Problema 269

APOSTILA DE
PROBABILIDADE
2. DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADES
2.1. Introdução
Uma distribuição é denominada discreta de probabilidades quando uma variável X assumir
um conjunto discreto de valores X1, X2, X3 ... Xk, tendo como probabilidades P1, P2, P3 ... Pk,
respectivamente, tal que P1 + P2 + P3 ... Pk = 1.
Neste caso, definimos uma função P(x) que associa a cada valor discreto à sua respectiva
probabilidade.
Vejamos a ilustração: Lançando-se 4 moedas para cima, determinar as quantidades de
todos os eventos possíveis.
Para verificar todos estes eventos basta calcular:
(c + k)4 = C4 + 4c3 k + + 6c2 k2 + 4ck3 + k4 .
O sinal positivo foi colocado para uma melhor recordação do binômio de Newton. Não
esquecer que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis de um espaço amostral é
igual a 1.
Após a construção do binômio de Newton, já percebemos que o nosso espaço amostral é
formado de 16 resultados possíveis, para isto basta somar os coeficientes binomiais ou armar o
nosso espaço amostral:
c4 = cccc
4c3k2 = ccck + cckc + ckcc + kccc
6c2k2 = cckk + ckkc + kkcc + kckc + kcck + ckck
4ck3 = kkkc + kkck + kckk + ckkk
k4 = kkkk
A probabilidade de se obter 4 caras será de 1/16; de 3 caras será 4/16; de 2 caras será
6/16 e de l cara será 1/16. Percebe-se com facilidade que a distribuição é simétrica.
Armando a distribuição discreta de probabilidades, teremos a abaixo:
X = nº de caras
P(X)=probabilidade
0
1/16
1
4/16
2
6/16
3
4/16
4
1/16
Observe que cada valor discreto da variável x está associado à sua respectiva
probabilidade, definindo uma distribuição discreta de probabilidade. Neste caso, a probabilidade
de ocorrência de cada evento é a sua freqüência relativa e sabemos que o seu somatório será
igual a 1 ou 100 %.
Podemos construir o gráfico desta distribuição:
6/16
4/16
4/16
1/16
0
ccaras
1/16
1
2
3
4
(CARAS)
2.2. Distribuição Binomial
Admita-se que P(A) = p é a probabilidade do evento A ocorrer em uma tentativa única e
P( ( A ) = q é a probabilidade do evento A não ocorrer, em uma tentativa única. Então a
probabilidade do evento A ocorrer exatamente x vezes, em n tentativas será definida por:
P(x) =
Cn, x  p x . qn x onde x = 0, 1, 2, 3 ... n.
Substituindo os valores de x na fórmula acima, encontramos o desenvolvimento binominal.
A variável aleatória x é definida como o número de vezes que o evento A ocorrerá em n tentativas.
2.2.1. Condições para Aplicação da Lei Binominal
a) Cada uma das experiências deve ser repetida nas mesmas condições iniciais um número
pré-fixado de vezes.
b) Cada vez que uma experiência é feita, ocorrerá A ou A , isto é, só ocorrerá dois eventos
porque eles são mutuamente excludentes, disjuntos ou exclusivos.
c) P(A) é constante em todas as experiências (com reposição).
d) Cada experiência independe das demais.
2.2.2. Problemas Resolvidos
Problema 151
Qual será a probabilidade de se obter duas caras em 5 lances de uma moeda?
Observe que em cinco lances ou tentativas n = 5, desejamos duas caras x = 2
Sabemos que a probabilidade de ser cara ou de ser coroa, em um único lance, é 0,5 ou seja
P(C)= 1/2 e P(K) = l - 1/2 = 0,5, então p = 1/2 e q = 1/2. Aplicando a fórmula binomial:
P(2) =
5!
 (1 / 2) 2  (1 / 2) 3  10  (1 / 4)  (1 / 8)  10 / 32
2!(5  2)!
Problema 152
Qual será a probabilidade de se obter pelo menos 3 caras em 5 lances de uma moeda?
No problema temos n = 5 e x = { 3, 4, 5}, sabemos que p = ½ e q = ½, então:
P(3) = C5,2 x (1/2)3 x (1/2)2 = 10 x 1/8 x 1/4 = 10/32
P(4) = C5,1 x (1/2)4 x (1/2)1 = 5 x 1/16 x 1/2 = 5/32
P(5) = C5,0 x (1/2)5 x (1/2)0 = 1 x 1/32 x 1 = 1/33
A probabilidade de encontrarmos pelo menos 3 caras será a soma destas probabilidades:
P(x  3) = P(3) + P(4) + P(5) = 10/32 + 5/32 + 1/32 = 16/32 = 1/2
Problema 153
Na Empresa KKI, 10% da produção de peças é rejeitada pelo controle de qualidade. Se tirarmos
da produção diária, aleatoriamente 10 peças, qual será a probabilidade de 3 serem rejeitadas
pelo controle de qualidade
Solução: A = peças defeituosas, B = peças perfeitas, n = 10 e x = 3 defeituosas
P(A) = 10% ou P(A) = 0,1 = p e P(B) = 90% ou P(B) = 0,9 = q
Já verificamos se tratar de uma distribuição binomial, pois temos válvulas perfeitas e
defeituosas. Vamos calcular a probabilidade de encontrar três peças defeituosas, então
P(3) = C10,3 x (0,1)3 x (0,9)7P(3) = 120 x 0,001 x 0,4783 = 0,06 ou 6%,
Do exposto, pode-se concluir que dentre as dez peças escolhidas ao acaso, a
probabilidade de encontrar três peças defeituosas será de 0,06 ou 6%.
Problema 154
Na Empresa KKI, 10% da produção de peças é rejeitada pelo controle de qualidade. Se tirarmos
da produção diária, aleatoriamente 10 peças, qual será a probabilidade de quatro peças serem
rejeitadas pelo controle de qualidade
No problemas, temos p= 0,1, q = 0,9, n = 10 e x = 4
P(4) = C10,4 (0,1)4 (0,9)6  P(4) = 0,0112 ou 1,12%
Problema 155
Em uma pesquisa realizada pela Empresa. K.K.I, verificou-se que 12,00% da produção é
considerada defeituosa. Numa análise de custo, a Empresa. resolveu embalar a sua produção em
caixas com oito unidades, independente se perfeitas ou defeituosas. O preço de uma unidade
perfeita é de 12,00. Numa remessa de 20.000 peças, qual será o preço de um lote que só contém
caixas com 6 peças perfeitas?
Neste problema, devemos calcular a probabilidade de ocorrência de seis peças perfeitas.
Este valor representa o percentual de caixas que, em média, vamos encontrar.
Então este percentual sobre o número de caixas que é de 20.000 nos dará, em média, a
quantidade de caixas que teremos com seis peças perfeitas.
A quantidade de destas caixas multiplicada pelo valor de uma caixa que é de 12,00 nos
dará o preço médio deste lote que será de 12,00 x 6 = 72,00.
No problema, temos P(D) = p = 0,12 e P(P) = q = 0,88. O n é 8 e o x é 6
P(6) = C8,6 x (0,12)2 x (0,88)6 x 20.000 x 6 x 12
Problema 156
O departamento de controle de qualidade informa que 20% da produção do produto KKI é
rejeitada pelo controle de qualidade, contudo, a produção é embalada em caixas com 4 unidades,
independentes se perfeitas ou defeituosas. A Empresa fará uma remessa de 100.000 caixas.
