Qual é o cone com maior volume - Guia do

geometria
e medidas
Guia do professor
Experimento
Qual é o cone com maior volume?
Objetivos da unidade
1. Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone
com maior volume que se poderia montar;
2. Explorar a maximização e minimização de funções.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Guia do professor
Qual é o cone
com maior
volume?
Sinopse
Reunidos em grupos, os alunos construirão seis cones diferentes usando o
mesmo material inicial (um círculo de cartolina com 8 cm de raio) e tentarão
organizá-los em ordem de volume. Feito isso, calcularão seus volumes
a partir de suas medidas e tentarão descobrir como o cone deveria ser
montado para que se obtivesse o maior volume possível.
Conteúdos
Geometria Espacial – Aplicação: Problema de Otimização.
Objetivos
1. Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone com maior volume
que se poderia montar;
2. Explorar a maximização e minimização de funções.
Duração
Uma aula dupla.
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„„
Material relacionado
Experimento: Caixa de Papel;
Experimento: Qual o prismas de maior volume.
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A otimização de embalagens, peças e recipientes é um processo frequente
em indústrias de maneira geral. Normalmente, o que se quer é obter o maior
volume consumindo uma quantidade fixa de material ou obter um certo
volume usando a menor quantidade de material possível.
Do ponto de vista matemático, o foco central é a investigação de
pontos de máximos e mínimos de funções. Esses pontos podem ser
extremos locais, denominados pontos críticos (onde a derivada primeira da função é zero ou inexistente), como no caso do ponto de
mínimo da parábola , ou de máximo da função, como em
, por exemplo. Em muitas situações, os pontos procurados
são extremos globais da função dentro de uma determinada região. As
funções podem, ainda, ter uma, duas ou muitas variáveis.
Assim, quando falamos em otimização, podemos estar nos referindo a
métodos matemáticos, a algoritmos computacionais, a modelagem de um
problema ou a alguma necessidade prática específica. Ou, na maioria das
vezes, a tudo isso junto.
O experimento proposto envolve alguns desses aspectos da otimização.
Utilizando círculos de cartolina, os alunos vão construir vários cones e,
a partir de algumas análises, poderão, experimentalmente, levantar
hipóteses sobre como deve ser a construção do sólido para que ele tenha
o maior volume possível.
GkWbƒeYed[YeccW_ehlebkc[5 Cej_lW‚€e
Este experimento apresenta um procedimento completo de modelagem
matemática com enfoque em otimização. Vários conceitos estudados no
Ensino Médio, como funções, gráficos, relações métricas no plano e volume
de sólidos, serão utilizados para o estudo do problema proposto. Durante
as atividades, os alunos são convidados a tomar decisões, validar suas
hipóteses ou modelos e, ao final, poderão comparar as respostas que
obtiveram com as respostas dos diferentes grupos.
E[nf[h_c[dje
Comentários iniciais
Professor, certifique-se de que os alunos entenderam qual é o problema,
a saber, cortar o círculo de cartolina e depois colar de forma a ter um cone
que tenha o maior volume interno possível.
;jWfW' Construção dos cones
Quando os alunos cortarem o círculo (veja figura abaixo), ambas as fatias
podem ser usadas para construir cones. Desta forma, cada corte pode gerar
dois cones. Isto não é óbvio para os alunos inicialmente. Deixe-os fazer os
cortes e peça apenas que eles guardem as fatias cortadas. Oportunamente,
mostre que eles podem fazer outros cones com as fatias cortadas.
=k_WZefhe\[iieh
( % -
Θ
fig. 1
;jWfW( Cálculo dos volumes
No cálculo dos volumes dos cones, ambas as medidas devem ser feitas
com cuidado para não ter muito erro ao final.
A medida do diâmetro ou raio da base circular usualmente tem menos
erro sistemático, pois os alunos os medem diretamente. No entanto,
qualquer erro nesta medida vai aparecer duplamente no cálculo da área
da base.
fig. 2 Medida da altura do cone.
A altura do cone é uma medida que exige um pouco mais de atenção
porque é indireta, mas com um pouco de zelo não deve gerar muitos erros
no cálculo do volume.
GkWbƒeYed[YeccW_ehlebkc[5 <[Y^Wc[dje
Na seção “Modelagem do problema” no Fechamento do experimento
é deduzida a seguinte expressão para o cálculo do volume do cone em
função do ângulo da fatia retirada do disco inicial:
Durante o experimento, foi mencionado o fato de que o valor máximo
para o volume do cone ocorre quando é aproximadamente igual a .
A seguir, vamos determinar precisamente esse valor utilizando alguns
conceitos de cálculo diferencial:
Fazendo a substituição
podemos escrever o volume do cone em função de ,
.
Pela natureza do problema, devemos ter e, da expressão de
,
devemos ter . Logo, o domínio da função são todos os valores
reais de , tais que .
Note que o valor de é uma fração que representa a porção do disco que
será utilizada na construção do cone. Portanto, o raio do cone construído
será igual ao raio do disco multiplicado por .
De fato, conforme deduzimos no experimento,
.
=k_WZefhe\[iieh
) % -
O mesmo fato pode ser observado para a área lateral do cone ( ) em
relação à área do disco original ( ):
.
