AULA 5 2015 VETORES.pages

INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2015
NOTA
AULA PRÁTICA No. 05 – VETORES
PROF. ANGELO BATTISTINI
NOME
RA
TURMA
NOTA
Objetivos: Nesta aula você deverá aprender (ou recordar) a representação de vetores em
um plano cartesiano.
Conhecimentos desenvolvidos: representações cartesiana (e polar) de vetores.
Conceitos de aceleração, velocidade, direção e sentido.
Habilidades necessárias: desenhar vetores num plano cartesiano O que o aluno deve
aprender a fazer até o final da aula.
Atitudes esperadas: Capacidade de antever situações, agir de acordo com regras,
suportar as pressões de um desafio competitivo.
INTRODUÇÃO: A representação vetorial é utilizada em Engenharia para auxiliar na
descrição de uma série de fenômenos. Seja para descrever movimentos, posição de
objetos, para representar as forças que atuam sobre uma estrutura, enfim, qualquer
representação física que é dotada de intensidade (ou magnitude ou módulo), direção e
sentido, pode ser descrita por um vetor.
Um vetor é representado por um segmento de reta (AB) orientado. A distância entre os
pontos A e B é o módulo do vetor. A direção é dada pelo segmento de reta AB e o sentido
do vetor é dado pela seta. No exemplo abaixo, o sentido é de A para B.
!
Figura 1: representação de um vetor
Os vetores são uma ferramenta muito utilizada na Engenharia, na Física e até na
Economia. Com esse elemento se constrói o Cálculo Vetorial. Assim como os números
reais, podemos realizar operações matemáticas com vetores (soma, subtração,
multiplicação). Para realizar o trabalho com vetores é necessário conhecer o sistema de
coordenadas para descrever os vetores e poder operá-los.
O sistema de coordenadas é definido por uma Base ortogonal. N’sta aula utilizaremos
uma base Cartesiana em duas dimensões (vetores “i” e “j”). Uma base Cartesiana em três
dimensões será feita pelos vetores “i”, “j” e “k”. Há outros sistemas de coordenadas, como
o esférico, o cilíndrico, elíptico…
A REPRESENTAÇÃO DOS VETORES
Imaginemos que, por alguma razão, você queira registrar os vetores, representando-as de
forma escrita. Para essa descrição existe uma maneira que é representá-los em um
Sistema de Coordenadas, que é formado por uma “Base Vetorial Ortogonal”. Uma vez
conhecida, essa base vetorial permite que qualquer vetor pertencente ao plano na pista
possa ser representado. Em geral, a base é composta por dois vetores unitários, “i” e “j”.
Vejamos alguns exemplos:
2
a
b
c
d
e
Figura 2: exemplos de vetores
Em vermelho estão marcados os vetores da base ortogonal, “i” e “j”. Os demais vetores
devem ser representados por eles.
O vetor “a” tem três unidades (cada quadrado, uma unidade) na direção de j, dessa forma,
podemos escrever: a = 3. j. O vetor “b” tem duas unidades na direção de “i”, logo b = 2.i.
O vetor “c” combina as duas direções, três unidades na vertical (j) e duas na horizontal (i),
assim, podemos escrever que c = 2.i + 3.j. Se o vetor estiver na direção oposta à de “i” ou
de “j”, ele será representado por um sinal de “menos”, assim, o vetor “d” será escrito
como: d = 3.i – 3.j e o vetor “e” será: e = -1.i – 2.j.
Essa maneira de representar os vetores é a representação chamada de “Cartesiana" ou
“Retangular”, mas há uma outra forma, também útil, de representar os vetores através de
seu "Módulo" (comprimento do vetor) e o ângulo formado entre o vetor e o eixo horizontal,
chamado de “Fase". Essa forma é chamada de representação “Polar”.
Figura 3: representação polar de um vetor
No caso do exemplo anterior, os dois primeiros vetores são fáceis de determinar, o
primeiro tem três unidades de módulo e forma um ângulo de 90o em relação à horizontal,
3
portanto, a representação desse vetor pode ser: a = (3 ∠ 90) 1. O vetor b tem duas
unidades de comprimento e está sobre o eixo horizontal, logo, b = (2 ∠ 0).
Para os demais vetores, tanto o comprimento quanto o ângulo devem ser calculados.
Observe na figura abaixo que o vetor e as suas componentes “i" e “j” formam um triângulo
retângulo:
3.j
2.i
Figura 4: representação do vetor "c"
Podemos ver que o vetor é a hipotenusa do triângulo e que a decomposição em “i” e “j”,
são os catetos, pelo Teorema de Pitágoras, podemos calcular a hipotenusa, que é o
comprimento do vetor:
Pelas regras da Trigonometria, podemos calcular o ângulo:
Portanto, a representação Polar do vetor “c” é:
O mesmo vale para os demais vetores, mas CUIDADO, ao utilizar a calculadora, observe
bem o resultado, pois quando calcula o arco-tangente a resposta da calculadora será
sempre no primeiro ou no quarto quadrante do ciclo trigonométrico, você deve observar o
resultado e fazer as correções, se necessário.
ATIVIDADE PRÁTICA: Vamos começar com uma pequena competição. Na página 7 há
uma “pista de corrida”. Nessa pista você e um ou dois colegas vão disputar “uma corrida
de vetores”. É muito simples, a corrida de vetores simula uma corrida de carro.
1
O ângulo pode ser escrito em graus - como está no exemplo - ou em radianos, neste caso teríamos:
a = (3 ∠ 𝜋/2).
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Na corrida, cada carro é representado por um vetor. Os vetores indicam a velocidade, a
aceleração e a direção do carro. Os carros sempre devem ficar na intersecção das linhas
do quadriculado.
