critérios de resistência

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CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
7.1. Introdução
Dependendo das condições de solicitação, o material pode se encontrar sob
diferentes estados mecânicos. Quando as cargas (externas) são pequenas o material se
encontra em estado elástico (o material trabalha elasticamente). Aumentando-se as cargas
começam a aparecer deformações residuais consideráveis e o material se encontra no estado
plástico. Se aparecem trincas locais, o material atinge o estado de rotura.
O estado mecânico num ponto depende, principalmente, do estado tensional naquele
ponto.
Chamamos estado tensional limite o caso em que o material passa de um estado
mecânico a outro. Para material dúctil, o estado limite é o caso em que aparecem
deformações excessivas e para material frágil quando começa a rotura do material.
O estado tensional limite pode ser considerado como uma característica da material.
O estado tensional no ponto mais solicitado é comparado com o estado tensional limite do
material. Desta comparação se chega à conclusão a respeito da segurança ou não da
estrutura. O problema consiste, basicamente, na determinação do estado tensional limite.
No caso de tração ou compressão uni-axial, este problema se resolve facilmente pelo
ensaio do material à tração ou compressão onde se escolhe no diagrama tensão-deformação
o ponto característico do estado tensional limite:
•
•
Materiais dúcteis :
Materiais frágeis:
σ lim = σ esc
σ lim = σ rot
Vejamos agora o caso do estado triplo de tensão dado pelas tensões principais
σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . Para cada combinação de σ1 σ2 σ3 e para cada material teríamos que realizar
ensaios para determinarmos o estado tensional limite. É claro que este procedimento é
impossível de se realizar devido a infinidade de combinações e as dificuldades técnicas que
surgiriam durante os ensaios.
Devido a estas dificuldades, surgiu a necessidade de se desenvolverem métodos
gerais para se determinar o grau de perigo de um estado tensional quando se dispõe de um
número limitado de ensaios mecânicos do material. Estes diversos métodos são chamados
critérios de resistência.
Podemos generalizar o conceito de coeficiente de segurança: suponhamos dado um
determinado estado tensional. Aumentando proporcionalmente todas as componentes de
tensão, chegaremos mais cedo ou mais tarde a um estado tensional limite. Então,
coeficiente de segurança é o número que indica quantas vezes se deve aumentar todas as
componentes do estado tensional dado para que ele se converta em um estado limite.
Se em dois estados tensionais, os coeficientes de segurança são iguais, estes dois
estados são considerados igualmente perigosos.
O problema agora é determinar a que tensão de tração (ou de compressão) deverá ser
submetida uma barra para que o seu estado tensional seja igualmente perigoso ao estado
tensional dado. Esta tensão de tração é chamada de tensão equivalente σeq.
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σ2
2
σeq
σ1
σ3
σeq
A
B
O nosso problema é expressar σeq em função de σ1, σ2 e σ3 de tal forma que o grau de
perigo do estado tensional A seja o mesmo do estado tensional B.
O coeficiente de segurança é:
σ
n = lim
σ eq
O valor de σeq é calculado pelos diversos critérios que passaremos a estudar.
7.2. CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL (RANKINE e LAMÉ)
“A maior tensão de tração e a maior tensão de compressão não devem ultrapassar os
valores das tensões limites obtidas, respectivamente, nos ensaios de tração simples e de
compressão simples”.
σ t≥ σ 1≥ σ 2≥ σ 3≥ σ
c
No círculo de Mohr, teremos
B
σc
B
τ
A
o
σt
A
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
σ
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Esta teoria fixa que só satisfazem à condição de segurança os estados de tensão
representados por círculos de Mohr situados entre as paralelas AA e BB.
Em um sistema de coordenadas σmax x σmin , teremos
σ2
σt
σ1
σc
σc
σt
De acordo com esta teoria, pontos situados no interior do retângulo caracterizam a
segurança do estado tensional.
A desvantagem deste critério é que não considera a influência simultânea das
tensões σ1 e σ2 .
Esta teoria é aplicável a materiais frágeis (com uma das tensões principais de
tração).
7.3. CRITÉRIO DA MAIOR DEFORMAÇÃO LINEAR (PONCELET e SAINTVENANT)
(para materiais frágeis)
Este critério estabelece que a rotura de uma amostra sujeita a qualquer combinação
de cargas ocorre quando a deformação normal máxima em qualquer ponto atinge a
deformação limite determinada em um teste de tração simples.
Seja o elemento submetido às tensões principais σ1 e σ2
σ1
σ2
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σ2
ε =
σ1 ν
− σ
E E
ε =
σ2 ν
− σ
E E
ε max =
2
≤
1
≤
σ1 ν
− σ
E E
4
σ
lim
E
σ
lim
E
2
≤
σ
eq
E
, σ
eq
= σ 1 − ν .σ
2
σlim
σ lim
1+ ν
σ lim
1− ν
σlim
σlim
σ1
σlim
Pontos no interior do losango caracterizam a segurança do estado tensional.
Esta teoria não é confirmada experimentalmente.
7.4. CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO CISALHANTE (TRESCA)
"A maior tensão de cisalhamento não deve ultrapassar a metade da tensão limite de
tração, determinada no ensaio de tração simples".
Este critério se baseia no fato de que o escoamento dos materiais dúcteis é causado
por deslizamento do material ao longo de superfícies oblíquas, deslizamento devido ,
principalmente às tensões cisalhantes.
O círculo de Mohr para tração uni-axial será:
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τ
