Aplicaciones Matemáticas a la Contabilidad de

Determinação do Portfolio de Investimentos através de
Programação Linear
Edilson Paulo
Carlos Pedrosa Júnior
Marcelo A. Moret
José Roberto A. Fontoura
Brasil
Fundacao Visconde de Cairu
Salvador – Bahia
e-mail: [email protected]
Palavras chaves: portfolio; modelo de decisão; programação linear
Tema: Aplicaciones Matemáticas a la Contabilidad de Gestión
Recursos Audiovisuales: projetor multimidia ( data – show)
Determinação do Portfolio de Investimentos através de
Programação Linear
Palavras chaves: portfolio; modelo de decisão; programação linear
Tema: Aplicaciones Matemáticas a la Contabilidad de Gestión
Resumo
Um elevado de opções de investimentos é oferecidos, atualmente, no mercado de
capitais, mas o investidor ainda decide a sua tomada de decisão com base na dicotomia
risco-retorno. Uma destas novas opções de investimentos são os títulos do tipo ADR, que
são negociadas nas bolsas fora do país, e que podem se torna uma ótima opção de
investimentos para aqueles que possui tal possibilidade Porém, o investidor espera que o
risco de seu portfolio de investimentos seja minimizado pela diversificação, e que não
comprometa a retorno esperado. A diversificação perfeita é aquela em que o risco é
minimizado, sem prejuízo ao retorno, e pode ser bem dimensionado através da
programação linear, que além de determinada o investimento otimizado, também
possibilita a análise da sensibilidade de variáveis restritivas, que através desta análise o
investidor pode determinar o seu portfolio baseado nos seus critérios de risco e de
retorno esperado.
1 – Introdução
Uma crescente quantidade de pessoas e empresas aplicam seus recursos
em investimentos, na qual esperando agregar um maior valor aos seus investimentos, ou
pelo menos protegê-lo dos riscos de perda do poder aquisitivo, ampliando-se nos últimos
tempos a número de opções de investimentos, sendo que o investimento no mercado de
ações tornou-se uma boa opção de investimento. Paralelamente, nos últimos anos houve
um ampliação nos estudos sobre o comportamento do mercado de capitais, com a
finalidade de prever quais seriam as melhores opções de investimentos em ações. A fim
de auxiliar este estudo observa-se uma ampliação de estudos quantitativos baseado na
teoria econômica e financeira, a fim de elaborara modelos para tomada de decisão dos
investidores. Nosso trabalho demonstra como o elaborar uma carteira de portfolio pode
ser elaborada, partindo da teoria de Markowitz, a com objetivo de minimizar o risco do
conjunto de investimento, mediante um retorno esperado, utilizando a programação
linear. O modelo de programação linear usado para determinar o percentual a ser
investido em cada uma das alternativas de investimentos em ações ou outros ativos.
2 – Base Teórica
Para desenvolver melhor entendimento, iremos desenvolver as fórmulas
necessárias para atingir os objetivos deste trabalho. Seja  , o retorno médio esperado
i
durante um ano do investimento i. Assume-se que n investimentos estão disponíveis,
então xi , a fração de participação do investimento i, então assume-se que x1 + x2 + x3 +
...+ xn = 1, se todo o recurso for investido. O retorno esperado de um conjunto de
investimentos pode ser definido como:
E ( R)  x1   x2   x3   ...  xn 
1
2
3
n
ou
n
R   xi 
i 1
i
onde:
R
é o retorno total da carteira de investimento
xi
é o percentual de participação do investimento i na carteira de
investimentos
i
é a retorno do investimento i.
O investidor baseando-se em algumas ferramentas quantitativas, podem
ter confiança no sua carteira de investimento, chamado também de portfolio, que busca o
melhor método para maximizar retorno e minimizar risco, dependente na tolerância de
risco do cliente. As ferramentas estatísticas que são os freqüentemente utilizaram para
medir risco são desvio-padrão, variância, o coeficiente de correlação, o coeficiente de
beta e o coeficiente de determinação.
Normalmente, uma ação com um maior retorno tende a ser um
investimento arriscado, do que uma ação com um menor retorno. Por exemplo, duas
ações “A” e “B” tiverem o mesmo retorno, o investidor observando somente esta variável
para sua decisão, ele iria ficar indiferente em escolher a opção pela ação “A” ou “B”, mas
posteriormente analisando a estabilidade do retorno observou-se que a ação “A” tem uma
maior estabilidade de retorno em relação ao retorno da ação “B”; ou seja, duas ações
com retornos iguais podem não ter o mesmo grau de risco. Segundo Levine et. al.(2000,
p.133), “dois conjuntos de dados podem ter as mesmas medidas de da tendência central,
porém divergir bastante e, termos de variação”, podendo ser avaliada por algumas das
medidas de dispersão.
