MatBas12 - Expressões Algébricas

MÓDULO XII
Exercícios Propostos
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
1. Expressão algébrica
Em álgebra, se empregam outros símbolos além
dos algarismos. Damos o nome de expressão algébrica ao
conjunto de letras e números ligados entre si por
operações quaisquer, tais como adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
Exemplos:
• 5x + 2y
(expressão algébrica)
x −1
•
(expressão algébrica fracionária)
x +1
(expressão algébrica inteira)
• x 3 + 2x 2 + x
•
•
x − 1 (expressão algébrica irracional)
2x − 3x
7
EP.02) Determine o valor numérico da expressão
2
2
algébrica x yz – xy z para x = 1, y = – 1 e z = 2.
2
EP.03) Uma chapa de zinco tem área de 6m a uma
temperatura inicial de 16º C. Calcule sua área final a uma
temperatura final de 36ºC, sabendo que o coeficiente de
–6
–1
dilatação superficial do zinco é igual β = 57 x 10 ºC .
Sugestão: utilize Afinal = Ainicial . [1 + β . (tfinal – tinicial)].
EP.04) Efetue as operações nas expressões algébricas,
reduzindo na forma mais simplificada possível:
2
a) (3x – 2x + 9) – (3x – 1).(x + 4)
b) (x + 6).(x – 1) + (x + 4).(x – 4)
2
(expressão algébrica racional)
O elemento fundamental da expressão algébrica é o
termo, ou seja, o conjunto de letras e números ligados
entre si por operações quaisquer, com exceção da adição
e subtração.
A grande utilidade das expressões algébricas, na
Matemática, é permitir a substituição de frases extensas
por expressões simbólicas:
Linguagem Comum
Símbolos
O dobro de um número
2x
2
O quadrado da soma de dois números
(x + y)
2
2
A soma dos quadrados de dois números
x +y
3
O cubo da soma dos dois números
(x + y)
3
3
A soma dos cubos de dois números
x +y
Exercício Proposto
EP.01) Escreva com símbolos matemáticos (expressão
algébrica), cada frase abaixo:
a) O triplo de um número somado com o seu quadrado.
b) A metade de um número diminuído de um outro
número.
c) A raiz quadrada da diferença entre dois números
distintos.
d) O quociente entre a soma de um número com dois e a
diferença entre 5 e um outro número.
2. Valor numérico de uma expressão algébrica
É o número que se obtém atribuindo valores às
letras que aparecem em uma expressão algébrica.
Exemplo:
2
O valor numérico da expressão algébrica 7x y, para
x = 2 e y = 4 será:
2
v.n. = 7.2 .4 = 112.
c) y.(y – x + 1) +
d)
4y − 6x + 2
2
6.(x − 1).(x + 2)
(2x − 5) - 2.(x − 1)
3. Fatoração de expressões algébricas
Fatorar uma expressão algébrica significa decompôla em um produto de expressões algébricas mais simples.
Exemplos:
2
a) 6x + 8x = 2x.(3x + 4)
2
b) x – 9 = (x – 3).(x + 3)
Os casos mais simples de fatoração são:
3.1. Fator comum
Quando todos os termos da expressão algébrica
admitem um divisor comum, divide-se a expressão por
esse divisor comum e em seguida iguala-se a expressão
ao produto do divisor comum pelo quociente obtido.
Obtém-se o divisor comum da seguinte maneira:
1º) determina-se o máximo divisor comum dos coeficientes
numéricos de todos os termos da expressão algébrica;
2º) agrupa-se ao número acima a parte literal, formada por
todas as letras comuns aos termos da expressão, cada
letra com o menor expoente comparando os termos da
expressão algébrica.
Exemplos:
7
5
4
a) Fatorar a expressão 9x + 12x + 3x .
4
m.d.c.(9, 12, 3) = 3
parte literal = x
Temos então:
7
5
4
4
3
9x + 12x + 3x = 3x .(3x + 4x + 1)
2
3
3
2
b) Fatorar a expressão 15x .y – 10x .y .
