Exemplo 1: Cada fase de um gerador 3

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA
UNIDADE JOINVILLE
DEPARTAMENTO DE DESENVOLVIMENTO DE ENSINO
CURSO TÉCNICO EM ELETROELETRÔNICA
CIRCUITOS ELÉTRICOS
Profª. Bárbara Taques
ÍNDICE
CAPÍTULO 1 – CAPACITÂNCIA ........................................................................................ 2
1.1
CONCEITO DE CAPACITOR E CAPACITÂNCIA ............................................ 2
1.2
O CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS ....................................................... 3
1.3
ENERGIA ARMAZENADA NUM CAPACITOR ............................................... 3
1.4
ASSOCIAÇÕES DE CAPACITÂNCIAS ............................................................. 4
1.5
PROPRIEDADES DOS DIELÉTRICOS EM CAPACITÂNCIAS ....................... 4
1.6
CONSTANTES DE TEMPO ................................................................................. 4
1.7
TIPOS DE CAPACITORES E SUAS APLICAÇÕES .......................................... 8
CAPÍTULO 2 – INDUTÂNCIA .......................................................................................... 12
2.1
A INDUTÂNCIA DE UM SOLENÓIDE ............................................................ 12
2.2
RELAÇÃO TENSÃO CORRENTE PARA UM INDUTOR .............................. 12
2.3
ENERGIA ARMAZENADA EM INDUTORES................................................. 13
2.4
ASSOCIAÇÕES DE INDUTÂNCIA .................................................................. 13
2.5
CONSTANTES DE TEMPO RL ......................................................................... 14
CAPÍTULO 3 – EXCITAÇÃO SENOIDAL ....................................................................... 18
3.1
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .................................................................. 19
3.2
RELAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS ................................................... 20
CAPÍTULO 4 – FASORES .................................................................................................. 22
4.1
RELAÇÃO TENSÃO-CORRENTE PARA FASORES ...................................... 22
4.2
IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA ....................................................................... 22
4.3
DIAGRAMAS FASORIAIS ................................................................................ 23
CAPÍTULO 5 – POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE ............................................ 28
5.1
POTÊNCIA MÉDIA ............................................................................................ 28
5.2
VALORES EFICAZES ........................................................................................ 28
5.3
POTÊNCIA COMPLEXA ................................................................................... 29
5.4
MÉTODO DE CORREÇÃO DE FATOR DE POTÊNCIA ................................ 30
CAPÍTULO 6 – SISTEMAS TRIFÁSICOS ........................................................................ 34
6.1
TENSÕES E CORRENTES EM SISTEMAS TRIFÁSICOS.............................. 34
6.2
POTÊNCIA EM CARGAS TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS ............................ 35
1
CAPÍTULO 1 – CAPACITÂNCIA
1.1
CONCEITO DE CAPACITOR E CAPACITÂNCIA
O capacitor é um componente elétrico que possui a propriedade de armazenar
energia potencial num campo eletroestático, isto é, o capacitor é um dispositivo apropriado
para acumular um campo elétrico.
Os elementos que formam um capacitor são dois condutores isolados de formato
arbitrário, que podem ser chamados de placas.
Fig. 1.1 – Capacitor de placas paralelas, feito a partir de duas placas de área A afastadas por uma
distância d.
A figura 1.1 mostra um arranjo convencional, que é o capacitor de placas paralelas
formado de duas placas condutoras, paralelas, de área A, separadas por uma distância d. O
símbolo usado para representar um capacitor (
) é baseado na estrutura de um
capacitor de placas paralelas.
Pode-se dizer que um capacitor está carregado se as suas placas tiverem cargas q
iguais, mas com sinais opostos. Um dos métodos para carregar um capacitor é ligar
momentaneamente suas placas aos terminais de uma bateria, cargas iguais de sinais opostos
serão então, transferidas pela bateria para as duas placas.
Para descrever a relação carga tensão do dispositivo, será transferida uma carga de
uma placa a outra. Supondo que por meio de um circuito externo (como uma bateria) seja
transferida para o capacitor uma pequena carga Δq positiva para a placa superior e a mesma
carga Δq, porém negativa, para a placa inferior. Com isto a placa superior é elevada a um
potencial de Δv em relação à placa inferior.
Cada incremento de carga Δq transferida aumenta a diferença de potencial entre as
placas de Δv. Portanto, a diferença de potencial entre as placas é proporcional à carga
transferida. Isto é, se uma tensão v corresponde a uma carga q no capacitor (+q na placa
superior e –q na placa inferior) então estará carregado a uma tensão v, que é proporcional à
carga q. Pode-se então escrever:
q  Cv
Onde C é uma constante de proporcionalidade, conhecida como “capacitância” do
dispositivo, em Coulomb/volt. A unidade de capacitância é conhecida como farad
(abreviadamente F), que é:
2
1 farad = 1F = 1 coulomb/volt = 1C/V
Na prática as unidades mais convenientes são o microfarad (1μF=10-6F) e o
picofarad (pF=10-12F), pois o farad é unidade muito grande.
Sabendo-se que a corrente elétrica é descrita como a variação de carga em relação
a variação do tempo, dada por:
q
i
t
Pode-se dizer que, sobre um capacitor, a corrente varia com a tensão da forma:
i
1.2
C v
t
O CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS
Supondo que as placas deste capacitor sejam tão largas e estejam tão próximas
uma da outra, que possa ser ignorado a distorção do campo elétrico nas bordas das placas,
torna-se E (campo elétrico através das placas) como constante através do volume entre as
placas.
A diferença de potencial V é descrita por:
V  Ed
Onde d é a distância entre as placas.
Substituindo q e V das equações anteriores na relação q  CV , obtem-se:
C  0
A
d
Onde εo é conhecido como permissividade do vácuo e dado como
1
, com
4k o
valor igual a: εo=8,85pF/m.
1.3
ENERGIA ARMAZENADA NUM CAPACITOR
A tensão através dos terminais de um capacitor é acompanhada pela separação das
cargas elétricas entre as placas do capacitor. Estas cargas têm forças elétricas atuando sobre
elas. O campo elétrico é definido como a força que atua sobre uma unidade de carga
positiva.
Por esta razão, a energia armazenada ou acumulada em um capacitor é dita
armazenada em um campo elétrico, e é dada por:
Wc t  
1 2
Cv t 
2
3
1.4
ASSOCIAÇÕES DE CAPACITÂNCIAS
Nesta seção será determinada a capacitância equivalente para associações em série
e em paralelo de capacitores.
Primeiramente será considerada a conexão em série de N capacitores. Onde o
capacitor equivalente é dado por:
1
1
1
1


