CURSO COMPLETO COM 400 questões resolvidas passo a passo

Chico Vieira
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Conteúdo
MÁXIMOS E MINIMOS DE UMA FUNÇÃO ..................................................................................... 2
DERIVADAS E RETAS TANGENTES.................................................................................................. 3
INTEGRAIS ..................................................................................................................................... 4
INTEGRAIS DE LINHA ..................................................................................................................... 5
Series ............................................................................................................................................. 7
Cálculo Numérico .......................................................................................................................... 8
Álgebra Linear ............................................................................................................................. 10
GRADIENTE, ROTACIONAL, DIVERGENTE E LAPLACIANO............................................................ 10
EDO.............................................................................................................................................. 12
ESTÁTICA E PROPABILIDADE ....................................................................................................... 14
ENERGIA E TRABALHO ................................................................................................................. 15
QUESTÃO DE 2014....................................................................................................................... 16
COLISÕES ..................................................................................................................................... 16
CINEMÁTICA ................................................................................................................................ 19
LEIS DE NEWTON, ATRITO E CENTRÍPETA ................................................................................... 21
ROTAÇÃO E MOMENTO ANGULAR ............................................................................................. 22
DINÂMICA + CÁLCULO................................................................................................................. 23
TERMOLOGIA .............................................................................................................................. 23
ESRÁTICA E DINÂMICA DOS FLUIDOS ......................................................................................... 26
ELETROSTÁTICA ........................................................................................................................... 28
ELETROMAGNETISMO ................................................................................................................. 30
CURSO COMPLETO COM 400 questões
resolvidas passo a passo ! Questões da
Marinha & Petrobras
(CESPE e CESGRANRIO)
1
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MATEMÁTICA
MÁXIMOS E MINIMOS DE UMA FUNÇÃO
QUESTÃO DE 2006
Sejam a e b números reais e 𝑓(𝑥) = sin(cos(𝑎𝑥 + 𝑏)) , 𝑥 ∈ 𝑅.
a) Calcule 𝑓 ′ (𝑥). (1 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜)
b) Calcule os Valores de a e b que maximizam 𝑓(0). (2 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠)
Questão de 2007
Para 0 < a < 1, considere
2𝜋
𝐼(𝑎) = 𝑎 ∫0 [cos(𝑎𝑥) − sin(𝑎𝑥)]𝑑𝑥.
a) Calcule 𝐼(𝑎). (1 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜)
b) Encontre os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local de 𝐼(𝑎). (1 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜)
Questão de 2009
Seja 𝑓(𝑥) =e(x^3-6x^2) , 𝑥 ∈ 𝑅
a) Calcule 𝑓 ′ (𝑥), 𝑥 ∈ 𝑅. (2 pontos)
b) Determine os pontos de mínimo local de 𝑓(𝑥). (1 ponto)
Questão de 2010
Calcule o(s) ponto(s) de máximo local e o(s) ponto(s) de mínimo local de 𝑓(𝑥) =
𝑥
2𝑥 2 +4
, 𝑥 ∈ 𝑅.
2
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DERIVADAS E RETAS TANGENTES
Questão de 2012
O Coeficiente angular da reta tangente à elipse de equação 𝑥 2 + 2𝑣 2 = 3 no ponto
(1,1) é:
a)
b)
c)
d)
e)
2
1/2
0
-1/2
-2
Questão de 2013
Uma função 𝑓: 𝑅 ⟶ 𝑅 é derivável, crescente e satisfaz 𝑓(0) = 0. Se g(x)=f(sin(f(x)))
satisfaz g’(0) = 4, então f’ (0) é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
-4
1
2
3
4
Questão de 2014
A função 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒 𝑥+𝑎𝑡 é solução da equação 4𝑢𝑥𝑥 = 𝑈𝑡𝑡 para:
a)
b)
c)
d)
e)
a=1/2 e a=-1/2
a=2 e a=-2
apenas a=2
apenas a=1/2
a=2 e a=1/2
3
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INTEGRAIS
Questão de 2008
Considere 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 𝑒 𝑔: 𝑅 ⟶ 𝑅 uma função derivável tal que g’(0)=2.
a) Considere h(x)=g(f(x)) e calcule h’(0). (1 ponto)
𝜋
b) Calcule ∫0 𝑥𝑓(𝑥 2 )𝑑𝑥. (1 ponto)
Questão de 2012
A área da região ão 𝐴 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤
a)
b)
c)
d)
e)
𝜋
2
𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ min{sin x , cos x}} é:
2 − √2
2 − √3
(2 − √2)/2
(2 − √3)/2
(2 + √3)/2
Questão de 2013
Qual é a área entre os gráficos de 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑑𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑒 −𝑥 , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1?
a)
b)
c)
(𝑒 2 − 2𝑒+1)
𝑒
(𝑒 2 + 2𝑒+1)
𝑒
(𝑒 2 − 2𝑒−1)
d) 2
e) 2
𝑒
(𝑒 2 − 2𝑒+1)
𝑒
(𝑒 2 + 2𝑒+1)
𝑒
4
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Questão de 2014
A área de 𝐴 ∩ 𝐵, onde
𝐴 = { {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑅 2 : 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
, 0 ≤ 𝑦 ≤ cos 𝑥}
2
𝐵 = { {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑅 2 : 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
, sin 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1}
2
É igual a:
a)
b)
√2−1
2
√2
2
c) √2 − 1
d) 1
e) √2
INTEGRAIS DE LINHA
Questão de 2008
Sejam 𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦, 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 𝑥 2 + 𝑥.
