou Paris para
ir juntar-se ao pai. Deste conseguiu autorização para alistar-se na
Arma de Engenharia.
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeação para subtenente
da École cle Métiers, em 1760; no ano seguinte, terminou o curso
de engenharia.
Viajou, algum tempo depois, para a Martinica, como
diretor dos trabalhos de fortificação daquela ilha. Sua
permanência nas Antilhas foi, porém, bastante curta: não
conseguiu adaptar-se ao clima tropical, e retornou à França
gravemente doente.
Já recuperado, Coulomb assumiu a direção das obras de
fortificação que estavam sendo realizadas em Rochefort, na ilha
de Aix e em Cherbourg, ocupando-se também de pesquisas
científicas. Desses estudos nasceram, em 1773, as bases da teoria
da resistência dos materiais e, seis anos mais tarde, alguns
trabalhos sobre o atrito. Neste último campo, Coulomb foi
particularmente influenciado por Guillaume Amontons, que, em
1699, enunciara a lei da proporcionalidade do atrito à pressão dos
corpos em contato. Baseou-se também nos trabalhos de Camus e
Desaguliers, que haviam mostrado que o atrito estático é superior
ao atrito dinâmico.
A balança de torção de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na história da Física. Trata-se
de um instrumento que permite a verificação
experimental da lei quantitativa das interações entre
cargas elétricas. De um modo geral a balança é
constituída por uma caixa de vidro, cilíndrica ou
quadrada, fechada por uma tampa, também de vidro,
da qual se eleva um tubo que termina num disco
metálico de onde está suspenso um fio de torção que
sustenta uma agulha horizontal de goma laca. Esta
agulha tem numa das extremidades um pequeno
disco vertical de latão e, na outra, uma esfera de
medula de sabugueiro. A altura da agulha é regulada
por meio de um botão que faz rodar um eixo
horizontal onde se enrola o fio que a suspende. Este
eixo está montado sobre um disco giratório no qual
se encontra gravada uma escala dividida em graus.
Esta escala avança em relação a uma marca de
referência, fixa na coluna de vidro, de modo a
possibilitar a medição de deslocamentos angulares.
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Figura 13 – Balança de torção utilizada por Coulomb.
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho
de 1736, em Angoulême. Seu pai - Henri Coulomb - ocupava
então o cargo de inspetor dos domínios do rei. Alguns anos
mais tarde abandonou essa função e retirou-se para sua cidade
natal - Montpellier. Sua mulher ficou em Paris e, com ela, o
pequeno Charles, que ali freqüentou o Colégio das Quatro
Nações e o Colégio Real.
7
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO I
cargas. A força varia inversamente com
quadrado da distância entre as cargas e
proporcional ao produto das cargas. A força
repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal
atrativa se tiverem cargas opostas.
Pode-se escrever também como:
8
o
é
é
e
G
Q ⋅Q
F12 = k 1 2 2 r̂12
r12
Onde r̂12 é o vetor unitário que aponta de
Q1 para Q2:
G
r12
rˆ12 = G
r12
Pode-se usar a notação:
G
F12
Q2
G
G G
R12 = r2 − r1
A força eletrostática entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distância
r12 é dada pela Lei de Coulomb:
Q ⋅Q
F12 = k 1 2 2
r12
G
r2
â12
Q1
Figura 14 – Forças elétricas sobre cargas
puntiformes.
G
r1
O (origem)
G
G G
R12
r −r
ˆa12 = G = G2 G1
r2 − r1
R12
A forma vetorial para a Lei de Coulomb
fica:
G
Q1Q2
F12 =
aˆ12
4πε 0 R122
A força pode ser de natureza atrativa,
caso as cargas possuam sinais contrários, ou
repulsiva, caso possuam sinais idênticos, como
ilustra a figura acima.
