Geometria analítica

GEOMETRIA ANALÍTICA
Professor Jairo Weber
EXEMPLO.
1.
2.
Para que valor(es) de a o ponto P(a+2; -2) está
situado sobre o eixo das ordenadas?
Seja o ponto T(2s+4; 10) um ponto da primeira
bissetriz. Qual o valor numérico de s?
PONTO E RETA

Plano Cartesiano.
EXERCÍCIOS
PONTO E RETA
Dados
dois
pontos
quaisquer, A e B, de
coordenadas (xA, yA) e (xB,
yB), respectivamente, a
distância entre os pontos
A e B pode ser obtida
pela aplicação do teorema
de Pitágoras.
EXERCÍCIOS
ENEM - 2013

Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em
termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador.
Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital.
Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia.
Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão
pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas
A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das cidades estão
representadas no plano cartesiano:
A torre deve estar situada em um ponto
equidistante das três antenas. O local
adequado para a construção dessa torre
corresponde ao ponto de coordenadas.
a) (65 ; 35)
b) (53 ; 30)
c) (45 ; 35)
d) (50 ; 20)
e) (50 ; 30)
ENEM 2011
Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana,
com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando
quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas
cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo
quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em
quilômetros.
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do
percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o
bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5),
localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao
comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do
metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em
linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou
corretamente que isso seria automaticamente satisfeito,
pois já estava prevista a construção de uma estação no
ponto
a)
b)
c)
d)
e)
(–5, 0).
(–3, 1).
(–2, 1).
(0, 4).
(2, 6).
PONTO E

RETA
Ponto médio.
Exemplo: Dados os pontos A(2;1) e
B(2;-6), determine as coordenadas
do ponto médio do segmento AB.
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
PONTO E RETA

Baricentro (G) de um triângulo ABC
Exemplo: Determine as
coordenas do baricentro
do
triângulo,
cujos
vértices são (2;3), (0;5) e (1;8)
ENEM
Num triângulo, o baricentro é o ponto de encontro das
medianas. Uma mediana une um vértice ao meio do
lado oposto. A palavra baricentro vem do grego
barys, que significa pesado ou grave. Podemos
entender o baricentro como o “centro de gravidade”
de uma superfície triangular. Quando soltamos um
objeto no ar, ele cai no chão, como se estivesse sendo
atraído para baixo, por conta da força da gravidade.
Na figura seguinte, observe que, quando se apóia
uma superfície triangular pelo seu baricentro, ela
tende a ficar parada, ou seja, em equilíbrio.
Esse triângulo de cartolina ficaria em equilíbrio se
o apoiássemos, preferencialmente, no ponto:
A) R
B) S
C) T
D) U
E) V
PONTO E RETA
Área de um triângulo a partir dos
Vértices:
Exemplo: Determine a área do
triângulo, cujos vértices são A(1;2),
B(2;-6) e C(0;0).
EXERCÍCIO
1.
Calcule a área do quadrilátero de vértices
A(4,0), B(6,2), C(2,4) e D(0,2). (Dante, 2008)
PONTO

RETA
Condição de alinhamento de três pontos.
Exemplo: Dados os pontos H(2.3),
T(1,0) e R(0,-2).Verifique se os
pontos são colineares.
PONTO E RETA
Verifique se os pontos A(2;3), B(3;4) e C(-5;-4) são colineares.
Exercício.
(UEA-05) Qual é o valor de p para o qual os pontos (3p, 2p),
(4, 1) e (2, 3) são colineares?
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(Puc-rio) O valor de x para que os pontos (1,3), (- 2,4), e (x,0)
do plano sejam colineares é:
a) 8. b) 9. c) 11. d) 10. e) 5.
EXERCÍCIOS DO LIVRO

