Apontamentos de Matemática – 6.º ano

Apontamentos de Matemática – 6.º ano
Números naturais
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Revisão (divisores de um número)
Os divisores de um número são os números naturais pelos quais podemos dividir esse número
de forma exata (resto zero).
Exemplos:
Os divisores de 4 são 1, 2 e 4, pois se dividirmos 4 por 1, por 2 e por 4 obtemos resto zero.
4 :1  4, 4 : 2  2 e 4 : 4  1 . Se dividirmos 4 por qualquer outro
número natural, não vamos obter resto zero: 4 : 3  1 , e tem resto 1. Se
dividirmos 4 por números maiores que 4 também vamos obter restos
diferentes de zero.
Exercícios propostos
1. Determine os
divisores de:
Os divisores de 3 são 1 e 3, os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10.
a) 6
b) 10
Exemplo
c) 13
Determine os divisores de:
Respostas: a) 1 e 5
a) 5
b) 1, 3 e 9
b) 9
c) 1 e 11
c) 11
d) 15
e) 20
d) 15
d) 1, 3, 5 e 15 e) 1, 2, 4, 5,
10 e 20
e) 20
f) 23
g) 30
Vamos
observar
atentamente
as
respostas
e
recordar
alguns
conhecimentos do 5.º ano.
2. Em relação ao
- 1 é divisor de todos os números
exercício anterior
(se dividirmos qualquer número por 1 obtemos resto zero)
indique quais são os
- Qualquer número natural é divisor de si próprio
números primos e
(neste caso o quociente é a unidade e o resto é zero).
quais são os números
- Um número é múltiplo dos seus divisores
compostos.
(se, por exemplo, 3 é divisor de 12, então 12 é múltiplo de 3).
Voltemos ao exercício, e reparemos que alguns números têm dois (e só
dois) divisores: são eles o 3, 5 e 11. Estes números têm um nome: números primos.
Definição – Um número é primo se tem dois (e só dois) divisores.
Definição – Um número é composto se tem mais de dois divisores.
O número 1 não é primo nem composto – tem um único divisor que é ele próprio.
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1
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Números naturais
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Determinação de números primos.
Os números primos têm sido objeto de grande investigação ao longo da história da
matemática. Apesar da sua definição ser bastante simples, não se conhece nenhum método
para verificar se um número é ou não primo a não ser pelo cálculo dos seus divisores, o que se
pode tornar trabalhoso.
Deve-se a Eratóstenes (273-194 a. C.) um método para encontrar os números primos menores
que um dado número que se conhece pelo nome “Crivo de Eratóstenes”.
Escreve-se numa tabela a lista de todos os números de 2 até o número que se pretender.
Depois, nessa tabela vão-se eliminando os múltiplos de números primos até que o quadrado
do número primo seja maior que o maior número da tabela.
Exemplo: Determinar os números primos menores que 100:
Constrói-se a tabela com os números de 2 até 100.
Eliminam-se todos os múltiplos dos números primos 2,3,5 e 7
2
Nota. O seguinte número primo é o 11 mas como 11  121  100 , então já não se eliminam
os múltiplos de 11. Os números eliminados estão sombreados.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Os números primos menores que 100 são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 89 e 97.
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Decomposição de um número em fatores primos.
Vamos escrever alguns números como um produto (resultado de uma multiplicação) de
números primos.
Exemplo
Exercícios propostos
, Como 2 e 5 são números primos, 10 está escrito como um
produto de números primos, ou está decomposto em fatores primos.
, Como 4 não é número primo, substituímos 4 por um produto
de números primos
. Agora 20 já está escrito como um produto de números
3. Utilizando o
procedimento
descrito ao lado
decomponha em
fatores primos os
seguintes números:
primos ou decomposto em fatores primos.
a) 30
b) 12
Há várias formas de decompor um número em fatores primos.
Vamos ver um que é dos mais usados.
Supomos que queremos decompor o 18 em fatores primos.
c) 36
d) 150
e) 350
f) 245
g) 40
h) 99
1) Escreve-se o dezoito e traça-se uma linha vertical como mostra a figura
2) Divide-se 18 pelo menor número primo que é seu divisor (2 que é
colocado à sua direita)
3) Coloca-se o resultado da divisão debaixo do 18
4) Divide-se esse resultado (9) pelo menor primo que é seu divisor (3 que é
4. Complete as
seguintes
decomposições em
fatores primos
a) ___  32  5  90
b) 22  ____  36
c)
colocado à sua direita)
22  ____  11  220
5) Coloca-se o resultado debaixo do 9
d) 3  ___  7  105
6) Divide-se esse resultado (3) pelo menor primo (3 que é colocado à sua
direita)
Quando o resultado for a unidade (1) o processo termina
A coluna da direita são os fatores primos, então,
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Números naturais
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Neste exemplo os passos foram apresentados separadamente para se compreender, mas faz-se um único esquema, como se mostra a seguir.
Decompor 30 e 8 em fatores primos
Então,
e
Após estes exemplos, vamos enunciar uma regra denominada “Teorema fundamental da
aritmética”
Teorema fundamental da aritmética – Dado um número natural maior do que 1, existe uma
única sequência crescente em sentido lato de números primos, cujo produto é igual a esse
número.
A decomposição de um número em fatores primos tem diversas aplicações, algumas das quais
se indicam a seguir.
Aplicação da decomposição em fatores primos para simplificar frações
Revisão (simplificação de frações)
Duas ou mais frações dizem-se equivalentes quando representam o mesmo número.
Por exemplo,
1 2 4
  . Estas frações são equivalentes, pois representam o mesmo número.
2 4 8
Repare no esquema que mostra a equivalência destas três frações
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Princípio de equivalência de frações
Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo
número diferente de zero, obtemos uma fração equivalente.
Simplificar uma fração é encontrar outra equivalente formada por numerador e denominador
menores.
Exemplo
Encontre duas frações equivalentes a
Por exemplo,
4
5
4 8 20