A dispersão considera como todos possíveis retornos se afastam do
retorno médio; uma dispersão maior ao redor do retorno médio implica que uma ação
leva mais risco, sendo que está dispersão é medida através da variância ou do desviopadrão. A variância “é aproximadamente (ou quase) a média das diferenças ao quadrado
entre cada uma das observações de um conjunto de dados e a média aritmética do
conjunto” Levine et. al.(2000, p.133). O desvio-padrão mede como valores atuais diferem
dos valores esperados para uma determinada série de valores, e é a raiz quadrada da
variância.
Às vezes é desejável determinar como um retorno de um investimento
varia de outros retornos de outros investimentos, sendo que esta variabilidade é
analisada através da covariância ou coeficiente de correlação. Uma covariância positiva
indica que variáveis se mudam para a mesma direção, e uma covariância negativa indica
eles se mudam para direções opostas. Quando a covariância assume valores maiores
(positivo ou negativo) indica que existe uma relação mais forte e, quando são valores
menores (mais próximo de zero) indica que, a relação entre as duas variáveis é mais
fraca. Porém, covariância, semelhante ao desvio-padrão, é um número absoluto e pode
ser difícil de interpretar a sua magnitude por si só. Então, é convertido freqüentemente no
coeficiente de correlação que é mais fácil interpretar que covariância. Os valores
numéricos do alcance de coeficiente de correlação de +1 a -1. Se duas variáveis movem
precisamente junto, o valor do coeficiente de correlação é +1. Isto indica correlação
positiva perfeita. Se duas variáveis movem precisamente oposto a um ao outro, então o
valor do coeficiente de correlação é -1. Baixos valores numéricos indicam pequena
relação entre as duas variáveis, como -0.10 ou +0.15.
Segundo Rattiner (2001, p.1), a diversificação requer que os investimentos
não sejam altamente correlacionados, sendo que o risco é reduzido por uma mais baixa
correlação positiva ou uma maior correlação negativa entre os retornos, porém, a
eliminação de risco não elimina lucros positivos. Um conceito importante para analisar o
portfolio é que o retorno de investimento individual e seu risco são importantes, mas o
impacto do investimento no portfolio é mais importante, pois é muito possível que um
investimento altamente positivo reduzirá o risco em um determinado portfolio, porque o
investimento tem um retorno que é negativamente correlacionado com os lucros
oferecido pelos outros investimentos. Então, o sucesso do portfolio se dará pela melhor
composição possível do mesmo, de tal forma que minimize o risco e aumento o retorno
esperado, ou seja, o investidor pode reduzir o risco, sem necessariamente reduzir o seu
retorno
Markowitz com a finalidade de precificar ativos, demonstrou um modelo
que conduzia à inversão de uma matriz de covâriancias (Toledo Filho, 1999, p.20). Uma
matriz de covariâncias é uma matriz que apresenta as covariâncias dos títulos
formadores de uma carteira, tomados dois a dois, ou seja, apresenta o relacionamento
dos títulos entre si. Esta matriz serve para poder calcular o risco da carteira, pois os
riscos dos títulos podem se anular (quando tem covariância negativa) e diminuir o risco
total da carteira. Assim a partir desta matriz também pode-se determinar quais mudanças
na carteira poderiam trazer diminuições no seu risco total. A covariância entre os títulos A
e B corresponde ao produto das diferenças entre os retornos de cada título e suas
respectivas médias, quando se tomam dois ou mais títulos conjuntamente, torna-se
necessário determinar o grau de associação entre os retornos dos títulos tomados dois a
dois, dada pela probabilidade conjunta de retornos, isto é, pela probabilidade de que dois
eventos de retornos dos títulos em consideração ocorram simultaneamente. O risco do
título então pode ser medido pela variância, calculada através da equação abaixo
(Winston & Albrigton, 2000, p.376):
 p  x1  1  x2 2  ....  xn n  xi x j  ij i j
2
2
2
2
2
2
i j
onde:
i
i
 ij
2
é variância dos retornos no investimento i,
é desvio-padrão dos retornos no investimento i,
é correlação entre retornos passados no investimento i e j.
Diversificação ingênua é aquela que diz que o investidor deve investir em
mais de uma ação afim de reduzir o risco de prejuízo. Presumivelmente, o conselho
implica, também, que quanto maior for o número de ações na carteira, tanto menor será o
risco de prejuízo. Diversificação eficiente exige a combinação dos títulos em carteira de
modo a reduzir o risco da carteira sem sacrificar o seu retorno esperado.