τ max =
5
σ lim
2
σ
σlim
No caso geral teremos,
τ
τ max =
σ3
σ2
σ1
σ1 − σ 3
2
σ
σeq = σ1 - σ3
Segundo este critério, se a tensão de cisalhamento atinge o valor limite, o material
escoa.
Observe-se que se adicionarmos um estado uniforme de tensões ao estado de tensão,
o valor da tensão cisalhante máxima não se altera. Então, segundo este critério,
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6
σ2+p
σ2
σ1
σ1+p
σ3+p
σ3
Os dois estados de tensão seriam igualmente perigosos, o que é um absurdo.
Para contornar esta incoerência, foi sugerido o uso deste critério juntamente com o
da máxima tensão normal (critério de TRESCA). Sua representação gráfica será:
No círculo de Mohr
B
τ
A
τmax
σc
o
σt
τmax
B
σ
A
Qualquer círculo de Mohr com raio < τmax caracterizará a segurança do estado tensional.
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Nos eixos σ1 x σ3 ,
σ3
σlim
σlim
-σlim
σ1
-σlim
Pontos no interior do hexágono caracterizam a segurança do estado tensional.
7.5. CRITÉRIO DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO (von MISES)
Materiais dúcteis que tenham aproximadamente a mesma resistência à tração e à
compressão.
Segundo a teoria, o material resiste até que a energia de distorção alcance um valor
limite, constante para cada material.
Vimos que, para um estado tri-axial de tensão, a densidade de energia de distorção é
dada por
U0=
[
1+ ν
(σ 1 − σ
6 .E
2
) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 + ( σ
2
−σ
Na tração simples, temos
1+ ν
. 2σ
6.E
U0=
2
1
Se igualarmos as energias, teremos
2σeq2 = ( σ1 - σ2 )2 + (σ1 - σ3 )2 + (σ2 - σ3 )2
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
3
) 2]
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Conforme podemos observar, este critério leva em conta a influência das 3 tensões
principais.
No caso particular do estado plano, teremos,
σeq2 = σ12 + σ32 - σ1.σ3  σlim2
cuja representação gráfica é a elipse da figura
σ3
σlim
σlim
-σlim
σ1
-σlim
7.6. CRITÉRIO DE MOHR-COULOMB
Suponhamos que tenhamos uma máquina de ensaios que nos permita aplicar
qualquer estado tensional ao corpo de prova e variar proporcionalmente todas as suas
componentes.
Escolhemos um determinado estado tensional a aumentamos simultaneamente todas
as suas componentes. Mais cedo ou mais tarde o corpo de prova irá romper, seja por
deformação excessiva ou rotura propriamente dita.
Podemos traçar o maior dos 3 círculos de Mohr. Consideraremos que o estado
tensional limite não depende de σ2.
Realizamos outro ensaio em outro corpo de prova de mesmo material partindo de
um outro estado tensional inicial e aumentando novamente as componentes de tensão até a
rotura. Traçamos outro círculo de Mohr, e assim por diante.
Os círculos traçados definirão uma envoltória, que é única para cada material
(independendo de σ2).
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τ
σ
Podemos observar que qualquer círculo de Mohr que, desenhado, esteja dentro da
região limitada pela envoltória, caracteriza um estado tensional seguro (isto é, não rompe).
Este critério não se preocupa em explicar o fenômeno da rotura, mas simplesmente
faz uma análise quantitativa dos resultados de ensaios.
O problema agora é construir esta envoltória quando se dispõe de um número
limitado de ensaios, por exemplo, ensaios de tração simples e de compressão simples.
Para isto admite-se que a envoltória é uma reta que será tangente aos círculos limites
conhecidos. Note-se que, na realidade, o ponto de intersecção da envoltória com o eixo σ é
mais próximo da origem do que quando se considera a envoltória como sendo uma reta.
Um outro círculo que é possível se determinar é o de cisalhamento puro (ensaio de torção),
porém ele não é de muito auxílio na determinação da envoltória.
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τ
σ
σt
σc
As tensões σt, σc, τ e σu correspondem a um determinado estado limite último, isto é, são
tensões limites. Segundo Mohr, deve existir um envoltória dos círculos representados,
tal que todo estado de tensão que tiver o seu círculo de Mohr sob esta envoltória será
seguro. Isto é, a condição de resistência enunciada por Mohr é: O corpo solicitado
atingirá o estado limite se o Círculo de Mohr tangenciar a Envoltória.
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Simplificação de Coulomb: “A Envoltória de Mohr é uma reta.”
τ
A
B
C
E
D
(σ 1* − σ 3* ) / 2
σc
σc/2
σt
σt/2
(σ 1* − σ 3* ) / 2
σ3
σ3*
σ
σ1
σ1*
Segundo a Hipótese de Mohr, o estado de tensão representado pelo Círculo cujas tensões
principais máxima e mínima são, respectivamente, σ1 e σ3 é seguro, isto é, não submete
o corpo solicitado ao estado limite último considerado. Suponhamos que para atingirmos
o estado limite tenhamos que multiplicar todas as componentes deste estado de tensão
por um número n. Assim, teríamos o estado de tensão limite representado pelo Círculo
cujas tensões principais máxima e mínima são, respectivamente, σ1* e σ3*. Isto é, σ1* =
n.σ1 e σ3* = n.σ3. Este Círculo tangencia a Envoltória.
Os triângulos ACE e BDE são retângulos e semelhantes. Logo,
AC CE
.
=
BD DE
O Círculo de Mohr do estado de tensão limite tem o raio igual a (σ1*-σ3*)/2 e a abcissa do
centro igual a (σ1*+σ3*)/2. Assim,
σ c σ 1* − σ 3*
AC =
−
=
2
2
σ
σ * − σ 3*
BD = t − 1
=
2
2
σ * + σ 3* σ c
CE = 1
+
=
2
2
σc
σ −σ3
,
− n. 1
2
2
σt
σ −σ3
,
− n. 1
2
2
σ + σ3 σc
n. 1
+
2
2
e DE =
σ 1* + σ 3* σ t
σ + σ3 σt
.
−
= n. 1
−
2
2
2
2
Substituindo estes valores na relação acima, temos:
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
σ
n. σ 1 − t .σ
σc