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balança de torção, que
descrevemos anteriormente, onde havia esferas
carregas de raios muito menores que a distância
entre elas, considerando-as como cargas
puntiformes. Seus resultados e pesquisas deram
origem a Lei de Coulomb:
A força que uma carga elétrica
puntiforme exerce sobre outra carga puntiforme
está dirigida na reta que passa pelas duas
A
constante
k
é
determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb, que tem o valor no SI:
k = 8,99 ⋅ 10 9
N ⋅m 2
C2
A constante eletrostática k também se
relaciona com uma outra constante, denominada
constante de permissividade, ε0, pela relação:
k=
1
4πε 0
Essa constante é dada por:
ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12
ou
8
C2
N ⋅m 2
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
ε0 =
F
1
10 −9
m
36π
Se tivermos várias cargas puntiformes,
q1, q2, ...,qi e quisermos calcular a força elétrica
resultante sobre uma carga qj, por exemplo, devese somar vetorialmente as forças exercidas por
cada carga qi na carga qj:
CAPÍTULO I
Exemplo 2 (2.2 - pg. 19)
Uma: carga QA=-20mC está localizada em
A(-6,4,7) e QB = 50mC está localizada em B(5,8,-2).
Se as distâncias são dadas em metros, determine:
G
R AB
G
b) R AB
a)
G
G
G
G
G
FRj = F1 j + F2 j + F3 j + " + Fij
c) Força exercida por QA em QB:
Exemplo 1 – ( 2.1 - pg. 18)
Seja: Q1=3.10-4C localizada em M(1,2,3)
e Q2 = -10-4C localizada em N(2,0,5). Força
exercida por Q1 em Q2:
Solução:
G
Q1Q2
F12 =
aˆ12
4πε 0 R122
G
r2 = 2aˆ x + 0aˆ y + 5aˆ z
G
r1 = 1aˆ x + 2aˆ y + 3aˆ z
G G
r2 − r1 = aˆ x − 2aˆ y + 2a z
9
Solução:
G
G G
R AB = rB − rA
G
rA = −6aˆ x + 4aˆ y + 7aˆ z
G
rB = 5aˆ x + 8aˆ y − 2aˆ z
G
G G
R AB = rB − rA = 11aˆ x + 4aˆ y − 9aˆ z
a)
b)
G
R AB = 112 + 4 2 + (−9) 2 = 218 ≅ 14.76m
G
c) FAB =
Q A QB
aˆ AB
2
4πε 0 R AB
G
− 20 ⋅ 10 −6 50 ⋅ 10 −6
FAB =
aˆ AB
⎛ 1
−9 ⎞
⋅ 10 ⎟218
4π ⎜
⎝ 36π
⎠
G
FAB = −4,58 ⋅ 10 −3 aˆ AB
aˆ AB
G
R AB
9
4
11
aˆ x +
aˆ y −
aˆ z
= G =
218
218
218
R AB
G
⎛ 11
⎞
4
9
FAB = −4,58 ⋅ 10 −3 ⎜⎜
aˆ x +
aˆ y −
aˆ z ⎟⎟
218
218 ⎠
⎝ 218
G G
2
r2 − r1 = 12 + (− 2) + 2 2 = 3
G
G G
R12
r2 − r1 1
2
2
aˆ12 = G = G G = aˆ x − aˆ y + aˆ z
3
3
r2 − r1 3
R12
G
Q1Q2
F12 =
aˆ12
4πε 0 R122
G
3 ⋅ 10 −4 ( −10 −4 ) 1
( aˆ − 23 aˆ y + 23 aˆ z )
F12 =
−9 2 3 x
4π (1 36π )10 3
Exemplo 3 – Você possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 17,7 g. A
massa atômica do ouro é igual a 197 g/mol e seu
número atômico é 79.
a) Quantos prótons existem no anel e qual é
a carga total positiva correspondente?
b) Sabendo que o anel não tem nenhuma
carga líquida, quantos elétrons ele possui?
Solução:
Massa do ouro = 17.7 g e a massa atômica do ouro é
igual a 197 g/mol.
Portanto o número de átomos é dado
por
9
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
NA x mol = (6.02 x 1023) x
⎛ 17.7 g ⎞
⎟⎟ = 5.41 x10 22.