𝜕𝑄
𝜕𝑃
a)
Calcule 𝑉(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑋 (𝑥, 𝑦) − 𝜕𝑌 (𝑥, 𝑦). (1 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜)
b)
Considere 𝑃(𝑥, 𝑦) = (𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑄(𝑥, 𝑦)) e calcule a integral de linha ∫𝑐 𝐹. 𝑑𝑙 ,
onde c é o contorno do trapézio de vértices A=(0,1), B=(17,1), c=(5,0) e D=(0,0),
percorrido uma vez no sentido anti-horário (2 pontos)
5
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Questão de 2009
Seja 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 4𝑥 2 + 𝑦 2 , (4𝑥 2 + 𝑦 2 )2 ), (𝑥, 𝑦)𝜖 𝑅 2 . Calcule a integral de linha
∫ 𝐹. 𝑑𝑙
𝑦
Em que y é a curva 𝑥 2 +
𝑦2
4
= 1 percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Questão de 2010
Considere o campo de vetores
𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥 2 𝑦 + 𝑦 4 , 𝑦 2 + 𝑥 3 + 4𝑥𝑦 3 ), (𝑥, 𝑦) 𝜖 𝑅 2,
Onde 𝜆 é um parâmetro real.
a)
Calcule a integral de linha de 𝐹(𝑥, 𝑦) ao longo do segmento de reta que une os
pontos A=(0,0) e B=(1,2), percorrido no sentido de A para B. (1 ponto)
b)
Determine o(s) valor(ES) de 𝜆 para os quais o campo F(x,y) deriva de potencial
(isto é, o campo é conservativo). (1,5 ponto)
Questão de 2012
O trabalho realizado pela força 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) − (𝑦, −𝑥, 𝑧 + 𝑥 2 + 𝑦 2 ) para transportar um
ponto material de massa unitária do ponto (0,1,0) ao ponto (1,0,𝜋) pela curva
𝑐(𝑡) = (sin 𝑡 , cos 𝑡, 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋, é:
a) 3𝜋 +
b) 2𝜋 +
c) 3𝜋 +
d) 2𝜋 +
e) 𝜋 +
𝜋2
2
𝜋2
2
𝜋2
4
𝜋2
4
𝜋2
4
6
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Questão de 2013
Qual é a integral de linha do campo 𝐹(𝑥, 𝑦) + (𝑥 2 + 2𝑦, 𝑥 + 𝑦 2 ) ao longo da curva
𝛾(𝑡) = (cos 𝑡 , sin 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋?
a)
b)
c)
d)
e)
−𝜋
0
𝜋
2𝜋
3𝜋
Series
Questão de 2008
Seja 𝐻: [−𝜋, 𝜋] ⟶ 𝑅, definida por 𝐻(𝑥) = −1, se −𝜋 ≤ 𝑥 < 0, 𝐻(𝑥) =
1, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋.
Determine a expansão em série de Fourier de H(x).
Questão de 2009
Determine os valores de x E R para os quais a série ∑𝑚≥0
𝑋𝑚
𝑚+1
converge (m E N).
Questão de 2013
Se m E ]0,1[ e 𝑓(𝑥) = ∑𝑘≥1
𝑚𝑘 𝑥 𝑘
𝑘
1
1
, − 𝑚 < 𝑥 < 𝑚, então f’ (1) é igual a
a) m
b) 0
c)
d)
e)
𝑚
1+𝑚
1
1−𝑚
𝑚
1−𝑚
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Questão de 2014
O raio de convergência da série de potências ∑𝑛!/𝑛𝑛 ) 𝑥^𝑛 é igual a:
a)
b)
1
𝑒2
1
𝑒
c) 1
d) e
e) 𝑒 2
Cálculo Numérico
Questão de 2006
Considere a tabela abaixo em que a é um número real.
𝑋𝑘
𝑌𝑘
0
1
1
−1
2
2
3
𝑎2
Calcule os valores de a para os quais o polinômio interpolador dessa tabela tem grau 2.
Questão de 2008
Considere a tabela da função F(x)
x
F(x)
0
-1
1
a+1
2
1
3
a+3
Onde a é um parâmetro real.
2
a) Calcule ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 pelo método de Simpson. (1,5 ponto)
b) Calcule o valor do parâmetro a para o qual o grau do polinômio interpolador da
tabela acima é o menor possível. (1,5 ponto)
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Questão de 2010
Considere 𝑓(𝑥) = sin4
𝜋𝑥
2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
1
a) Use o método dos trapézios e calcule uma aproximação de ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. (1
ponto)
1
b) Use o método de Simpson e calcule uma aproximação de ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. (1,5
ponto)
Questão de 2012
𝜋/2
Ao aproximar-se ∫0
sin(𝑥 2 ) 𝑑𝑥 pelo método de Simpson sem repetições, usando as
𝜋2
𝜋2
aproximações sin ( 4 ) = 0,62 e sin(16) = 0,58, obtém-se:
a)
b)
c)
d)
e)
(0,51)π
(0,49)π
(0,255)π
(0,245)π
(0,18)π
Questão de 2014
Observe a tabela a seguir:
x
F(x)
-2
0
-1
3
1
𝜆
2
0
O polinômio interpolador da tabela acima tem grau 2, sendo assim, 𝜆 é igual a:
a) −3
1
b) − 3
c) 0
d)
1
3
e) 3
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Questão de 2013
Observe a tabela abaixo:
𝑥𝑖
𝑌𝑖 = 𝐹(𝑥1 )
0
1
1
m
2
-3
Se o polinômio interpolar dessa tabela tem grau um, então m é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
-2
-1
0
1
2
Álgebra Linear
Questão de 2014
A transformação linear 𝑇: 𝑅 2 → 𝑅 2 tem polinômio característico 𝑝(𝜆) = 𝜆2 −
5𝜆 + 6, sendo assim, a imagem do triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1) por T
tem área igual a:
a) 1/6
b) 1/3
c) 3
d) 6
GRADIENTE, ROTACIONAL, DIVERGENTE E LAPLACIANO
Questão de 2006
Considere o campo vetorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧 2 , 𝑥 2 , 𝑦 2 ).
