Introdução ao Cálculo Numérico

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI – UFSJ
INSTITUÍDA PELA LEI NO 10.425, DE 19/04/2002 – D.O.U. DE 22/04/2002
PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO – PROEN
Cálculo Numérico – Aula 1
Versão: 1.0
Introdução e modelagem matemática
01/05/2013
Contato:
Natã Goulart da Silva
Sala: 119.3
Email: [email protected]
http://www.ufsj.edu.br/prof_ngoulart/
Este documento contém notas utilizadas na primeira aula do curso de Cálculo Numérico
e apresenta de forma breve os processos de resolução de problemas através de métodos
numéricos. Será apresentado um modelo que descreve o comportamento da velocidade de um
paraquedista durante o salto de um balão. As soluções analíticas e numéricas serão comparadas.
Motivação
Métodos numéricos são técnicas pelas quais problemas matemáticos são formulados de
modo que seja possível resolvê-los com operações aritméticas. Na prática, estes métodos
envolvem um grande número de operações repetitivas. Nada mais óbvio do que usar
computadores para realizar estas operações. Desde o final da década de 1940, computadores têm
sido usados para resolver métodos numéricos. Inicialmente, restritos aos poucos cientistas de
grandes centros de pesquisa que tinham acesso aos grandes computadores, os computadores
pessoais permitiram que estudantes e engenheiros resolvessem os métodos numéricos através de
programas de computador.
Métodos numéricos permitem a resolução de problemas com muitas equações e
geometrias complexas. Para resolução destes problemas, pode-se utilizar programas de
computador especializados na resolução de métodos numéricos ou desenvolver algoritmos em
uma linguagem de programação. Nesta disciplina iremos utilizar programas como Matlab,
Octave e o Scilab1 para resolver equações, análise gráfica de funções, realizar operações com
matrizes, algoritmos dentre outras aplicações. Linguagens de programação de alto nível como
C++ também são utilizadas na construção de algoritmos, mas, na maioria das vezes, demandam
maior dificuldade na codificação dos métodos numéricos.
Resolução de problemas
Definição do
Problema
Análise dos
resultados
Teoria e
Dados
Construção do
Modelo
Matemático
Escolha e
implementação do
método numérico
Encerrar resolução apresentando resultado ou
reformular problema, ajustar dados de entrada,
codificar outro método.
1 Matlab é um programa comercial, enquanto o Octave e o Scilab são ferramentas gratuitas.
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Antes da utilização de computadores, um grande esforço era aplicado para a fase da
implementação do método numérico. Geralmente nesta fase, os cálculos de uma ou mais
equações são realizados um grande número de vezes. Com a utilização dos computadores, uma
maior quantidade de tempo pode ser aplicada nas fases de definição, modelagem e verificação
dos resultados porque o processo repetitivo é realizado pelo computador.
Modelo Matemático
Um modelo matemático pode ser definido como uma formulação ou equação que
expressa as características essenciais de um sistema ou processo físico em termos matemáticos.
Com base em sua observação, Newton2 formulou a segunda lei do movimento que afirma que a
taxa de variação no tempo do momento de um corpo é igual à força resultante agindo sobre este
corpo (momento linear ou quantidade de movimento é definido pelo produto da massa pela
velocidade de um corpo). A expressão ou modelo para esta lei pode ser descrita por:
F=m*a
(1.1)
Onde:
F é a força em N, m a massa do objeto em Kg e a a sua aceleração em m/s².
A expressão (1.1) tem as seguintes características:
•
Descreve um processo ou sistema em termos matemáticos;
•
Apresenta uma aproximação, pois despreza alguns efeitos como o da relatividade que tem
efeitos mínimos nas velocidades em escalas perceptíveis aos humanos.
•
Produz resultados que podem ser reproduzidos e servem para gerar previsões.
A segunda lei de Newton pode ser usada para expressar a velocidade final de um corpo,
por exemplo um paraquedista, em queda livre perto da superfície da Terra. Expressando a
aceleração como a taxa da variação no tempo da velocidade (dv/dt) e substituindo na expressão
(1.1), temos:
dv / dt = F / m
(1.2)
Onde:
v é a velocidade em m/s e t o tempo em s.
Para um corpo em queda livre na próximo a superfície da terra, a força resultante sobre
este corpo é composta de duas forças opostas: a força gravitacional apontando para baixo (F G) e a
força da resistência do ar apontando para cima (FR).
F = FG + FR
(1.3)
Associando o sinal positivo à força da gravidade que tem sentido para baixo, a expressão
(1.1) pode ser descrita como:
FG = m . g
(1.4)
Onde:
2 http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
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g é a constante gravitacional ou a aceleração devido a gravidade, aproximadamente (9,8
m/s²).
Uma forma simples e aproximada de representar a resistência do ar é considerá-la
proporcional a velocidade e com sentido para cima. Devido ao sentido e ao referencial tomado, a
força da resistência do ar terá sinal negativo.
FR = -c.v
(1.5)
Onde:
c é uma constante de proporcionalidade chamada de coeficiente de arrasto, expressa em
(Kg/s), relacionada com as características do corpo tais como aspereza da superfície e a forma.
A força resultante poderá ser expressa então por:
F=m*g–c*v
(1.6)
Substituindo 1.6 em 1.2 teremos:
dv / dt = (m * g – c * v) / m
ou,
dv / dt = g – ( c / m ) * v
(1.7)
A equação 1.7 é um modelo que relaciona a aceleração de um corpo em queda com as
forças agindo sobre este corpo. É uma equação diferencial que relaciona a taxa de variação da
velocidade ao longo do tempo e sua solução não é tão simples quanto a solução da equação 1.1.