3
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
 = σ t .

Como n é o fator pelo qual devemos multiplicar as componentes de tensão para
atingirmos o estado limite, podemos dizer que n é o nosso “coeficiente de segurança” e
que a condição de resistência por este Critério é:

σ
n. σ 1 − t .σ
σc

3

 ≤ σ t .

Escrevendo n = γ φ , temos:

σ
γ . σ 1 − t .σ
σc

σ
onde k =
σt
, já que σ t = σ
σc
lim
eq
3

 ≤ φ .σ t e

= σ 1 − k .σ
3
.
Comparação entre os Critérios
Para o estado simples de tensão todos os critérios se eqüivalem pois em todos a tensão
equivalente é a mesma:
σ
eq
= σ1= σ .
Se o material possui as tensões limites na tração iguais às tensões limites na compressão
(σt = σc), o Critério de Mohr-Coulumb eqüivale ao Critério de Tresca (Máxima Tensão
de Cisalhamento). De fato, se σt = σc, então k = σc/σt = 1 e, no Critério de MohrCoulomb, σ eq = σ 1 − σ 3 , que é a tensão equivalente do Critério de Tresca. Os materiais
dúcteis, em geral, possuem σt = σc.
Como dito, nenhum desses critérios é universal. As Normas Técnicas, em geral,
estabelecem o critério a ser usado em cada caso de solicitação em determinado tipo de
material No entanto, via de regra, os critérios mais apropriados para materiais dúcteis
são o Critério de Tresca (Máxima Tensão de Cisalhamento) e o Critério de von Mises
(Máxima Energia de Distorção) e para materiais frágeis são o Critério de Mohr-Coulumb
e o Critério de Rankine (Máxima Tensão Normal).
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