 ... 
C s C1 C 2
CN
Já para capacitores associados em paralelo, a associação fica:
C p  C1  C 2  ...  C N
1.5
PROPRIEDADES DOS DIELÉTRICOS EM CAPACITÂNCIAS
Quando o espaço entre as placas de um capacitor é preenchido com um material
isolante, como óleo mineral ou plástico, a capacitância aumenta por um fator numérico k,
que é conhecida como constante dielétrica do material introduzido. A constante dielétrica
do vácuo, por definição, é igual a 1. O dielétrico também produz um efeito que limita a
diferença de potencial que pode ser aplicada entre as placas com um certo valor vmáx. Se
este valor for ultrapassado, o material dielétrico romperá e produzirá uma descarga elétrica
formando uma trajetória condutora entre as placas. Todo o material dielétrico possui como
característica uma rigidez dielétrica, que é o valor máximo do campo elétrico que o
material pode tolerar sem haver ruptura no poder isolante.
MATERIAL
Ar
Polistireno
Papel
Óleo de transformador
Pirex
Mica
Porcelana
Silício
Germânio
Etamol
Água (20oC)
Água (25oC)
Cerâmica
Titanato de estrôncio
CONSTANTE DIELÉTRICA - k
1,00054
2,6
3,5
4,5
4,7
5,4
6,5
12
16
25
80,4
78,5
130
310
RIGIDEZ DIELÉTRICA (kV/mm)
3
24
16
14
8
Tabela com algumas propriedades dos dielétricos
1.6
CONSTANTES DE TEMPO
Um condutor RC é dado pela associação em série de um resistor e um capacitor,
como mostrado ma figura 1.2. Será assumido que o capacitor está carregado com uma
tensão Vo no tempo inicial, que será considerado como t=0. Visto que não existem fontes de
4
corrente ou tensão na rede, a resposta do circuito (v ou i) é inteiramente devida à energia
que está armazenada inicialmente no capacitor. Que neste caso, em t=0, é:
W 0 
1
CVo2
2
i(t)
+
v(t)
-
R
Fig. 1.2 – Associação em série de um resistor com um capacitor.
A tensão sobre o capacitor varia com a variação das cargas sobre as placas
paralelas do capacitor. As cargas negativas encontradas em uma das placas do capacitor
tendem a encontrar as cargas positivas da outra placa através do resistor (já que entre as
placas não há circulação de cargas). Quanto maior o número de cargas, maior a força de
atração em elas, com isto mais rápido será a sua descarga sobre o resistor. Portanto, no
decorrer do tempo, a descarga do mesmo acontece mais lentamente.
A rapidez com que as cargas são descarregadas de uma placa a outra também
depende dos valores do resistor e do capacitor do circuito. Considerando que as cargas
passam pela resistência R, quanto maior valor desta resistência, mais lentamente será a sua
descarga. O valor da capacitância também é importante, pois quanto maior o valor desta,
maior a força de atração entre as cargas através das placas, o que dificulta que as cargas
atravessem através do resistor.
Portanto, com estas considerações, pode-se afirmar que a tensão sobre o capacitor
(que é mesma sobre o resistor), está em função do tempo em forma exponencial negativa,
isto é, no tempo igual a zero o seu valor é valor da tensão inicial Vo sobre o capacitor. No
decorrer do tempo, esta vai diminuindo conforme mostrado na figura 1.3. Nesta figura
pode-se notar também que a curva pode ser diferente dependendo dos valores de resistência
e capacitância dos componentes. Quanto maior o valor destes, mais lentamente acontece a
descarga do capacitor sobre o resistor. E a equação que mostra o valor desta tensão é dada
por:
vt   V0 e

t
RC
Como esta tensão é mesma para o resistor, de acordo com a Lei de Ohm, pode-se
afirmar que a corrente que circula neste circuito será:
it  
t
V0  RC
e
R
Em redes que contém elementos armazenadores de energia é muito útil
caracterizar com um número a rapidez com que a resposta decresce.
5
Gráficos de v para RC=k (uma constante), RC=2k e RC=3k são mostrados na
figura 1.3. Pode-se notar que, quanto menor o produto RC, mais rapidamente a função
exponencial v(t) decresce. De fato, a tensão para RC=k decai para um valor específico na
metade do tempo requerida para isso pela RC=2k e em um terço do tempo requerido para
RC=3k.
Fig. 1.3- Gráficos de v para vários valores de RC.
O tempo necessário para que a resposta natural decaia de um fator de e-1 do seu
valor inicial é definido como a constante de tempo de um circuito denominada τ. Neste
caso, isso requer que:
v   V0 e
1
 V0 e

RC
RC
 V0 e


RC
Portanto τ=RC.
E sua unidade, é própria unidade de tempo (s).
Assim como o capacitor se descarrega de forma exponencial, o seu processo de
carga também obedece a mesma função. Isto quer dizer que, um capacitor C com carga
inicial zero, ligado a uma resistência R em série com uma fonte de tensão Vf (como
mostrado na figura 1.4), aumenta a tensão em seus terminais com o passar do tempo de
forma exponencial, como mostra a figura 1.5.
C
+
Vf
-
R
Fig. 1.4 – Circuito de carga do capacitor.
6
vc(t)
Vf+V0
t
Fig. 1.5- Gráfico da tensão vc(t) durante o processo de carga do capacitor.
Deste modo a tensão vc(t) nos terminais do capacitor é dada por:
t



vt   V f 1  e RC 


Porém, se o capacitor já estiver inicialmente carregado por uma tensão V0, a
equação será dada por:
vt   V f  V0  V f e

t
RC
, onde V0 é a tensão inicial no capacitor.
Exemplo: Calcular i(t) para t>0, se o circuito está em regime permanente em t=0-.
12Ω
t=0
i(t)
2Ω
12Ω
+
vc(t)
18V +
6Ω
1F
2
-
-
Para t<0:
12Ω
+
12Ω
+
-
6Ω
V0
-
Req 
12.6
12  6
V0  V f
Req
Req  12
 18
18V
4
4  12
V0=4,5V
7
Para t>0:
i(t)
2Ω
12Ω
+
vc(t)
6Ω
1F
2
12.6
2
12  6
Req 2  6
ic(t)
RC=3s
t