Marque as opções que você julgar falsas.
a) Nesta remessa haverá em média P(4) = C4,4 x (0,2)0 x (0,8)4 x 100.000 caixas com quatro peças
perfeitas.
b).Nesta remessa haverá em média P(3) = C4,3 x (0,2)3 x (0,8)1 x 100.000 caixas com três peças
perfeitas.
c) Nesta remessa haverá em média P(2) = C4,2 x (0,2)2 x (0,8)2 x 100.000 caixas com duas peças
perfeitos.
d) Nesta remessa haverá em média P(3) = C4,1 x (0,2)3 x (0,8)1 X 100.000 . caixas com uma peça
perfeita.
e) Nesta remessa haverá em média P(4) = C4,0 x (0,2)4 x (0,8)0 x 100.000 caixas com todas
defeituosas.
Problema Especial
O Controle de qualidade da Empresa KKI rejeita, em média, 12% da produção de peças do
produto KKI. Por outro lado, a produção é embalada em caixas com seis unidades, independentes
se perfeitas ou defeituosas. A Empresa está firmando um contrato para uma exportação média
mensal de 25.000 caixas, após uma análise detalhada das propostas recebidas de três clientes.
Proposta A Clay Car USA
Este cliente paga R$ 30,00 por peça, se em uma caixa escolhida aleatoriamente, encontrar todas
as peças perfeitas e R$ 10,00 por peça, pelas situações restantes
Proposta B Vacamoto Japão
Este cliente paga R$ 20,00 por peça, desde que encontre, no máximo, uma peça defeituosa numa
caixa, pagando pelo restante R$ 10,00 por peça
Proposta C Los Muchachos Argentina
Este cliente paga R$ 15,00 por peça, aceitando até três peças defeituosas em uma caixa e paga
R$ 5,00 por peça, pelas peças restantes.
Problema 157
Leia as afirmativas abaixo e marque V ou F conforme o seu julgamento;
a) Nesta remessa, a probabilidade de você encontrar uma caixa com todas as peças perfeitas é
de 46,44%
b) Nesta remessa, a probabilidade de você encontrar uma caixa com cinco peças perfeitas é de
37,997%
c) Nesta remessa, a probabilidade de você encontrar uma caixa com quatro peças perfeitas é de
12,953%
d) Nesta remessa, a probabilidade de você encontrar uma caixa com três peças perfeitas é de
2,355,0%
e) Nesta remessa, a probabilidade de você encontrar uma caixa com duas peças perfeitas é de
0,241%
Problema 158
A Empresa fará, a cada mês, uma remessa de 25.000 caixas para aquela Empresa que
apresentou a melhor proposta, então marque V ou F conforme o seu julgamento:
a) Nesta remessa, em média, encontraremos de 11.600 a 11.620 caixas com todas as peças
perfeitas.
b) Nesta remessa, apenas com um defeito, em média, encontraremos de 9.495 a 9.505 caixas.
c) Nesta remessa, encontraremos, em média de 3.235 a 3.240 caixas com quatro peças
perfeitas.
d) Com apenas três defeitos em uma caixa, nesta remessa, encontraremos, em média, de 585 a
590 caixas
e) Nesta remessa, encontraremos, em média de 58 a 62 caixas com quatro peças defeituosas.
Problema 159
Leia as afirmativas abaixo e marque a opção errada;
a) A proposta norte americana definirá um faturamento médio mensal para a Empresa brasileira
da ordem de R$ 2.713.000,00 a R$ 2.714.000,00.
b) A proposta japonesa definirá um faturamento médio mensal para a Empresa brasileira da
ordem de R$ 2.491.000,00 a R$ 2.492.000,00.
c) A proposta argentina definirá um faturamento médio mensal para a Empresa brasileira da
ordem de R$ 1.978.000,00 a R$ 1.979.000,00.
d) Dentre as três propostas, a melhor para a Empresa brasileira será a proposta da Empresa
argentina.
e) Os Estados Unidos estão convictos de que a melhor proposta será a norte americana
Problema Especial
O Controle de qualidade da Empresa KKI rejeita, em média, 10% da produção de peças do
produto KKI. Por outro lado, a produção é embalada em caixas com seis unidades, independentes
se perfeitas ou defeituosas. A Empresa fará uma remessa de 20.000 caixas, após uma análise
detalhada das propostas recebidas de três clientes especiais.
Proposta A Love Star Car USA
Este cliente paga R$ 50,00 por peça, se em uma caixa escolhida aleatoriamente, encontrar no
máximo uma peça defeituosa e R$ 30,00 por peça, pelas situações restantes
Proposta B Terrari Itália
Este cliente paga R$ 30,00 por peça, desde que encontre, em uma caixa escolhida
aleatoriamente, no máximo, duas peças defeituosas em uma caixa, pagando pelas situações
restantes, R$ 20,00 por peça
Proposta C Los Muchachos Argentina
Este cliente paga R$ 25,00 por peça, aceitando até três peças defeituosas, em uma caixa e paga
R$ 20,00 por peça, pelas situações restantes.
Problema 160
Leia as afirmativas abaixo e marque V ou F conforme o seu julgamento;
a) Nesta remessa, a chance de encontrar uma caixa com todas as peças perfeitas é de 53,144%
b) Nesta remessa, a chance encontrar uma caixa com cinco peças perfeitas é de 35,429%
c) Nesta remessa, a chance encontrar uma caixa com quatro peças perfeitas é de 9,842%
d) Nesta remessa, a chance de você encontrar uma caixa com três peças perfeitas é de 1,458%
e) Nesta remessa, a chance de você encontrar uma caixa com duas peças perfeitas é de 0,122%
Problema 161
A Empresa fará, a cada mês, uma remessa de 20.000 caixas para aquela Empresa que
apresentou a melhor proposta, então marque V ou F conforme o seu julgamento:
a) Nesta remessa, em média, temos de 12.600 a 12.620 caixas com todas as peças perfeitas.
b) Nesta remessa, apenas com um defeito, em média, encontraremos de 7.080 a 7.090 caixas.
c) Nesta remessa, temos, em média de 1.965 a 1.970 caixas com quatro peças perfeitas.
d) Com três defeitos em uma caixa, nesta remessa, temos, em média, de 290 a 296 caixas
e) Nesta remessa, encontraremos, em média de 22 a 26 caixas com quatro peças defeituosas.