2 2
m.d.c.(15, 10) = 5
parte literal = x .y
Temos então:
2 3
3 2
2 2
15x .y – 10x .y = 5.x .y .(3y – 2x)
Matemática Básica XII 1
Exercício Proposto
EP.05) Fatorar as expressões algébricas abaixo:
2
2
a) 15ab – 9a b
2
b) 44xy – 66y
3.2. Agrupamento
É uma aplicação do primeiro caso. Quando uma
expressão com quatro termos admite um fator comum a
dois de seus termos, e outro aos outros dois, colocamos
em evidência os fatores comuns aos dois primeiros
termos, e aos dois últimos. Se os parênteses assim
obtidos encerram o mesmo binômio, colocamos este em
evidência.
Exemplos:
3
2
a) Fatorar a expressão x + 2x + 2x + 4.
2
Os dois primeiros termos admitem o fator comum x
e os dois últimos o fator comum 2. Colocando-os em
evidência, temos:
3
2
2
x + 2x + 2x + 4 = x .(x + 2) + 2.(x + 2)
Os dois termos à direita têm o fator comum (x + 2).
Colocando-os em evidência, temos:
3
2
2
x + 2x + 2x + 4 = (x + 2).(x + 2)
b) Fatorar a expressão ax + ay + bx + by.
Temos:
ax + ay + bx + by = a.(x + y) + b.(x + y) = (x + y).(a + b)
Exercício Proposto
2
2
b) Fatorar o trinômio 16t – 24tw + 9w .
16t 2 = 4t e
9w 2 = 3w
Como o segundo termo da expressão tem sinal
negativo, forma-se o binômio (4t – 3w). Como
2 × 4t × 3w = 24tw , que é o segundo termo da expressão,
este é um quadrado perfeito e podemos então escrever:
2
2
2
16t – 24tw + 9w = (4t – 3w)
Exercício Proposto
EP.07) Fatorar as expressões abaixo, se possível:
2
2
4
a) 36x + 60xy + 25y
b)
4 4 3
− x + x6
9 3
3.4. Diferença de dois quadrados
2
2
Já vimos que a – b = (a + b)(a – b)
A diferença de dois quadrados então se decompõe
no produto da soma das raízes quadradas dos mesmos,
pela sua diferença.
Exemplos:
2
a) Fatorar a expressão algébrica x – 9.
Temos:
x2 = x
Portanto:
9 =3
e
2
x – 9 = (x + 3).(x – 3)
EP.06) Fatorar as expressões abaixo:
3
2
a) x + x + 4x + 4
4
b) Fatorar a expressão algébrica x – 1.
Temos:
b) 6ax – 3bx + 4ay – 2by
x4 = x2
Portanto:
3.3. Quadrado da soma e da diferença
Sabemos que:
2
2
2
a) (x + y) = x + 2xy + y
2
2
2
b) (x – y) = x – 2xy + y
Se em uma expressão algébrica de três termos o
primeiro e o terceiro termos são quadrados perfeitos,
extraem-se as raízes quadradas dos mesmos. Em
seguida, constrói-se um binômio que é a soma ou a
diferença das raízes quadradas acima, conforme o sinal
do segundo termo da expressão dada seja positivo ou
negativo. Se o duplo produto dos termos dessa expressão
coincidir com o segundo termo da expressão dada, este
será igual ao quadrado do binômio construído, de acordo
com relações a) e b) descritas acima.
Exemplos:
2
2
4
a) Fatorar 64a + 80 ab + 25b .
Temos:
64a 2 = 8a e
25b 4 = 5b 2
Como o segundo termo da expressão tem sinal
2
positivo, forma-se o binômio (8a + 5b ). Como
2 × 8a × 5b 2 = 80ab 2 , que é o segundo termo da
expressão, este é um quadrado perfeito e podemos então
escrever:
2
2
4
2 2
64a + 80 ab + 25b = (8a + 5b )
4
1 =1
e
2
2
x – 1 = (x + 1).(x – 1)
Como o segundo binômio também é uma diferença
de quadrados, fatoramos esse segundo termo pelo mesmo
processo:
2
x – 1 = (x + 1).(x – 1)
Logo:
4
2
x – 1 = (x + 1).(x + 1).(x – 1)
2
2
Observação: a expressão a + b não é fatorável em ℝ.