RC
vt   4,5e

t
3
v t  4,5e
ic t   c 
Req 2
6


t
3
t
i t   ic t 
6
6  12

ic t   0,75e 3 A
1.7
Req2
-
-
vt   V0 e
1F
2
Req 2 
+
vc(t)
t
it   0,25e 3 A
TIPOS DE CAPACITORES E SUAS APLICAÇÕES
1.7.1 Capacitores Eletrolíticos
Capacitor com placas paralelas, enroladas entre si, conforme mostrado na figura
1.6. Uma das placas tem tendência eletropositiva e a outra eletronegativa. Se ligado com a
polaridade invertida, o componente danifica-se, pois há uma recombinação de cargas que
faz com que o óleo (no qual o componente é embebido) sobre aqueça, rompendo
(“explodindo”) o componente. Possuem valores de capacitância na faixa de μF e mF.
Fig. 1.6 – Estrutura física do capacitor eletrolítico.
São usados em circuitos eletrônicos, tais como fontes de conversão CA-CC, filtros,
entre outros. Nos circuitos elétricos são usados para correção do fator de potência.
O encapsulamento é um invólucro metálico, revestido com material plástico. O
valor do componente vem impresso em seu invólucro.
8
1.7.2
Capacitores Cerâmicos
São capacitores que possuem um encapsulamento cerâmico e suas placas são
ligadas como na figura 1.7. São da ordem de pF e ηF e usados em circuitos eletrônicos
normalmente como filtros. O valor do componente vem impresso em seu invólucro.
Fig. 1.7 – Estrutura física de uma capacitor cerâmico.
1.7.3
Capacitores de Poliéster
Estes capacitores são encapsulados com poliéster. Possuem valores na ordem de ηF
e μF. Também usados em circuitos eletrônicos, se diferencia de capacitores cerâmicos por
suportarem uma tensão maior em seus terminais.
O valor do componente é impresso em seu corpo através de um código de cores,
similar aos dos resistores.
Fig. 1.8 – Capacitor de encapsulamento de poliéster.
1.7.4
Capacitores Trimmer
Um capacitor de placas paralelas ajustáveis, usados em sintonizador de rádio, e
circuitos de controle remoto é mostrado na figura 1.9.
A rotação do eixo faz com que varie a área entre as placas, aumentando ou
diminuindo a capacitância, variando assim a freqüência de seleção.
Fig. 1.9 – Estrutura física de um capacitor ajustável.
9
Exercícios:
1. Uma corrente de 10mA está carregando uma capacitor de 10μF (entrando em seu
terminal de tensão positivo). Se o capacitor estava inicialmente carregado com 5V,
calcular a carga e a tensão sobre ele após 20ms.
Resp.: q=0,25mC e v=25V
2. As placas de um capacitor de placas paralelas estão separadas pela distância d=1mm.
Qual deverá ser a área das placas para que sua capacitância seja igual a 1F?
εo=8,85pF/m.
Resp.: A=1,1x108m2
3. Um capacitor de 0,2μF tem uma carga de 20μC. Calcular a tensão e a energia.
Resp.: v=100V e wc=1mJ
4. Se a energia armazenada em um capacitor de 0,5F é 25J, calcular a tensão e a carga.
Resp.: v=10V e q=5C
5. Calcular a capacitância equivalente para o circuito abaixo.
Resp.: Ceq=10μF
C1
C3
C2
C5
C4
C6
C1=60μF
C2=6μF
C3=8μF
C4=14μF
C5=110μF
C6=11μF
6. Um capacitor de placas paralelas, cuja capacitância C é de 13,5pF, apresenta uma
diferença de potencial V=12,5V entre suas placas. A bateria que a carregou é agora
retirada e um dielétrico de porcelana (k=6,5) é introduzido entre as placas. Calcular a
diferença de potencial após a introdução do dielétrico e a energia potencial antes e
depois.
Resp.: V=1,9231V ; wo=1055pJ e w=162pJ
7. O circuito abaixo está em regime permanente em t=0- e a chave é mudada da posição 1
para a posição 2 em t=0. calcular v para t>0.
Resp.: v=16e-4tV
R2
t=0
C=1/16F
1
R1=6Ω
2
R2=4Ω
+
R3=8Ω
C
R1
R3
v
I
I=9A
-
10
8. Calcular a tensão vc(t) sobre o capacitor e a sua constante de tempo, dado que o circuito
está em regime permanente CC imediatamente antes da abertura da chave.
Resp.: vc t   40e

t
10
V
τ=10s.
e
R2
R4
R5
C=1F
R1=2Ω
R2=4Ω
R3=3Ω
R4=8Ω
R5=15Ω
V=100V
t=0
1
2
R1
9.
R3
+
vc(t)
-
C
V
+
-
Calcular v(t) para t>0, se o circuito está em regime permanente em t=0t=0
R1
V1 +
R2
C
-
+
vc(t)
-
t=0
V2
+
-
R1=4kΩ
R2=2kΩ
C=5µF
V1=10V
V2=4V
10. Calcular a tensão vc(t) sobre o capacitor.
R1
50V
R2
R3
C
+
vC(t)
R4
R5
-
R1=6Ω
R2=3Ω
R3=4Ω
R4=20Ω
R5=2Ω
1
C F
8
11. Calcular i(t) para t>0:
R1
i(t)
50V
t=0
R2
R3
C1
C2
R1=10Ω
R2=5Ω
R3=10Ω
C 2  C1 
1
F
10
11
CAPÍTULO 2 – INDUTÂNCIA
O indutor é um dispositivo tal que, se você estabelecer uma corrente i em suas
espiras, um fluxo magnético Φ atravessará cada uma das espiras e a indutância será dada
por:
L
N
,
i
onde N é o número total de espiras. O produto NΦ é chamado fluxo concatenado, ou enlace
de fluxo.
No SI, a unidade do valor do fluxo é o tesla.metro2, logo, no SI, a unidade de
indutância é o T.m2/A. Esta última relação é chamada de henry (H).
2.1
A INDUTÂNCIA DE UM SOLENÓIDE
Considerando um longo solenóide com uma seção transversal de área A, a
indutância é dada por:
L
N nl BA 