Problema 162
Leia as afirmativas e marque a opção errada
a) A proposta norte americana definirá um faturamento médio mensal para a Empresa brasileira
da ordem de R$ 5.224.000,00.
b) A proposta italiana definirá um faturamento médio mensal para a Empresa brasileira da ordem
de R$ 3.230.000,00.
c) A proposta argentina definirá um faturamento médio mensal para a Empresa brasileira da
ordem de R$ 3.000.000,00.
d) Dentre as três propostas, a melhor para a Empresa brasileira será a da Empresa argentina.
e) Os Estados Unidos estão convictos de que a melhor proposta será a norte americana
2.2.3. Propriedades da Distribuição Binomial
a) Média de uma distribuição binomial é igual ao produto do tamanho da amostra pela
probabilidade de ocorrência do evento A em uma tentativa única.   np
b) A variância de uma distribuição binomial é  2  n.p.q
c) O desvio padrão de uma distribuição binomial é   npq
2.2.4. Exercícios Diversos
Problema 163
Uma moeda será lançada seis vezes. Abaixo temos os diversos resultados derivados do
lançamento desta moeda. Leia as afirmativas abaixo e marque com a letra V aquela que você
julgar verdadeira e F a falsa.
a) A probabilidade de se obter seis caras é de P(6) = C6,6 x (0,5)0 x (0,5)6
b) A probabilidade de se obter cinco caras é de P(1) = C6,1 x (0,5)1 x (0,5)5
c) A probabilidade de se obter quatro coroas é de P(4) = C6,4 x (0,5)2 x (0,5)4
d) A probabilidade de se obter três coroas é de P(3) = C6,3 x (0,5)3 x (0,5)3
e) A probabilidade de se obter duas caras é de P(4) = C6,4 x (0,5)4 x (0,5)2
Problema 164
Uma moeda será lançada seis vezes. Abaixo temos os diversos resultados derivados do
lançamento desta moeda. Leia as afirmativas abaixo e marque a opção incorreta.
a) A probabilidade de encontrar pelo menos uma "cara" será de 98,44%.
b) No lançamento de seis moedas, temos , em média três caras e variância de 1,5 caras.
c) O desvio padrão da distribuição das coroas é igual a 1,22 coroas.
d) Lançando esta moeda doze vezes, temos em média seis caras e uma variância igual a 4 caras.
e) O lançamento de uma moeda várias vezes define uma distribuição binomial.
Problema 165
O Banco KKI recebeu, em fevereiro deste ano, 400 pedidos de empréstimos pessoais. A
probabilidade de ocorrer uma negativa de empréstimo pessoal, neste banco é de 10%.
Marque as opções que você julgar falsas.
a) O valor médio dos pedidos negados é igual a 40 e o desvio padrão é igual a 6.
b) Os pedidos de empréstimos negados definem uma distribuição binomial..
c) O valor médio dos pedidos aprovados é igual a 360 e o desvio padrão é igual a 6.
d) Os pedidos de empréstimos aprovados definem uma distribuição binomial.
e) A distribuição dos pedidos de empréstimos aprovados e a dos pedidos de empréstimos
negados definem o mesmo desvio padrão.
Problema 166
Na Empresa KKI há 100 funcionários casados que têm quatro filhos cada um. Para um
congraçamento de natal a Empresa resolveu fazer uma surpresa e comprou presentes para toda a
garotada. Marque com V aquela afirmativa que julgar verdadeira e F a falsa.
a) Para as famílias que têm três meninos e uma menina a Empresa comprou 75 presentes
masculinos e 25 presentes femininos.
b) Para as famílias que têm quatro meninas a Empresa comprou 25 presentes femininos.
c) Para as famílias que têm três meninas e um menino a Empresa comprou 75 presentes
femininos e 25 presentes masculinos.
d) Para as famílias que têm dois meninos e duas menina a Empresa comprou 74 presentes
masculinos e 74 presentes femininos.
e) A distribuição destas famílias quanto ao sexo e idade dos filhos define uma quantidade média
de filhos (homens) igual a 200 e um desvio padrão igual a 10 filhos
Problema 167
Um vendedor de seguros, vende apólices de seguros a quatro homens, todos com excelentes
condições físicas. De acordo com as tabelas, a probabilidade destes homens estarem vivos até o
ano 2.020 é a de 2/3. Marque as opções que julgar verdadeiras.
a) A probabilidade de todos os quatro homens estarem vivos será de 19,75%
b) A probabilidade de apenas três homens estarem vivos será de 39,7%
c) A probabilidade de apenas dois homens estarem vivos será de 24,7%
d) A probabilidade de apenas um homem estar vivo será de 9,75%
e) A probabilidade de todos os quatro homens estarem mortos será de 14,5%
Problema 168
Em um determinado Banco, 10% dos pedidos de financiamento para aquisição de casa própria
são indeferidos. A probabilidade de, em uma amostra de 10 pedidos de financiamento escolhidos
ao acaso, exatamente dois serem indeferidos será de
a) 19,37%
b) 37,90%
c) 45,80%
d) 56,40%
e) 65,78%
Problema 169
O time de futebol da Empresa KKI tem 0,4 de probabilidade de vitória sempre que joga. Este
time participará de um torneio onde jogará seis vezes. Leia as afirmativas abaixo e marque a
afirmativa que você julgar falsa
a) A probabilidade deste time vencer quatro partidas será de 13,82%
b) A probabilidade deste time vencer pelo menos uma partida será de 95,33%.
c) A probabilidade deste time vencer mais da metade das partidas será de 67,82%
d) A probabilidade deste time vencer cinco partidas será de 3,7%
e) A distribuição de probabilidades em função das vitórias deste time define uma assimetria
positiva
2.4. Distribuição de Poisson
Uma distribuição discreta de probabilidade definida pela função P(x) =
x e
x!
onde x = 0,
1, 2, 3, ... n e e = 2,7182 e  = np (média da distribuição) é denominada Distribuição de
Poisson.
2.4.1.Condições de aplicação:
a) Grande número de experiências, daí surgir a diferença fundamental da Binomial.
b) Dois eventos mutuamente exclusivos.
c) A probabilidade de ocorrência de um evento é geralmente pequena.
d) A probabilidade de ocorrência do evento é constante.
2.4.2. Propriedades da Distribuição de Poisson
a) Média de Poisson    = np onde  lê-se "lâmbida"
b) Média de Poisson é igual a média da binomial.
c) Variância de Poisson 2 =  e o Desvio Padrão  =

Observando as propriedades da Binomial e Poisson verificamos que há uma relação entre
ambas. Vejamos os valores de e- na tabela de , em anexo.
2.4.3. Problemas Diversos
Problema 176
Na Empresa KKI, 3% da produção é rejeitada pelo controle de qualidade. A produçào,
independente se perfeita ou defeituosa é embalada, ao acaso, em caixas com 100 peças,
a) Qual será a probabilidade de, em uma caixa com 100 peças, encontrar nenhuma peça
defeituosa?
Observe que é grande o número de experiências n = 100 e que temos dois eventos: peças
defeituosas e peças perfeitas com probabilidades constantes, logo podemos aplicar Poisson.
Para este caso, necessitamos calcular  = n p. Lâmbida é média de uma distribuição de
Poisson e no caso  = 100 . 3% = 3 e x = 0.
Agora, para resolver o problema, basta aplicar a fórmula de Poisson.
P(x = 0) =
3 0 e 3 10,04979

 0,04079  4,979% ou P (x = 0) = 5%
0!
1
b) Qual será a probabilidade de, em uma caixa com 100 peças, encontrar uma peça defeituosa?
No problema  = 100 . 3% = 3 e x = 1.
31(e) 3 3 (0,04979)
P(x = 1) =

 0,14937 Px  114,94%
1!
1
c) Qual será a probabilidade de, em uma caixa com 100 peças, encontrar duas peças
defeituosas? No problema, temos  = 100 . 3% = 3 e x = 2.
P(x = 2) =
3 2 e 3 90,04979 0,44811


 0,2240 P(x = 2) = 22,40%
2!
2
2
d) Qual será a probabilidade de, em uma caixa com 100 peças, encontrar três peças defeituosas?
