Engenhocas: Catapulta

UNESP
“UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO””
Engenhocas: Catapulta
Docente: Profª. Drª. Maria Lúcia Pereira Antunes
Angela Yuri Saito
Angelita de Cássia Roquetto
Beatriz Capelo Olimpio
Camila Cardoso Leite da Silva
Junho de 2016
Sorocaba
Objetivo
Por meio de uma catapulta, determinar a velocidade inicial de
lançamento de um corpo realizando movimento oblíquo, lançamento esse
realizado com diferentes angulações.
Introdução
Há duas formas de se pensar em composição de movimento.
Na
primeira, o movimento do objeto é pensado como resultante de dois
movimentos, como quando dois sistemas de coordenadas estão em movimento
relativo (o primeiro movimento seria o deslocamento de um objeto observado
num determinado sistema de referência, já o segundo movimento é associado
ao deslocamento desse sistema de coordenadas. Um exemplo disso são
carrosséis, os cavalos sobem e descem num eixo vertical, por outro lado o
carrossel gira em relação ao parque). Já na segunda forma, o movimento do
objeto é pensado como resultante de dois ou três outros movimentos retilíneos
ao longo de eixos ortogonais. Por exemplo, no estudo do lançamento de
projéteis, Galileu introduziu a decomposição do movimento em duas
componentes, uma horizontal e outra vertical. O movimento de duas
componentes em eixos ortogonais é complexo, assim sendo, a decomposição
de movimentos é um artifício para equacionar alguns problemas em duas (no
plano) ou três (no espaço) dimensões em termos de equações de uma
dimensão em função do tempo.
Há muitos movimentos que ocorrem em duas dimensões, ou seja, em
um plano. Quando é tratado o movimento dos projéteis, considera-se a
superfície da Terra como sendo plana.
Estudando o lançamento de um projétil de um ponto em um certo
instante (tempo t=0), este pode ser uma bala de canhão por exemplo, dados
pelas coordenadas (x0, y0). Esse projétil será lançado no espaço com uma
velocidade inicial v0. O vetor velocidade formará um ângulo θ com a horizontal
(eixo x), sendo este conhecido como ângulo de tiro. Sendo as componentes do
vetor velocidade as seguintes:
É possível a partir destes dados, prever a posição da partícula, bem
como prever sua velocidade para qualquer instante de tempo. O maior
interesse será em calcular a altura máxima atingida; o tempo de queda (o
tempo de duração do voo livre) e; o alcance do projétil na posição horizontal.
Para conseguir calcular tais objetivos, é preciso determinar as equações
básicas do movimento.
Assim sendo, temos que como a aceleração da gravidade aponta na
direção perpendicular à superfície terrestre, o sistema de coordenadas
cartesianas mais indicado é aquele no qual um dos eixos é paralelo ao chão
(eixo
x)
e
o
outro
eixo
é
paralelo
à
aceleração
da
gravidade.
Pode-se estudar o movimento do projétil com a composição de dois
movimentos: um na direção vertical (eixo y) e outro na direção horizontal (eixo
x).
Como não existe aceleração ao longo do eixo x, o movimento nessa
direção é uniforme e escreve-se:
Sendo X0 a coordenada inicial (no tempo t=0) e V0x a componente da
velocidade inicial no eixo x.
A componente da velocidade no eixo x é constante e dada por:
Já ao longo do eixo y a aceleração é constante e dada pela aceleração
da gravidade g. O movimento no eixo y é, portanto, uniformemente variado e,
para a orientação de eixos consideradas, escreve-se:
Sendo y0 a coordenada inicial (eixo y) e V0y a componente da velocidade
inicial.
A componente da velocidade escreve-se:
Chega-se assim a conclusão de que, dadas a posição inicial (x0, y0) e a
velocidade inicial (v0x, v0y) do projétil, pode-se determinar a sua posição e
velocidade em qualquer instante (t) depois do lançamento.
Para a posição, basta determinar x e y. Sendo essas coordenadas, para
um tempo qualquer, dadas pelas seguintes expressões:
Já para a velocidade, a qualquer tempo, tem-se a seguinte expressão
para suas componentes:
Sendo, portanto, estas as equações básicas do movimento. A partir
delas pode-se obter informações sobre esse movimento.
