Convergência do máximo em esquemas quasi

Actas do XII Congresso Anual da SPE
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Convergência do máximo em esquemas quasi-triangulares
Adelaide Valente Freitas
Universidade de Aveiro, Departamento de Matemática
Maria da Graça Temido
Universidade de Coimbra, Departamento de Matemática
Resumo: Seja {kn } uma sucessão não decrescente de inteiros positivos para a qual
se tem lim kn = +∞. Consideremos uma sucessão de variáveis aleatórias duplan→+∞
mente indexadas {Xkn , k ≤ kn , n ≥ 1} tal que Fn é a função de distribuição de
X1n , X2n , ..., Xkn n , para cada n. Neste trabalho apresentamos condições para a convergência em distribuição do máximo max{Xkn , k ≤ kn }, sob normalização linear, considerando: i) Fn uma potência de uma função de distribuição pertencente ao domínio
de atracção de leis max-semiestáveis; ii) Fn pertencente a uma classe ampla de funções
de distribuição (discretas e contínuas) resultante de extensões de modelos associados
a sistemas de fila de espera.
Palavras–chave: variáveis duplamente indexadas, máximo, leis max-semiestáveis,
domínios de atracção
Abstract: Let {kn } be a nondecreasing positive integer-valued sequence satisfying
lim + kn = +∞. Let {Xkn , k ≤ kn , n ≥ 1} be an array of random variables and
n→+∞
denote by Fn the underlying distribution function of X1n , X2n , ..., Xkn n . We study conditions for the convergence in distribution of the maximum max{Xkn , k ≤ kn }, under
suitable normalization, considering the following cases: i) Fn is a suitable power of a
distribution function F which belongs to the domain of attraction of max-semistable
laws; ii) Fn belongs to a wide class of distribution functions related to queueing system
models.
Keywords: array of random variables, maximum, max-semistable laws, domains of
attraction
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Introdução
O Teorema de Gnedenko (1943) –um dos resultados que constituem a génese da
Teoria de Valores Extremos– garante-nos que se para uma sucessão de variáveis
aleatórias (va’s), independentes e identicamente distribuídas (iid) com função de
distribuição (fd) F , o seu máximo amostral, sob normalização linear, convergir
em distribuição para uma lei limite não degenerada, então essa lei limite será
max-estável –MS–. Porém, se essa convergência apenas se verificar ao longo de
uma subsucessão {kn } de IN, i.e. se existirem sucessões de constantes {an },
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Freitas e Temido/Máximo em esquemas quasi-triangulares
an > 0, e {bn } tais que:
lim F kn (an x + bn ) = G(x) ,
n→+∞
(1)
para todos os pontos de continuidade de alguma fd G não degenerada, e, para
kn+1
além disso, a subsucessão {kn } satisfizer a condição lim
= r > 1, as
n→+∞ kn
possíveis leis limites G serão max-semiestáveis –MSS– (Grinevich, 1992). As leis
MSS podem ser caracterizadas pela seguinte fd unificadora:
log(1 + γx)
G(x) = exp −ν(
)(1 + γx)−1/γ , 1 + γx > 0 ,
(2)
γ
onde γ ∈ IR e ν é uma função positiva periódica e limitada nas condições estabelecidas por Grinevich (veja-se Temido, 2000). Notemos que o caso clássico iid
pode ser introduzido neste contexto tomando r = 1, kn = n e ν(x) = 1.
Se, todavia, em (1) inserirmos uma componente dinâmica que permita que
a fd F varie também quando n → +∞, i.e., se o primeiro membro de (1)
for substituído por Fn kn (an x + bn ), onde Fn representa o termo geral de uma
sucessão de fd’s, então, em termos gerais, deixa de ser possível controlar o
comportamento assintótico do máximo amostral linearmente normalizado.
Na realidade, para qualquer fd G existe sempre uma sucessão de fd’s {Fn }
tal que Fn kn (an x + bn )→G(x). Basta considerar Fn = G1/kn , an = 1, bn = 0.
Por outro lado, nem para toda a sucessão de fd’s {Fn } existe uma fd G não
degenerada tal que se verifica
lim Fn kn (an x + bn ) = G(x) ,
n→+∞
(3)
para todo o x ponto de continuidade de G. Basta observar o caso em que Fn
consiste na sucessão de indicatrizes sobre [n, +∞[.