a) Calcule o divergente de F. (1 ponto)
b) Calcule o rotacional de F. (1 ponto)
c) Calcule ∫𝐴 𝑟𝑜𝑡(𝐹). 𝑛𝑑𝑠, onde A é semi-esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1, 𝑧 > 0, e n é o
vetor normal unitário que aponta para o centro de A. (1 ponto)
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Questão de 2007
Seja 𝑓(𝑡) = 𝑒 𝑡 cos 𝑡 , 𝑡 𝜖 𝑅.
a) Calcule 𝑓 ′ (𝑡). (1 ponto)
b) Considere 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥 + 2𝑦), x e y em R, e calcule o gradiente de u. (1
ponto)
Questão de 2007
Seja F(x,y,z)=(2x+y,x+z,y+2z).
a) Calcule o rotacional de F. (1 ponto)
b) Calcule a integral de linha ∫𝑣 𝑓. 𝑑𝑙, onde 𝛾(𝑡) = (sin 𝑡 , cos 𝑡 , 𝑙), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. (2
pontos)
Questão de 2009
Determine os valores de a E R para os quais 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎2 𝑥 3 + 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 2 resolve a
equação a derivadas parciais ∆𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0, em que ∆𝑓 é o laplaciano de f.
Questão de 2012
Os valores de K para os quais o campo vetorial 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 2 + 𝑥 2 , 𝐾 2 𝑥𝑦 + 𝑧, 𝑦 + 𝑧)
tem rotacional nulo são:
a)
b)
c)
d)
e)
𝑘
𝑘
𝑘
𝑘
𝑘
= ±2
= ±√3
= ±3
= ±4
= ±√2
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Questão de 2012
Seja 𝑓: 𝑅 → 𝑅, definida por 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥 2 − 𝑦). Então o laplaciano de u é:
a)
b)
c)
d)
e)
2𝑓 ′ (𝑥 2 − 𝑦) + (4𝑥 2 − 1)𝑓 ′′ (𝑥 2 − 𝑦)
2𝑓 ′ (𝑥 2 − 𝑦) − 𝑓 ′′ (𝑥 2 − 𝑦)
2𝑓 ′ (𝑥 2 − 𝑦) + (4𝑥 2 + 1)𝑓 ′′ (𝑥 2 − 𝑦)
2𝑓 ′′ (𝑥 2 − 𝑦)
(4𝑥 2 + 1)𝑓 ′′ (𝑥 2 − 𝑦)
Questão de 2013
Quais são os pontos da circunferência 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 em que o gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
2
+ 𝑦 2 tem módulo máximo?
a) (0,-1) e (0,1)
b) (-1,0) e (1,0)
c) (−
√2
√2
,− 2 )𝑒
2
√2 √2
)
2
(2 ,
d) (1,0) e (0,1)
e) (−1,0) e (0,-1)
EDO
Questão de 2006
Considere a equação diferencial 𝑢′′ − 4𝑢 = 4𝑥 2 .
a) Mostre que 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 1/2 é uma solução dessa equação (1ponto)
b) Calcule a solução geral de 𝑢′′ − 4𝑢 = 𝑥 2 . ( 1 ponto)
Questão de 2007
Para n=123,... considere o problema de valor inicial:
𝑦 ′′ + 𝑛2 𝑦𝑛 = 0
𝑦𝑛 (0) = 1
𝑦𝑛′ (0) = 0.
a) Calcule 𝑦𝑛 (𝑥). (1 ponto)
b) Calcule o período 𝑇𝑛 de 𝑦𝑛 (𝑥). (1 ponto)
c) Calcule lim𝑛→∞ 𝑇𝑛 . (1 ponto)
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Questão de 2010
Determine os valores de 𝜆 𝜖 𝑅 para os quais todas as soluções da equação diferencial
𝑥 ′′ + 𝜆𝑥 ′ + 𝑥 = 0 são limitadas.
Questão de 2012
O valor de 𝑣0 em R para o qual a solução 𝑥(𝑡) do problema de valor inicial 𝑥 ′′ + 𝑥 ′ −
1
2𝑥 = 0, 𝑥(0) = 0, 𝑥´(0) = 𝑣0 , satisfaz 𝑥(1) = 𝑒 2 , é:
a)
b)
c)
d)
e)
3(𝑒 3 − 1)
3/(𝑒 3 − 1)
3(𝑒 2 − 1)
3/(𝑒 2 − 1)
3𝑒
Questão de 2013
Se a solução de 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 0, satisfazendo 𝑦(0) = 1 e 𝑦 ′ (0) = 𝑚, é limitada no
intervalo [, +∞[, então m é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
-2
-1
0
1
2
Questão de 2014
A solução da equação diferencial ordinária 𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑓(𝑥), com condições iniciais
𝑦(0) = 0 e 𝑦 ′ (0) = 1, é 𝑦(𝑥) = 𝑥𝑒 −𝑥 . Então, f(0) é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
-4
-3
-2
-1
0
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ESTÁTICA E PROPABILIDADE
Questão de 2012
Uma classe de 20 estudantes fez uma prova e a média aritmética das notas obtidas foi
6.5. Escolheu-se um grupo de 5 estudantes e verificou-se que a média aritmética das
notas obtidas por esses estudantes nessa prova foi 8,0.. Nessas condições, a média
aritmética das notas obtidas nessa prova pelos 15 outros estudantes da classe foi:
a)
b)
c)
d)
e)
5,0
6,0
6,125
6,25
6,5
Questão de 2013
Um dado comum de seis faces numeradas de 1 a 6, honesta (balanceado), é lançado
três vezes em sequência. A probabilidade de que o produto dos úmeros obtidos nesses
lançamentos seja par é
a)
b)
c)
d)
e)
1/8
1/6
1/2
5/6
7/8
Questão de 2014
Em uma urna ha 1000 cartões numerados de 0 a 999. Sorteando um desses cartões ao
acaso, a probabilidade desse cartão ter um número divisível por 4 é:
a)
b)
c)
d)
e)
1/4
1/3
1/2
2/3
3/4
14
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Física
ENERGIA E TRABALHO
QUESTÃO DE 2007
Uma mola de constante elástica k e cumprimento natural d é presa na vertical a
um ponto 0 pela sua extremidade superior. Um ponto material P de massa m é
colocado na extremidade livre da mola. A aceleração da gravidade no local é
constante e igual a g. Suponha que as únicas forcas que atuam no sistema são a
força elástica da mola e o peso.