No problema, temos  = 100 . 3% = 3 e x = 3.
P(x = 3) =
3 3.e 3 270,04979

 0,2240 ou P(x = 3) = 22,40%
3!
6
e) Quais serão os valores da média, da variância e do desvio padrão desta distribuição de
Poisson?
A média da distribuição é  = 3, a variância é = 3 e o desvio padrão é a raiz quadrada de
3 que será igual a 1,73.
Problema 177
O Departamento de Controle de Qualidade da Empresa KKI verificou que há em média 4 peças
defeituosas em cada 30 peças inspecionadas. Numa inspeção envolvendo 45 peças, marque as
opções que você julgar verdadeiras;
a) a probabilidade do Departamento de Controle de Qualidade encontrar até duas peças
defeituosas é superior a 6,0%
b) a probabilidade do Departamento de Controle de Qualidade encontrar até três peças
defeituosas é superior a 15%
c) a probabilidade do Departamento de Controle de Qualidade encontrar até quatro peças
defeituosas é superior a 28,0%
d) a probabilidade do Departamento de Controle de Qualidade encontrar até cinco peças
defeituosas é superior a 44,0%
e) a probabilidade do Departamento de Controle de Qualidade encontrar até seis peças
defeituosas é superior a 60,0%
Problema 178
O Departamento de Controle de Qualidade da Empresa KKI verificou que há em média 4 peças
defeituosas em cada 30 peças inspecionadas. Numa inspeção envolvendo 45 peças, marque as
opções que você julgar verdadeiras;
a) a probabilidade do Departamento de Controle de Qualidade encontrar nenhuma peça
defeituosa é superior a 0,50%
b) a probabilidade do Departamento de Controle de Qualidade encontrar uma peça defeituosa é
superior a 2,0%
c) a probabilidade do Departamento de Controle de Qualidade encontrar duas peças defeituosas
é superior a 5,0%
d) a probabilidade do Departamento de Controle de Qualidade encontrar três peças defeituosas é
superior a 8,0%
e) a probabilidade do Departamento de Controle de Qualidade encontrar quatro peças
defeituosas é superior a 13,0%
Problema 179
Uma fábrica de pneus, para veículos de passeio, verificou que ao testá-los nas estradas de terra
batida, havia em média dois estouros em cada 10.000 Km rodados.
a) Qual será a probabilidade de, em um teste de 4.000 Km, haver um estouro?
Sabemos que lâmbida é a média de Poisson, então  = 2 estouros em cada 10.000 Km.
Se lâmbida é igual a 2 em cada 10.000 Km, então lâmbida será igual a x em cada 4.000 Km.
Neste caso lâmbida será igual a  = 0,8. Aplicando a fórmula de Poisson
P(x = 1) =
0,81.e0,8 0,3595

 0,3595 ou P(x = 1) = 35,95%
1!
1
b) Qual será a probabilidade de, em um teste de 6.000 Km, haver 4 estouros?
Se lâmbida é igual a 2 em cada 10.000 Km, então lâmbida será igual a x em cada 6.000
Km. Neste caso lâmbida será igual a  = 1,2. Aplicando a fórmula de Poisson
P(x = 4) =
1,2 4.e 1,2 2,0736.0,3012

 0,026 ou P(x = 4) = 2,6%
4!
24
Problema 180
Entre as 14 e 16 horas, o número médio de chamadas telefônicas, por minuto, atendidas pela
central telefônica da Empresa KKI, é de 2,50 chamados. Marque a opção que você julgar falsa.
a) Durante um determinado minuto deste período, a chance de haver nenhuma ligação será de
8,20%.
b) A probabilidade de, durante um determinado minuto deste período, haver uma ligação será de
20,52%.
c) A probabilidade de, durante um determinado minuto deste período, haver duas ligações será
de 25,61%.
d) A probabilidade de, durante um determinado minuto deste período, haver quatro ou menos
ligações será de 89,1%.
e) A distribuição de probabilidades de Poisson, em função das chamadas telefônicas, no período
das 14 horas às 16 horas, define um grau de assimetria negativo.
Problema 181
Numa população de 5.000 habitantes há, em média, um suicídio por ano. Leia as afirmativas
abaixo e marque com a letra V aquela que você julgar verdadeira e F a falsa.,
a) A probabilidade de, em uma cidade com 8.000 habitantes, haver, em um ano nenhum suicídio
será de 20,19%.
b) A probabilidade de, em uma cidade com 8.000 habitantes, haver, em um ano um suicídio será
de 32,30%.
c) A probabilidade de, em uma cidade com 8.000 habitantes, haver, em um ano dois suicídios será
de 25,84%.
c) A probabilidade de, em uma cidade com 8.000 habitantes, haver, em um ano três suicídios
será de 13,78%.
e) A probabilidade de, em uma cidade com 8.000 habitantes, haver, em um ano quatro suicídios
será de 5,5%.
Problema 182
O Posto de Bombeiros da cidade KKI recebe, em média, cinco chamados por dia. A probabilidade
deste posto de bombeiros receber quatro chamados em um dia será de
a) 57,55%
b) 47,55%
c) 37,55%
d) 27,55%
e) 17,55%
Problema 183
A Empresa KKI, especialista em pinturas de parede, informa que aparecem defeitos na pintura,
em média, na proporção de 0,5 defeitos por m2
Marque com a letra V aquela afirmativa que você julgar verdadeira e F a falsa.
a) A probabilidade de encontrarmos três defeitos numa parede de 6 m2 será de 22,4%
b) A probabilidade de encontrarmos quatro defeitos numa parede de 4 m2 será de 9,0%
c) A probabilidade de encontrarmos três defeitos numa parede de 6 m2 será de 22,4%
d) A probabilidade de encontrarmos dois defeitos numa parede de 5 m2 será de 25,65%
e) O desvio padrão dos defeitos, em uma parede de 10 m2 será igual a 2,24 defeitos.
Problema 215
Dois times A e B jogaram 15 partidas de futebol das quais 7 foram vencidas por A, 5 por B e 3
terminaram empatadas. Eles combinaram a disputa de um torneio constante de 3 partidas.
Marque com a letra V a afirmativa que julgar verdadeira e F a falsa
a) A probabilidade do time A vencer as três partidas será de 343/375
b) A probabilidade do time B vencer as três partidas será de 1/27
c) A probabilidade de duas partidas terminarem empatadas será de 12/125
d) A probabilidade do time B vencer pelo menos uma partida será de 19/27
e) A probabilidade do time A vencer duas e empatar uma partida será de 49/375
Problema 294
Em uma pesquisa realizada pela Empresa K.K.I, verificou-se que 10,00% da produção é
considerada defeituosa. Numa análise de custo, a Cia. Resolveu embalar a sua produção em
caixas com cinco unidades, independentes ser perfeitas ou defeituosas.
O preço de uma unidade perfeita é de 10,00. Numa remessa de 10.000 peças, o preço de um
lote que só contém caixas com 4 peças perfeitas será, em média de
a) 32.805,00
b) 28.805,00
c) 35.805,00
d) 24.900,00
e) 28.900,00
3. NOÇÕES BÁSICAS DE CURVA NORMAL
Quando a variável X assumir um conjunto contínuo de valores, diz-se que a distribuição é
contínua. Se esta distribuição ou se este conjunto contínuo de valores for simétrico, então diz-se
que estamos definindo uma distribuição normal de probabilidades.
