Seção 4 (Deflexões de vigas) - Lista de exercícios

UFPR - M ECÂNICA DOS S ÓLIDOS II
Seção 4 (Deflexões de vigas) - Lista de exercícios
Prof. Marcos S. Lenzi
March 9, 2016
Exercício 4.1 - A viga em balanço ABC está submetida
a um carregamento P na extremidade C . Para o segmento AB da viga, (a) determine a expressão da linha
elástica e (b) determine a máxima deflexão. [ReP aL
1
sposta: M AB = − P ax
L ; M BC = P (x 2 − a − L); C 1 = 6 ,
Exercício 4.3 - A viga simplesmente apoiada AB está
submetida a um carregamento distribuído linear w 0
conforme indicado na figura. Determine (a) a expressão da linha elástica e (b) a máxima deflexão.
¢
w0 x ¡
2 2
4
4
[Resposta: (a) v(x) = 360E
I L 10L x − 3x − 7L ; (b)
C 2 = 0; (a) v AB (x) = − P6EaxI L +
v max = −0.00652 wE0 LI ]
3
2
P aLx
6E I ;
(b) x max =
pL ,
3
4
v max = 0.0642 PEaLI ]
Exercício 4.4 - Calcule a máxima deflexão de uma
viga simples uniformemente carregada com compriExercício 4.2 - Determine a inclinação e deflexão na mento L = 2 m, carregamento uniforme q = 2 kN/m
extremidade A da viga engastada-livre. Considere E = e com tensão de flexão máxima σ = 60 MPa. A seção
200 GPa e I = 65×10−6 m4 . [Resposta: (a) θ A = 0.00669 transversal da viga é quadrada e o material é alumínio
rad; (b) v A = 11.1 mm]
(E = 70 GPa) [Resposta: v max = 15.4 mm]
1
Exercício 4.5 - (a) Determine a equação da linha elástica no trecho entre o ponto A e x = 6 m, utilizando a
coordenada x. (b) Determine a inclinação no ponto
A, e (c) a máxima deflexão ao longo da viga. Considere E I constante ao longo de x. [Resposta: (a)
¢
¡
1 5
2
v = E1I 6x 3 − 60
x − 540x kN·m3 ; (b) θ A = 540
E I kN·m ;
2074
3
(c) v max = E I kN · m , para baixo]
Exercício 4.8 - Utilizando o método da área do momento, determine a inclinação θ A e a deflexão vC no
centro da viga com comprimento L e rigidez à flexão
E I constante. [Resposta: M AB = 3P2x1 ; M BC = P2x2 + P4L ;
MC D = − P2x3 + 3P4 L ; M DE = − 3P2x4 + 3P2 L (considerando
as coordenadas x 1 , x 2 , x 2 e x 4 partindo do ponto A);
L2
19P L 3
θ A = 5P
32E I ; v C = 384E I ]
Exercício 4.6 - Determine as equações da linha elástica utilizando as coordenada x 1 e x 2 , e especifique
Exercício 4.9 - Utilizando o método da área do moa inclinação e deflexão na extremidade B . [Remento, determine a inclinação θB e a deflexão v B na
w a3
w a4
sposta: C 1 = 0, C 2 = 0, C 3 = − 6 , C 4 = 24 ; v 1 =
¡
¢
extremidade B da viga abaixo. A viga tem compri3
w
wa
4
3
2 2
24E I −x 1 + 4ax 1 − 6a x 1 ; v 2 = 24E I (−4x 2 + a); θB = mento L e rigidez à flexão E I constante. [Resposta:
w a3
a3
¢2 qLx qL 2
−w
qLx
qL 2
q¡
6E I ; v B = 24E I (−4L + a)]
M 1 = 3 1 − 6 ; M 2 = − 2 x 2 − L3 + 3 2 − 6 ; M 3 = 0
(considerando as coordenadas x 1 e x 2 partindo do
7qL 3
23qL 4
ponto A); θB = 162E I ; v B = 648E I (lembrando que a
área de um arco de parábola y = kx 2 é ab
3 e que o cen)
]
tróide x está em 3a
4
Exercício 4.7 - Utilizando o método da área do momento, encontre a inclinação θB e a deflexão v B da
viga engastada-livre ABC abaixo. A viga tem comprimento L e rigidez à flexão E I constante. [Resposta:
R AY =
qL
2 ;
3qL 2
8 ;
M AC = −
3qL 2
8
qLx 1
2 ;
MC B =
qL 2
− 2 + qLx 2 − 2 (considerando x 1 e x 2 partindo do
7qL 3
41qL 4
ponto A); θB = 48E I ; v B = 384E I (lembrando que a área
de um arco de parábola y = kx 2 é ab
3 e que o centróide
x está em 3a
)]
4
q x 22
MA =
+
Exercício 4.10 - Utilizando o método da área do momento, calcule as deflexões nos pontos B e C . Assuma
M 0 = 4 kN.m, P = 16 kN, L = 2.4 m e E I = 6 MN.m2 .
[Resposta: M AC = P x 1 − P L + M 0 ; MC B = P x 2 − P L
(considerando as coordenadas x 1 e x 2 partindo do
ponto A); v B = 10.85mm; vC = 3.36mm]
2