Produtos Notáveis e Fatorações

Produtos Notáveis e Fatorações
Os produtos notáveis e as fatorações abaixo são de extrema importância para a resolução dos problemas, portanto não se esqueçam deles!
0.1
Produtos Notáveis
1o caso: Chuveirinho
a(x + y) = ax + ay
2o caso: Quadrado da Soma de Dois Termos
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
3o caso: Quadrado da Diferença de Dois Termos
(x − y)2 = x2 − 2xy + y2
4o caso: Produto da Soma pela Diferença
(x + y)(x − y) = x2 − y2
5o caso: Cubo da Soma de Dois Termos
(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3
6o caso: Cubo da Diferença de Dois Termos
(x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3xy2 − y3
7o caso: Quadrado da Soma de Três Termos
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz)
8o caso: Produto de Stiven
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x + (ab + ac + bc)x + abc
9o caso:
(x + y)(x + z)(y + z) = x2 (y + z) + y2 (x + z) + z2 (x + y) + 2xyz
0.2
Fatoração
1o caso: Evidência
ax + ay = a(x + y)
2o caso: Agrupamento
ab + ac + bd + cd = a(b + c) + d(b + c) = (a + d)(b + d)
3o caso: Diferença de Dois Quadrados
x2 − y2 = (x + y)(x − y)
4o caso: Soma de Cubos
x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2 )
5o caso: Diferença de Cubos
x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2 )
6o caso: xn − yn , para n ∈ N
xn − yn = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + xyn−2 + yn−1 )
7o caso: xn + yn , para n ∈ N ímpar
xn + yn = (x + y)(xn−1 − xn−2 y + xn−3 y2 − · · · ± yn−1 )
Problema 1
Efetue os produtos notáveis abaixo:
(a) (2x − 1)2
(e) (a + 2b + 3c)2
(i) (y + 3a)(y − a)
(b) (x + 3)2
(f) (−a − b)2
(j) (abc − 1)2
(c) (x + 2)3
(g) (3 + m)(−m + 3)
(k) (x2 + 3y3 )(x2 − 5y3 )
(d) (3x − 2)3
(h) (b − 8)(b + 3)
(l) (x3 + 3x2 )3
Problema 2
Fatore:
(a) x2 − 9
(g) x4 − x3 + x2 − 1
(b) x3 + 27
(h) 27a3 + 64b3
(c) x3 − 8
(i) (x2 − 2xy + y2 ) − 4z2
(d) 8x2 − 18y2
(j) x8 − y8
(e) 4x2 + 4x + 1
(k) x2 − 10x + 25
(f) 64x3 − 27a3
(l) bc + by + cy + y2
(m) a2 + 2ab + b2 + 2a + 2b
(n) ab2 − abc + dc − bd
(o) 9 − (a − b)2
(p) (x + 3)2 − (3x − 4)2
Problema 3
Quantos pares de números inteiros positivos m e n satisfazem a equação m2 − n2 = 2011?
Problema 4
Encontre o valor de x2 + y2 , sabendo que x , y ∈ Z , xy + x + y = 71 e x2 y + xy2 = 880.
Problema 5
Simplifique a expressão abaixo:
√
√
√ √
√
√ √
√
√
√
√
√
( 2 5 + 2 6 + 2 7)( 2 5 + 2 6 − 2 7)( 2 5 − 2 6 + 2 7)(− 2 5 + 2 6 + 2 7)
Problema 6
O produto (a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 )(a − b)(a + b) equivale a:
Problema 7
Sendo a e b ∈ R+ com a ⩾ b, fatore a expressão abaixo:
√
2
√
a + b − 2 2 ab
Problema 8
Se a, b ∈ R∗+ , fatore a expressão abaixo, ao máximo:
√
√
(a + 2 2 ab + b)(a − 2 2 ab + b)
a 2 − b2
Problema 9
Considerando que a, b ∈ R+ ∗ , a ⩾ b, simplifique a expressão abaixo:
√
2(a − b) 2 9(a2 − b2 )(a + b)
√
3(a + b) 2 8(a − b)
Problema 10
Simplifique a expressão abaixo:
(zx2 + 2xyz + zy2 )(x2 − y2 )
x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3
Problema 11
Fatore a expressão abaixo:
x2 − 2x − 2y − 2z + yx + zx
Problema 12
Sendo A = x2 − 2x + 1, fatore A2 − 2A + 1.
Problema 13
Simplifique a expressão a seguir:
2ab
a4 − b4
− 2
2
2
2
2
(a + 2ab + b )(a − 2ab + b ) a − b2
Problema 14
Fatore a expressão a4 + 4b4 :
Dica: Faça aparecer um quadrado perfeito!
Problema 15
Sejam a,b e c ∈ R distintos dois a dois. Mostre que o resultado da expressão abaixo não depende de a, b e c
a2
b2
c2
+
+
(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − b)(c − a)
Problema 16
Sejam a,b e c ∈ R distintos dois a dois. Mostre que o resultado da expressão abaixo não depende de a, b e c
a(b + c)
b(a + c)
c(a + b)
+
+
(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − b)(c − a)
Problema 17
Se os números reais positivos são a1 , a2 , . . . , an são os comprimentos dos lados de um polígono inscrito em
uma circunferência, tais que:
a21 + a22 + · · · + a2n = a1 a2 + a2 a3 + ... + an−1 an + an a1 .
Pode-se afirmar que o polígono é regular? justifique a sua resposta.
Problema 18
Prove que não existem inteiros positivos a e b tais que
a2 + a
= 4.
b2 + b
Problema 19
Seja D = a2 + b2 + c2 , sendo a e b inteiros consecutivos e c = ab. Mostre que
√
2
D é sempre um inteiro ímpar.
Problema 20
Mostre que a soma dos quadrados de dois números ímpares consecutivos é um número par não múltiplo de 4.