3.1. A distribuição Normal
A distribuição normal ou de Gauss é definida pela função
P(x) =
1
2
1 x u 2
 (
)
2

e
, onde
u = média,
 = desvio padrão,
e = 2,71828 e  = 3,1416 ...
3.2. Características da Distribuição Normal
O gráfico de uma distribuição normal tem a forma de um sino, sendo simétrico em relação
a média onde alcança o seu ponto máximo
A área total limitada por esta curva e o eixo das abcissas é igual a 1, pois a soma das
probabilidades de todos os eventos possíveis é igual a 1.
A área delimitada pela curva, pelo eixo das abscissas e pelas retas verticais x = a e x = b,
com a < b, representará a probabilidade da variável x cair entre a e b.
Neste caso, representamos tal área por P (a < x < b). Área marcada no gráfico abaixo.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
A média e o desvio padrão são pontos fundamentais de uma distribuição normal, pois há
uma distribuição distinta para cada conjunto de valores.
A função tende a zero quando x tende para ± infinito e o gráfico de uma distribuição normal
se assemelha muito ao perfil de um sino. É suave, unimodal e simétrico em relação à sua média.
Uma distribuição normal fica completamente especificada por dois parâmetros: sua média
e seu desvio padrão.
Em outras palavras, existe uma única distribuição normal para cada combinação de uma
média e um desvio padrão.
Diferentes combinações de média e desvio padrão originam curvas normais distintas.
Como médias e desvios padrões são medidos em escala contínua, segue-se que o número de
distribuições normais é ilimitado.
A área total sob qualquer curva normal representa 100% da probabilidade associada à
variável. Além disso, como a curva é simétrica em relação à sua média, a probabilidade de
observar um valor inferior à uma média é 50% como o é também a probabilidade de observar um
valor acima da média.
A probabilidade de predizer exatamente um certo valor é 0, pois a escala de mensuração é
contínua. Logo, a probabilidade de observar um valor exatamente igual à média é zero.
O
eixo dos x é uma assíntota da curva normal.
A probabilidade de uma variável aleatória distribuída normalmente tomar um valor entre
dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal compreendida entre aqueles dois pontos.
A curva normal tem forma de sino.
É simétrica em relação à média. Prolonga-se de menos infinito a mais infinito. A área total
sob a curva normal é considerada como 100%.
A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente
distribuída tomar um valor entre esses pontos.
Como há um número ilimitado de valores no intervalo de menos infinito a mais infinito, a
probabilidade de uma variável aleatória distribuída normalmente tomar exatamente determinado
valor é aproximadamente zero. Assim, as probabilidades se referem sempre a intervalos de
valores. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios
padrões entre a média e aquele ponto.
A curva atinge o seu ponto máximo no ponto xi = média e o seu contra-domínio se verifica
de zero a o,4 aproximadamente. A curva normal tem dois pontos de inflexão. O primeiro ponto se
verifica na média menos um desvio padrão e o segundo na média mais um desvio padrão.
3.3. Cálculo de Áreas
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Para que possamos calcular a área acima referenciada, devemos determinar a integral
definida da função normal, dentro daqueles limites. Se para cada caso fôssemos determinar a
área por este processo, partiríamos para caminhos complexos e cansativos quando na realidade
poderemos usar a Tabela de variável reduzida Z que nos fornece a área de um ponto qualquer à
média, origem do sistema.
Nesta tabela, os dois primeiros algarismos de Z serão observados na primeira coluna e o
terceiro algarismo será observado na primeira linha. No ponto de interseção linha com coluna,
teremos a área desejada.
3.4. A variável Reduzida Z
Esta variável é definida através da distância de um ponto qualquer à média, em unidades
de desvio padrão. A variável Z tem por objetivo transformar a variável estudada (salários, vendas,
pesos, altura, gastos, etc) em uma variável tabelada.
Então, no estudo de uma variável x, o nosso objetivo é o de transformar esta variável x em
função da variável reduzida Z.
xi  

A variável reduzida Z é definida por: Z =
Onde xi,  e  representam um valor qualquer de um conjunto, a média deste conjunto e o
respectivo desvio padrão. Neste caso, a variável Z define uma distribuição normal com média zero
e variância 1.
As áreas são fornecidas pela tabela Z da curva normal. As tabelas poderão ser bicaudais
ou unicaudais. A tabela bicaudal fornece a área sob a curva normal padrão entre Z = 0 e qualquer
valor de Z e a unicaudal fornece a área sob a curva de menos infinito a um valor qualquer de Z .
A simetria em torno de Z = 0 nos permite obter a área entre qualquer valor de Z.. As
tabelas apresentam o valor de Z com três algarismos, sendo que os dois primeiros são
apresentados na primeira coluna e o último, na primeira linha. A interseção de uma linha com uma
coluna nos fornece a área deste ponto até a origem. ( Z = 0).
3.5. Ilustrações sobre o cálculo de áreas
Problema 231
Determinar o valor da área entre Z = 0 e Z = 1.
Observe que a área desejada será:
-4
-4
-3
-3
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
Na tabela bicaudal, o valor de Z = 1,00 nos fornece a área de Z = 0 a Z = 1.Então,
observando o valor de Z = 1 na tabela, teremos uma área de 0,3413.
Logo a área acima descrita, definida entre Z = 0 e Z = 1, será igual a 34,13%.
Se o valor de Z for negativo, logo o valor da variável x será menor que o valor médio do
conjunto e se positivo será maior do que a média do conjunto.
Para Z = 1 ou para Z = -1, isto é, para valores simétricos de Z, as áreas serão iguais.
Problema 232
Determinar o valor da área entre Z = 0 e Z = -2.
Observe que a área desejada será:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Verificando-se na tabela bicaudal o valor da área para Z = 2, não importa o sinal,
encontramos o valor de 0,4772, logo a área entre Z = 0 a Z = -2 será igual a 47,72%.
Na tabela bicaudal, a área de Z = 0 a Z = 2 ou de Z = 0 a Z = -2 será sempre igual a 47,72%
Problema 233
Determinar o valor da área entre Z = 0 e Z = 1,57.
Observe que a área desejada será:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Na tabela, localiza-se o valor de Z = 1,5 na primeira coluna e 0,07 na primeira linha. No
ponto de interseção entre a coluna x linha, tem-se o valor da área de 0,4418.
Problema 234
Determinar o valor da área entre Z = -1 a Z = 2.
Observe que a área desejada será:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Neste caso, calculamos o valor da área de Z = -1 a Z = 0, porque a tabela nos fornece a
área de um ponto qualquer a origem (Z = 0) e em seguida calculamos o valor da área de Z = 0 a
Z = 2. A soma destas áreas nos fornece a área desejada.
Na tabela, de Z = -1 a Z = 0, temos uma área de A1 = 0,3417 e de Z = 0 a Z = 2, a área
fornecida será de A2 = 0,4772. Somando-as, temos a área desejada: 81,85%.
Problema 235
Determinar o valor da área para Z > 1.