Exercícios Propostos
EP.08) Fatorar as expressões abaixo:
2
a) x – 64
4 6
b) 16a b – 25c
8
8
c) x – 1
EP.09) Simplifique a expressão
x2 − 9
.
2x − 6
Matemática Básica XII 2
2
x + 9x + 20 = (x – a).(x – b)
x + 9x + 20 = (x – (– 4)).(x – (–5))
2
x + 9x + 20 = (x + 4).(x + 5)
3.5. Trinômio do segundo grau
Em alguns casos de fatoração, a expressão
2
algébrica apresentada na forma x + px + q pode ser
decomposta em um produto de dois binômios do primeiro
grau, ou seja:
2
x + px + q = (x – a).(x – b)
Os números a e b são encontrados da seguinte
maneira:
1º) o coeficiente p é a soma dos números a e b, com o
sinal resultante da soma invertido;
2º) o coeficiente q é o produto dos números a e b, com o
mesmo sinal resultante do produto.
3º) com os valores a e b determinados, efetua-se a
fatoração da expressão algébrica conforme descrito
acima.
Exemplos:
2
a) Fatorar o trinômio x – 8x + 12.
Queremos determinar dois números a e b tais que:
2
x – 8x + 12 = (x – a).(x – b)
Nesse caso, temos:
• p = – (a + b) = – 8 a + b = 8
• q = a.b = 12 a . b = 12
Dessa maneira, devemos determinar dois números
que somados resultam em 8 e que multiplicados resultem
em 12.
Considerando os possíveis produtos de dois
números inteiros iguais a 12 e analisando a soma dos
mesmos números, temos:
a . b = 20
a+b
1 . 12
13
2.6
8
3.4
7
(– 1) x (– 12) – 13
(– 2) x (– 6)
–8
(– 3) x (– 4)
–7
O segundo dos possíveis produtos tem a soma dos
números igual a 8. Temos então a = 2 e b = 6. Portanto:
2
x – 8x + 12 = (x – a).(x – b)
2
x – 8x + 12 = (x – 2).(x – 6)
2
b) Fatorar o trinômio x + 9x + 20.
Queremos determinar dois números a e b tais que:
2
x + 9x + 20 = (x – a).(x – b)
Nesse caso, temos:
• p = – (a + b) = 9 a + b = – 9
• q = a.b = 20 a . b = 20
Dessa maneira, devemos determinar dois números
que somados resultam em – 9 e que multiplicados
resultem em 20.
Considerando os possíveis produtos de dois
números inteiros iguais a 20 e analisando a soma dos
mesmos números, temos:
a . b = 20
a+b
1 . 20
21
2 . 10
12
4.5
9
(– 1) x (–20) – 21
(– 2) x (–10) – 12
(– 4) x (–5)
–9
O último desses possíveis produtos tem a soma dos
números igual a – 9. Temos então a = – 4 e b = – 5.
Portanto:
2
Exercício Proposto
EP.10) Simplificar ou fatorar as expressões algébricas
abaixo:
x 4 + x 3 − 6x 2
a)
x 3 − 9x
4
2
b) a – 10a + 9
3.6. Soma e diferença de cubos
3
3
2
2
3
3
2
2
a + b = (a + b )(a – ab + b )
a – b = (a – b) (a + ab + b )
Exemplos:
3
a) Fatorar x + 125.
Temos:
3
3
3
3
3
3
x + 125 = x + 5
2
2
x + 125 = (x + 5).(x – 5x + 5 )
3
2
x + 125 = (x + 5).(x – 5x + 25)
3
3
b) Fatorar t – 216.
t – 216 = x – 6
2
2
t – 216 = (t – 6).(t + 5t + 6 )
3
2
t – 216 = (t – 6).(t + 6t + 36)
3
Exercícios Propostos
EP.11) Fatorar as expressões:
3
a) 1 – 27a
6
b) 64m + 1
EP.12) Fatorar e simplificar a expressão:
x 2 − 3x − 4
xy − x 2 y
÷
x + x4
x3 y − x2y
3.7. Cubo da Soma e da Diferença
3
3
2
2
3
3
3
2
2
3
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b
(a – b) = a – 3a b + 3ab – b
Exemplos:
3
2
a) Fatorar a expressão x + 6x + 12x + 8.