Assim sendo, interessará estabelecer condições para a ocorrência de (3) sobre
uma classe suficientemente ampla de sucessões de fd’s {Fn } mas que permita
identificar o tipo da lei limite G.
Seja então {kn } uma sucessão não decrescente de inteiros positivos a verificar
lim kn = +∞ e consideremos o modelo genérico de observações definido por
n→+∞
uma sucessão {Xkn , k ≤ kn , n ≥ 1} de va’s duplamente indexadas tal que, para
cada n, as va’s X1n , X2n , ..., Xkn n são iid com fd Fn . Notemos que estas variáveis definem uma estrutura matricial quasi -triangular; no caso particular em
que kn = n temos um esquema triangular.
No que se segue F representará uma fd pertencente ao domínio de atracção
de leis MSS.
Neste trabalho analisaremos quatro situações:
• Fn = F kn /n , com F duplamente diferenciável;
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n
, onde {sn }, {µn } e {σn > 0} são sucessões de cons• Fn (x) = F sn x−µ
σn
tantes adequadas;
α
Cn
• Fn (x) = 1 − An (x)B
, com α > 0, {Bn } e {Cn } sucessões de consx −1
n
tantes tais que Bn ≥ 1, Cn > 0 e, quando n → +∞, Cn → 0, Bn → B ≥ 1,
e {An (.)} sucessão de funções positivas tais que lim inf n An (x) > 0, para
cada x, e Fn é fd. Esta classe de fd’s resultou da extensão de alguns
modelos discretos estudados por Serfozo (1988) relativos ao comprimento
máximo de sistemas de fila de espera e posteriormente analisados por
Freitas (1998).
α
Cn
, onde α > 0 e {Bn } e {Cn } são sucessões de
• Fn (x) = 1− An (x)(B
x −1)
n
constantes tais que Bn > 1 e Cn ≥ 0 e {An (.)} é uma sucessão de funções
positivas tais que Fn é fd.
2
Lei limite na classe MSS
Em Freitas e Hüsler (2004) é estabelecida uma condição necessária e suficiente
para a convergência de Fnn (an x+bn ) para uma fd limite não degenerada quando
as fd’s Fn são duplamente diferenciáveis. No que segue U ← denota a inversa
generalizada da função U , isto é, U ← (y) = inf {s : U (s) ≥ y}.
Teorema 2.1 (Freitas e Hüsler, 2004) Seja {Fn } uma sucessão de fd’s duplamente diferenciáveis e G outra fd também duplamente diferenciável com
G0 (x) > 0 para todo o x tal que G(x) ∈ (0, 1).
Seja R(x) = φ0G ((− log(− log G))← (x)) contínua, onde φF denota a função
1
auxiliar da fd F dada por φF (x) = (− log(− log
F ))0 (x) . Então
(Fnn (an x + bn ))(l) →G(l) (x) ,
para l = 0, 1, 2 ,
para alguma normalização an > 0 e bn se e somente se a condição
φ0Fn ((− log − log Fn )← (x + log n))→ R(x) = φ0G ((− log − log G)← (x))
(4)
se verifica local e uniformemente.
Tomando, no Teorema 2.1, Fn = F kn /n , com F fd duplamente diferenciável,
e tendo em conta a expressão (2) das leis MSS, podemos estabelecer a seguinte
caracterização dos domínios de atracção de leis MSS duplamente diferenciáveis.
4
Freitas e Temido/Máximo em esquemas quasi-triangulares
Corolário 2.1 Seja F uma fd duplamente diferenciável e seja z = z(x) uma
função duplamente diferenciável com derivada de segunda ordem contínua definida implicitamente por x = z − ln ν(z), onde ν é uma função nas condições de
Grinevich tal que ν 0 (x) > 0. Nestas condições, existem constantes de normalização an > 0 e bn e uma sucessão não decrescente de inteiros positivos {kn },
kn+1
= r ≥ 1, tal que
com lim
n→+∞ kn
(F kn (an x + bn ))(l) →G(l) (x) ,
para l = 0, 1, 2 ,
para alguma fd G MSS duplamente diferenciável se e somente se a condição
0 0
0
log (− log(− log F ))←
(x + log kn )→ γz 0 (x) + (log z 0 (x))
(5)
se verifica local e uniformemente.