i
i
onde l é o comprimento do solenóide; n o número de espiras/comprimento; B o campo
magnético e A a área de seção transversal.
Lembrando que: B=μoin, obtém-se, da equação acima:
L
nl  o ni A
  o n 2 lA
i
Onde μ0 (permeabilidade magnética) vale 4πx10-7 Tm/A.
Assim a indutância por unidade de comprimento, para um longo solenóide,
próximo ao seu centro é:
L
 o n2 A
l
2.2
RELAÇÃO TENSÃO CORRENTE PARA UM INDUTOR
Considerando o fluxo total enlaçado pelas N espiras de uma bobina como λ, podese dizer que:
  N
Portanto, em um indutor linear, o enlace de fluxo é diretamente proporcional à
corrente que flui pelo dispositivo, sendo:
  Li
12
Como pode-se notar, um incremento em i provoca um incremento correspondente
em λ. Este incremento em λ produz uma tensão na bobina de N espiras. Com isto, a
chamada lei de indução magnética, estabelece que a tensão é igual à taxa de variação no
tempo do fluxo magnético total. Em forma matemática, esta lei é:
v

i
L
t
t
O símbolo de circuito e a convenção tensão corrente para um indutor são
mostrados na figura 2.1.
iL(t)
+
v
-
L
Fig. 2.1 – Circuito contendo a convenção tensão corrente para um indutor.
2.3
ENERGIA ARMAZENADA EM INDUTORES
Uma corrente i fluindo através de um indutor produz um enlace de fluxo total λ
que passa pelas espiras da bobina que constitui o dispositivo. Assim como um trabalho foi
desenvolvido pelo movimento das cargas em um capacitor, um trabalho similar é
necessário para estabelecer o fluxo Φ no indutor. O trabalho ou energia necessário neste
caso é dito armazenado no campo magnético.
A energia armazenada num indutor é dada por:
wL 
2.4
1 2
Li J
2
ASSOCIAÇÕES DE INDUTÂNCIA
2.4.1 Associações de Indutância em Série
v Leq
+
L1
L2
-
L3
L4
...
+ v L1 -
+ v L2 -
+ v L3 -
+ v LN -
Ls  L1  L2  L3  ...  LN
13
2.4.2 Associações de Indutância em Paralelo
i Leq
+
i L1
vL
-
L1
L2
i L2
i L3 . . .
L3
LN
i LN
1
1
1
1
1
 

 ... 
L p L1 L2 L3
LN
2.5
CONSTANTES DE TEMPO RL
Associação em série de um indutor e um resistor:
iL(t)
+
vL(t)
R
Fig. 2.2 – Circuito equivalente da associação em série de um indutor com um resistor.
Somando as tensões ao redor do circuito:
Assim como no circuito capacitivo a tensão está variando no tempo com uma
função exponencial negativa, a corrente em um circuito indutivo também varia em relação
ao tempo com a mesma função exponencial negativa. Porém, neste caso, quanto maior o
valor do resistor, mais rapidamente a corrente do indutor se aproxima de zero. Esta relação
está equacionada abaixo e sua forma de onda pode ser vista na figura 2.3.
i t   I 0 e
R
 t
L
Visto que a solução para i(t) é uma função exponencial, como no caso de um
circuito RC, ela também tem uma constante de tempo τ, que é dada por:

L
R
14
Aumentando L, aumenta-se a constante de tempo, já com um aumento em R,
diminui-se o valor da constante de tempo.
i(t)
I0
0
t
Fig. 2.3 – Gráfico da corrente no indutor em relação ao tempo.
Da mesma forma, a energização de um indutor é feita por um circuito série
com uma fonte de tensão, um resistor e um indutor, conforme mostrado na figura 2.4.
L
+
Vf
-
R
Fig. 2.4 – Circuito de energização do intutor.
E a corrente que circula neste circuito, iL(t), também é dada de forma
exponencial, porém crescente, conforme mostra a figura 2.5.
iL(t)
Vf
R
 I0
t
Fig. 2.5 – Gráfico da corrente no indutor em relação ao tempo, durante o processo de
energização.
15
Exemplo: Para o circuito abaixo, determinar i(t), assumindo que esteja na
condição de regime permanente em cc em t=0-.
t=0
i
+
R3
v
L
V
R1
R2
V=100V
R1=150Ω
R2=50Ω
R3=75Ω
L=10H
-
Para t<0:
 
i 0 
 
100
 2 A  i 0
50
Para t>0:
Req=(R1//R3)+R2
Req=100Ω
L
Req
L
10

Req 100
  0,1 s

i L t   2e 10t A
Exercícios:
1-
Um solenóide S de 50cm tem 220espiras/cm. Seu diâmetro d é de 3,2 cm. Qual é a o
valor de sua indutância?
Resp.: L=0,2452H
2-
Um indutor de 40mH tem uma corrente i(t)=100cos10πt mA. Calcular o enlace de
fluxo e a energia em t=1/30s.
Resp.: λ=2mWb e w=50μJ
3-
Calcular a indutância equivalente, para o circuito abaixo.
Resp.: Leq= 5,94H
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L1=2H
L2=24H
L3=4H
L4=72H
L5=7H
L6=3H
L7=6H
16
4-
O circuito abaixo está em regime permanente em t=0-. Calcular iL(t) para t>0.
Resp.: i(t)=4e-2t
R1
I
5-
L
+
v
-
t=0
I=5A
R1=12Ω
R2=4Ω
R3=1Ω
L=2H
i
R3
R2
Para o circuito baixo, calcular i(t) para t>0, considerando que ele está em regime
permanente.
Resp.: it   10  2,5e 8t  2,5e 4t A
4Ω
i(t)
40V
6-
8Ω
8Ω
1H
2H
t=0
Calcular iL(t) para o circuito abaixo, em regime permanente para t>0.
Resp.: i L t   16e 50t A
9Ω
t=0
i(t)
18A
7-
72Ω
1H
5
10Ω
Encontrar a corrente i(t) para t>0:
Resp.: it   6e 10kt A
10Ω
t=0
i(t)
10A
15Ω
6mH
20Ω
3mH
17
CAPÍTULO 3 – EXCITAÇÃO SENOIDAL
Uma excitação senoidal é dada da forma: vt   Vm sent    , onde:
v(t): Tensão instantânea [V];
Vm: Amplitude da senóide [V];
ω: Frequência angular, onde   2f [rad/s];
1
f: Freqüência dada em Hertz, onde f  [Hz];
T
T: Período de tempo na qual a onda repete seu valor, sendo vt   vt  T  , e
dado em segundos [s];
: Ângulo de fase, que é o deslocamento da onda em relação ao seu eixo, dado
em graus [º] ou rad/s.
Um exemplo de uma onda com exitação senoidal, dada pela função seno, é
mostrada na figura 3.1.
Vm
Vm sen(t   )
Vm sent 


