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Risco de Carteira
1
Risco de Carteira
O risco de uma carteira depende não somente do risco de cada elemento que a
compõe e de sua participação no investimento total, mas também da forma como seus
componentes se relacionam (covariam) entre si. Relacionando ativos com baixa
correlação (ou covariância inversa) é possível reduzir o risco total da carteira.
O Desvio Padrão de uma carteira constituída por dois ativos (X e Y) pode ser obtido a
partir de:
Equação 1 – Desvio Padrão de uma carteira constituída por dois ativos.
(
=
Onde:
×
=
=
=
=
,
,
,
)+
×
+ 2×
×
×
,
desvio padrão do portfólio;
participação do ativo X e do ativo Y no portfólio;
variância dos retornos dos ativos X e Y;
covariância entre os ativos X e Y.
Para três ativos:
Equação 2 – Desvio Padrão de uma carteira constituída por três ativos.
= [(
× )+(
+ 2×
×
+ 2×
×
×
×
×
+ 2×
×
×
)+(
×
)+
+
+
,
,
]
,
A expressão geral do cálculo do Desvio Padrão de uma carteira contendo “n” ativos,
conforme Harry Markowitz é a seguinte:
Equação 3 – Desvio Padrão de uma carteira constituída por “n” ativos.
=
,
A covariância pode ser calculada a partir da correção de dois ativos e seus desvios
padrões através da seguinte equação:
Equação 4 – Covariância de dois ativos.
COVx , y   x , y   x   y
Onde: COVx , y
=
covariância entre os ativos X e Y;
 x,y
=
coeficiente de correlação dos ativos X e Y;
x , y
=
desvio padrão dos retornos dos ativos X e Y.
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No Quadro 1 se pode observar o resumo da rentabilidade dia-a-dia de 16 títulos
negociados na Bovespa entre janeiro e agosto de 2009. No quadro seguinte foram
destacados o retorno médio diário, o desvio padrão, o coeficiente de variação e a
correlação entre os títulos.
Quadro 1 – Rentabilidade dia-a-dia de 16 títulos negociados na Bovespa – jan./ago. 2009.
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Quadro 2 – Retorno médio diário, desvio padrão, coeficiente de variação e correlação títulos negociados
na Bovespa – jan./ago. 2009.
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4
Tomando como exemplo os títulos da Guarani (ordinária), ACGU3, e Ambev
(preferencial), AMBV4, pode-se observar os dados calculados abaixo:
Tabela 1 – Retorno, risco, correlação e covariância – ACGU3 e AMBV4 – jan./ago. 2009.
Retorno
Km
0,6981%
0,1971%
ACGU3
AMBV4
Risco
σ
3,9680%
1,5061%
Correlação
Corr
Covariância
Covar
0,04190797
0,00002505
Aplicando a equação do desvio padrão de portfólio para diversas participações dos
dois títulos, obtém-se a tabela abaixo:
Tabela 2 – Retorno médio e desvio padrão da carteira ACGU3 e AMBV4 para Correlação 0,0419 –
jan./ago. 2009.
ACGU3
K
0,6981%
AMBV4
W
0
5%
10%
11,52%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
K
0,1971%
W
100%
95%
90%
88,48%
85%
80%
75%
70%
65%
60%
55%
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
Kp
DPp
0,1971%
0,2221%
0,2472%
0,2548%
0,2722%
0,2973%
0,3223%
0,3474%
0,3724%
0,3975%
0,4225%
0,4476%
0,4726%
0,4977%
0,5227%
0,5478%
0,5728%
0,5979%
0,6229%
0,6480%
0,6730%
0,6981%
1,5061%
1,4527%
1,4283%
1,4268%
1,4342%
1,4703%
1,5343%
1,6229%
1,7324%
1,8590%
1,9996%
2,1514%
2,3122%
2,4802%
2,6541%
2,8327%
3,0153%
3,2012%
3,3898%
3,5806%
3,7735%
3,9680%
Pode-se perceber que a carteira formada por 11,52% de ações da Guarani e 88,48% de
ações da Ambev proporcionam o menor desvio padrão do portfólio. Essa proporção
pode ser calculada a partir da equação do mínimo desvio padrão:
Equação 5 – Proporção de portfólio para mínimo desvio padrão
Wx 


