Mágica L1 Todos nós estamos familiarizados com siglas como

Mágica L1
Todos nós estamos familiarizados com siglas como MPEG e JPEG que correspondem a
sistemas de compressão de sinais digitais, tipo música e imagem, em arquivos de
dados bem mais compactos, porém sem significativas perdas de qualidade nas imagens
e sons a serem reproduzidos. Isto corresponde ao fato dos sinais que representam
imagens e sons serem compressíveis em algum sistema de coordenadas adequado.
Vale dizer, apesar dos sinais originalmente serem adquiridos com muitos coeficientes
em algum sistema de coordenadas, no sistema adequado, a grande maioria dos
coeficientes que representam tais sinais são desprezíveis, exceto uns poucos. Contudo,
para serem adquiridos, usualmente são utilizados sistemas de medidas poderosos, por
exemplo, câmeras com cada vez mais megapixels, para dados a serem perfeitamente
comprimidos em bem menos de um megabyte, ou música armazenada a 44 Kb/s, para
ser posteriormente comprimida mais de 10 vezes via MPEG.
De forma bem simplificada, isto corresponde ao fato que, para se obter um sinal x em
RN, sistematicamente se armazena em b, uma quantidade M de medidas Aix = bi , para
depois recuperar x, resolvendo Ax = b, com M equações, N variáveis e M  N. Há
cerca de dez anos, uma efervescente atividade no tratamento de sinais se instaurou a
partir da possibilidade teórica de resolver tais sistemas Ax = b para recuperar sinais
compressíveis, com M << N, a depender de propriedades a serem verificadas por A. Se
x tem apenas 1% de suas N coordenadas não nulas, por exemplo, a grande novidade é
que poderíamos recuperar x com algo da ordem de M = N/20 medidas apenas,
resolvendo o seguinte problema de minimização
Minimizar ||x||1 , sujeito a Ax = b
(I)
com A = AMxN e M << N, desde que A atenda a determinadas hipóteses. Este é um
problema de Programação Convexa, que pode ser reduzido a um problema de
Programação Linear e para o qual tem surgido algoritmos muito eficientes de
resolução.
Os nomes para esta teoria são sugestivos:
 Compressive Sensing ou, equivalentemente, Compressed Sampling, indicando
que se o sinal é compressível, o conjunto de medidas Aix = bi também pode ser
comprimido (M << N).
 Mágica L1, indicando haver uma certa mágica na possibilidade do problema (I)
adivinhar exatamente quais seriam as coordenadas não nulas de eventuais
soluções esparsas de Ax = b, com muito menos medidas do que seria de se
esperar intuitivamente.
Roberto Hugo Bielschowsky, professor do DM-CCET-UFRN