No entanto a partir da equação:
Tem-se:
Substituindo t pela expressão acima obtida na equação encontra-se:
Desta forma obtém-se para a trajetória a expressão:
Sendo, portanto, a equação da trajetória a equação de uma parábola.
A altura máxima do projétil será atingida quando sua velocidade se
igualar a zero no eixo y, pois nesse momento ele deixará de subir. Isto ocorre
no tempo (tm) dado por:
Onde
Isto é,
A altura máxima (Ym) será dada pela substituição de t por tm na
expressão:
Assim sendo,
Quando o projétil y=0, quer dizer que ele atingiu o chão no instante t q,
assim:
A solução dessa equação dará:
Quando o projétil atinge o chão ele também atingi uma posição no eixo
x, a qual é chamada de alcance. Para determina-lo basta substituir o tempo t,
pelo tempo de queda tq na equação x = x0 + v0xt, obtendo-se assim:
Especificamente, nesse experimento, o tema explorado será a fórmula
do Alcance (R), sendo esse a distância máxima entre o ponto de lançamento e
o ponto de queda, ou seja, quando y=0, o que leva a relação ilustrada pela
Figura 1:
R = x(t) - x0
Figura 1: Esquema relativo ao plano de lançamento oblíquo de um corpo qualquer.
Pode-se considerar x0 como origem do eixo x, ou seja, x0=0. Como x(t) é
definido como produto da velocidade inicial pelo cosseno do ângulo de
lançamento em relação ao tempo, tem-se assim:
t = R/v0.cosƟ0
Paralelamente a isso, tem-se também que y(t) – y0 = 0 implicando na
relação:
v0.senƟ0.t – gt2/2 = 0
Substituindo t se obtém:
v0.senƟ0.[R/v0.cosƟ0] – [R/v0.cosƟ0]2.g/2 = 0
Após algumas manipulações,
v0.senƟ0.[R/v0.cosƟ0] = [R/v0.cosƟ0]2.g/2
v0.senƟ0 = ([R/v0.cosƟ0]2.g/2)/ [R/v0.cosƟ0]
v0.senƟ0 = [R/v0.cosƟ0].g/2
2 v0.senƟ0/g = R/v0.cosƟ0
R = 2 v0.senƟ0. v0.cosƟ0/g
R = 2 v02 senƟ0.cosƟ0/g
Chega-se à formula final do alcance:
R = sen(2Ɵ).v02/g
Que será utilizada nesse experimento para determinar-se a velocidade
inicial na qual o corpo é lançado da catapulta, ou seja:
[R.g/sen(2Ɵ)]1/2 = v0
Nota-se que o alcance (R) não depende da massa do corpo, assim
sendo, utilizaremos corpos com massas diferentes, mas que possuem mesmo
padrão de forma, para que a variação da resistência do ar seja desprezível.
Materiais e Métodos
Materiais:
 Cabo de vassoura
 Pregos
 Parafusos
 Furadeira
 2 ganchos de metal
 4 discos de madeira
 Vigas de madeira
 Chave de fenda
 Martelo
 Alicate
 Elásticos de dinheiro
 Fita métrica (±0,1) cm
 Lixa
 Serrote
 Lápis
 Transferidor
 Cilindro de madeira
 Papel cartão
 Câmera
 Fita adesiva
 Pedras
Métodos:
Primeiramente cortaram-se dois pedaços de viga com 24x4 cm (Corpo
1), outros dois pedaços com 4x7 cm (Corpo 2) e um de 10x4 cm (Corpo 3),
como podemos ver nas Figuras 2 e 3.
Figura 2: dimensões das peças esquematizadas apresentando cota em cm.
Figura 3: Apresentação das peças de madeira cortadas para a preparação da base da
catapulta, sendo elas da esquerda para a direita o Corpo 3, o Corpo 1 e já acoplado a
ele o Corpo 2.
Em seguida, serrou-se o cabo de uma vassoura em 4 pedaços com 10
cm cada (Corpo 4) e em um deles talhou-se uma concavidade com centro na
metade e profundidade de 1 cm. Com isso, adquiriu-se um pequeno cilindro de
madeira proveniente de móveis planejados, com aproximadamente 15 cm
(Corpo 5). Também foi serrado um pedaço de vassoura com 20 cm (Corpo 6),
de acordo com a Figura 4.
