1 2ª Avaliação de Física Geral III

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2ª Avaliação de Física Geral III - FGE 3001 (GABARITO)
Nome:
Data: 05/10/2016
Instrução: utilize somente os espaços em branco após os enunciados para a resolução de cada questão.
Questão 1. No retângulo da figura 1, os lados medem d e w (tal que d > w), com as cargas puntiformes
q1 e q2 posicionadas conforme indicado. (a) (1,0) Determine o valor do potencial elétrico no centro do
retângulo. (b) (1,0) Determine o trabalho executado por um agente externo para mover uma terceira
carga puntiforme q3 do centro do retângulo ao ponto B (a carga q3 está em repouso em ambas as
situações), em uma trajetória passando pelo ponto A.
q1
A
B
q2
Figura 1: Questão 01
Item (a)
Vcentro =
1
1
q1
q2
√
√
+
2
2
2
4πϵ0 (d/2) + (w/2)
4πϵ0 (d/2) + (w/2)2
(1)
1
1
√
(q1 + q2 )
2
2πϵ0 d + w2
(2)
Vcentro =
Item (b)
Wcampo = −∆U
Wext = −Wcampo
Wext
⇒
Wext = ∆U = (UB − Ucentro )
(3)
(4)
[
]
[
]
q1 q3
q2 q3
q1 q2
q1 q3
q2 q3
q1 q2
1
1
√
+
+√
+√
+√
=
−
4πϵ0
w
d
4πϵ0
d2 + w 2
d2 + w 2
(d/2)2 + (w/2)2
(d/2)2 + (w/2)2
(5)
Wext
[ (
)
(
)]
q3
1
2
1
2
=
q1
−√
+ q2
−√
4πϵ0
w
d
d2 + w2
d2 + w 2
(6)
2
Questão 2. Uma carga Q é uniformemente distribuída ao longo de uma argola (em formato de disco)
de raio interno R1 e raio externo R2 (ver figura 2). (a) (1,5) Determine o potencial elétrico no ponto P,
localizado a uma distância z sobre uma linha ao longo do eixo central da argola. (b) (1,5) A partir do
resultado do item anterior, determine o vetor campo elétrico no mesmo ponto P.
Figura 2: Questão 02
Item (a)
dV =
D=
√
r2 + z 2
V =
e
σ
4πϵ0
2π
ˆ
R2
Q=
0
V =
ˆ
2π
0
dq = σ dA = σr dr dθ
ˆ
R2
R1
r dr dθ
√
r2 + z 2
]
[√
√
2
2
2
2
R2 + z − R1 + z
σ
V =
2ϵ0
ˆ
1 dq
4πϵ0 D
σr dr dθ = πσ(R22 − R12 )
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
R1
Q
2πϵ0 (R22 − R12 )
[√
]
√
R22 + z 2 − R12 + z 2
(12)
Item (b)
⃗ = −∇V
⃗ = − ∂V k̂
E
∂z
(13)
[
]
1
z
Q
1
⃗ =
√
E
−√ 2
k̂
2πϵ0 (R22 − R12 )
R12 + z 2
R2 + z 2
(14)
3
Questão 3. No circuito da figura 3, a chave S ficou aberta durante muito tempo. Ela é, então, subitamente fechada. Determine a constante de tempo (a) (0,5) antes de a chave ser fechada e (b) (0,5) após
a chave ser fechada. (c) (2,0) Escolhendo t = 0 como sendo o instante em que a chave foi fechada (após
ter ficado aberta por um longo período), determine a corrente na chave S como função do tempo.
Figura 3: Questão 03
Considerações: ε = 10, 0 V
R1 = 50, 0 kΩ
R2 = 100 kΩ
C = 10, 0 µF
Item (a)
τ = (R1 + R2 ) C = 1, 50 s
(15)
τ = R2 C = 1, 00 s
(16)
Item (b)
Item (c)
Definições (por mim adotadas):
i1 : corrente na malha da esquerda, no sentido horário.
i2 : corrente na malha da direita, no sentido horário.
I: corrente na chave S.
Portanto:
I = i1 − i2
(17)
– Malha da esquerda (percorrida no sentido horário):
ε − i1 R1 = 0
⇒
i1 =
ε
R1
(18)
– Malha da direita (percorrida no sentido horário):
−
ˆ
q
Q0
Q0 = C ε
⇒
q
− i2 R2 = 0
C
1
dq ′
=−
′
q
R2 C
ˆ
⇒
t
dt′
i2 =
⇒
dq
q
=−
dt
R2 C
(19)
q = Q0 e−t/(R2 C)
(20)
0
carga máxima armazenada no capacitor durante o processo de carga
(21)
Portanto:
I = i1 − i2 =
ε −t/(R2 C)
ε
+
e
= 200 µA + (100 µA) e−t/(1,00 s)
R1
R2
(22)
4
Questão 4. (2,0) Uma bateria de fem ε e resistência interna r fornece corrente a um aparelho de
resistência R. Determine o valor de R que maximiza a potência fornecida ao aparelho. Justifique matematicamente a sua resposta.
Figura correspondente ao circuito descrito no enunciado:
Potência no resistor R:
[
ε
P = RI = R
R+r
]2
2
(23)
Maximização da potência (em função de R, com ε e r mantidos constantes):
dP
=0
dR
(24)
ε2 (R + r)2 − ε2 R 2 (R + r)
=0
(R + r)4
(25)
(R + r) − 2R = 0
(26)
R=r
(27)
Esse resultado é também conhecido como “Teorema da máxima transferência de potência”.
Observações: as respostas para as questões 01, 02 e 04 devem ser apresentadas exclusivamente em
termos de grandezas fornecidas nos enunciados e/ou figuras, incluindo, eventualmente, constantes como
π e εo . Todas as questões devem ser resolvidas a partir de equações e métodos abordados no curso de
Física Geral III.
Kq1 q2
r̂
F⃗ =
r2
⃗ = Kq r̂
E
r2
Wa→b =
dA = r dr dθ
Wa→b = −∆U
U = K q1rq2
Vab = E d
C=
q
Vab
Vab = RI
C = κ ε0 A
d
τ = RC
(
)
q(t) = Cε 1 − e−t/RC
V =
´b
a
1
Ceq
=
1
C1
+ C12 +...
P = IVab = I 2 R =
i(t) =
⃗ = −∇V
⃗
E
ε
R
e−t/RC
2
K = 9, 0 × 109 Nm
C2
´b
⃗ · d⃗l
E
(
⃗ = ∂f î +
∇f
∂x
Vab = Va − Vb =
U
q
V = K rq
⃗
⃗ =F
E
q
F⃗ · d⃗l
a
Ceq = C1 +C2 +...
2
Vab
R
U=
Req = R1 + R2 + ...
q(t) = Q0 e−t/RC
∂f
∂y
K=
1
4πε0
∆ Ecin = Wcampo + Wext
)
∑
ĵ + ∂f
k̂
I=0
∂z
Q2
2C
=
CV 2
2
1
Req
=
1
R1
=
QV
2
R=
ρL
A
i=
dq
dt
+ R12 + ...
Q0 −t/RC
i(t) = − RC
e
∑
V =0