Temos:
3
2
3
2
2
3
x + 6x + 12x + 8 = x + 2.3.x + 3. 2 .x + 2
Logo:
3
2
3
x + 6x + 12x + 8 = (x + 2)
2
2
b) Fatorar a expressão 8x – 36x + 54x – 27.
Temos:
2
2
3
2
2
3
8x – 36x + 54x – 27 = (2x) – 3.(2x) .3 + 3.2x.3 – 3
Logo:
2
2
3
8x – 36x + 54x – 27 = (2x – 3)
Matemática Básica XII 3
Exercícios Complementares
Exercício Proposto
EP.13) Fatorar as expressões algébricas abaixo:
3
2
2
3
a) a + 9a x + 27ax + 27x
3
EC.01) Encontre o valor da expressão
2
e b=
b) x – 15x + 75x – 125
a +b
1
para a =
2
1 − ab
1
.
3
4. M.M.C. de expressões algébricas
EC.02) Se a = 3, b = – 2 e c = – 1, determine o valor da
É o produto dos fatores comuns e não comuns que
aparecem na decomposição das mesmas, tomando cada
fator uma única vez, com o maior expoente comparando
os termos da expressão.
Exemplos:
a) Calcular o m.m.c entre os números 24, 32 e 15.
Temos:
3
• decompondo 24 em fatores primos = 2 .3
5
• decompondo 32 em fatores primos = 2
• decompondo 15 em fatores primos = 3.5
Separando os fatores comuns e não comuns de
5
maior expoente = 2 , 3 e 5.
Logo:
5
m.m.c.(24, 32, 15) = 2 .3.5 = 480
2
expressão algébrica
ab + c 2 + 6  1 
−− 
b2
 2
−3
.
3
EC.03) Um cubo metálico tem volume inicial de 20cm à
temperatura inicial de 15ºC. Determinar o seu volume à
temperatura final de 25ºC, sendo o coeficiente de dilatação
–6
–1
volumétrica do metal γ = 66 x 10 ºC .
Sugestão: utilize Vfinal = Vinicial . [1 + γ. ( tfinal – tinicial )].
EC.04) O comprimento inicial de um fio de aço é de 40m à
22ºC. Determine o seu comprimento final num dia em que
a temperatura é de 34º C, sabendo que o coeficiente de
–6
–1
dilatação linear do aço é igual a α = 11 x 10 ºC .
Sugestão: utilize Lfinal = Linicial . [1 + α . ( tfinal – tinicial)].
2
b) x – 16 e x + 4x
Temos:
2
• Fatorando x – 16 = (x + 4).(x – 4)
2
• Fatorando x + 4x = x.(x + 4)
Separando os fatores comuns e os não comuns de
maior expoente das fatorações = x, (x + 4) e (x – 4)
Logo:
2
2
m.m.c.(x – 16; x + 4x) = x.(x + 4).(x – 4).
Exercícios Propostos
2 3
4
EP.14) Encontre o M.M.C. das expressões 12x y e 20x y.
EP.15) Efetue e simplifique a expressão algébrica:
1− x
1+ x +
1+ x
1
1
+
1− x 1− x 2
EC.05) Calcule o módulo do vetor resultante VR da soma
de dois vetores x e y perpendicularmente entre si, de
intensidade x = 2,0m e y = 4,0m.
x2 + y2 .
Sugestão: utilize VR =
EC.06) Um automóvel parte do repouso (v0 = 0 m/s) em
movimento retilíneo com aceleração constante de
a = 2,0 m s 2 . Qual a velocidade desse automóvel após o
percurso ∆s = 50m?
2
2
Sugestão: utilize v = (v0) + 2.a.∆s.
EC.07) A uma mola de constante elástica k = 10 N/m é
aplicada uma força F de intensidade 80N. Assim, qual será
a deformação x sofrida pela mola?
Sugestão: utilize F = k.x.