Determinação do cone ótimo utilizando cálculo diferencial
Estamos interessados em encontrar o ponto de máximo da função
.
Se elevarmos ambos os lados da igualdade acima ao quadrado, podemos nos livrar da raiz quadrada que aparece na equação. Assim,
ou ainda,
,
.
Vamos denotar por a função que representa o quadrado do volume
do cone, isto é, .
Do ponto de vista da otimização, maximizar um volume é equivalente a
maximizar o seu quadrado. Ou seja, podemos considerar a função ao
invés da função . De fato, se um ponto é um ponto de máximo (ou
de mínimo) para a função , também será um ponto de máximo (ou
de mínimo) para . Obviamente, os valores das imagens e são diferentes.
Expandindo a multiplicação em , podemos escrever
.
Sabemos que os extremos locais de função diferenciável ocorre onde a
derivada primeira é nula ou inexistente.
Derivando em relação a , obtemos,
,
GkWbƒeYed[YeccW_ehlebkc[5 ou ainda,
.
Para encontrar seus pontos críticos, devemos resolver a equação
.
ou
Como a derivada está definida para todos os valores de (
é uma função
polinomial),
temos que os únicos
pontos críticos de são
, e . Como não pertence ao domínio
que nos interessa, simplesmente vamos descartar esse valor. Um ponto
crítico pode ser um máximo local, um mínimo local ou ainda um ponto de
inflexão da função.
Para classificarmos os pontos críticos de , vamos analisar sua derivada segunda:
.
Avaliando os pontos críticos na segunda derivada, obtemos:
< O teste da derivada segunda não é conclusivo para o ponto . Mas,
claramente, implica , isto é, o volume do cone é igual
a zero. Como o volume do cone é um número não negativo, o valor é,
certamente, mínimo
absoluto para .
Como < , o ponto é um ponto de máximo local da
função .
=k_WZefhe\[iieh
* % -
O ângulo que deve ser retirado para obtenção do cone ótimo é encontrado após desfazermos a substituição
.
, .
Assim,
Portanto, o valor máximo para o volume do cone será obtido quando o
ângulo da fatia retirada for igual a
, .
Isso equivale a um volume aproximado de
, cm.
Interpretação geométrica para o cone ótimo
Já dissemos que o valor de
representa a fração do disco que será retirada para a construção
do cone.
Deduzimos que, para obter o maior volume possível,
, é neces
sário que a altura deste cone seja igual a . Portanto, o cone
de maior volume que pode ser construído
disco
retirando uma fatia de um
circular possuiraio da base igual a e altura igual a .
Note que , ou seja, a relação entre o raio e a altura do cone ótimo
é a mesma relação existente entre o lado de um quadrado e sua diagonal
interna.
GkWbƒeYed[YeccW_ehlebkc[5 fig. 3
Isso significa que um cone ótimo pode ser construído com régua e
compasso, conforme ilustrado na figura 3: baixando a diagonal para
formar o raio da base do cone e mantendo o lado do quadrado como altura
do cone.
Considerações finais
Conforme sugerido no experimento, o fechamento da atividade será feito
com um desafio proposto aos alunos:
Questão para os alunos
Quem consegue obter o cone de maior volume?
Esperamos que os alunos utilizem os resultados de seus experimentos
para estimar valores de cada vez mais próximos de , , obtendo
cones com volumes que convirjam para , cm . O professor pode
ainda propor um desafio adicional:
=k_WZefhe\[iieh
+ % -
Questão para os alunos
1. Quantos cones com cm de volume podem ser construídos?
2. Se houver mais de um desses cones, calcule qual possui a menor área
lateral.
A resposta exata da questão 1. envolve a resolução da equação
,
que, mesmo escrita na forma
,
ainda não tem solução analítica trivial.
No entanto, uma análise do gráfico construído através do experimento
permite concluir que existem dois cones com volumes iguais a cm.
, e outro tomando .
Um deles tomando 210 180
150
120
90
60
30
0
0°
fig. 4
30°
60°
90°
120°
150°
180°
210°
240°
270°
300°
330°
360°
GkWbƒeYed[YeccW_ehlebkc[5 Da relação
,
, , a fatia de disco utilizada para formar o
concluímos que, para cone terá área igual a
, , cm.
, a fatia de disco utilizada para formar o
De forma análoga, para cone terá área igual a
, cm.
Portanto, o cone formado a partir da retirada da fatia de disco com
possui a menor área lateral. Finalmente, uma embalagem
ângulo com volume igual a cm, em forma de cone, produzida a partir de um
disco circular de raio cm, seria a opção mais econômica em termos
de área lateral.
LWh_W‚[i
Uma variação deste experimento pode ser encontrada no software “Cone
de volume máximo”, no qual os alunos modelam o problema e desenham
o gráfico da função no computador.
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Lima, Elon Lages; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo;
Morgado, Augusto César. A matemática do Ensino Médio. Coleção do
professor de matemática. Vol. 2. Sociedade Brasileira de Matemática. Impa.
Rio de Janeiro – RJ, 2003.
=k_WZefhe\[iieh
, % -
Ficha técnica
Autor
Cristiano Torezzan
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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