5 10 25
Para obter
8
multiplicou-se o numerador e denominador da primeira fração por 2
10
Para obter
20
multiplicou-se o numerador e denominador da primeira fração por 5
25
Exemplo
Simplifique, se possível, as frações seguintes:
10 9 10 7
,
,
e
8 15 30 4
Resolução
10 5
 , dividiu-se o numerador e o denominador por 2 que é um divisor comum.
8 4
9 3
 , dividiu-se o numerador e denominador por 3
15 5
10 1
 , dividiu-se o numerador e denominador por 10
30 3
7
não se pode simplificar, pois é uma fração irredutível.
4
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Números naturais
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Vamos simplificar as mesmas frações usando a decomposição do
Exercícios propostos
numerador e do denominador em fatores primos.
5. Simplifique as
10
frações seguintes, se
, Decompõe-se o 10 e o 8 em fatores primos.
8
possível, tornando-as
irredutíveis após
10
25
2
5
5
5
5

 
 1


decompor o
8 222 2 22
22 22 4
numerador e o
denominador em
fatores primos.
Este processo pode simplificar-se eliminando simplesmente os fatores
comuns, como a seguir se indica.
a)
6
10
b)
18
15
9 3 3 3


15 3  5 5
c)
198
33
10
25
1


30 2  3  5 3
d)
45
75
7
7
7

 , 7 é primo, logo não se decompõe, e como não há fatores
4 22 4
e)
325
26
f)
63
70
g)
11
21
10
2 5
5
5



8
2 22
22 4
Habitualmente diz-se que “se cortam” os fatores comuns.
Exemplos
comuns no numerador e denominador, a fração é irredutível
Estes exemplos permitem-nos chegar a outra aplicação da decomposição
de números em fatores primos.
9 3 3 3

 , Reparemos que 3 é divisor comum de 9 e 15. Mais ainda,
15 3  5 5
como não podemos simplificar mais a fração esse é o máximo divisor
comum, isto é, m.d .c.  9,15  3
Repare que 3 é o fator comum das decomposições de 9 e de 15
No caso de
10
25
1

 , podemos observar que m.d .c. 10,30  10
30 2  3  5 3
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Vejamos agora outro
360 23  32  5 2  2 2  3 2  5 2 2  5 20