a)
b)
Determine a posição de equilíbrio desse sistema (2 pontos)
Considere o movimento de P que começa com velocidade 𝑣0 = 0 no ponto
em que a mola está em seu comprimento natural. Calcule o ponto mais
baixo desse movimento de P. (2 pontos)
Questão de 2013
Uma mola de comprimento natural 3 m e de constante elétrica 10N/m tem
uma extremidade fixada a 10 m do solo e, em sua outra extremidade, está preso um
corpo de 2 Kg. No instante 𝑡0 , esse corpo se encontra a uma altura de 9 m do solo, com
velocidade nula. Sabendo que o movimento subseqüente desse corpo se dá sobre a
reta vertical em que a mola se encontra a que tal corpo sofre apenas a ação das forças
elétrica e gravitacional, qual é a intensidade da velocidade máxima que esse corpo
atingirá em seu movimento?
a) 5√3 m/s
b) 4√5 m/s
c) 10 m/s
d) 12 m/s
e) 6√5 m/s
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QUESTÃO DE 2014
Num plano xz, um ponto material de massa M é deslocado de forma que sua posição,
em cada instante t, é dada por 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑚, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2. Sobre esse corpo
agem uma força constante 𝐹1 = (0, −10)𝑁, e uma força F2, que é sempre
perpendicular à sua velocidade instantânea, e que não se anula. Se 𝑇1 e 𝑇2 são os
trabalhos realizados pelas forças 𝐹1 e 𝐹2 , respectivamente, e T é o trabalho realizado
pelo sistema de forças (𝐹1 , 𝐹2 ) ao longo desse movimento, então é correto afirmar
que:
a)
b)
c)
d)
e)
𝑇=0
𝑇1 = 0 𝑒 𝑇2
𝑇1 ≠ 0 𝑒 𝑇2
𝑇1 ≠ 0 𝑒 𝑇2
𝑇1 = 0 𝑒 𝑇2
≠0
=0
≠0
=0
COLISÕES
QUESTÃO DE 2006
Num local em que a aceleração da gravidade é constante e igual 10𝑚/𝑠𝑒𝑔2 um
projétil de massa 5 kg é lançado obliquamente com velocidade inicial de 10m/seg,
fazendo um ângulo com a horizontal de 300. Despreze a resistência do ar e suponha
que não há nenhum tipo de atrito. Quando o projétil está no ponto mais alto de sua
trajetória ele explode e divide-se em duas partículas de massas respectivamente 2 kg e
3 kg. A partícula de massa 3 kg após a explosão descreve um movimento vertical de
queda livre a partir do repouso.
a) Calcule quanto tempo após o lançamento acontece a explosão. (2 pontos)
b) Calcule a velocidade da partícula de 2 kg logo após a explosão. ( 2 pontos)
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QUESTÃO DE 2008
Uma chapa quadrada de lado 6 cm tem vértices a= (0,0), B=(6,0), C(6,6). Uma
partícula 𝑃1 de massa 𝑚 parte do vértice A, no instante 𝑡0 = 0, em movimento
retilíneo em direção ao centro da placa, com velocidade constante v de módulo 1
cm/seg. Ao atingir o centro da placa, 𝑃1 choca-se com duas outras partículas 𝑃2 𝑒 𝑃3 ,
ambas de massa 𝑚. Após o choque 𝑃1 fica em repouso, 𝑃2 move-se com velocidade
constante 𝑣2 paralelamente ao lado AB aproximando-se de CD, enquanto 𝑝3 move-se
com velocidade constante 𝑣3 paralelamente a AD na direção de BD. Suponha que o
sistema dado é isolado.
a) Determine a equação horária de 𝑝1 no movimento entre A e o centro da placa.
(1 ponto).
b) Calcule o tempo gasto por 𝑃2 para ir de A até o centro da placa. (1 ponto).
c) Calcule as velocidades 𝑣2 e 𝑣3 de 𝑃2 e 𝑃3 após o choque. (2 pontos).
QUESTÃO DE 2010
Duas esferas, A e B, têm massa 1 Kg e 2 Kg respectivamente. Imediatamente antes de
colidirem, a velocidade de A é 𝑣𝑎 = 2𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘, e a velocidade de B é 𝑣𝑏 = −1𝑖 +
0𝑗 + 0𝑘, ambas medidas em m/s. A colisão é inelástica e dissipa 50% da energia do
sistema em calor.