 2x

2
y
 2y
 COVx , y

  2  COV 
x,y
Tomando os extremos da correlação +1 e -1 pode-se calcular o desvio padrão do
portfólio. Observe as Tabelas 3 e 4.
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Análise de Risco
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Tabela 3 – Retorno médio e desvio padrão da carteira ACGU3 e AMBV4 para Correlação +1 – jan./ago.
2009.
ACGU3
K
0,6981%
W
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
BEES3
K
0,1971%
W
100%
95%
90%
85%
80%
75%
70%
65%
60%
55%
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
Kp
DPp
0,1971%
0,2221%
0,2472%
0,2722%
0,2973%
0,3223%
0,3474%
0,3724%
0,3975%
0,4225%
0,4476%
0,4726%
0,4977%
0,5227%
0,5478%
0,5728%
0,5979%
0,6229%
0,6480%
0,6730%
0,6981%
1,506%
1,629%
1,752%
1,875%
1,998%
2,122%
2,245%
2,368%
2,491%
2,614%
2,737%
2,860%
2,983%
3,106%
3,229%
3,353%
3,476%
3,599%
3,722%
3,845%
3,968%
Tabela 4 – Retorno médio e desvio padrão da carteira ACGU3 e AMBV4 para Correlação -1 – jan./ago.
2009.
ACGU3
K
0,6981%
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W
0%
5%
10%
15%
20%
25%
27,51%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
BEES3
K
0,1971%
W
100%
95%
90%
85%
80%
75%
72,49%
70%
65%
60%
55%
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
Kp
DPp
0,1971%
0,2221%
0,2472%
0,2722%
0,2973%
0,3223%
0,3349%
0,3474%
0,3724%
0,3975%
0,4225%
0,4476%
0,4726%
0,4977%
0,5227%
0,5478%
0,5728%
0,5979%
0,6229%
0,6480%
0,6730%
0,6981%
1,506%
1,232%
0,959%
0,685%
0,411%
0,138%
0,000%
0,136%
0,410%
0,684%
0,957%
1,231%
1,505%
1,778%
2,052%
2,326%
2,599%
2,873%
3,147%
3,421%
3,694%
3,968%
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Análise de Risco
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Os 27,51% de ações da Guarani e 72,49% de ações da Ambev proporcionam um desvio
padrão zero, ou seja, risco nulo. Essa relação foi obtida a partir da equação 5.
Baseando-se nos resultados obtidos para as correlações 0,0419, +1 e -1 pode-se
montar a Figura 1.
Figura 1 – Conjunto de combinações da carteira ACGU3 e AMBV4 – jan./ago. 2009.
0,80%
KAtivo X
0,70%
ρx,y = -1
0,60%
Retorno
0,50%
-1 < ρx,y < +1
0,40%
0,30%
ρx,y = +1
0,20%
KAtivo Y
0,10%
0,00%
0,00%
0,50%
1,00%
1,50%
2,00%
2,50%
3,00%
3,50%
4,00%
4,50%
Desvio Padrão
É denominada Fronteira Eficiente a parte superior da curva que vai do ponto de
mínimo desvio padrão até 100% do ativo de maior retorno.
Fronteira Eficiente
Ao se analisar três ativos A, B e C podem ser constituídos:

Três carteiras com um só ativo de cada (A, B e C);

Três carteiras de dois ativos cada (AB, AC e BC);

Uma carteira com os três ativos.
Considerando uma carteira com mais de dois ativos verifica-se a presença de um
número quase infinito de alternativas de investimento. De qualquer forma, todas as
combinações possíveis de ativos encontram-se identificadas dentro da área sombreada
da Figura 2.
Cada ponto identificado na área sombreada representa uma carteira que demonstra
certo retorno esperado e risco. Não é possível identificar carteiras em outras áreas do
gráfico, devendo o investidor tomar sua decisão com base no conjunto de
oportunidade descrito.
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Análise de Risco
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A construção de um conjunto eficiente de carteiras de investimentos construídas com
vários ativos é possível de se efetuar. Contudo, sugere-se a utilização de softwares
específicos.
Figura 2 – Fronteira eficiente
Fonte: Assaf Neto, 2012, p. 243.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Finanças corporativas e valor. 6ª ed. São Paulo: Atlas, 2012.
BMFBOVESPA. Empresas listadas. Disponível em: <http://www.bmfbovespa.com.br/
cias-listadas/empresas-listadas/BuscaEmpresaListada.aspx?Idioma=pt-br>. Acesso em:
01 ago. 2009.
MARKOWITZ, H. Portfolio selection. The Journal of Finance. Cambridge, 1952, vol. 7,
iss. 1.
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