Considerando que um paraquedista tem velocidade inicial na vertical igual a zero, v = 0
no instante t = 0, a solução da equação 1.7 é dada por:
v(t) = g * m * ( 1 – e – (c / m) * t))/ c
(1.8)
Exemplo 1: Solução analítica para o problema do paraquedista em queda livre
Considerando um paraquedista com massa m = 68,1 Kg, saltando de um balão de ar quente
parado. Usando o coeficiente de arrasto c = 12,5 kg/s calcule a velocidade do paraquedista
antes da abertura do paraquedas.
Substituindo os valores em (1.8) temos que:
v(t) = 53,39 * ( 1 – e – 0,18355 * t)
Que pode ser usado para calcular os dados da tabela 1.
Tabela 1
t(s)
0
v(m/s) 0,00
2
4
6
8
10
12
16,40 27,77 35,64 41,10 44,87 47,79
De acordo com o modelo, o paraquedista acelera rapidamente e ao longo do tempo, sua
velocidade instantânea se aproxima da velocidade máxima, chamada velocidade terminal que é
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para este modelo, 53,39 m/s. Nesta velocidade, a força da gravidade estará em equilíbrio com a
força de resistência do ar.
A equação (1.8) é considerada uma solução analítica ou exata para o problema, apesar
das simplificações do modelo. Porém, há casos onde não é possível obter a solução analítica.
Nestes casos, uma solução numérica que a aproxima a solução é utilizada.
Um exemplo de aproximação para o modelo de queda livre descrito anteriormente pela
segunda lei de Newton é aproximar a taxa de variação no tempo da velocidade por:
dv / dt ~= Δv / Δt = ( v(ti+1) – v(ti) ) / ( ti+1 – ti )
(1.9)
Onde: Δv e Δt são as diferenças da velocidade e do tempo calculados em intervalos finitos. Do
cálculo sabemos que dv / dt = lim Δv / Δt, quando Δt tende a zero.
A equação (1.9) é chamada de aproximação por diferença dividida finita da derivada no instante
ti . Esta equação pode ser substituída na equação (1.8), fornecendo:
( v(ti+1) – v(ti) ) / ( ti+1 – ti ) = g – ( c / m ) * v( ti ) (1.10)
Ou, de outra forma,
v(ti+1) = v(ti) + [ g – ( c / m ) * v( ti ) ] * ( ti+1 – ti )
(1.11)
A parcela da equação que se encontra entre colchetes é a parcela a direita da equação
(1.7) e representa a taxa de variação da velocidade do tempo ou a inclinação de v. Da equação
(1.11) temos que:
valor atual = valor anterior + inclinação x tamanho do passo.
Esta abordagem de encontrar novos valores é chamado de método de Euler. A medida
que o processo de encontrar novos valores avança, o método de Euler apresenta uma taxa de erro
crescente. O problema é que o método tem um erro local na aproximação inicial da derivada e
este erro se acumula à medida que as iterações são executadas.
Observe que na equação (1.11), dado um valor inicial para v no instante ti, podemos
calcular os subsequentes valores de v nos instantes ti+1.
Exemplo 2: Solução numérica para o problema do paraquedista em queda livre
Use a equação (1.11) para resolver o problema do Exemplo 1.
Usando os dados presentes no Exemplo 1, podemos a partir de t =0, calcular a velocidade em t
=2.
v(2) = 0 + [ 9,8 – (12,5 / 68,1) * 0 ] * 2 = 19,60 m/s
A velocidade v no instante t = 4 s é obtida a partir de v(2).
V(4) = 19,60 + [ 9,8 – (12,5 / 68,1) * 19,60] * 2 = 32,00 m/s
Desta forma, obtemos os dados da tabela 2.
Tabela 2
t(s)
0
v(m/s) 0,00
2
4
6
8
10
12
19,60 32,00 39,85 44,82 47,97 49,96
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Na Figura 1, é apresentado o comportamento das duas soluções, analítica e numérica.
Verifica-se que o comportamento das duas soluções é semelhante, mas existem erros nos
resultados da solução numérica. Estes erros são causados pela aproximação por segmentos de
retas de uma curva contínua. Uma forma de diminuir este erro seria tomar intervalos de tempos
menores. Na prática, é possível calcular com a ajuda de computadores, soluções numéricas com
intervalos suficientes pequenos que apresentem erros aceitáveis na resolução dos problemas.
Então, pode-se resolver problemas como o apresentado no exemplo, sem a necessidade de se
resolver equações diferenciais. É importante lembrar que a redução do intervalo significa
aumentar o esforço computacional para se obter a solução.
Figura 1 - Solução analítica e solução numérica
Considerações Finais
Neste documento foi apresentado a modelagem de um problema real e sua solução
através de um método analítico e através de um método numérico. Após a aplicação dos
métodos, verificou-se que, apesar do erro apresentado pelo método numérico, em ambas as
soluções uma característica essencial do sistema é mantida. Neste sistema, verifica-se que a
velocidade do corpo inicialmente tem um aumento rápido e posteriormente a velocidade vai se
aproximando de uma constante devido a força de resistência do ar.
Referências:
CHAPRA, Steven C., CANALE, Raymond P. Métodos Numéricos para a Engenharia. 5ª Ed.
MCGRAW-HILL BRASIL, 2008 (Capítulo 1)
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