Logo após a colisão, B tem velocidade 𝑣 = 0𝑖 + 0𝑗 + 𝛽𝑘, com 𝛽 > 0.
a) Determine a energia cinética e a quantidade de movimento do sistema
imediatamente antes da colisão. (1 ponto)
b) Calcule 𝛽. (1,5 ponto)
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QUESTÃO DE 2012
Dois pontos materiais, A e B, de massas 𝑚𝑎 e 𝑚𝑏 , respectivamente, movem-se num
plano horizontal e sofrem uma colisão no instante 𝑡 = 0, na origem do sistema de
coordenadas. Sabe-se que, imediatamente antes da colisão, A tinha velocidade
𝑣𝑎 = (1
𝑚
𝑠
𝑚
, 0 𝑠 ), e B encontrava-se em repouso. Se, após a colisão, A andou sobre uma
linha reta até chegar ao ponto (1m,-2m), então a razão r-Ei/Ef entre as energias
cinéticas do ponto A imediatamente antes e imediatamente após a colisão foi:
a)
b)
c)
d)
e)
8/9
5/7
1/2
1
5/4
QUESTÃO DE 2014
Duas esferas de mesma massa m estão unidas por uma mola de constante elástica k e
comprimento natural L sobre um plano horizontal. As velocidades da primeira e da
segunda esfera no instante t são dadas, respectivamente, por 𝑣1 (𝑡) e 𝑣2 (𝑡). No
instante inicial 𝑡0 , a distância entre as esferas é 𝑑0 = 𝐿/2, e ||𝑉1 (𝑡0 )|| = |𝑉2 (𝑡0 )|| = 1,
com 𝑉1 (𝑡0 ) = −𝑉2 (𝑡0 ). Se num instante 𝑡1 a distância entre as esferas é 𝑑1 = 3𝐿/2,
então:
𝑑
a) ||𝑣1 (𝑡1 )|| = 𝑑1 = 3
0
𝑑0
b) ||𝑣1 (𝑡1 )|| = 𝑑 = 1/3
1
𝑑1
c) ||𝑣1 (𝑡1 )|| = 𝑑 = 3
0
𝑑1
d) ||𝑣1 (𝑡1 )|| = 𝑑 = 1/3
0
e) ||𝑣1 (𝑡1 )|| = 1
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CINEMÁTICA
QUESTÃO DE 2009
Um ponto Material de massa 1 desloca-se no plano vertical xy (em que y é a
coordenada vertical) segundo a equação horária 𝑟(𝑡) = (𝑡 3 − 3𝑡 2 + 3𝑡, 𝑡 4 − 4𝑡 2 +
4𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. No instante t=1 o ponto começa a cair em queda livre sob ação
exclusiva da força peso, suposta constante, com aceleração da gravidade g=9.8, até
atingir o ponto (1,0) onde um anteparo absorve metade de sua energia mecânica.
Após isso o ponto descola-se em movimento retilíneo e uniforme na reta y=0 com
velocidade v=(a,0), a>0. Considere todas as unidades no sistema internacional. Calcule:
a) A velocidade do ponto no instante t=1 seg. (1 ponto)
b) O tempo gasto pelo ponto no movimento de queda livre entre (1,1) e (1,0). (2
pontos)
c) A. (1 ponto)
QUESTÃO DE 2010
Uma bola é atirada do chão para o alto. Quando ela atinge a altura de 5m, sua
velocidade, em m/seg, é 𝑉 = 5𝑖 + 0𝑗 + 10𝑘. Suponha que a aceleração da gravidade
é, em 𝑚/𝑠𝑒𝑔2 , 𝑔 = 0𝑖 + 0𝑗 − 10𝑘 e calcule:
a) A altura máxima que a bola atingirá. (1 ponto)
b) O tempo que levará para a bola atingir o solo. (1 ponto)
c) A distância horizontal percorrida pela bola, após a trajetória atingir o seu ponto
mais alto. (0,5 ponto)
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QUESTÃO DE 2012
Dois pontos matérias A e B, ambos de massa m, são atirados para cima a partir do solo,
na vertical, com velocidades iniciais 𝑣𝑎 𝑒 𝑣𝑏 , respectivamente, sujeitos exclusivamente
á ação da força peso, num local cuja aceleração da gravidade é g. A altura máxima
atingida pelo ponto material A é o dobro da altura máxima atingida pelo ponto
material B. Então, o quociente 𝑣𝑎 /𝑣𝑏 é:
a)
√2
2
b) 2
c) 4
d) ½
e) √2
QUESTÃO DE 2013
Um projétil é lançado para cima a partir do solo e sua velocidade inicial forma um
ângulo de 45º graus com a horizontal. Quando o projétil atinge a altura de 10m, sua
trajetória forma um ângulo de 30º com a horizontal. A componente horizontal da
velocidade inicial do projétil, em m/s é:
a) 0
b) 10√3
c) 20/3
d) 20√2
e) 50√2
QUESTÃO DE 2014
Um ponto material movimenta-se no espaço com vetor posição dado por 𝑟(𝑡) =
(𝑡 2 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑗 + 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑘)𝑚, onde t é medido em segundos. A aceleração desse ponto
material no instante t=0s é:
a)
b)
c)
d)
e)
Nula
(2𝑖 − 1𝑗 + 1𝑘)𝑚/𝑠 2
(2𝑖 + 1𝑘)𝑚/𝑠 2
(1𝑗 + 1𝑘)𝑚/𝑠 2
1𝑘 𝑚/𝑠 2
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QUESTÃO DE 2014
No espaço xyz, no qual o eixo z é vertical e aponta para cima, um homem de 1.80m de
altura está caminhando sobre o plano horizontal xy, com velocidade constante
(3,0,0)m/s. Uma lâmpada, presa ao ponto (0,0,5)m, está acesa. Sendo assim, a
velocidade do ponto da sombra do homem que mais dista da origem é:
A)
B)
C)
D)
Constante e igual a (5/3.2)(3,0,0)m/s.
Constante e igual a (5/1.8)(3,0,0)m/s.
Constante e menor do que a velocidade do homem.
