Exercícios Operações com frações Equações de 1º Grau

Exercícios
Operações com frações
1. Determine o valor das seguintes expressões, simplificando sempre que possível:
6 4 8
  
15 15 15
1 2 1
b) 2   
6 3 2
1
2 3

c)     
2 3 4
3
 5 7
d)   3      
4

 2 4
7 1
3
e)   8  
4 3 14
5 2   1

f)    1     1  
4
3
11

 

1 3 10 4 28
g) 3     
4 5 9 7 3
2 8
h) :

5 15
a)
2
2
 8 9 
i)   6  :    
7
  6 12 
2
3
3
2
2 1
j)      
3 3
 5  5
k)   :   
3 9
3
3 1
l)    
5 2
2
 1 2  1
m) 1      1   
 2 9  2
1  1  2
1
n)
  2   


4  2  9 4 
Equações de 1º Grau
2) Resolva as equações a seguir:
a)18x - 47 = 65
b) 23x - 14 = 16 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2
Coordenadas Cartesianas
O Plano Cartesiano É formado por duas retas perpendiculares, onde o ponto em que elas se
cortam é o (0,0) e recebe o nome de origem das coordenadas.
O eixo (ou reta) horizontal tem o sinal positivo à direita da origem das coordenadas e negativo
à sua esquerda. Ele recebe o nome de eixo das abscissas.
Porém, costumamos chamá-lo de eixo x. A reta (eixo) vertical tem o sinal positivo acima da
origem das coordenadas e negativo abaixo. Ele recebe o nome de eixo das ordenadas, ou
também eixo y. Quando traçamos os eixos cartesianos, o plano fica dividido em quatro regiões
chamadas quadrantes, como na figura abaixo. Para qualquer ponto P, de coordenadas (x , y),
dizemos que: → P é do 1º quadrante se, e somente se, x > 0 e y > 0;
→ P é do 2º quadrante se, e somente se, x < 0 e y > 0;
→ P é do 3º quadrante se, e somente se, x < 0 e y < 0;
→ P é do 4º quadrante se, e somente se, x > 0 e y < 0.
Representação Gráfica dos Pares Ordenados
Veja o ponto A = (3,4) localizado no plano. O primeiro componente, 3, é representado sobre o
eixo das abscissas (eixo x) e, o segundo componente, 4, sobre o eixo das ordenadas (eixo y).
Exercício –
3) Marque os pontos no Plano Cartesiano:
A (−3,5) B (7,−9) C (−6,8) D (9,1) E (1,9) F (4,0) G (−10,0) H (0,7) I (0,−9) J (5,−8) L (2,−10) M (−10,3)
Produtos Notáveis
Quadrado da Soma de Dois Termos
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas
vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo:
Quadrado da Diferença de Dois Termos
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo
termo:
Produto da Soma pela Diferença de Dois
Termos
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo
menos o quadrado do segundo termo:
Cubo da Soma de Dois Termos
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o
produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, mais três
vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, mais
o cubo do segundo termo:
Cubo da Diferença de Dois Termos
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes
o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, mais três
vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo,
menos o cubo do segundo termo:
I - Efetue os quadrados
II - Efetue os produtos de um binômio por seu conjugado
III - Efetue os produtos de Stevin
IV - Efetue os cubos
V - Efetue os quadrados
VI - Efetue
47) Quanto devemos adicionar ao quadrado de x + 2 para encontrarmos o cubo de x - 3?
48) Determine a quarta parte da diferença entre os quadrados de( x 2 + 2x – 1) e (x2 - 2x + 1)
49) Determine a diferença entre o cubo e o quadrado do polinômio 2x 2 - 3
50) Se A = 5x2 - 2, determine o valor de A2 - 3A + 1
Respostas
Fatoração
A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um
produto de diversos fatores.
A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas.
Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma
equação, por exemplo.
Fator Comum em Evidência: ax + bx = x(a + b)
A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência.
Fatoração por Agrupamento:
ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)
No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os
termos, no entanto temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores
que são comuns a outros termos.
Diferença de Dois Quadrados: a2 - b2 = (a + b)(a - b)
Este e os próximos tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos
notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos
nos leva à diferença de dois quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este
conhecimento na fatoração da diferença de dois quadrados.
Vejamos este exemplo na sequência:
Visto que a2 - b2 = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a seguir:
Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são respectivamente a
raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em
(a + b)(a - b).
Logo:
Exemplos
Trinômio Quadrado Perfeito - Soma:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio
quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros
em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de
um trinômio quadrado perfeito.
Como fatorar o trinômio abaixo?
Se o pudermos escrever como a2 + 2ab + b2 estaremos diante de um trinômio
quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)2.
Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x2 no primeiro termo e o valor
de b extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.
Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinômio a2 + 2ab + b2 devemos
chegar a uma variação do trinômio original:
Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar a2 + 2ab + b2 termo a termo
para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.
Quando substituímos a por x em a2 chegamos ao x2 original.
Ao
substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 . x . 7,
equivalente
ao 14x original.
E finalmente substituindo b por 7 em b2 chegamos a 72, equivalente ao 49 do terceiro
termo do polinômio original.
Como foi possível escrever x2 + 14x + 49 na forma a2 + 2ab + b2, então estamos
mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:
Portanto:
Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não
poderíamos realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão
de x2 + 14x + 49 em a2 + 2ab + b2 levaria a um polinômio diferente do original. Por
exemplo, se o trinômio fosse x2 + 15x + 49, o segundo termo 15x iria diferir do
segundo termo obtido via substituição de a e b que é 14x, portanto não teríamos
um trinômio quadrado perfeito.
Note que realizamos uma verificação termo a termo para verificar se realmente
tínhamos um trinômio quadrado perfeito, mas você não precisará fazer tal
verificação quando no enunciado da questão estiver explícito que os polinômios
realmente são trinômios quadrados perfeitos.
Exemplos
Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença:
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso
da diferença.
Vejamos este outro trinômio:
Como 2x é a raiz quadrada de 4x2, do primeiro termo, e 5 é a raiz quadrada de 25 do
terceiro
termo,
podemos
reescrevê-lo
como
a
seguir,
substituindo a por 2x e b por 5 temos:
Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais,
temos um trinômio quadrado perfeito:
Portanto, temos realmente um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito na
formaa2 - 2ab + b2 = (a - b)2:
Logo:
Exemplos
Exercícios sobre Fatoração
1) Fatore as expressões algébricas:
a) ax + ay + az
2
b) 4m + 6am
2
= a(x + y + z)
=2m(2m 3a)
2
c) 3xy - 21x y = 3xy(y - 7x)
d) 4b4 – 36b + 24b2 = 4b.(b3 - 9+ 6b)
e) 35a2m3 – 14a4m4 + 28a3m2= 7a2m2 (7m - 2a2m2 + 4a)
f) – x9 – x6 – x8 = - x6 (x3 – 1 – x2)
2) Fatorar por agrupamento:
a) ax + bx + am + bm = x(a + b) + m(a + b) = (a + b).(x + m)
b) 2x + 4y + mx + 2my = (x + 2y).(2 + m)
c) a 3 + 10a2 + 2a + 20 = (a + 10).(a2 + 2)
d) a2b - 9a2 + b - 9 = (b - 9).(a2 + 1)
e) 2bc + 5c2 - 10b – 25c = (2b + 5c).(c - 5)
3) Expressões algébricas fatoradas (diferença de dois quadrados)
a) 9x2 - 16 = (3x - 4).(3x + 4)
b) 25 - 4a2m6 = (5 - 2am3). (5 + 2m3)
c) 0, 81b4 - 36 = (0,9b2 - 6).(0,9b2 + 6)
d) 49a2 - 100 = (7a + 10) (7a - 10)
e) m2 - k8 = (m - k4) .(m + k4)
4) Fatoração de trinômios quadrados perfeitos
a) x2 - 4x + 4 = (x - 2)2 = (x - 2).(x - 2)
d) m2 + 8m + 16 = (m + 4)2
b) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 = (x - ).(x - 3)
e) p2 - 2p + 1 = (p - 1)2
c) x2 - 10x + 25 = (x - 5)2 = (x - 5).(x - 5)
f) k4 + 14k2 + 49 = (k2 + 7)2