Demonstração. Atendendo à definição da função auxiliar, Freitas e Hüsler
(2004) observaram que, para qualquer fd F ,
0 0
φ0F ((− log(− log F ))← (x)) = log (− log − log F )←
(x).
Assim, no caso em que Fn = F kn /n , o primeiro membro de (4) pode-se escrever na forma dada no primeiro membro de (5). Por outro lado, seja x =
. Para a fd G definida em (2), obtém-se
(− log(− log G))(y) e z = log(1+γy)
γ
(− log(− log G))← (x) =
eγx − 1
,
γ
sendo x = z − log ν(z). Consequentemente, o segundo membro de (4) é equiva0
lente a log(eγz z 0 (x)) do que resulta o pretendido, tendo em conta o Teorema
2.1.
u
t
Exemplo 2.1 Seja F (x) = exp(− sin(1/x)), para x suficientemente grande. É
fácil verificar que para o primeiro membro de (5) se tem
−1 −
e−2x−2 log kn
e−x
1/kn
+ 2√
→1 ,
−2x−2
log
k
n
1−e
1 − e−2x−2 log kn arcsin e−x−log kn
para qualquer {kn } tal que
lim kn = +∞. Comparando com (5) concluímos
n→+∞
dz
dx (x)
que
= 1 e γ = 1. O Corolário 2.1 garante que existem constantes de
normalização an > 0 e bn tais que F kn (an x + bn )→ exp(−x−1 ) , x > 0.
Passemos à segunda situação referida na Secção 1. Com base no Teorema
dos Tipo de Kintchine (veja-se, por exemplo, Leadbetter et al., 1983) garante-se
a ocorrência de (3) de acordo com o seguinte resultado.
Actas do XII Congresso Anual da SPE
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Teorema 2.2 Seja F uma fd pertencente ao domínio de atracção da lei MSS
G, isto
é a verificar (1) para alguma sucessão {kn }. Consideremos Fn (x) =
F sn
x−µn
σn
, para x suficientemente grande, onde {µn }, {σn > 0} e {sn >
0} são sucessões de constantes reais e
lim kn /sn =
n−→+∞
∗
satisfazendo kn+1
≥ kn∗
+∞. Então, existem
constantes reais γn > 0, ξn , e
e lim kn∗ = +∞ tais
n→+∞
que
∗
k
lim Fn n (γn x + ξn ) = G(αx + β) ,
kn∗
n→+∞
sendo α > 0 e β constantes.
Exemplo 2.2 Seja Fn (x) = 1 − αn exp(−[x]) , x ≥ [log αn ] + 1, tal que αn → 0
quando n → +∞.
h ni
Com sn = αn e tomando γn = 1, ξn = n e kn∗ = αe n temos
kn∗ (1 − Fn (γn x + ξn ))
= kn∗ αn e−n exp(−[x]) −→ exp(−[x]),
n → +∞.
Obtém-se (3) com G(x) = exp(−e−[x] ) , x ∈ IR.
3
Lei limite numa nova classe
Consideremos a classe particular de sucessões de fd’s discretas Fd definida por
Freitas (1998) constituída pelas sucessões {Fn } onde Fn representa uma fd com
limite superior de suporte infinito tal que, para n ≥ n0 e x suficientemente
grande,
!α
Cn
,
Fn (x) = 1 −
[x]
An Bn − 1
com α > 0 e para apropriadas constantes An , Bn e Cn tais que An > 0, Cn > 0,
Bn > 1, Cn → 0, Bn → B ≥ 1 quando n → ∞ e lim inf n An > 0.
Teorema 3.1 Seja {Fn } uma sucessão de fd’s na classe Fd . Se existe uma
sucessão não decrescente de valores inteiros {kn } satisfazendo limn kn = +∞ e
1/α
(i) kn Cn → +∞ e An → A ∈ IR, então existe
uma constante β positiva tal
que (3) ocorre com G(x) = exp −βB −[x] , x ∈ IR.