-Vm
t
Fig. 3.1 – Gráfico da expressão senoidal
v(t )  Vm . sen( 2. . f .t   )
Outro modo de expressar uma excitação senoidal é na forma de uma função
cosseno, como mostra a figura 3.2.
Vm

Vm cost 
Vm sent 
2
t

-Vm
Fig. 3.2 – Gráfico da expressão senoidal
v(t )  Vm . cos(2. . f .t )
Pois a expressão da função cosseno, nada mais é que, a expressão da função

seno, deslocada de
2 segundos:

cos(ωt)=sen(ωt+π/2)
sen(ωt)=cos(ωt-π/2)
18
Exemplo: Quanto
v2 t   2sen 2t  18 ?


a

 sent   sen t  180


senóide

v1 t   cos 2t  30 




v2 t   2sen 2t  18  180   2 cos 2t  18  180   90 
v2 t   2 cos 2t  108

está defasada de

v2(t)
v1(t)
t
78  30

3.1

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para o gráfico da figura 3.3, pode se tirar as seguintes relações:
B  A 2  B 2 sen 
e
A
A 2  B 2 cos  ;
B sen 

 tan  
A cos 
→
  tan 1  
B
 A
A2  B 2
B
φ
A
Fig. 3.3 – Relações Trigonométricas
A cos(t )  B sin( t )  A 2  B 2 cos(t   )
19
3.2
RELAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS
Lembrando que um número complexo Nc, pode ser representado no plano
cartesiano como mostra a figura 3.4, sua representação matemática é dada por:
Nc=A+jB
B  A 2  B 2 sen 
Sendo:
A2  B 2  N c
Onde:
A 2  B 2 cos  ;
B
tan 1    N c  
 A
A
e
e
Im
Nc
B
φ
A
Re
Fig. 3.4 – Representação de um número complexo no plano cartesiano.
A representação deste número na forma polar é dada por:
N c cos   j N c sen   N c e j
Exercícios:
1. Calcular o período das seguintes senóides:


a) 4 cos 5t  33




b) cos 2t    3sen 2t  
4
6


c) 6 cos2t 
2. Calcular a amplitude e a fase das seguintes senóides:
a) 3 cos2t   4sen2t 
b) 2cos(5t)+2sen(5t)
3. Calcular a freqüência das seguintes senóides:
a) 3cos(6πt-10º)
b) 4sen377t 
20


4. Dada a tensão vt   100 cos 400t  45 , determinar:
a) sua amplitude;
b) seu período;
c) seu ângulo de fase, em radianos e graus;
d) sua freqüência, em Hertz e rad/s;
e) quantos graus ela está adiantada
it   2 cos 400t  17  A.


ou
atrasada
da
corrente
5. Converter as seguintes funções para funções cosseno com amplitudes
positivas:


a) 6sen 2t  15 ;
b)  2 cos 4t  10  ;
c) 8 cos5t   15sen5t  .


6. Determinar a defasagem de v1(t) em relação a v2(t).


a) v1 t   3 cos 4t  30 , v2 t   5sen4t  ;
b) v1 t   10 cos4t  ,
v2 t   5 cos4t   12sen4t  ;
c) v1 t   20cos4t   83sen4t  ,
v2 t   3 cos4t   4sen4t  ;
21
CAPÍTULO 4 – FASORES
Uma senóide também pode ser representada pela forma fasorial. Se
vt   Vm cost    , então V fasorial será dada por:

V  Vm e j  Vm  ,
Que á parte real do número complexo: nc  Vm e j e jt



Vm cost     Re Vm e j t    Re Vm e j e jt

Neste caso, trabalha-se com o número complexo inteiro (parte real e
imaginária), pois assim o valor fica uma forma mais compacta; só no valor final é retirada a
parte real do número complexo.
Exemplo 1: Fazer a soma das duas tensões alternadas, v1(t)=8cos(2t+30º) e
v2(t)=4cos(2t+15º).




v1 t   v2 t   8 cos 2t  30   4 cos 2t  15 , passando para relação fasorial:


V1  V2  8e j 30  4e j15  j 4  6,928  1,035  j3,86

V  10,79  j5,035  11,965
vt   11,9 cos 2t  65

4.1

RELAÇÃO TENSÃO-CORRENTE PARA FASORES
A relação tensão corrente para fasores é similar a lei de Ohm para resistores.
Porém neste caso, esta relação é conhecida como IMPEDÂNCIA.

V

I
4.2

Z 

Vm 
V
 Z  m    
I m 
Im
IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA
A impedância segue as mesmas regras que a resistência em um circuito
resistivo, e por ter como unidade a relação volts por ampéres, é medida em ohms. E
pode ser escrita na forma retangular por:

Z  R  jX ,
22


Onde Re  Z  é a componente resistiva, e X  Im  Z  é a componente
 
 
reativa, ou reatância.
X
= φ = arctg  
R


Z  R2  X 2 e
Z


R  Z cos 
X  Z sen
e
No caso de um resistor, a impedância é puramente resistiva, sendo sua
reatância zero. Impedâncias de indutores e capacitores são reatâncias puras, tendo a
componente resistiva zero.
4.3
DIAGRAMAS FASORIAIS

a) Circuito Puramente Resistivo : Z  R



E V

I


V
E
R
0o
=
R
0o

E E
0o
Diagrama Fasorial
o
o
I
V
23
b) Circuito Puramente Indutivo :




E V  E
0o = V


Z L  jL

Z L  jX L


I
0o

V
V
=
jX L
jX L
0o .
j
=
j

 j. V
V
0o =
XL
XL
- 90 o  Corrente atrasada
de 90º em relação à tensão
c) Circuito Puramente Capacitivo :