As regras são simples. Os “pilotos” alternam as jogadas, um de cada vez. Recomenda-se
que cada jogador use uma caneta com cor diferente (ou que um use caneta e outro lápis)
para distinguir os “carros”. Sorteia-se quem vai sair pela parte interna da pista e quem sai
pela parte externa. O “carro” que sair pela parte externa dará o primeiro movimento.
O último vetor de cada jogador irá indicar o próximo, que poderá ser igual ao anterior ou
em qualquer ponto da vizinhança desse vetor, para frente, para trás ou para os lados. Isso
significa que a velocidade pode aumentar ou diminuir de uma unidade (um quadrado) a
cada jogada. A direção também pode ser alterada com a escolha de pontos laterais ao
ponto central da projeção.
No ponto de partida, cada competidor começa a disputa com um vetor unitário. Observe
na figura que a primeira jogada (a) é a de partida, o carro se movimenta um quadrado à
frente. Na segunda jogada, ‘projeta-se’ esse vetor, os pontos vizinhos (b) são os que ele
pode usar. Então, no exemplo, o jogador decidiu acelerar e virar à direita (c). Esse último
movimento (dois à frente, um à direita) é projetado para a próxima jogada (d), o jogador
decidiu acelerar (3 unidades à frente) e virar mais um pouco à direita (e).
a
b
c
d
e
Figura 5: início da corrida
Cuidado! Como você só pode acelerar ou desacelerar uma unidade, as velocidades muito
altas serão prejudiciais na hora de fazer as curvas. Se um jogador sair da pista, deverá
fazer a volta e retornar no mesmo ponto (ou atrás) de onde saiu. Outro cuidado é que um
carro não pode bater no outro, significa que o seu vetor não pode cruzar ou encostar no
último vetor do adversário.
O grupo terá 20 minutos para essa fase. Se não terminar o percurso todo, não importa,
vocês podem continuar depois da aula.
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Figura 5: exemplos de vetores na corrida
Agora, o que vamos fazer é representar os nossos vetores da corrida por essa base
vetorial. Procure na parte interna da pista dois vetores unitários “i” e “j”, um perpendicular
ao outro. Esses vetores formam a “Base Vetorial Ortogonal” da nossa pista e, como já
dissemos, qualquer vetor pode se representado como uma combinação linear deles.
A tarefa agora é utilizar os dez primeiros vetores de cada jogador e representá-los de
acordo com a base ortogonal dada, faça isso na Tabela 1 na próxima página:
Agora, na “pista” de corrida faça um vetor que ligue o ponto inicial do seu carro na corrida
até o final do décimo vetor. E escreva esse vetor de acordo com o plano cartesiano dado.
Na última linha da Tabela 1 há uma indicação “SOMA”. Essa linha é dedicada à
representação da soma vetorial dos 10 primeiros vetores. Essa soma é feita assim: SOME
todos os valores de “i” anteriores, suponhamos que essa soma seja “A”, em seguida
SOME todos os valores de “j”, chamamos essa soma de “B”. O vetor soma (S), que é
escrito na última linha é escrito:
S = A.i + B.j
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Tabela 1: Anotação dos vetores
Jogada
Jogador A
Jogador B
Jogador C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
SOMA
7
INÍCIO
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1. Escreva a representação polar dos vetores “d” e “e”, mostrados na Figura 2 (página 3).
2. Um galpão de armazenamento possui 10 metros de frente e 40 metros de fundo. As
estantes, com 8 metros de comprimento, deixam um vão de 1 metro de cada lado do
estoque. O vão entre as estantes, que possuem 1 metro de largura, é de 3 metros, sendo
que a partir da entrada existem os 3 metros para a primeira estante, de forma que existem
10 estantes, e a última está encostada na parede do fundo. A porta, com 1 metro de
largura, se encontra 2 metros à esquerda da entrada. Um robô programável deve levar
uma caixa desde a entrada até a parte traseira da quarta estante, em sua ponta mais
próxima. Para programar o robô, você deve indicar os 3 vetores posição que devem ser
aplicados para que se leve a caixa até o ponto correto. Escreva esses três vetores na
forma cartesiana.
OBS.:(Considere cada unidade vetorial como 1 metro)
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CONCLUSÕES
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Explique conceitualmente, e a seguir exemplifique a diferença entre uma grandeza
escalar e outra vetorial?
2. Reescreva, na forma polar, os vetores da Tabela 1.
3. Caça ao tesouro (parte 1):
Arnold, Stevenson e Schnauzzer são três amigos brincando de caça ao tesouro, e estão
posicionados conforme o diagrama a seguir, que incluem três obstáculos a eles.
Utilizando-se de no máximo dois vetores cada, desenhe os vetores deslocamento até
chegar ao Tesouro (marcado com uma cruz), escrevendo-os na representação cartesiana
(i x j). Supondo que cada divisão (quadrado) seja 1 m, calcule as distância que cada um
deles terá que percorrer. Qual deles terá o menor caminho até o tesouro?
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3. Caça ao tesouro (parte 2, a corrida)
Na caça ao tesouro do exercício anterior, sabemos que Arnold se move com uma
velocidade vA. Stevenson, por sua vez, anda a uma velocidade vST que equivale a
1,3 x vA. Já Schnauzzer consegue se mover a uma velocidade vSC = 2 x vA. Quem
chegará primeiro ao tesouro?
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• Holtzapple, M. T. e Reece, W. D.; "INTRODUÇÃO À ENGENHARIA”; LTC Editora,
2006; CAPÍTULO 7 (TABELAS E GRÁFICOS). ISBN: 9788521615118.
• Bazzo, W. P.; "INTRODUÇÃO À ENGENHARIA, CONCEITOS, FERRAMENTAS E
COMPORTAMENTOS”, 4ed. Ed. UFSC, 2013.
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