Observe que para Z > 1, a área desejada será a área da direita:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Neste caso, estamos interessados em determinar a área acima do Z = 1. Quando Z for
igual a 1, a área da origem Z = 0 a Z = 1 é igual a 34,13 %. Sabemos que numa distribuição
normal 50% dos casos se situam acima ou abaixo da média/mediana/moda, logo no ponto Z = 0,
teremos 50% da área à sua direita ou à sua esquerda. Logo a área da direita de Z = 1 será igual a
50,0% - 34,13% = 15,87%
Problema 236
Determinar o valor da área para Z < 2.
Observe que a área desejada será a área da esquerda:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Sabemos que de Z = 0 a Z = 2, temos uma área de 0,4772 e a área de Z < 0 é de 50%,
logo a área desejada é de 0,5 + 0,4772 = 0,9772.
Problema 237
Determinar o valor da área para Z > - 2.. A área desejada será a área à direita de Z > -2:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Na tabela, a área entre Z = -2 e Z = 0 é igual a 0,4772. A área à direita de Z = -2 será igual
a 0,4772 + 0,5 = 0,9772.
Problema 238
A área limitada pela curva normal entre Z = 1,00 e Z = 1,25 será de
a) 5,31%
b) 12,44%
c) 15,67%
d) 23,45%
e) 33,33%
Problema 239
A área limitada pela curva normal entre Z = 1,00 e Z = 1,74 será de
a) 15,31%
b) 11,78%
c) 15,67%
d) 23,45%
e) 33,33%
Problema 240
A área limitada pela curva normal entre Z = 0,67 e Z = 0,90 será de
a) 15,31%
b) 11,78%
c) 15,67%
d) 6,73%
e) 33,33%
Problema 241
A área limitada pela curva normal entre Z = 1,46 e Z = 2,21 será de
a) 10,31%
b) 11,78%
c) 15,67%
d) 21,45%
e) 5,85%
Problema 242
A área limitada pela curva normal entre Z = 1,59 e Z = 1,89 será de
a) 5,31% b) 2,65%
c) 15,67%
d) 23,45%
e) 33,33%
Problema 243
A área entre a variável reduzida Z = 0 e Z1 = ? é igual a 37,90%. Então o valor de Z1 será
a) 1,17
b) 1,34
c)1,45
d) 1,56
e) 1,78
Problema 244
Numa fábrica, a média de produção diária é de 1.220 peças, com um desvio padrão de 30 peças.
Esta produção define uma distribuição normal. A probabilidade de, em um dia qualquer, a
produção estar acima de 1.250 peças será
a) 15,87% b) 34,13%
c) 65,87%
d) 94,13%
e) 68,26%
Problema 245
Numa fábrica, a média de produção diária é de 1.220 peças, com um desvio padrão de 30 peças.
Esta produção define uma distribuição normal. A probabilidade de, em um dia qualquer, a
produção estar abaixo de 1.240 peças será
a) 15,87% b) 34,13%
c) 65,87%
d) 94,13%
d)74,86%
Problema 246
Numa fábrica, a média de produção diária é de 1.220 peças, com desvio padrão de 30 peças.
Esta produção define uma distribuição normal. A probabilidade de, em um dia qualquer, a
produção estar entre 1.210 e 1.270 peças será de
a) 18,18% b) 55,18%
c) 34,13%
d) 45,87%
e) 94,13%
Problema 247
Numa fábrica, a produção diária define uma distribuição normal com média de 1.220 peças e
desvio padrão de 30 peças. A probabilidade de, em um dia qualquer, a produção estar abaixo de
1.150 peças será, aproximadamente de
a) 8,18%
b) 5,87%
c) 4,13%
d) 5,87%
e) 1,00%
Problema 248
O peso médio de 400 estudantes do sexo masculino, da Escola X é de 75 Kg e o desvio padrão
de 6 Kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos normalmente, a probabilidade e quantos
estudantes pesam, em média, de 60 Kg a 78 Kg. será de
a) 70,53% e 270 estudantes
b) 34,56% e 138 estudantes
c) 60,00% e 240 estudantes
d) 68,53% e 274 estudantes
e) 40,00% e 160 estudantes
Problema 249
O peso médio normal de 400 “chapas de caminhão” é de 75 Kg e o desvio padrão de 6 Kg. A
probabilidade e quantos chapas de caminhão pesam, em média, acima de 90 Kg é
a) 8,00% e 32 estudantes
b) 4,00% e 16 estudantes
c) 6,00% e 24 estudantes
d) 7,00% e 28 estudantes
e) 0,60% e 2 estudantes
Problema 250
Em uma distribuição normal, a média é 400 e o desvio padrão desta distribuição é 25. O valor de
x0 , tal que P (x > x0) = 0,8413 é igual a
a) 425,00
b) 375,00
c) 350,00
d) 450,00
e) 425,00
Problema 251
Em uma distribuição normal, a média é 400 e o desvio padrão desta distribuição é 25. O valor de
x0 , tal que P (x > x0) = 0,1587 é igual a
a) 425,00
b) 375,00
c) 350,00
d) 450,00
e) 425,00
Problema 252
Em uma distribuição normal, a média é 400 e o desvio padrão desta distribuição é 25. O valor de
x0 , tal que P (x < x0) = 0,9772 é igual a
a) 425,00
b) 375,00
c) 350,00
d) 450,00
e) 425,00
Problema 253
Com relação ao problema anterior e considerando x1 e x2 são simétricos em torno da média, então
se P (x1 < x < x2) = 95,72%, logo os valores de x1 e x2 serão de
a) 375,00 e 425,00
b) 350,00 e 450,00
c) 325,00 e 475,00
d) 390,00 e 410,00
e) 360,00 e 440,00
Problema 254
Com relação ao problema anterior e considerando x1 e x2 são simétricos em torno da média, então
se P (x1 < x < x2) = 68,26%, logo os valores de x1 e x2 serão de
a) 385,00 e 415,00
b) 350,00 e 450,00
c) 375,00 e 425,00
d) 390,00 e 410,00
e) 360,00 e 440,00
Problema 255
Lançaremos 200 moedas para cima ou lançaremos uma moeda 200 vezes. A probabilidade de
encontrar, nestes 200 lances, de 85 a 115 caras será de :
a) 80,97% b) 86,82%
c) 90,80%
d) 94,80%
e) 97,08%
Problema 256
Lançaremos 200 moedas para cima ou lançaremos uma moeda 200 vezes. A probabilidade de
encontrar, nestes 200 lances, abaixo de 90 caras será, aproximadamente de
a) 30,97% b) 26,82%
c) 20,87%
d) 14,86%
e) 6,94%
Problema 257
Lançaremos 200 moedas para cima ou lançaremos uma moeda 200 vezes. A probabilidade de
encontrar, nestes 200 lances, menos de 85 ou mais de 115 caras é de
a) 2,92%%
b) 16,82%
c) 20,80%
d) 24,80%
e) 97,08%
Problema 258
A durabilidade das lâmpadas fabricadas pela Empresa X define uma distribuição normal com uma
média de 850 dias e um desvio padrão de 50 dias. A probabilidade de uma destas lâmpadas
durarem de 700 a 1.000 dias será de
a) 70,90% b) 76,34%
c) 85,90%
d) 90,90%
e) 99,72%
Problema 259
A durabilidade das lâmpadas fabricadas pela Empresa X define uma distribuição normal com uma
média de 850 dias e um desvio padrão de 50 dias. A probabilidade de uma destas lâmpadas
durarem acima de 800 dias será de
a) 70,90%
b) 76,34%
c) 84,13%
d) 90,90%
e) 99,72%
Problema 262
A durabilidade de uma válvula fabricada pela Empresa KKI define uma distribuição normal com
uma média de 2.000 dias e um desvio padrão de 200 dias. A probabilidade uma dessas válvulas
durar de 1800 dias a 2.200 dias será de
a) 90,50%
b) 68,26%
c) 56,90%
d) 34,13%
e) 24,90%
Problema 263
A durabilidade de uma válvula fabricada pela Empresa KKI define uma distribuição normal com
uma média de 2.000 dias e um desvio padrão de 200 dias. A probabilidade uma dessas válvulas
durar abaixo de 1.600 dias será de
a) 30,50% b) 18,26%
c) 2,28%
d) 14,13%
e) 8,90%
Problema 264
Com base no problema anterior, a durabilidade mínima para escolhermos 10% das válvulas de
maior durabilidade será de
a) 1.644 dias
b) 1.744 dias
c) 1.844 dias
d) 1.944 dias
e) 1.544 dias
Problema 265
As vendas da Empresa K, por filiais, definem uma distribuição normal com um faturamento médio
mensal de 800 mil reais e um desvio padrão de 60 mil de reais. A probabilidade de uma filial
alcançar um faturamento mensal de 830 mil reais a 990 mil reais será de
a) 10,90% b) 21,80%
c) 30,77%
d) 40,80%
e)44,44%
Problema 266
O peso médio de 400 estudantes é de 75 kg, com um desvio padrão de 6 kg. O peso destes
estudantes define uma distribuição normal. O número de estudantes com peso variando de 60 a
78 kg será aproximadamente de
a) 144 estudantes
b) 174 estudantes
c) 204 estudantes
d) 254 estudantes
e) 274 estudantes
Problema 267
O peso médio de 400 estudantes é de 75 kg, com um desvio padrão de 6 kg. O peso destes
estudantes define uma distribuição normal. O número de estudantes com peso superior a 81 kg.