Figura 4: Cabo de vassoura previamente cortado seguindo as medidas já
mencionadas, sendo apresentado da direita para a esquerda o Corpo 4 (quatro
primeiros cilindros proveniente de um mesmo cabo de vassoura possuindo a mesma
dimensão entre si), o Corpo 5 e o Corpo 6.
Em uma marcenaria encomendaram-se 4 moedas de madeira com 5 cm
de diâmetro possuindo um furo central com o diâmetro médio de um parafuso
(Corpo 7), de acordo com a Figura 5.
Figura 5: Moedas de madeira apresentando 5 cm de diâmetro (corpo 7).
Foram feitos furos na viga de 24x4 cm (Corpo 1) com uma furadeira
(sendo os furos feitos da seguinte forma, a partir da extremidade mais afastada
da alavanca: 2cm da ponta até o primeiro furo, do primeiro furo para o segundo
3cm, do segundo para o terceiro furo 4cm e do terceiro para o quarto furo
11cm) como apresentado pela Figuras 6.
Figura 6: Esquema da marcação dos furos na base da catapulta.
O esquema de montagem da catapulta seguirá de acordo com a Figura
7, sendo já fixados ganchos na parte superior da catapulta.
Figura 7: Esquema de como a catapulta será montada.
Com pregos, fixou-se a base da catapulta, ligando o Corpo 1 ao Corpo 2
a 7 centímetros da extremidade, como descrito pela Figura 6. O processo foi
realizado para os dois Corpos 1, de acordo com a Figura 8.
Figura 8: Base da catapulta já furada apresentando estrutura final seguindo a Figura 6.
Também, com a furadeira foram feitos furos no pedaço de vassoura com
20 cm, no entanto neste foi feito apenas um furo. Com as laterais prontas,
encaixou-se o Corpo 5 em ambos os lados, e ele foi transpassado no furo do
Corpo 6 (pedaço de vassoura com 20 cm), depois de fixar nele um gancho de
varal. Na próxima etapa, encaixou-se a viga com côncavo (Figura 9) ligando as
duas laterais e para liga-la na parte de cima, fixou-se a estaca de madeira nos
parafusos previamente colocados na viga com 4x7, terminando assim a
estrutura base da catapulta, como apresentado pelas Figuras 10, 11, 12 e 13.
Figura 9: Corpo 3 com côncavo em sua metade.
Figura 10: Início da montagem da base da Figura 11: Preparação para parafusar os
catapulta, com um dos lados já fixados, dois “pés” da catapulta demonstrando
onde foi pregado o Corpo 3.
também seu braço ainda não fixado.
Figura 12: Fixando a base da catapulta
utilizando para isso um martelo e pregos já
fixados.
Figura 13: Base da catapulta totalmente
acoplada.
Sequencialmente, parafusaram-se os cilindros de vassoura nos furos
das extremidades com as moedas de madeira, de acordo com as Figuras 14,
15, 16, 17 18 e 19.
Figura 15: Colocação das rodas da
Figura 14: Início da colocação das rodas
da catapulta.
catapulta, fixando também os cilindros
(Corpo 4) de sustentação.
Figura
Figura 16: Finalização da colocação das
rodas de um lado da catapulta.
17:
Mesmo
procedimento
de
colocação das rodas, agora com um par já
fixado.
Figura 18: Finalizando a colocação das Figura 19: Catapulta com as quatro rodas
rodas.
já fixadas.
O mesmo foi feito para os outros dois cilindros, porém sem a moeda, de
acordo com as Figuras 20, 21, 22, 23, 24 e 25.
Figura 20: Início da fixação dos Corpos 4 Figura 21: Representação da fixação dos
que possuem papel na sustentação da pedaços de cabo de vassoura sendo
estrutura da catapulta.
acoplados à catapulta.
Figura 22: Catapulta com todos os
Corpos 4 fixados, ainda sem os elásticos Figura 23: Catapulta pronta ainda sem os
enganchados vista de cima.
elásticos enganchados vista lateral.