De módulo estritamente crescente e varia linearmente com o tempo.
LEIS DE NEWTON, ATRITO E CENTRÍPETA
QUESTÃO DE 2012
Um sólido, inicialmente em repouso a 20 metros de altura do solo, inicia um
movimento de queda, sem atrito e sujeito apenas à ação da gravidade g=10m/s 2,
vinculado a uma rampa inclinada plana que forma um ângulo de 45º com a vertical. O
sólido abandonou essa rampa quando estava a uma altura de 10 metros do solo, e
passou então a se mover em queda livre. A distância percorrida horizontalmente pelo
sólido, após deixar a rampa inclinada até atingir o solo, foi de:
a) √5m
b)
c)
d)
e)
10(√3 − 1)m
10
10√2m
20 m
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QUESTÃO DE 2012
Por um orifício, em uma mesa horizontal, passa uma corda inextensível de massa
desprezível e com 1 metro de comprimento. Essa corda une duas esferas de 3 kg, uma
das quais se move sobre a superfície da mesa em movimento circular uniforme, de
forma que a outra permanece em repouso, suspensa 50 cm abaixo da mesa. Qual é a
velocidade angular da esfera em movimento circular uniforme?
a) √5 m/s
b) 10 Rad/s
c) 10m/s
d) 10√2 Rad/s
e) √50 Rad/s
ROTAÇÃO E MOMENTO ANGULAR
QUESTÃO DE 2013
Uma barra de densidade uniforme e de comprimento 1 m está presa na origem do
sistema de coordenadas por seu ponto médio, e gira no plano horizontal com
velocidade angular constante 𝜔 k. Se 𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 𝑒 𝐼4 são as intensidades dos momentos
angulares dessa barra em relação, respectivamente, à origem, ao ponto 1m k, ao
ponto 2m k e ao ponto 10 k, então
a)
b)
c)
d)
e)
𝐼1
𝐼1
𝐼1
𝐼1
𝐼1
= 𝐼2
< 𝐼2
> 𝐼2
> 𝐼2
= 𝐼2
= 𝐼3
= 𝐼3
> 𝐼3
= 𝐼3
= 𝐼3
= 𝐼4
< 𝐼4
> 𝐼4
> 𝐼4
> 𝐼4
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DINÂMICA + CÁLCULO
QUESTÃO DE 2013
Um corpo de massa M move-se num plano horizontal sob a ação de um campo de
forças central f, dado por 𝑓(𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗) = 2ℎ(𝑥, 𝑦)𝑥 𝑖 + 2ℎ(𝑥, 𝑦)𝑦 𝑗, sendo ℎ: 𝑅 2 → 𝑅
uma função contínua e estritamente negativa. Considere as medidas coerentes com o
sistema internacional MKS. Se num instante 𝑡0 a posição do corpo é 𝑟0 = 1 𝑖 e sua
velocidade é 𝑣0 = 1 𝑗, e num instante 𝑡1 sua posição é 𝑟1 − 𝑎 𝑗 e sua velocidade é
𝑣1 = (𝑏 𝑖 + 𝑏 𝑗), então vale a igualdade:
a) Ab = -1
b) Ab = −√2
c) Ab3 = √2
d) Ab3 = -12 h(0,a)
e) Ab3 = -22 h (b,b)
FÍSICA 2
TERMOLOGIA
QUESTÃO DE 2006
Um sistema é formado por um grama de água que ocupa um volume de 1 cm3.
Durante sua ebulição a 100 ºC, sob uma pressão atmosférica de 1 atm, esse
procedimento fornece 1671 cm3 de volume. Sabendo que o calor de vaporização da
água é de 539 cal/Gr, calcule o aumento de energia interna do sistema.
Dados:
1 cal = 4,186 Joules
1 atm = 1,013*105N/m2
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QUESTÃO DE 2007
Uma maquina realizou um ciclo de Carnot usando um gás cuja temperatura no fim do
ciclo é de 240 K. Calcule a temperatura do gás no inicio do ciclo para ter um
rendimento de 0,25.
QUESTÃO DE 2008
Um recipiente cilíndrico contém 20 gramas de um gás de calor especifico 𝐶0 = 169
cal/g0C. Um embolo move-se verticalmente no recipiente e através dele distribuem-se
forças perpendiculares de intensidade 60N enquanto o volume do gás é reduzido
adiabaticamente. Supondo que o êmbolo deslize 10cm, determine a variação da
temperatura do gás.
Dado: 1J=0,24cal.
QUESTÃO DE 2009
Um gás ocupa recipiente de volume V submetido a uma pressão P. Esse gás expandese de forma adiabática até duplicar o seu volume e verifica-se que a pressão ao final
dessa expansão é p/3. Depois esse gás sofre outra expansão adiabática até seu volume
ser 3v. Calcule a pressão do gás ao final dessa nova transformação (em função de P).
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QUESTÃO DE 2012
Uma máquina térmica funciona aplicando a um mol de gás ideal, que está a uma
temperatura T1 e ocupa um volume V1, uma sequência de4 transformadores
reversíveis na seguinte ordem:
I – Uma expansão isotérmica até duplicar de volume;
II – Uma transformação isocórica até que temperatura atingir a metade da
temperatura inicial;
III – Uma contração isotérmica até retornar ao volume inicial V1; e
IV – Uma transformação isocórica até retornar ao estado inicial.