⎜⎜
⎝ 197 g / mol ⎠
CAPÍTULO I
10
Exemplo 6 – Encontre a força resultante na
carga indicada.
a) np = 79 x 5.41 x 1022 = 4.27 x 1024
q=np x 1.60 x 10-19 C = 6.83 x 105 C
b) ne = np = 4.27 x 1024.
Exemplo 4 -
Exemplo 7 – Duas esferas são suspensas
por fios de seda como mostra a figura. Cada esfera
possui a mesma carga q e massa m. O raio entre as
duas esferas é muito pequeno comparado com a
distância entre elas, de forma que são consideradas
puntiformes.
Mostre que se o ângulo θ é pequeno, a
distância d no equilíbrio entre elas é dada por:
Exemplo 5 -
d = ( q 2 L 2πε 0 mg )
13
Examinando as forças:
∑ Fx = T sen θ - Fe = 0 e ∑ Fy = T
cos θ - mg = 0. Concluímos que
mg sen θ
kg 2
= Fe 2 .
cosθ
d
10
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO I
Porém
1/ 3
⎛ q2L ⎞
d
2kg 2 L
⎟⎟ .
⇒ d3 =
⇒ d = ⎜⎜
mg
2L
⎝ 2πε 0 mg ⎠
Exemplo 8 – Uma carga positiva Q é
distribuída uniformemente sobre o eixo Ox de x =
0 até x = a. Uma carga puntiforme positiva q está
sobre a parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r
a uma distância r à direita da extremidade de Q.
Obtenha a força (módulo, direção e
sentido) que a distribuição de cargas Q exerce
sobre a carga Q.
θ≈
a) Sobre o eixo a:
dq
1
⇒ Ex =
2
4πε 0 (a + r )
4πε 0
1 Q⎛1
1 ⎞
⎜ −
⎟. e Ey = 0.
4πε 0 a ⎝ r a + r ⎠
1
dE x =
∫
a
0
Qdx
=
a(a + r − x) 2
b) Para a + r = x, obtemos:
E=
G
G
Q⎛ 1
1⎞
1 Qq ⎛ 1
1⎞
− ⎟ ⇒ F = qE =
− ⎟iˆ.
⎜
⎜
4πε 0 a ⎝ x − a x ⎠
4πε 0 a ⎝ x − a x ⎠
1
(
c) Para x >> a,
)
kqQ
kqQ
kqQ
F=
(1 − a / x) −1 − 1 =
(a + a / x + ⋅ ⋅ ⋅ − 1) ≈ 2 ≈
ax
ax
x
1 qQ
. (Note que para x
4πε 0 r 2
>> a, r = x – a ≈ x.) Neste caso o campo da
distribuição de cargas, para pontos muito
distantes, é semelhante ao campo produzido por
uma carga puntiforme.
11
11
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
EXERCÍCIOS
(pg.30 Capítulo 2)
1. Quatro cargas positivas de 10 nC estão
localizadas no plano z = O nos vértices de um
quadrado de 8 cm de lado. Uma quinta carga
positiva de 10 nC está localizada em um ponto
distante 8 cm de cada uma das outras cargas.
Calcule o módulo da força total nesta quinta carga
para e=e0.
2. Uma carga Q1 = 0,1mC está localizada na
origem do espaço livre, enquanto Q2 = 0,2mC está
em A(0.8;-0,6: 0). Determine o lugar dos pontos
no plano z = O em que a componente x da força
em uma terceira carga positiva é zero.
3. Quatro cargas pontuais de 50 nC cada
estão localizadas em A{ l, 0. 0). B(-1,0,0), C(0, l,
0) e D(0, -1,0) no espaço livre. Determine a força
total sobre a carga em A.
4. Seja Q1 = 8mC. localizada em P1(2,5, 8),
enquanto Q2 = -5mC.localizada em P2(6, 15, 8).
Considere e = e0.
(a) Determine F2 a força sobre Q2.
(b) Encontre as coordenadas de P, se a carga
Q3, experimenta uma força total F3=0 O em P3..
™ Carga Elétrica
• 1 Se a convenção de sinal das cargas elétricas
fosse alterada, de modo que a carga do elétron
tosse positiva e a do próton negativa, a expressão
da lei de Coulomb seria alterada?
