Os potenciais vetorial e escalar no sistema MKS

Os potenciais vetorial e escalar no sistema MKS
Atalho para o entendimento
Reginaldo
nerdyard.com
16 de outubro de 2016
As equações de Maxwell no vácuo no MKS
∇·E =
ρ
,
ε0
∇ · B = 0,
∇×E = −
∂B
∂t
e
∇ × B = µ 0 J + µ 0 ε0
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∂E
∂t
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Caso geral: tudo depende do tempo
Todas as grandezas são dependentes, em princípio, do espaço e do tempo,
isto é,
E = E (r, t) ,
B = B (r, t) ,
ρ = ρ (r, t)
e
J = J (r, t) .
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Potencial vetorial
Do fato de que na teoria eletromagnética tradicional não existem
monopolos magnéticos, temos
∇·B = 0
e daí segue que existe um campo vetorial A =A (r, t) tal que
B = ∇ × A.
O campo A (r, t) é chamado de potencial vetorial. Há também quem o
chame de potencial vetor ou vetor potencial. No entanto, a expressão
utilizada nos livros em inglês é “vector potential” e eu a traduzo para o
português como potencial vetorial. Nessas nossas discussões, portanto,
estarei sempre chamando de potencial vetorial o campo A.
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Consequência para o campo elétrico
Podemos substituir B = ∇ × A na lei da indução de Faraday. Assim, a
equação
∇×E = −
∂B
∂t
fica
∂
(∇ × A)
∂t ∂A
= −∇ ×
,
∂t
∇×E = −
ou seja,
∂A
= 0.
∇× E+
∂t
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O potencial escalar
Como o rotacional do campo E + ∂A/∂t é nulo em todo lugar, segue que
existe um campo escalar φ = φ (r, t) tal que
E+
∂A
∂t
= −∇φ,
isto é,
E = −∇φ −
∂A
.
∂t
O campo φ (r, t) é chamado de potencial escalar e o sinal de menos que
aparece é introduzido para recuperarmos o caso eletrostático quando A não
depender do tempo.
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Só precisamos de quatro e não de seis funções!
Em suma, se conhecermos os potenciais vetorial e escalar, poderemos
calcular os campos E e B seguindo a prescrição expressa pelas equações:
E = −∇φ −
∂A
∂t
e
B = ∇ × A.
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