E V  E

ZC 

0o = V
0o
1 j
1
. j
  jX C
jC j
C


I

V
V
=
jX C
 jX C


j. V
V
j
0o =
=
XC
XC
j
0o .
90 o  Corrente adiantada
de 90º em relação a tensão
o
I
o
V
24
Portanto , no caso geral, pode-se dizer que, se X=0 o circuito é puramente resistivo,
já se X>0, o circuito é puramente indutivo; e se X<0, é o caso em que o circuito e
puramente capacitivo.
Obs.: As associações de impedância são feitas da mesma forma que as associações
de resistências:




Z S  Z 1  Z 2  ...  Z N
SÉRIE:
PARALELO:
1


ZP
1

Z1

1

 ... 
Z2
1

ZN
Exemplo 2 : Para o circuito a seguir, calcular a corrente e as quedas de tensão, montado o
diagrama fasorial.
X L  2fL  2 .60.200.10 3  75,4
Z  R 2  X L  60 2  75,4 2  96,4
2

75,4
  51,5
60
E
100
I 
 1,04  51,5 A
Z 96,451,5
VR  R.I  60.1,04  51,5  62,4  51,5V
VL  Z L .I  75,490.1,04  51,5  78,438,5V
 Z  tg 1
XL
VL
|Z|
38,5º

R
E
-51,5º
VR
25
Exercícios:
1. Calcular o valor da corrente num circuito puramente capacitivo, onde a
capacitância é 20 μF, e a tensão aplicada 110V/60Hz.
Resp.: I=0,83 90  A
2. Determinar o valor da capacitância no circuito abaixo, sendo I=2 90  :
Resp.: C=26,52µF
3. No circuito abaixo, a fonte possui freqüência ajustável. Calcule o valor da
corrente para as seguintes freqüências.
a)
b)
c)
d)
250 Hz
60 Hz
20 Hz
0 Hz (Tensão Contínua)
Resp.: a) I=0,78 90  A, b) I=0,19 90  A, I=0,063 90  A, I=0A
4. Um circuito C.A. com RL em série tem uma corrente de 1A de pico com R=
50 Ω e XL = 50Ω . Calcular VR, VL, E.
Resp.: VR=50V, VL=50 90  V e E=70,7 45 V
5. Um circuito RC em série tem uma corrente de pico de 1A com R=50Ω e
XC=120Ω. Calcule VR,VC, E.
Resp.: VR=50V, VL=120   90  V e E=130   67,38 V
26
6. Calcular os valores de i(t) e v(t).
i(t)
L1
L3
v(t)=4cos(1000t)V
L1=0,05H
L2=0,2H
L3=0,1H
C1=10µF
C2=2,5µF
L2
v(t)
+
v1(t)
_
+
-
C2
C1
7.
Calcular a corrente fasorial I para o circuito abaixo:
1H
1Ω
1H
I
3Ω
10costV
1F
IL=?
+
VL=?
-
If=100
Resp:
8cos(t-53,1º) A
8.
Calcular a corrente I1 usando fasores:
2H
4Ω
2H
I1
12Ω
1/8F
10cos2tV
Resp.: 0,5cos(2t-53,1º )A
9
Calcular o valor da tensão v(t) em regime permanente:
5Ω
+
11cos15000tA
v(t)
4µF
5Ω
1mH
27
CAPÍTULO 5 – POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE
5.1
POTÊNCIA MÉDIA
A potência média para uma excitação senoidal é dada por:
1  
V I cosV   I 
2
1
P  V p I p cosV   I 
2
P
E sua unidade é dada em Watts [W].
Exemplo 1: Para o circuito abaixo, calcular a potência média entregue pela fonte à

impedância Z .
i(t)
vt   100 cos100t
R1=100Ω
L=1H
R1
L1
+
v(t) -

Z  100  j100
 


I

1000 
V
P  25 W



Z 100 245

1
I
  45  A
2
5.2

1
1
P  100
cos 0   45 W
2
2
Z  100 245 
VALORES EFICAZES
Um valor eficaz é a raiz quadrada da média do valor quadrado. O valor eficaz de
uma corrente (tensão) periódica é uma constante que é igual a corrente (tensão) c.c., que
iria entregar a mesma potência média para uma resistência.
I ef 
Ip
2
e
Vef 
Vp
i(t)
Ief
2
PM
PM
28
Portanto, a potência média que é dada por:
1
P  V p I p cosV   I  , onde V   I   , será:
2
P
Vef 2 I ef 2
2
cos  , então:
P  Vef I ef cos 
5.3

no caso de resistência (φ=0): P  Vef I ef
POTÊNCIA COMPLEXA
A potência complexa é dada pelo símbolo S, e conhecida como:





S  Vef I ef 
V
2

I
2
S
Vp I p
2
V   I  
forma polar
Ou
S  P  jQ 
Vp I p
2
cos   j
Vp I p
2
sin 
E sua unidade é dada em Voltampere (VA), para diferenciar da potência média
dada em Wats.
O módulo da potência complexa é conhecida como potênia aparente e dada como:
S  Vef I ef
Pela equação da potência complexa, pode-se perceber que a parte real é a própria
potência média, também conhecida como potência ativa:
P  ReS  
Vp I p
Q  ImS  
Vp I p
cos 
2
Já a parte imaginária de S, que é dada por:
2
Voltampere reativo (VAr).
sin  , é conhecida como potência reativa e tem como unidade
29
A relação da potência ativa (média) com a potência aparente é definida como
FATOR DE POTÊNCIA e é dado como:
fp  cos  
P
Vef I ef
Para um circuito puramente resistivo
Circuito puramente capacitivo
Circuito puramente indutivo
*corrente em relação a tensão.
 fp=1
 fp negativo (adiantado*)
 fp positivo (atrasado*)
Exemplo 2: Um moinho consome 100kW de uma linha de 220Vef. Com fp=0,85
atrasado, portanto a corrente eficaz no moinho é:
P  Vef I ef cos   cos   fp
I ef 
P
100k

 534,8 A
Vef cos  220  0,85
A potência aparente é dada por: Vef I ef  117,66 kVA
Supondo agora, um fp=0,95, o Ief será dado por:
I ef 
100k
 478,5 A
220.0,95
E a potência aparente
Vef I ef  220.478,5  105,3 kVA
Portanto, com o fp maior, ocorrerá o menor consumo de corrente.
5.4
MÉTODO DE CORREÇÃO DE FATOR DE POTÊNCIA
Quando o fator de potência está abaixo do valor esperado (gerando um maior
consumo de corrente), pode-se corrigi-lo para um valor permitido pelas companias de
distribuição de energia (fp=0,92 ).