Chamando de R a constante universal dos gases perfeitos, o rendimento n e o trabalho
W, por ciclo, dessa maquina são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
N = 0,25 e W = RT1
N = 0,25 e W = RT1 ln(2)/2
N = 0,5 e W = ln(2)/2
N = 0,5 e W = RT1 ln(2)/2
N = 0,66 e W = T1 ln(2)/2
QUESTÃO DE 2013
Um mol de um gás diatômico ideal, inicialmente à pressão 1 atm e volume 1 litro, sofre
uma expansão adiabática até atingir o dobro do seu volume, seguida de uma
contração isotérmica, até retornar ao seu volume inicial. Para gases diatômicos, o
coeficiente de dilatação adiabática é 𝛾 =
𝐶𝑝
𝐶𝑣
= 7/5. Neste caso, a pressão do gás no
final do processo é
7
a) 25 𝑎𝑡𝑚
2
b) 25 𝑎𝑡𝑚
c) 1 𝑎𝑡𝑚
−2
d) 2 5 𝑎𝑡𝑚
−7
e) 2 5 𝑎𝑡𝑚
25
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QUESTÃO DE 2014
Dois recipientes iguais têm mesmo volume V0, comunicam-se por um pequeno tubo
capilar de volume desprezível, estão preenchidos com um mesmo gás ideal e estão a
temperatura T0 e pressão P0. Uma transformação é feita mantendo-se a pressão
constante em ambos os recipientes, reduzindo-se o volume do primeiro recipiente à
metade, enquanto o segundo recipiente permanece com volume constante. Após essa
transformação, nota-se que a temperatura no primeiro recipiente é 2T0/3. Então a
temperatura no segundo recipiente é:
a)
b)
c)
d)
e)
T0/2
4T0/5
T0
3T0/2
2T0
ESRÁTICA E DINÂMICA DOS FLUIDOS
QUESTÃO DE 2010
Uma caixa de água cilíndrica tem raio de 1m e, no instante t=0, está cheia até 1 metro
de altura. Esta caixa tem um orifício circular de 20cm2 de área na sua base. A pressão
no topo da coluna do líquido é de 1 atm, a água escapa da caixa pelo orifício com uma
velocidade de 0,1m/s, e a caixa é realimentada pelo topo de modo a ficar sempre
cheia. Admita que a aceleração da gravidade é g = 10m/s2, que a densidade da água é
de d = 1g/cm3 e que 1 atm = 105 N/m2.
a) Calcule a velocidade de entrada da água no tanque. (1,5 ponto)
b) Determine a pressão da água no orifício de saída. (1 ponto)
QUESTÃO DE 2012
Sobre um plano horizontal estão apoiados dois tanques cilíndricos, (A e B), ambos com
10 cm de raio, unidos, à altura do plano de apoio, por um cano horizontal cilíndrico de
1cm de reio e 10 litros de volume. Dentro deste cano há um êmbolo livre para se
mover horizontalmente, separando os tanques A e B. São despejados 20 litros de um
liquido de densidade 𝜌𝑎 no tanque A e 20 litros de um liquido de densidade 𝜌𝑏 no
outro tanque. Se, ao entrar em equilíbrio, a altura da coluna de líquido no recipiente A
for de 120/𝜋 cm, então a razão entre 𝜌𝑎 𝑒 𝜌𝑏 será:
a) 0,66
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b)
c)
d)
e)
1
1,5
2,2
3𝜋
QUESTÃO DE 2013
Um reservatório de 4 metros de altura, com a sua extremidade superior aberta,
encontra-se cheio com um fluido incompressível de densidade 𝜌 = 2 𝐾𝑔/𝑚3 . Se o
reservatório possui em sua base um pequeno orifício circular, então a velocidade de
escape na região cilíndrica do jato de saída é
a) 2m/s
b) √70 m/s
c) √80 m/s
d) 13 m/s
e) 20 m/s
QUESTÃO DE 2014
Dois cilindros são feitos de mesmo material, sendo que o raio da base do primeiro
cilindro é de 10cm e sua altura é de 5 cm, enquanto, para o segundo cilindro, o raio da
base é de 5 cm e sua altura é de 10 cm. O primeiro cilindro flutua com 50% de seu
volume submerso num tanque com um líquido de densidade d1, e o segundo cilindro
flutua com 75% de seu volume submerso num tanque com um líquido de densidade
d2. Então, a razão d1/d2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
1/3
2/3
1
3/2
2
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FÍSICA 3
ELETROSTÁTICA
QUESTÃO DE 2006
Nos pontos (0,0) (0,a) e (0,-a) colocam-se cargas de intensidade, respectivamente, -2q,
+q e +q, onde q>0 e a>0.
a) Calcule o potencial elétrico gerado por essa distribuição de cargas nos pontos P
de coordenadas (x,y), x>0. (1 ponto)
b) Calcule o campo elétrico gerado pela distribuição de cargas acima nos pontos P
de coordenadas (x,0), x>0. (2 pontos)
QUESTÃO DE 2007
As duas placas paralelas e iguais de um capacitor imerso no ar estão separadas por
1mm. Qual deve ser a área das placas para que esse capacitor tenha capacidade de 1
Farad?
Dado: Constante de permissividade 𝜀0 = 8,9 10−12 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑/𝑚.
