Momento Linear e Conservação do Momento Linear – Prof. Leandro

Momento Linear e Conservação do Momento Linear
– Prof. Leandro Neckel
MOMENTO LINEAR
Considerando um sistema formado somente por uma
partícula ou um sistema grande podendo ser
representado por somente um ponto material, podese definir de maneira simplificada o momento linear
para o sistema.
variação do momento linear ainda pode ser expressa
por Δ e definido como
−
(3)
Δ =
onde
e são os momentos lineares final e inicial
e
respectivamente para as velocidades
respectivamente. Isso chega na seguinte expressão:
Δ =
Δ =
−
Δ =
Δ
−
O momento linear, assim como a energia cinética
de um objeto em movimento, é uma grandeza
relacionada diretamente o movimento.
(4)
- Símbolo:
Exemplo: exercício 19 capítulo 9 (Halliday) - Um
caminhão de 2100 kg viajando para o norte a 41 km/h
vira para leste e acelera até 51 km/h. (a) Qual é a
variação da energia cinética do caminhão? Quais são
(b) o módulo e (e) o sentido da variação do momento?
(vetorial)
- Definição:
=
(1)
Onde
é a massa do objeto e
do objeto.
o vetor velocidade
- Unidade
=
=
O interessante sobre o momento linear é a sua
origem: Newton não definiu originalmente a segunda
De uma maneira geral, a variação do momento linear
também é conhecida como impulso.
Considerando que o momento linear é uma grandeza
vetorial, é de grande utilidade organizar um sistema
de coordenadas para o problema. Vamos utilizar um
plano cartesiano com o norte apontado para o sentido
positivo do eixo vertical e o leste apontado para o
sentido positivo do eixo horizontal. Com isso, já é
possível definir as velocidades iniciais e finais do
caminhão:
lei como
=
. Ele o fez segundo a a variação do
momento linear no tempo:
= 51 *̂
=
(2)
O que faz muito sentido, repare: Se a força resultante
sobre um sistema é não nula, logo há uma aceleração.
Se o corpo é acelerado o mesmo muda de velocidade
ao longo do tempo. Com a mudança da velocidade,
segundo a equação (1), há também mudança de
momento linear. Ou seja:
∴
=
=
= 41 #̂
=
=
=
Assim, conclui-se que a interpretação da segunda lei
de Newton como vista anteriormente é basicamente
uma consequência de sua definição original.
A força resultante, assim como enunciado na equação
(2), faz variar o momento linear do sistema. Logo, a
ℎ
= 11.39 #̂
= 14.16 *̂
ℎ
sendo que seus módulos, por estarem integralmente
sobre os eixos vertical e horizontal, são:
,
= 11.39
= 14.16
A letra (a) pede a variação de energia cinética do
caminhão, que é escalar, logo temos que utilizar os
módulos dos vetores velocidades:
Δ
=
− ,
1
1
.
.
Δ =
−
,
2
2
1
1
Δ = ∗ 2100 ∗ 14.16 . − ∗ 2100 ∗ 11.39 .
2
2
Δ = 74312.17 2 ≈ 74.3 2
que é um resultado plausível considerando que houve
um aumento no módulo da velocidade do caminhão.
Para resolver a letra (b), onde se pede o módulo da
variação de momento linear é necessário calcular a
variação de momento linear segundo a definição da
equação (4). Logo:
Δ =
−
Δ = 2100 14.16 *̂ − 11.39 #̂
Δ ≈ 29736 *̂ − 23919 #̂
IMPULSO E FORÇA MÉDIA
O impulso é definido como a força aplicada em um
intervalo de tempo sobre um sistema. Sua definição
formal é dada por:
(5)
B=C
Considerando o impulso da força resultante teremos:
Calculando o módulo, temos
|Δ | = Δ = 5Δ
.
6
+Δ
D
E
B=F
.
8
Δ = 929736. + −23919
D
=F
E
.
Δ = 38162
E
=F
D
E
=
−
Então
(6)
A letra (c) pede a orientação da variação de momento
linear, ou seja, um ângulo em relação a algum eixo
conhecido. Tendo a componente horizontal do Δ
positiva e a vertical negativa, é esperado que o vetor
variação de momento linear esteja no 4º quadrante
do sistema cartesiano adotado.
D
B=Δ
Em somente uma direção temos, então
(7)
B=Δ
É importante citar que o impulso tem a mesma
unidade do momento linear. Ainda, por outra
definição do impulso, temos que
(8)
B=
G
Δ
Onde G é a força média, que representa uma força
constante que imprime o mesmo impulso que a força
real, no caso desta ser variável. Em uma direção
somente temos:
(9)
B=
G
Δ
Verificando se a unidade é a mesma:
tan > =
Δ
Δ
8
6
23919
tan > = −
29736
tan > = 0.8043
> = arctan 0.8043
> = 38.80º
(*) fazer – Exercício 21, capítulo 9 (Halliday) - Uma
bola de softball de 0.30 kg tem uma velocidade
escalar de 15 m/s e um ângulo de 35° abaixo da
horizontal imediatamente antes de ser golpeada por
um taco. Qual é o módulo da variação do momento
linear da bola na colisão com o taco se ela adquire
uma velocidade escalar (a) de 20 m/s, verticalmente
para baixo; (b) de 20 m/s, horizontalmente na direção
do lançador?
B =
=H⋅ =
⋅
.