1/α
(ii) kn Cn → 0 e B = 1, então (3) ocorre com G(x) = exp(−x−α ), x > 0.
Observação 3.1 No caso em que {Fn } ∈ Fd com B > 1, Freitas (1998) apenas
conseguiu delimitar o comportamento limite do seguinte modo: se n1/α Cn → c ∈
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Freitas e Temido/Máximo em esquemas quasi-triangulares
]0, +∞] então existem constantes an > 0 e bn tais que

 lim supn→∞ Fn n (an x + bn ) ≤ H(x)
 lim inf
n
n→∞ Fn (an x + bn ) ≥ H(x) ,
onde H é uma fd na classe de Serfozo (veja-se Teorema 2.3 em Freitas, 1998).
1−ρ[x]
n
Exemplo 3.1 Seja Fn (x) =
[x+1] , x > 0. Em Freitas (1998) demonstra-se
1−ρn
que se limn→+∞ ρn = 1 e α = 1 então existem constantes an > 0 e bn tais
que limn→∞ Fn n (an x + bn ) = H(x), onde H é uma fd na classe de Serfozo.
Consideremos agora ρn > 1 tal que limn→∞ ρn = B > 1. Neste caso, tomando
an = 1 e bn ∈ IN obteremos o comportamento assintótico (3) com G(x) =
exp(−B −[x] ), x ∈ IR. De facto,
kn (1 − Fn (an x + bn )) =
com kn =
h
exp(−bn ln ρn )
1−ρn
kn (1 − ρn )
−[x]−[bn ]
− ρn
ρn
→ B −[x] ,
n → +∞,
i
.
Consideremos agora uma nova classe H de possíveis leis limites em (3)
definidas pelas fd’s que apresentam uma das seguintes três formas para todo
o x suficientemente grande:
i) H0,α,η (x) = exp(−x−α η(x)) ,
α > 0, onde η é tal que H0,α,η é uma fd;
ii) Hc,α,η (x) = exp(−(ex η(x) − 1c )−α ) ,
uma fd;
iii) H+∞,α,η (x) = exp (−eαx η(x)) ,
α > 0, c > 0, e η tal que Hc,α,η é
α > 0, e η tal que H+∞,α,η é uma fd.
A classe H inclui as leis MSS e a classe de Serfozo quando η é a função
constante. Observemos que H inclui fd’s discretas já que, por exemplo, o termo
e[x] se pode escrever na forma ex e[x]−x = ex η(x).
Com vista a obter em (3) a convergência na classe H, i.e. tal que G ∈ H,
introduzimos duas novas classes de sucessões de fd’s {Fn }, aqui denotadas por
F1 e F2 , sendo que a primeira contém a classe Fd considerada em Freitas (1998).
Definição 3.1 Diremos que a sucessão de fd’s {Fn } pertence à classe F1 se Fn
tem limite superior do seu suporte infinito e, para n ≥ n0 e x suficientemente
grande,
α
Cn
,
Fn (x) = 1 −
An (x)Bn x − 1
onde {Bn } e {Cn } são sucessões de constantes tais que Bn ≥ 1, Cn ≥ 0 e
{An (.)} é uma sucessão de funções positivas tais que Fn seja fd.
Actas do XII Congresso Anual da SPE
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Para alguns elementos de F1 estabelecemos o seguinte resultado.
Teorema 3.2 Seja {Fn } uma sucessão de fd’s da classe F1 e consideremos a
fd Hc,α,η ∈ H.
1. Seja c ∈]0, +∞] e suponhamos que existe uma sucessão não decrescente
de inteiros positivos {kn } a satisfazer limn kn = +∞ e duas sucessões de
numeros reais {an > 0} e {bn } tais que lim kn 1/α Cn = c, an log Bn =
n→+∞
1, bn log Bn − log(kn 1/α Cn ) = 0 e
lim An (an x + bn ) = η(x), para todo
n→+∞
o ponto de continuidade da função η. Nestas condições, (3) obtém-se com
G = Hc,α,η .