Conectando-se uma carga Z1 em paralelo à carga Z , fica claro que a tensão da


carga não muda. Visto que Z é fixa, I também não mudará e a potência entregue a carga

não é afetada. A corrente I 1 , fornecida pelo gerador, é que deve mudar.
30


I1
I
+


V
Z1

Z  R  jX

ZT
-

Então Z T 


Z . Z1


Z  Z1

Em geral, seleciona-se Z , tal que esta absorva potência média igual a zero (para

que não mude a potência ativa), e que Z T tenha o fator de potência desejado fp=FP. A


primeira condição requer que Z1 seja puramente reativa. Isto é: Z 1  jX 1 , pois cos±90º=0.
A segunda condição requer que:

 Im Z T 
  FP
cos  tan 1 
Re
Z
T 



Substituindo os valores de Z T em termos de R, X e X1, tem-se:
R2  X 2
X1 
R tan cos 1 FP   X


Exemplo 3: Calcular o fp de duas cargas Z1 e Z 2 conectadas em paralelo.


Considerando uma carga Z1 de 10kW com fp1=0,9 atrasado e Z 2 uma carga de 5kW com

fp2=0,95 adiantado para Z1 , tem-se:
S1  P1  jQ1
Onde
P1=10kW, φ1=cos-10,9 = 25,84º
Q1=P1tanφ1 = 4843VAr
31

Do mesmo modo para Z 2
φ2=-18,2º
P2=5kW,
e
Q2=-1643 VAr
ST  P1  P2  jQ1  Q2   10k  5k  j4843  1643


ST  1,5  10 4  j3200 VA
  tan 1
3200
 12,04 
1,5  10 4
fp=0,978
atrasado
Exemplo 4: Corrigir o fp do circuito do exemplo 1 para fp=0,95.
 
fp1  cos 45  0,707
X1 
100 2  100 2
 297,92
100 tan cos 1 0,95  100
Como X1<0 a reatância é capacitiva C 
100  j100 j 297,92  19018,2  
1
 33,6 μF. A impedância total é:
X 1
100  j100  j 297,92
100
I ef 
100
190 2
 0,372 A, contra I ef 
2  0,5 A anteriores.
100 2
Exercícios:
1.
Calcular a potência média fornecida por uma fonte de tensão a um circuito
RL série com R=4Ω e L=0,5H e v(t)=4cos4t V.
2.
Calcular a potência média absorvida pelos resistores e fornecida pela fonte.
L
I
R1
R2
I=10cos800t
L=0,5H
R1=100Ω
R2=200Ω
32
3.
Calcular a potência aparente para uma carga constituída por um resistor de
100 Ω em paralelo com um capacitor de 25μF conectados a uma fonte de
120Vef e 60Hz.
4.
Calcular o fator de potência para uma carga formada pela associação em
paralelo de uma carga de 5kW com fp=0,9 adiantado e uma carga de 10kW
com um fp=0,95 atrasado.
5.
Calcular a potência complexa entregue a uma carga que tem um fator de
potência de 0,85 adiantado e:
a) absorve 10kW
b) absorve 10kVA
6.
Achar qual o valor de capacitor, usado para corrigir o fator de potência, visto
pela fonte para:
a) 0,9 adiantado
b) 0,9 atrasado
R1
+
L1
v(t)=100cos(100t) V
R1=100Ω
L1=1H
v(t) -
Resp.: a) C=74,22μF e b) C=25,78µF
7.
Calcular o fator de potência visto pelos terminais da fonte e a reatância
necessária a ser conectada em paralelo com a fonte para mudar o fator de
potência para a unidade.
1/2H
1/4H
12Ω
4Ω
1/32F
10cos8tV
Resp.: fp=0,6 atrasado e X1=-6,25Ω
33
CAPÍTULO 6 – SISTEMAS TRIFÁSICOS
A maior parte da geração e distribuição da corrente alternada é trifásica, pois: Os
circuitos trifásicos exigem menos peso dos condutores que os circuitos monofásicos de
mesma especificação de potência; permitem flexibilidade na escolha das tensões; e também
podem ser usados para cargas monofásicas.
As três fases de um sistema trifásico podem ser conectadas de duas formas. Se os
três terminais comuns de cada fase forem conectados juntos a um terminal comum indicado
por N, que representa o neutro, e as outras três extremidades forem conectadas a uma linha
trifásica, o sistema está conectado em estrela ou Y (Figura 6.1-a). Se as três fases forem
conectadas em série para formar um percurso fechado, o sistema está conectado em
triângulo ou Δ (Figura 6.1-b).
Fase A
Fase A
Neutro (N)
Fase B
Fase C
Figura 6.1: a) Conexão em estrela ou Y
6.1
Fase B
Fase C
b) Conexão em triângulo ou Δ
TENSÕES E CORRENTES EM SISTEMAS TRIFÁSICOS
Uma carga equilibrada tem a mesma impedância ( Z f  ) em cada enrolamento.
Em cada conexão as linhas A, B e C formam um sistema trifásico de tensões, como mostra
a figura 6.2. O ponto neutro N na conexão Y é o quarto condutor do sistema trifásico de
quatro fios.
Em uma carga conectada em Δ equilibrada, bem como nos enrolamentos de um
transformador, a tensão de linha VL e a tensão de fase ou do enrolamento Vf são iguais, e a
corrente da linha IL é 3 vezes a corrente de fase IF. Ou seja,
Carga Δ:
VL=Vf
IL= 3 If   30 
Para uma carga equilibrada conectada a Y, a corrente de linha IL e a corrente de
fase ou do enrolamento são iguais, a corrente no neutro IN é zero, e a tensão de linha VL é
3 vezes a tensão de fase Vf. Ou seja,
Carga Y:
IL=IF
IN=0
VL= 3 Vf 30 
34
Figura 6.2 – Tipos de cargas equilibradas
6.2
POTÊNCIA EM CARGAS TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS
Como a impedância de fase de cargas Y ou Δ equilibradas tem correntes iguais, a
potência de uma fase é um terço da potência total. A potência de fase Pf é:
Pf=VfIfcosφ
E a potência total PT é:
PT=3VfIfcosφ
Como VL=Vf e IF=
3I L
, para cargas Δ equilibradas,
3
PT=3VLILcosφ
Como IL=IF e V f 
3V L
, para cargas Y equilibradas,
3
PT=3VLILcosφ
Portanto as fórmulas para a potência total de cargas Δ e Y são idênticas. φ é o
ângulo de fase entre a tensão e a corrente da impedância da carga; logo, cosφ é o fator de
potência da carga.
A potência aparente total ST em volt-amperes e a potência total reativa QT em
volt-amperes reativos estão relacionadas com a potência média total PT em watts. Portanto
uma carga trifásica equilibrada tem a potência média, a potência aparente e a potência
reativa dada pelas equações:
35
PT  3V L I L cos 
S T  3V L I L
QT  3VL I L sen
Exemplo 1: Cada fase de um gerador 3-  conectado em Δ alimenta uma corrente com
carga máxima de 100   53,13 A em uma tensão de 240 0  V. Calcular:
a) A tensão de linha
b) A corrente de linha
c) A potência 3-  em kVA e
d) A potência 3-  em kW.
Para conexão Δ a tensão de linha VL é a mesma que a tensão de fase Vf. Portanto:
Vf=VL=240 0  V
A corrente de linha é dada por IL= 3 If  - 30 