1134 2  34  7 2  3 2  32  7 32  7 63
Repare que eliminámos os fatores comuns elevados ao menor expoente.
Estes exemplos, que não provam todos os casos, levam-nos a compreender
melhor a aplicação seguinte.
Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar o máximo
Exercícios propostos
6. Utilizando a
decomposição em
fatores primos
determine:
a) m.d .c. 12,112 
b) m.d .c.  75,105
divisor comum.
c) m.d .c. 18, 21
A regra seguinte permite determinar o máximo divisor comum de dois ou
e) m.d .c.  33,90
d) m.d .c.  245,525
mais números a partir da sua decomposição em fatores primos.
decompostos em fatores primos, é igual ao produto dos fatores primos
7. Considere os
números A e B
decompostos em
fatores primos.
comuns decomposição destes números elevados cada um deles ao seu
A  2  32  5
Propriedade – O máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros,
menor expoente.
Exemplos de aplicação
Determinar o m.d .c.  36,500  e m.d .c.  42,75
Resolução
36  22  32 , 500  23  3  52
Há nas decomposições dois fatores comuns: 2 e 3.
O menor expoente de 2 é 2 e o menor expoente de 3 é 1.
Então m.d .c.  36,500  22  3  4  3  12
42  2  3  7 , 75  3  52
Há na decomposição um fator comum que é o 3, e o seu expoente é 1 nas
B  2  52
Resolva as alíneas
seguintes sem
calcular os valores de
A e B.
a) Indique três
divisores de A .
b) Indique dois
divisores de B que
não sejam números
primos.
c) Determine
m.d .c.  A, B  .
duas decomposições, logo é o menor expoente.
Então m.d .c.  42,75  3
Nota: Dois números dizem-se primos entre si se o seu máximo divisor comum é a unidade.
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Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar mínimo
múltiplo comum.
Exercícios propostos
A regra seguinte permite determinar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais
números a partir da sua decomposição em fatores primos.
8. Utilizando a
decomposição em
fatores primos
determine:
Propriedade – O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros,
a) m.m.c. 12,14 
decompostos em fatores primos, é igual ao produto dos fatores primos comuns
b) m.m.c.  75,35
e não comuns da decomposição destes números elevados cada um deles ao seu
maior expoente.
d) m.m.c.  245,525
e) m.d .c.  33,30
Exemplos de aplicação
Determinar o m.m.c.  20,35 e m.m.c. 12, 40 
Resolução
20  2 2  5 ,
c) m.m.c. 18,21
35  5  7
9. Considere os
números A e B
decompostos em
fatores primos.
Há nas decomposições os seguintes fatores: 2, 5 e 7 (o maior expoente de 2
A  2  32  52
é 2 e dos outros fatores é 1)
B  2  52
Então m.m.c.  20,35  22  5  7  140
Resolva as alíneas
seguintes sem
calcular os valores de
A e B.
12  2 2  3 , 40  2 3  5
Há na decomposição os seguintes fatores: 2, 3 e 5 (o maior expoente do 2 é
3, e do 3 e do 5 é 1).
Então m.m.c. 12,40   2  3  5  120
3
a) Qual é o quociente
da divisão de A por
5? E por 25?
b) A : B
c) Determine
m.m.c.  A, B  .
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Aplicações da decomposição em fatores primos para determinar os divisores de um número
natural
No 5.º ano os alunos aprenderam a determinar os divisores de um número dividindo
sucessivamente esse número por sucessivos números. Este método funciona bem para alguns
números, mas torna-se trabalhoso para outros casos.
Comecemos por apresentar um exemplo simples: determinar os divisores de 12.
Vamos decompor o 12 em fatores primos
12  2 2  3
Os divisores de 12 são:
1 (que é divisor de todos os números)
2 (que se encontra na decomposição)
4 (que se encontra na decomposição na forma de 2 2 )
6 (que se encontra na decomposição na forma de 2  3 )
12 (que se encontra na decomposição na forma de 2 2  3 )
Na realidade, encontramos os divisores na decomposição do número, procurando os diversos
produtos.
A procura e determinação destes produtos permite calcular todos os divisores de um número,
no entanto, em alguns casos torna-se trabalhosa.