QUESTÃO DE 2009
Um dipolo está colocado nos pontos (1,0) e (-1,0) com cargas respectivamente +q e –q.
a) Calcule o valor do potencial elétrico gerado pelo dipolo no ponto (x,y). (1
ponto)
b) Determine os pontos em que o potencial gerado pelo dipolo é zero. (1 ponto)
c) Considere a circunferência C de centro (1,0) e raio r>0. Prove que se P=(x,y)
está em C, com 𝑦 ≠ 0, existe um outro ponto em C, e apenas um, onde o
potencial gerado pelo dipolo é igual ao potencial em P. (1 ponto)
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QUESTÃO DE 2010
Um ponto material A de carga 0,1 mC e massa 100 kg, encontra-se, no instante t=0,
S=(0,1,0) e tem velocidade inicial V=(3,0,0). Outro ponto material de carga negativa 𝑞𝑏
está fixo no ponto o=(0,0,0). Admita que a constante de Coulomb é k = 9 x 109 N.m2/C2.
a) Determine a força que age sobre A. (1 ponto)
b) Calcule o valor de 𝑞𝑏 para que a trajetória de A seja uma circunferência com
centro na origem, percorrida com velocidade angular constante. (1,5 ponto)
QUESTÃO DE 2012
Num plano horizontal estão duas esferas, A e B, de cargas Qa=lnC e Qb=-1mC, fixas nos
pontos (-1m, 1m) e (-1m, -1m), respectivamente. Uma esfera C de massa 10Kg e carga
2mC está ligada a uma das extremidades de uma mola ideal de constante elástica
k=1000N/m e comprimento natural 1m, que tem sua outra origem, em equilíbrio de
forças, então o ponto P estará na posição:
a) (-1m, 0m)
b) (9√2𝑚, 0𝑚)
c) ((−9√2 − 1)𝑚, 0𝑚)
d) (0𝑚, 9√2𝑚)
e) (0𝑚, (9√2 + 1)𝑚)
QUESTÃO DE 2013
Três corpos A, B e C, de cargas não nulas qA, qB e qC, respectivamente, encontram-se
alinhados, sendo que o corpo B está eqüidistante dos outros dois. Se a resultante das
forças elétricas em cada um dos corpos é nula, então
a)
b)
c)
d)
e)
2qA = - qB = qC
qA = qB = - qC
qA = - 4qB = 2qC
qA = - 2qB = -qC
qA = - 4qB = qC
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QUESTÃO DE 2014
Quatro cargas elétricas Q1,Q2, Q3 e Q4 estão colocadas nos pontos P1, P2, P3, e P4, sendo
que P1, P2 e P3 são vértices de um triangulo eqüilátero, e P4 é o baricentro desse
triangulo. Se a resultante das forças em cada uma das cargas é nula, então:
a) Exatamente duas cargas são negativas, e ambas estão em vértices do triângulo
eqüilátero.
b) Todas as cargas têm o sinal, mas não o mesmo módulo.
c) Todas as cargas têm o mesmo módulo, mas não o mesmo sinal.
d) A carga colocada no baricentro do triangulo tem 3 vezes o modulo das cargas
que estão colocadas nos vértices.
e) As cargas colocadas nos vértices do triangulo são necessariamente iguais, e a
carga colocada no baricentro tem outro sinal.
ELETROMAGNETISMO
QUESTÃO DE 2008
Um elétron de 10eV gira com velocidade V=(1.9)x106 m/seg num plano perpendicular
a uma indução magnética de 10-4 weber/m2.
Dados: Massa do elétron: m=(9.1)x10-31kg intensidade da carga do elétron: g=(1.6)x1019
C
a) Determine o raio da órbita. (1 ponto)
b) Calcule a freqüência do elétron (1 ponto)
c) Determine o sentido da rotação do elétron visto por um observador que olha
na mesma direção e sentido do campo magnético. ( 1 ponto)
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QUESTÃO DE 2012
Um pequeno ímã, orientado de forma a ter seu pólo positivo para cima, é solto em
queda livre dentro de um tubo cilíndrico de cobre, mantendo-se com a mesma
orientação durante sua queda. Nestas condições, é correto afirmar que a queda do
ímã:
a) Não gera corrente elétrica no tubo, pois cobre não é um material
ferromagnético e, portanto, não é atraído por campos magnéticos. A única
forma que age sobre o ímã é a da gravidade.
b) Gera uma corrente elétrica anti-horária, quando vista de cima, no tubo de
cobre. A corrente criada gera um campo magnético secundário que desacelera
a queda do objeto.
c) Gera uma corrente elétrica horária, quando vista de cima, no tubo de cobre. A
única força que age sobre o ímã é a da gravidade.
d) Gera correntes elétricas com sentidos opostos no tubo de cobre abaixo e acima
da posição do ímã. As correntes criadas geram um campo magnético
secundário que desacelera a queda do objeto.
e) Gera correntes elétricas com sentidos opostos no tubo de cobre abaixo e acima
da posição do ímã. A única força que age sobre o ímã é a da gravidade.
QUESTÃO DE 2013
Uma bobina condutora é colocada em uma região onde há um campo magnético
vertical de intensidade B=10 T. A bobina é ligada a um amperímetro e está inicialmente
em repouso, com seu eixo orientado também na vertical. São dados os cenários:
I – A bobina inicia um movimento retilíneo uniforme na direção vertical com
velocidade não nula.
II – A bobina passa a ser rodada ao redor do seu eixo com velocidade angular
uniforme.
III – A bobina passa a ser rodada ao redor de um eixo horizontal com velocidade
angular uniforme.
Dentre os cenários citados acima, o amperímetro irá registrar correntes elétricas não
nula
a)
b)
c)
d)
Somente no cenário I
Somente no cenário II
Somente no cenário III
Somente nos cenários I e II.
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e) Nos cenários I, II e III.
QUESTÃO DE 2014
Um elétron se encontra no espaço xyz, no qual o eixo z é vertical e aponta para cima, e
esse elétron está inicialmente na posição (-1,0,0) cm e com velocidade (1,0,0)cm/s. Há
dois imãs iguais, um deles está na posição (0,1,0) cm e tem o pólo norte apontado para
a origem, e o outro está em (0,-1,0) cm e tem o polo sul apontando para a arigem.
Logo após o instante inicial, a trajetória do elétron:
a)
b)
c)
d)
e)
Desvia-se para cima
Desvia-se para baixo
Permanece na direção (1,0,0)
Desvia-se para a região y > 0.
Desvia-se para a região y < 0.
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