EC.08) Fatorar as expressões algébricas:
2
2
a) 6x – 5xy + y
b) –3ty + 9tx
Fatoração - Resumo
ax + bx = (a + b ).x
Fator Comum
Agrupamento
Quadrado da Soma
Quadrado da Diferença
Diferença de Quadrados
Soma de Cubos
Diferença de Cubos
Cubo da Soma
Cubo da Diferença
ax + bx + ay + by = (a + b )(
. x + y)
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
a 2 − b 2 = (a + b )(
. a − b)
3
3
a + b = (a + b ).(a 2 − ab + b 2 )
a 3 − b 3 = (a − b ).(a 2 + ab + b 2 )
(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3
2
c) xyz + xy + x yz
3
2
2
2
d) 15a + 5a + 3ab + b
2
2
e) m n + n – m – 1
2
2
f) x + 10xy + 25y
2
2
g) 4x – 12xy + 9y
2
h) x + 2x + 1
2
i) x – 6x + 9
2
j) x + 6x + 9
Matemática Básica XII 4
2
GABARITO
k) 81a – 18a + 1
2
2
Exercícios Propostos
x
EP.01) a) 3x + x
b) − y
2
x+2
c) x − y
d)
5−y
EP.02) v.n. = – 4
2
EP.03) Afinal = 6,00684m
2
EP.04) a) – 13x + 13
b) 2x + 5x – 22
2
2
c) y – xy + 3y – 3x + 1 d) – 2x – 2x + 4
EP.05) a) 3ab.(5b – 3a)
b) 22y.(2x – 3y)
2
EP.06) a) (x + 1).(x + 4)
b) (2a – b).(3x + 2y)
l) x – 6xy + 9y
2
2
2
m) 9a + 6ab + b
2 4
2
2
n) x y – 4xy z + 4z
2
o) 20 – 5a
3
p) x – x
2
q) 9x – 36
6 2
r) 9x y – 1
2 2
EP.07) a) (6x + 5y )
4
s) 9a – 1
2
2
t) (x + a) – a
4
6
u) 27a³ + 54a²b² + 36ab + 8b
3
v) y + 8
6
x) x – 64
z) a³ – b³ – a.(a² – b²) + b.(a – b)²
EC.09) Determine o m.m.c. das expressões algébricas em
cada item:
2
a) x – 1, x + 1 e x – 1.
2
b) a – 6a + 9 e a – 3.
2
2
2

b)  − x 3 
3

2
EP.08) a) (x + 8).(x – 8)
2 3
4
2 3
4
b) (4a b + 5c ). (4a b – 5c )
4
2
c) (x + 1).(x + 1).(x + 1).(x – 1)
x+3
EP.09)
2
x 2 − 2x
EP.10) a)
b) (a + 1).(a – 1).(a + 3).(a – 3)
x −3
2
EP.11) a) (1 – 3a).(1 + 3a + 9a )
2
4
2
b) (4m + 1).(16m – 4m + 1)
4−x
EP.12) 2
x − x +1
3
3
b) (x – 5)
EP.13) a) (a + 3x)
4 3
EP.14) 60x y
− x3 − x + 2
EP.15)
x+2
2
c) (x – 1).(x + 1) e (x – 1) .(x + 1).
Exercícios Complementares
EC.01) 1
33
EC.02)
4
3
EC.03) Vfinal = 20,0132cm
EC.04) Lfinal = 40,00528m
EC.05) 2 5m
EC.06) 10 2 m s
EC.07) 8m
EC.08) a) (3x – y).(2x – y)
b) 3t.(3x – y)
2
2
c) xy.(z + 1 + xz)
d) (3a + 1).(5a + b )
2
2
e) (m + 1).(n – 1)
f) (x + 5y)
2
2
g) (2x – 3y)
h) (x + 1)
2
2
i) (x – 3)
j) (x + 3)
2
2
k) (9a – 1)
l) (x – 3y)
2
2
2
n) (xy – 2z)
m) (3a + b)
o) 5.(2 + a).(2 – a)
p) x.(x + 1).(x – 1)
3
3
q) 9(x + 2).(x – 2)
r) (3x y + 1).(3x y – 1)
2
2
s) (3a + 1). (3a – 1) t) x.(x + 2a)
2 3
2
u) (3a + 2b )
v) (y + 2).(y – 2y + 4)
4
2
x) (x + 2).(x – 2).(x + 4x + 16)
z) ab.(a – b)
EC.09) a) (x + 1).(x – 1)
2
b) (a – 3)
2
3
c) (x – 1) .(x + 1)
Matemática Básica XII 5