Além deste, existem vários algoritmos (ou procedimentos) um dos quais será apresentado a
seguir.
Exemplo: Determinar todos os divisores de 12 usando a sua decomposição em fatores primos
Resolução
12  2 2  3
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Notas
1 - Coloca-se sempre
(é divisor de todos os números naturais)
2 – Corresponde a 21
4 – Corresponde a 2 2
São as potências de base 2 até 2 2 , a potência
mais alta de 2
9
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Curiosidade: 1 vem de 20  1 , que não faz parte do programa e metas curriculares do 6.º ano
– uma potência de expoente 0 e base diferente de zero é igual à unidade.
3 – É o outro número da decomposição
Só aparece 1 vez, pois está elevado a 1
Notas
3 é o resultado de 3 1
6 é o resultado de 3  2
12 é o resultado de 3  4
Os divisores de 12 são: 1, 2, 4, 3, 6 e 12 (que aparecem no lado direito)
O esquema seguinte mostra a determinação dos divisores de 360
360  23  32  5
Exercícios propostos
10. Utilizando a
decomposição em
fatores primos,
determine os
divisores dos
seguintes números:
a) 36
b) 150
c) 63
Então os divisores de 360 são:
d) 275
1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72, 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120, 45, 90, 180,
e) 180
360.
f) 300
Notas:
1, 2, 4 e 8 são as potências de base 2 até 23
2
3 e 9, na coluna da esquerda, são as potências de base 3, até 3
5, na coluna da esquerda, é o 5 da decomposição (que está elevado a 1)
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Na coluna da direita temos:
3  3 1 , 6  3  2 , 12  3  4 , 24  3  8 ,
9  9 1 , 18  9  2 , 36  9  4 , 72  9  8 ,
5  5 1 , 10  5  2 , 20  5  4 , 40  5  8 ,
15  5  3 , 30  5  6 , 60  5 12 , 120  5  24
45  5  9 , 90  5 18 , 180  5  36 , 360  5  72
Exercícios propostos
11. Considere os
números:
A  2  32  5 e
B  63
a) Escreve B como
um produto de
fatores primos.
Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar o
Resolva as alíneas
anteriores usando a
decomposição em
fatores primos.
número de divisores de um número *
b) Determine
Para saber mais
Para calcular o número de divisores de um número inteiro
decomposto em fatores primos:
m.d .c.  A, B 
m.m.c.  A, B 
- adiciona-se 1 unidade a todos os expoentes;
- multiplicam-se os valores encontrados.
c) Justifique que A é
um número par.
Exemplo
d) Determine os
divisores de A .
Determinar todos os divisores de 360
360  23  32  5
12.* Determine, sem
calcular A , o número
de divisores de
Os expoentes da decomposição são 3, 2 e 1. Então o número de
A  2 2  5  112 .
Resolução
divisores de 360 é  3  1   2  1  1  1  4  3  2  24
O número 360 tem 24 divisores.
* Tema não incluído no programa e metas curriculares do 6.º ano.
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Soluções dos exercícios propostos
1. a) 1, 2, 3, 6 b) 1, 2, 5, 10
f) 1, 23
c) 1, 13
d) 1, 3, 5, 15
e) 1, 2, 4, 5, 10, 20
g) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
2. Números primos: 13 e 23 (têm dois divisores)
Números compostos: 6, 10, 15, 20, 30 (têm mais de dois divisores)
3 a) 2  3  5
2
b) 2  3
2
2
c) 2  3
2
d) 2  3  5
2
e) 2  5  7
2
f) 5  7
3
g) 2  5
2
h) 3  11
2
4. a) 2 b) 3 c) 5 d) 5
5. A)
6. a) 22  4
c) 3
b) 3  5  15
7. a) 2, 3 e 10 (por exemplo)
2
8. a) 2  3  7  84
3
6
b)
5
5
d) 5  7  35
b) 10 e 25
2
b) 3  5  7  225
2
2
d) 3  5  7  3675
c) 6
d)
3
5
e)
25
9
f)
10
2
g)
e) 3
c) 2  5  10
2
c) 2  3  7  126
e) 3 11  2  5  3300
2
2
9. a) 2  3  5  90 e 2  3  18
b) 9
10. a) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
b) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150
c) 1, 3, 7, 9, 21, 63
11
21
c) 3 11  2  5  3300
d) 1, 5, 11, 25, 55, 275
e) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
f) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300
2
11. a) 63  3  7
b) m.d .c.  A, B   32  9 ,
m.m.c.  A, B   2  32  5  7  715
É par, pois 2 é divisor de A (está na sua decomposição) 12. 18 divisores
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