IL= 3 .100   53,13  30 A
IL=173,2   83,13 A
Potência complexa – S:
ST=3Vf.If  cos-1(0,6)
ST=3.240.100  cos-1(0,6) VA
ST=72  53,13º kVA = (43,2+j57,6) kVA
Potência Ativa:
P=43,2kW
36
Exemplo 2: No sistema Y-Δ abaixo, a fonte é de sequência positiva com Van=100  0º V
(eficazes) e a impedância de fase é Zf=(3-j4)Ω. Calcular a tensão de linha VL, a corrente de
linha IL e a potência ativa total entregue a carga.
a
Zf
b
n
Zf
Zf
c
VL= 3 Vf1 30  = 3 .100 0   30  →
VL =173,2 30  V
Vf2=VL=173,2 30  V
If2=
Vf 2
Zf

173,230 
 34,6483,13 A

5  53,13
IL= 3 If   30  = 3 .34,64   30  →
IL =60   53,13 A
P=3.Vf.If cosφ = 3.173,2.34,64 cos(-53,13º )
P=10,8kW
37
Exercícios:
1) Qual é a potência fornecida por um sistema 3   equilibrado se cada fio conduz 20 A e
a tensão entre os fios é de 220V para um fator de potência unitário?
Resp.: P=7612W
2) Três resistências de 20Ω cada estão conectadas em Y a uma linha 3   de 240V
operando com um FP unitário. Calcular a corrente em cada resistência, a corrente de
linha e a potência consumida pelos três resistores.
Resp.: If=6,93A ; IL=6,93A e P=2880W
3) Repita o exercício anterior considerando que as resistências estão conectadas em Δ.
Resp.: If=12A; IL=20,8A e PT=8640W
4) Um sistema trifásico equilibrado Y-Y tem VL=200  0º Veficazes e frequência 200rad/s.
Se a carga em cada fase é uma conexão série de um resistor de 40Ω, um indutor de
0,1H e um capacitor de 100F, calcular as correntes de linha e a potência entregue a
carga.
Resp.: IL1=2,31  6,9º A; IL2=2,31  -113,1º A; IL3=2,31  -233,1º A e PT=640W.
5) Uma carga trifásica equilibrada conectada em Y consome 1,2kW com fator de potência
0,6 adiantado. Se as tensões de linha são um conjunto equilibrado com 200 Veficazes,
calcular a corrente de linha IL.
Resp.:
6) Para uma conexão em , com sequência de fase positiva, e VL=100  0º Veficazes. Se a
impedância de fase é 3 3  30ºΩ, calcular a corrente de linha e a potência entregue à
carga.
Resp.: IL=33,33  -60º A e P=5kW
7) No sistema Y-∆ do exemplo 2, a tensão da fonte é Vf=100  0º Veficazes e Zf=10  60ºΩ.
Calcular a tensão de linha, a corrente de linha os módulos das correntes da carga e a
potência entregue a carga.
Resp.: VL= 173,2  30º ; IL=30  60º A; If=17,32A e PT=4,5kW
8) Um sistema trifásico Y-Y equilibrado com sequência de fase positiva tem tensão de
fase Van=100 0  Veficazes. Calcular Zf, se a fonte entrega 3,6kW com fator de potência
0,6 adiantado.
Resp.: Zf=5  -53,13º Ω.
9) Um sistema Y com sequência de fase positiva tem tensão de fase Van=200 0  Veficazes.
Calcular Zf, se a fonte entrega 2,4kW com fator de potência 0,8 adiantado.
Resp.: Zf=40   36,87  Ω
38
10) Um sistema Y-Δ com sequência de fase positiva tem tensão de fase
Van=100 0  Veficazes e Zf=3-j4 Ω. Calcular a tensão de linha VL, a corrente de linha IL e
a potência entregue a carga.
Resp.: VL= 100 3 , IL=60A, P=10,8kW
11) Para o sistema do exercício 10, Zf=3+j4 Ω e a potência entregue a carga é 19,2kW.
Calcular a corrente de linha IL e as tensões de fase da fonte, se Van for tomada como
referência.
Resp.:
12) No sistema Y-Δ equilibrado, a carga consome 3 kW, com fator de potência 0,8
atrasado. Capacitores são conectados a cada fase da carga, para aumentar seu fator de
potência para 0,9 atrasado. Calcular o valor de capacitância necessário, com uma
freqüência de 60Hz e tensões de linha de 200Veficazes.
Resp.: C=17,2μF
13) Para o circuito abaixo calcular a corrente de linha IL.
Resp.: IL=20A
14) Calcular as potências entregue à carga do exercício 13, se o módulo das tensões da
fonte é 120 Veficazes e Zf=6+j9 Ω
Resp.:
39
8) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Circuitos Elétricos. Rio de Janeiro:Livros Técnicos e Científicos Editora SA,
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Rio de janeiro: Prentice Hall do Brasil, 4 Ed., 1994.
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Fundamento de Física. Volume 3,
Eletromagnetismo.; Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cintíficos Editora AS,
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