• 2 Discuta as semelhanças e diferenças de
propriedades da carga elétrica e da massa
gravitacional.
• 3
Um bastão de plástico, esfregado com
tecido de algodão, adquire uma carga de -8 µC.
Quantos elétrons foram transferidos do tecido para
o bastão?
•4
Uma carga elétrica igual à carga de um
número de Avogadro de prótons (isto é N = 6,02
X IO23 prótons) é denominada um faraday.
Calcular o número de Coulombs em um faraday.
•5
Quantos coulombs de carga positiva há em l
kg de carbono? Sabe-se que 12 g de carbono têm
um número de Avogadro de átomos e que cada
átomo de carbono tem seis prótons e seis elétrons.
™Condutores, Isolantes e Carga por
Indução
CAPÍTULO I
12
6. 0s isolantes podem ser carregados por
indução?
7. Uma chapa metálica 6 está aterrada
através de uma chave S que inicialmente está
fechada. Quando a carga + Q está nas vizinhanças
de ë, a chave S é aberta. A carga +Q é então afastada. Qual é o estado da carga da chapa metálica B?
(n) Tem a carga positiva. (/>) Não tem carga. (e')
Tem a carga negativa. (i/) Pode ter qualquer estado
mencionado,
dependendo da carga que tinha antes
de a carga +Q se aproximar.
8. Explique, passo a passo, como um bastão
isolante com carga positiva pode ser usado para
deixar uma esfera metálica (i() com carga negativa e
(b) com carga positiva. (c) O bastão pode ou náo ser
usado para atribuir a uma esfera uma carga positiva
e a outra uma carga negativa, sem que seja
recarregado?
•9
Duas esferas condutoras, sem carga, com as
superfícies em contato, c-stão sobre uma grande
mesa de madeira, montadas em suportes isolantes.
Um bastão com carga positiva se aproxima de uma
delas de um ponto diametralmente oposto ao de
contato com a outra,
(a) Descreva a distribuição das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distribuição.
(b) As duas esferas são separadas e o bastão
carregado é afastado. Mostre a distribuição de
cargas em cada esfera.
™ Lei de Coulomb
• 10
Três cargas, +q, +Q e -Q estão situadas nos
vértices de um triângulo eqüilátero, conforme o
esquema da Fig. 22-29. A força resultante sobre a
carga +q das duas outras cargas é
(a) vertical para cima.
+q
(b) vertical para baixo.
(c) nula.
(d) horizontal para a esquerda.
+Q
-Q
(e) horizontal para a direita.
• 11 Uma carga q1 = 4,0 µC está na origem e outra
q2 , = 6,0 µC no eixo dos x, em x = 3,0 m.
(a) Calcular a força sobre a carga q2 .
(b) Calcular a força sobre q1
(c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 µC?
• 12 Três cargas puntiformes estão sobre o eixo dos
x: q1 = -6,0 µC em x = -3,0 m, q2= 4,0 µC na origem
12
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO I
e q3 = -6,0 µC em x = 3,0 m. Calcular a resultante
das forças sobre q1.
• 13 Duas cargas iguais, de 3,0 µC , estão sobre
o eixo dos x, uma delas na origem e outra em x =
6 m. Uma terceira carga q3 = - 2 µC está no eixo
dos x, em x = 8 m. Calcular a resultante das forças
sobre q3 .
• 14 Três cargas, cada qual de 3 nC, estão, cada
qual, nos vértices de um quadrado de lado igual a
5 cm. Duas delas, em vértices opostos, são
positivas e a terceira e negativa. Calcular a
resultante das forças que estas cargas exercem
sobre uma quarta, de q = +3 nC, colocada no
vértice desocupado.
• 15 Uma carga de 5µC está sobre o eixo dos x,
em x = 3 cm, e uma segunda carga, de 5 µC,
também sobre o eixo dos x, em x = -3 cm.
Calcular a resultante das forças destas cargas sobre uma terceira, de 2 µC, no eixo dos x em x = 8
cm.
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