será aproximadamente de
a) 44 estudantes
b) 74 estudantes
c) 63 estudantes
d) 54 estudantes
e) 27 estudantes
Problema 268
As vendas da Empresa K definem uma distribuição. normal com um faturamento médio diário de
600 mil reais e um desvio padrão de 50 mil reais. A probabilidade de, em um dia qualquer a
Empresa faturar acima de 750 mil reais será de
a) 34,13%
b) 24,13%
c) 14,13%
d) 7,13%
e) 0,13%
Problema 269
As vendas da Empresa K definem uma distribuição. normal com um faturamento médio diário de
600 mil reais e um desvio padrão de 50 mil reais. A probabilidade de, em um dia qualquer a
Empresa faturar de 590 mil reais a 690 mil reais será de
a) 34,13%
b) 24,13%
c) 14,13%
d) 54,34%
e) 0,13%
Problema 270
Na Empresa K, 21,47% dos funcionários têm salários abaixo de 700,00 e 11,37% têm salários
acima de 1.000,00. O salário médio e o desvio padrão salarial desta distribuição normal são
aproximadamente de
a) 728,50 e 120,00
b) 818,50 e 150,00
c) 788,50 e 150,00
d) 838,50 e 160,00
e) 748,50 e 125,00
Problema 271
Na Empresa K, os salários definem uma distribuição normal com uma média e um desvio padrão
salarial de 900,00 e 60,00 respectivamente. O menor salário onde acima dele encontraríamos
10% dos salários da empresa será, aproximadamente de
a) 945,80
b) 957,90
c) 976,80
d) 985,50
e) 990,90
Problema 272
Na Empresa K 20% dos funcionários têm um salário abaixo de 600,00 e 30% têm um salário
acima de 900,00. O salário médio de um funcionário da Empresa e o desvio padrão dos salários
desta distribuição normal são aproximadamente de
a) 785,30 e 220,60
b) 775,30 e 230,60
c) 795,30 e 240,00
d) 805,30 e 250,00
e) 815,30 e 250,00
Problema 273
Os televisores K.K.I invadiram Belo Horizonte, uma vez que seus fabricantes estão oferecendo
vantagens e garantias sensacionais.
Segundo a empresa, a durabilidade média de seus produtos é de 120 meses e o desvio
padrão é de 30 meses, além de definir uma distribuição normal.
No planejamento global da empresa, há uma previsão de trocar até 5,00% da produção
faturada. Dentro desta visão gerencial, o tempo de garantia dos televisores é de
a) 98 meses
b) 71 meses
c) 60 meses
d) 50 meses
e) 44 meses
Problema 274
No problema anterior, o menor tempo de durabilidade de um aparelho para que passamos
selecionar 12,30% da melhor produção será de
a) 137 meses b) 147 meses
c) 155 meses
d) 160 meses
e) 170 meses
Problema 275
Na Empresa k há 1750 funcionários. O salário médio de um funcionário da empresa é de 1.400,00
com um desvio padrão de 250,00. Nesta distribuição salarial normal, o número de funcionários
com salários abaixo de 1.250,00 será
a) 480
b) 390
c) 270
d) 180
e) 150
Problema 276
Na Empresa k há 1750 funcionários. O salário médio de um funcionário da empresa é de 1.400,00
e um desvio padrão de 250,00. Nesta distribuição normal, o número de funcionários com salários
acima de 1.500,00 será de
a) 480
b) 530
c) 573
d) 603
e)623
Problema 277
Na Empresa k há 1750 funcionários. O salário médio de um funcionário da empresa é de 1.400,00
e um desvio padrão de 250,00. Nesta distribuição normal, o número de funcionários com salários
de 1.250,00 à 1.550,00 será de
a) 480
b) 540
c) 590
d) 670
e) 790
Problema 278
Na Empresa k há 1750 funcionários. O salário médio de um funcionário da empresa é de 1.400,00
e um desvio padrão de 250,00. Nesta distribuição normal, o salário onde acima dele pudesse
encontrar, em média, 75 funcionários será de
a) 1.560,00
b) 1.670,00 c) 1.830,00
d) 1.900,00
e) 1.930,00
Problema 279
As vendas da Empresa KKI, por filiais, definem uma distribuição normal com um faturamento
médio mensal de 650 mil reais e desvio padrão de 60 mil reais. A probabilidade de uma filial ter
um faturamento mensal acima de 600 mil reais será de
a) 17,79% b) 26,79%
c) 37,79%
d) 45,90%
e) 79,67%
Problema 280
Na Empresa DFG, 30% dos funcionários têm salários abaixo de 600.00 e 10% têm salários acima
de 1000,00. O salário médio e o desvio padrão dos salários desta distribuição normal serão de
a) 717,00 e 221,00
b) 770,00 e 261,00
c) 817,00 e 221,00
d) 971,00 e 321,00
e) 680,00 e 241,00
Problema 281
As vendas da Empresa KKI, por filiais, definem uma distribuição normal com um faturamento
médio mensal de 650 mil reais e desvio padrão de 60 mil reais. A probabilidade de uma filial ter
um faturamento mensal 630 a 690 mil reais será
a) 17,79%
b) 26,79%
c) 37,79%
d) 45,90%
e) 49,80%
Problema 282
Na Empresa K.K.I, há 2.000 funcionários dentre os quais 400 recebem salários abaixo de 800,00
e 700 recebem acima de 1.400,00. Os salários definem uma distribuição normal.