2. Para qualquer sucessão de inteiros positivos {kn } e qualquer α > 0 tais
que lim kn 1/α Cn = 0, não é possível obter o limite (3).
n→+∞
Demonstração. Apenas o caso 1. De facto, tem-se
kn (1 − Fn (an x + bn )) =
An (an x + bn ) exp bn log Bn − log kn 1/α Cn + an log Bn x −
An (an x + bn )ex −
1
kn 1/α Cn
−α
−α
1
kn
1/α C
n
=
,
tomando an log Bn = 1 e bn log Bn − log kn 1/α Cn = 0. Por outro lado, uma vez
que lim An (an x + bn ) = η(x), obtemos
n→+∞
−α
lim kn (1 − Fn (an x + bn )) = (η(x)ex − 1/c)
n→+∞
.
u
t
Tendo em conta a parte 2 do Teorema 3.2 consideraremos uma nova classe
de sucessões de fd’s em ordem a estabelecer a convergência (3).
Definição 3.2 Dizemos que a sucessão de fd’s {Fn } pertence à classe F2 se,
para n ≥ n0 e para todo o x suficientemente grande,
α
Cn
Fn (x) = 1 −
,α > 0 ,
An (x)(Bn x − 1)
com Bn > 1, Cn ≥ 0 e {An (.)} uma sucessão de funções positivas tais que Fn
seja fd.
Para esta classe estabelecemos o seguinte resultado.
Teorema 3.3 Seja {Fn } uma sucessão de fd’s da classe F2 e suponhamos que
existe α > 0 e uma sucessão não decrescente {kn } a satisfazer lim kn = +∞,
n→+∞
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Freitas e Temido/Máximo em esquemas quasi-triangulares
tal que
lim kn 1/α Cn = 0. Admitamos ainda que existem constantes reais
n→+∞
an > 0 e bn para as quais
lim An (an x + bn ) = η −1/α (x) ,
n→+∞
para todo ponto de continuidade de η, com x−α η(x) não crescente para x >
1/α
1/α
x0 > 0, an log Bn = kn Cn e bn log Bn = o kn Cn . Nestas condições, (3)
mantém-se com G = H0,α,η .
Demonstração. De facto, de
kn (1 − Fn (an x + bn )) =
An (an x + bn )
exp(bn log Bn + kn 1/α Cn x) − 1
decorre lim kn (1 − Fn (an x + bn )) = η(x)x−α .
n→+∞
!−α
kn 1/α Cn
u
t
Exemplo 3.2 Com α = 1, Cn = 3−n , Bn = exp(3−n ) e An (x) = exp(−n +
[logx]) obtém-se uma sucessão de fd. na classe F2 que verificam a hipótese do
teorema anterior com kn = en , an = en e bn = 0.
Agradecimentos. As autoras agradecem ao Centro de Estatística e Aplicações da Universidade de Lisboa e à Unidade de Investigação "Matemática e
Aplicações"da Universidade de Aveiro o apoio financeiro recebido no âmbito do
POCTI-FCT, co-financiado pela Comunidade Europeia (fundo FEDER). Vão
também os nossos agradecimentos aos Departamentos de Matemática da Universidade de Aveiro e da Universidade de Coimbra.
Referências
[1] Freitas, A. (1998) Nova classe de aproximações em teoria de valores extremos.
Tese de doutoramento. Universidade de Aveiro.
[2] Freitas, A.V., Hüsler, J. (2004). Condition for the convergence of maxima of
random triangular arrays. Extremes (no prelo).
[3] Gnedenko,B.V. (1943). Sur la distribution limite du terme maximum d’une série
aléatoire. Ann. Math., Vol. 44, p. 423-453.
[4] Grinevich, I.V. (1992). Max-semistable limit laws under linear and power normalization. Theory Probab. Appl., Vol. 37, p. 720-721.
[5] Leadbetter, M.R., Lindgren e G. Rootzén, H. (1983) Extremes and related properties of random sequences and processes. Springer-Verlag.
[6] Serfozo, R. (1988) Extreme values of queue lengths in M/G/1 and GI/M/1 systems. Math. Op. Res., Vol. 13, p. 349-357.
[7] Temido, M. G. (2000). Classes de leis limite em teoria de valores extremosestabilidade e semiestabilidade. Tese de doutoramento. Universidade de Coimbra.