Página 17 do 1 ao 5.
PONTO E RETA
Equação geral da reta (ax+by+c=0) pela
condição de alinhamento entre três pontos.
Exemplo. Determine a equação geral da reta que
passa pelos pontos A(1,4) e B(2,6).
EXERCÍCIO.
1. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos
A (-1,-2) e B (5,2).
2. Escreva as equações gerais das retas determinadas por:
a) A(2,3) B(0,1).
b) M(-3,-1) N(2,-5).
3. (Cesgranrio) A equação da reta mostrada na figura a seguir
é:
a)
3x + 4y - 12 = 0
b)
3x - 4y + 12 = 0
c)
4x + 3y + 12 = 0
d)
4x - 3y - 12 = 0
e)
4x - 3y + 12 = 0
4. Determine a equação geral da reta representada
no plano cartesiano abaixo.

(Uerj) Sabedoria egípcia Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a
sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um
tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao
meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de
tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto
da vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas,
com dias quentes. (Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001.)
Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma
vareta OA de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o
comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar
sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das
ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os
segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava
no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que
contém o segmento AB:
a) y = 8 - 4x
b) x = 6 - 3y
c) x = 8 - 4y
d) y = 6 - 3x
(Ufrn) Na figura a seguir, tem-se o gráfico de uma reta
que representa a quantidade, medida em mL, de um
medicamento que uma pessoa deve tomar em função
de seu peso, dado em kgf, para tratamento de
determinada infecção. O medicamento deverá ser
aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa
85kgf receberá em cada dose:
a) 7 mL b) 9 mL c) 8 mL d) 10 mL
EXERCÍCIOS DO LIVRO.

Página 19: 1, 2 e 3.
tg ( )  m 
ESTUDO DA RETA.
y2  y1
x2  x1
y  y0  m( x  x0 )
Coeficiente angular da reta e equação fundamental da reta.
Exemplo. Determine o coeficiente angular da reta que passa
por A(2,-3) e B(-4,3).
Exemplo. A partir do coeficiente calculado do exemplo
anterior determine o ângulo de inclinação da reta em
relação ao eixo das abscissas.
EXERCÍCIOS
1. Determine a equação geral
da reta que passa no eixo
das abscissas em 4
e
determina com o mesmo
eixo um ângulo de 60º.
R:
3x  y  4 3  0
2. Qual é a equação geral
dessa reta (use tg 135°= 1)?
Resposta: x+y-4=0
3. Qual a equação geral que
forma com o eixo das
abscissas um ângulo de 60º
e passa pelo P(5,2)?
Resposta: 3x  y  2  5 3  0
4. (UFES) A equação da reta
que passa por P(3, -2) com
inclinação de 60º, é:
5. (UEMG) Na figura, tem-se representada, em um
sistema de coordenadas cartesianas, a trajetória
de um móvel que parte de uma cidade A e vai
para a cidade D, passando por B e C. Sendo os 4
pontos pertencentes a reta de equação 5x – 3y –
15 = 0 e B e C pontos de interseções,
respectivamente, com os eixos y e x. Determine as
coordenadas de B e C e a distâncias entre essas
duas cidades B e C
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA.
Exemplo. Determine a
equação reduzida da
reta
2x-2y-10=0
e
determine:
a) o
ângulo
de
inclinação em relação
ao eixo das abscissas.
b) o ponto de interseção
com o eixo das
ordenas.
c)
o ponto de interseção
com o eixo das
abscissas.
EXERCÍCIOS
1) (G1 – CFTSC 2008) Se o ponto P(2,k) pertence à reta de equação 2x +
3y – 1 = 0, então o valor de k é:
a) 1.
b) 0.
c) 2.
d) -1.
e) -2.
PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE RETAS.
As retas r: 2 x  y  7  0 e s: x  y  5  0 são
concorrentes sobre um mesmo plano. Isto
significa que existe entre elas um ponto em
comum, chamado ponto de interseção. O ponto de
interseção entre as retas r e s é:
a) (-2,-3)
b) (2,3)
c) (-3,-2)
d) (-2,-5)
e) (-2,5)