⋅ =
⋅
Exemplo: Tipler, cap 8, Exercício 44 – Um tijolo de
0,13kg é largado de uma altura de 8m. Ele chega ao
chão e fica em repouso. (a) Qual é o impulso exercido
pelo chão sobre o tijolo durante a colisão? (b) Se
0.0013s é o tempo entre o momento em que o tijolo
toca o chão e o momento em que ele atinge o
repouso, qual é a força média exercida pelo chão
sobre o tijolo durante o impacto?
(a) Para determinar o impulso podemos utilizar a
equação 7, já que é possível visualizar que a variação
de momento linear será somente em uma direção.
B=Δ =
−
,
Repare que a velocidade inicial é conhecida e igual a
zero
,
=0
Porém não conhecemos a velocidade final. Para isto, é
necessário utilizar a equação de torricelli para a queda
livre:
.
=
.
J
− 2 ΔK
Adaptando para os índices do problema:
.
=
.
,
−2 ℎ
Considerando a velocidade inicial nula ℎ é negativo e
isolando a velocidade final temos
= 92 ℎ
= 12.52
Assim se torna possível calcular o impulse
B=
B = 3.76
−
,
(b) Para o calculo da força média, sabendo que a
mesma também é unidirecional, perpendicular ao solo
no contato, é possível utilizar a equação (9)
B=
G
Δ
Isolando a força média:
G
=
B
Δ
Considerando Δ = 0.0013 temos
G
= 2889.23 H ≈ 2.9 H
Que é a força média que o chão faz contra o tijolo
para que o mesmo pare naquele intervalo de tempo.
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
Se em um não existem forças externas agindo sobre
um sistema ou se as forças externas se anulam
(∑ 6 = 0), então pode-se afirmar que o momento
linear do sistema se conserva, ou seja, não muda.
Em outra interpretação pode-se dizer que se não há
forças externas, não haverá variação de momento
linear, ou seja, Δ = 0, o que leva a seguinte
conclusão:
Δ =0
− =0
=
(10)
que pode ser interpretado da seguinte forma: se a
variação do momento linear é nulo, isto garante que o
momento do sistema em duas situações distintas
(final e inicial) são iguais.
Com, isso, concluindo, em um sistema em que o
momento linear se conserva não há impulso
(externo).
- exemplo, exercício 42, capítulo 9 (Halliday) - Um
balde de 4 kg que está deslizando em uma superfície
sem atrito explode em dois fragmentos de 2.0 kg, um
que se move para o norte a 3.0 m/s e outro que se
move em uma direção 30° ao norte do leste a 5.0 m/s.
Qual era a velocidade escalar do balde antes da
explosão?
Importante: a explosão no balde foi provocada por
alguma força interna, logo nenhuma força externa
agiu sobre o balde. Mesmo que pensássemos na força
peso vertical para baixo, a atuação da mesma é
anulada pela força de contato normal exercida pela
superfície do gelo sobre o balde. Logo, em conclusão,
o momento linear do balde se conserva antes de
depois da explosão, isto significa que o momento
linear dos dois pedaços depois da explosão tem que
ser igual ao momento linear do balde antes da
explosão. Definimos, para este problema, então:
= N+ .
(massa do balde é a massa das partes após a
explosão). Logo
M
(42-a)
M
=
N
N
+
=
.
.
Desejamos descobrir quanto valo o módulo de , mas
para isso é necessário iniciar definindo as velocidades
N e . dos fragmentos do balde.
N
.
= 0 *̂ + 3 #̂
=O
.P
.Q
.
.P
=
*̂ +
. cos
=
Então
.Q
=
85 ⋅
#̂R
30º = 4.33
Z[\]^
UV 30º = 2.5
.
= 4.33 *̂ + 2.5 #̂
Assim, isolando
na equação (42-a) temos:
N
=
N
+
M
.
.
Substituindo os valores teremos:
=
2 ∗ 0 *̂ + 3 #̂ + 2 ∗ 4.33 *̂ + 2.5 #̂
4
= 2.75 *̂ + 2.16 #̂
,
,
,
=5
.
,P
+
.
,Q
= 92.75. + 2.16.
= 3.4968
≈ 3.5
Exemplo: Tipler, Cap 8, 35, Tiago, um adolescente de
85kg salta da borda de um cais horizontal até um bote
de 150kg que flutua livremente, inicialmente em
repouso. O bote, então, com o passageiro dentro, se
afasta do caisa a 2,0m/s. Qual é a rapidez de Tiago
quando o mesmo se lançou do cais?
Aqui podemos trabalhar também com a conservação
de momento linear uma vez que Tiago, ao se lançar
dentro do barco, transfere seu momento ao barco.
Δ =0
− =0
∴ =
Sendo que
=
=
+
,WXY ⋅
WXY
= 85 ⋅
= 85 ⋅
MY
Z[\]^
+
MY
+ 150 ⋅ 0
Z[\]^
⋅
Z[\]^
E também que
= ,WXYaMY ⋅
= 150 + 85 ⋅ 2
= 470
WXYaMY
_^Z`
Z[\]^
= 470
= 5.53
(*) Fazer exercício 47, capítulo 9 (Halliday) - Um corpo
de 20,0 kg está se movendo no sentido positivo de um
eixo x com uma velocidade de 200 m/s quando, devido
a uma explosão interna, se quebra em três pedaços.
Um dos pedaços, com uma massa de 10.0 kg, se
afasta do ponto da explosão com uma velocidade de
100 m/s no sentido positivo do eixo y. Um segundo
pedaço, com uma massa de 4,00 kg, se move no
sentido negativo do eixo x com uma velocidade de 500
m/s. (a) Em termos dos vetores unitários, qual é a
velocidade da terceira parte? (b) Qual é a energia
liberada na explosão? Ignore os efeitos da força
gravitacional.