O salário médio de um funcionário, o desvio padrão dos salários e o gasto médio salarial para
quitar a folha de pagamento são respectivamente de
Salário Médio
Desvio Padrão
Gasto Médio
a) 1.209,80
487,80
2.419.600,00
b) 1.309,80
477,80
2.619.600,00
c) 1.400,00
350,80
2.800.000,00
d) 1.150,00
260,00
2.300.000,00
e) 1.450,00
350,00
2.900.000,00
Problema 283
A durabilidade das válvulas produzidas pela Empresa KKI tem distribuição normal com uma média
de 850 dias e desvio padrão de 40 dias. A probabilidade de uma dessas válvulas ter uma
durabilidade de 700 dias à 900 dias será de
a) 56,80%
b) 67,90%
c) 78,90%
d) 89,43%
e) 96,90%
Problema 284
A durabilidade das válvulas produzidas pela Empresa KKI tem distribuição normal com uma média
de 850 dias e desvio padrão de 40 dias. A probabilidade de uma dessas válvulas ter uma
durabilidade acima de 800 dias será de
a) 56,80% b) 67,90%
c) 78,90%
d) 89,44%
e) 96,90%
Problema 285
Voltando ao problema anterior. A duração mínima de uma válvula fabricada pela Empresa para
escolher 10% das válvulas de maior durabilidade será de
a) 901dias b) 890 dias c) 790 dias
d) 745 dias e) 990 dias
Problema 286
Os salários da Empresa K definem uma distribuição normal com uma média de 1.800,00 e um
desvio padrão de 150,00. A probabilidade de encontrarmos funcionários com salários de 1.700,00
a 1.900,00 será de
a) 35,80%
b) 45,90%
c) 49,72%
d) 56,80%
e)78,90%
Problema 287
Na Empresa KKI, há 2.400 funcionários dentre os quais 480 recebem salários abaixo de 900,00 e
960 recebem acima de 1.400,00. Os salários definem uma distribuição normal.
Marque a opção correta que defina o salário médio de um funcionário da Empresa, o
desvio padrão dos salários e o gasto médio salarial para quitar a folha de pagamento.
Salário médio
a) 1.285,30
b) 1.356,90
c) 1.456,80
d) 1.556,90
e) 1.285,30
Desvio padrão
a) 458,70
c) 478,90
c) 390,90
d) 412,90
e) 458,70
Gasto médio total
a) 3.084.771,00
b) 3.489.345.00
c) 3.346.879,00
d) 3.124.678,00
e) 3.124.678,00
Problema 288
Na Empresa KKI o faturamento médio, em junho, de uma filial, foi de 1.700 mil reais. A Empresa
informa que a probabilidade das filiais venderam de 1.500 a 1.900 mil reais é de 93%, então o
desvio padrão das vendas foi de
a) 110,50
b) 125,90
c) 135,70
d) 145,80
e) 157,90
Problema 289
Na Cia. KKI há 1.200 funcionários dos quais 60% têm salários acima de 1.300,00 e 20% têm
salários abaixo de 950,00. O número de funcionários da Empresa, com salários de 1.670,00 a
1.890,00, uma vez que a distribuição salarial descreve uma curva normal, é de
a) 171funcionários
b) 181funcionários
c) 191funcionários
d) 141funcionários
e) 161 funcionários
Problema 290
As vendas do produto KKI têm apresentado distribuição normal com média de 600 unidades/mês
e desvio padrão 40 unidades/mês.
Se a empresa decide fabricar 700 unidades naquele mesmo mês, a probabilidade desta Empresa
não poder atender a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção completa será de
a) 0,62%
b) 12,62%
c) 23,62%
d) 35,895
e) 49,38%
Problema 291
Por experiência passada, sabe-se que para efetuar uma viagem de ônibus da cidade A para a
cidade B, ou vice-versa, leva-se em média 2,3 horas e o desvio padrão é de 0,6 horas.
Se durante o percurso furar um pneu, o tempo de troca tem duração média de 0,4 horas e
desvio padrão de 0,1 hora. Certo dia furou um pneu do ônibus nesse trajeto.
A probabilidade da viagem ter levado mais de 2,8 horas foi de
a) 6,36%
b) 16,64%
c) 43,64%
d) 34,90%
e) 23,64%
Problema 292
Os salários da Empresa KKI definem uma distribuição normal. Nesta Empresa, 21,47% dos
funcionários têm salários abaixo de 700,00 e 11,37% têm salários acima de 1.000,00. O salário
médio de um funcionário da Empresa e o desvio padrão da distribuição salarial são,
respectivamente de
a) 718,50 e 110,00
b) 748,50 e 120,00
c) 768,50 e 130,00
d) 798,50 e 140,00
e) 815,50 e 150,00
Problema 293
Na Empresa KKI 20% dos funcionários têm um salário abaixo de 600,00 e 30% têm um salário
acima de 900,00. O salário médio de um funcionário da Empresa bem como o desvio padrão
desta distribuição salarial normal da Empresa são respectivamente de
a) 685,30 e 160,60
b) 705,30 e 180,60
c) 735,30 e 200,60
d) 750,30 e 210,60
e) 785,30 e 220,60
Problema 295
Os televisores K.K.I, invadiram Belo Horizonte, uma vez que seus fabricantes estão oferecendo
vantagens e garantias sensacionais. Segundo a empresa, a durabilidade média de seus produtos
é de 120 meses e o desvio padrão é de 35 meses, além de definir uma distribuição normal.
No planejamento global da empresa, há uma previsão de trocar até 1,00% da produção
faturada. Dentro desta visão gerencial, o tempo de garantia dos televisores previsto nos contratos
será de
a) 10 meses b) 15 meses c) 24 meses d) 38 meses e) 42 meses
Problema 296
Na Empresa KKI, há 2.000 funcionários dentre os quais 400 recebem salários abaixo de 800,00 e
800 recebem acima de 1.400,00. Os salários definem uma distribuição normal.
O salário médio de um funcionário da Empresa., o desvio padrão e o gasto médio salarial
para quitar a folha de pagamento serão de
Salário médio
Desvio padrão
Gasto médio total
a) 1.285,30
a) 458,70
a) 3.084.771,00
b) 1.356,90
c) 478,90
b) 3.489.345.00
c) 1.456,80
c) 390,90
c) 3.346.879,00
d) 1.556,90
d) 412,90
d) 3.124.678,00
e) 1.209,80
e) 487,80
e) 2.419.600,00
Problema 297
Na Empresa KKI, o faturamento médio por filiais, em junho, foi de 700 mil reais. A Empresa
informa que a probabilidade das filiais venderam de 600 a 800 mil reais é de 90%, então o desvio
padrão das vendas foi de
a) 60,8 mil reais
b) 80,8 mil reais
c) 44,9 mil reais
d) 38,9 mil reais
e) 70,8 mil reais
Problema 308
Um fabricante de baterias para automóvel afirma que a média de vida útil de sua bateria é de 60
meses com um desvio padrão de 10 meses. A garantia dada à sua bateria é de apenas 36 meses
e que a distribuição é aproximadamente normal. A probabilidade de suas baterias durarem acima
de 50 meses é de
a) 68%
b) 76%
c) 84%
d) 92%
e) 94%