Figura 24: Catapulta pronta ainda sem os Figura 25: Catapulta pronta ainda sem os
elásticos enganchados vista de frente.
elásticos enganchados vista de trás.
Passaram-se elásticos nos dois ganchos laterais, e sendo ele passado
também no gancho do braço da catapulta, finalizando assim a montagem do
protótipo, de acordo com as Figuras 26 e 27.
Figura 26: Catapulta finalizada com os
Figura 27: Catapulta finalizada com os
elásticos enganchados.
elásticos enganchados.
Com uma fita adesiva acoplou-se à lateral da catapulta, de acordo com a
Figura 28, um transferidor de papel, para que fosse possível medir o ângulo de
lançamento.
Figura 28: Transferidor de papel acoplado a catapulta.
/
Para realizar as medidas, primeiramente realizaram-se 5 lançamentos
de corpos com dimensões parecidas (Figura 29) submetidos à angulação de
30º em uma superfície plana, anotando a distância percorrida por esses com
uma trena, e depois repetiu-se este procedimento para as angulações de 45º e
60º, anotando os valores obtidos, como representado genericamente pelas
Figuras 30, 31, 32 e 33.
Figura
29:
Corpos
que
foram
arremessados pela catapulta durante o
Figura 30: Início do trajeto de um corpo
qualquer arremessado pela catapulta.
experimento.
Figura 31: Início do trajeto de um corpo
Figura 32: Objeto quase no fim de seu
qualquer sendo lançado pela catapulta
trajeto.
construída visto de trás.
Figura 33: Objeto ao fim da trajetória em duas dimensões, em contato com o chão.
Resultados
Ao realizarem-se as medições com os ângulos de 30, 45 e 60º em uma
superfície plana obtiveram-se as 5 distâncias que seguem nas Tabelas 1, 2 e 3.
Tabela 1: Distâncias alcançada pelo corpo lançado quando submetido à angulação de
30º.
Ângulo de 30°
Distância Alcançada (cm)
470
520
530
560
730
562±100
Tabela 2: Distâncias alcançada pelo corpo lançado quando submetido à angulação de
45º.
Ângulo de 45°
Distância alcançada (cm)
340
370
360
360
410
360±26
Tabela 3: Distância alcançada pelo corpo lançado quando submetido à angulação de
60º em lançamentos.
Ângulo de 60°
Distância Alcançada (cm)
100
100
130
130
130
118±16.4
Com as distâncias médias foi possível calcular a velocidade inicial de
lançamento e seu erro, dados apresentados na Tabela 4.
Tabela 4: Velocidade inicial média de cada corpo de acordo com o ângulo de
lançamento.
Ângulo (°)
Velocidade (cm/s)
30
700±100
45
600±10
60
370±30
Discussão
Embora se tenha chegado em um valor experimental da velocidade
inicial do corpo, esse contém erros que não puderam ser mensurados, tais
como a precisão do ângulo, a resistência do ar, a inclinação da superfície e o
fato de se ter desconsiderado a altura inicial de lançamento, pois as medidas
obtidas foram os valores horizontais percorridos pelos corpos quando tocam o
chão, sendo que esse não seria verdadeiramente o valor inicial na vertical (eixo
Y) de lançamento. Porém, utiliza-se o dado obtido para apenas se ter ideia da
velocidade que se pode lançar pequenos corpos com a catapulta construída.
Outro fato notório se deu nesse experimento foi a comprovação de que a
massa do corpo não influencia em sua velocidade, pois mesmo alterando os
corpos o alcance obtidos por eles num dado ângulo condiz com a média.
Conclusão
Pode-se
concluir
ao
final
do
experimento
e
montagem,
que
independente dos erros de medida, principalmente quanto se tange ao
referencial adotado, quanto maior for o ângulo de lançamento do objeto pela
catapulta, menor será a distância alcançada pelo corpo e consequentemente
menor será a sua velocidade média, sendo este resultado independente da
massa e tamanho do objeto.
Referências
 E-FÍSICA. Mecânica: Composição do Movimento, Movimento em duas
direções.
Disponível
em
<http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/composicao/intro/>. Acesso em 24
de abril de 2016.
 Só
Física.
Movimento
Oblíquo.
Disponível
em
<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/movobl.php>.
Acesso em 23 de abril de 2016.