3 – Aplicação da Programação Linear para Portfolio de Diversificação
Eficiente
Para atender nos objetivos, os dados utilizados forma coletados do
software Economatica versão 1999Dec04W, e forma selecionados utilizando os seguintes
critérios para a seleção de dados dos investimentos a serem analisados:
a. serem títulos ADR, e negociadas na NYSE – New York Stock
Exchange;
b. foram utilizados a cotação entre de 17 de novembo de 1998 a 05 de
junho de 2000, período em que todos investimentos tinha a sua
cotação listada diariamente;
c. retorno médio positivo no período.
Com base nestes critérios, forma selecionada os seguintes investimentos:
Ação 1 – Telesp Operac ADR
Ação 2 – Telesp Cel Part ADR
Ação 3 – Tele Centroeste Cel ADR
Ação 4 – Unibanco ADR
Ação 5 – Pão de Acucar ADR
Ação 6 – Brahma ADR
Ação 7 – Tele Sudeste Celula ADR
Ação 8 – Tele Celular Sul ADR
Ação 9 – Tele Nordeste Celul ADR
Ação 10 – Tele Norte Celular ADR
Ação 11 – Tele Leste Celular ADR
Ação 12 – Telemig Celul Part ADR
Suas cotações estão listados no anexo 01, e os retornos diários estão
listado no anexo 02. Na tabela 01 estão listados os retornos médios e os desvios-padrões
dos investimentos, enquanto que na tabela 02 estão os coeficientes de correlação entre
os títulos.
Tabela 01
Títulos
Media
Telesp Operac ADR
Telesp Cel Part ADR
Tele Centroeste Cel ADR
Unibanco ADR
Pao de Acucar ADR
Brahma ADR
Tele Sudeste Celula ADR
Tele Celular Sul ADR
Tele Nordeste Celular ADR
Tele Norte Celular ADR
Tele Leste Celular ADR
Telemig Celul Part ADR
0,0020
0,0018
0,0083
0,0001
0,0005
0,0017
0,0026
0,0046
0,0044
0,0024
0,0018
0,0058
Desvio
Padrão
0,0387
0,0451
0,0654
0,0386
0,0359
0,0341
0,0606
0,0531
0,0602
0,0614
0,0533
0,0525
Tabela 02
Ação
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
1,0000 0,1544 0,2665 0,7211 0,2219 0,1156 0,3391 0,4192 0,3344 0,2088 0,3296 0,4732
2
0,1544 1,0000 -0,1235 0,3077 0,5551 0,2842 0,6146 0,2255 -0,0029 0,1009 -0,0457 0,0402
3
0,2665 -0,1235 1,0000 0,2576 0,1509 0,1554 0,2030 0,7749 0,8197 0,8245 0,8627 0,7902
4
0,7211 0,3077 0,2576 1,0000 0,6051 0,4302 0,6527 0,3750 0,4870 0,3735 0,3377 0,4813
5
0,2219 0,5551 0,1509 0,6051 1,0000 0,5284 0,6665 0,4208 0,2462 0,1409 0,1711 0,2704
6
0,1156 0,2842 0,1554 0,4302 0,5284 1,0000 0,3621 0,1906 0,3402 0,2973 0,2637 0,1012
7
0,3391 0,6146 0,2030 0,6527 0,6665 0,3621 1,0000 0,4590 0,4600 0,2157 0,2207 0,3922
8
0,4192 0,2255 0,7749 0,3750 0,4208 0,1906 0,4590 1,0000 0,6842 0,5679 0,6503 0,7726
9
0,3344 -0,0029 0,8197 0,4870 0,2462 0,3402 0,4600 0,6842 1,0000 0,9259 0,8406 0,8271
10
0,2088 -0,1009 0,8245 0,3735 0,1409 0,2973 0,2157 0,5679 0,9259 1,0000 0,8713 0,8108
11
0,3296 -0,0457 0,8627 0,3377 0,1711 0,2637 0,2207 0,6503 0,8406 0,8713 1,0000 0,8289
12
0,4732 0,0402 0,7902 0,4813 0,2704 0,1012 0,3922 0,7726 0,8271 0,8108 0,8289 1,0000
Utilizaremos a planilha eletrônica Microsoft Excel® para dar maior agilidade
ao nosso trabalho. Inicialmente, com os dados das tabelas 01 e 02, conforme figura 01.
Pode-se calcular a matriz de correlação das ações através da função CORELL do próprio
Microsoft Excell. Uma das grandes dificuldades da abordagem dada por Markowitz na
época, era a dificuldade do cálculo matriz de Covariância, mas com a utilização das
planilhas eletrônicas está dificuldade foi eliminada. Como estamos trabalhando com 12
(doze) tipos de ações, então a matriz de covariância terá o seu tamanho 12 X 12. A
covariância das alternativas ij é o produto da multiplicação do desvio-padrão da
alternativa i pelo desvio-padrão da alternativa j, e multiplicado pela correlação entre os
títulos ij. Construindo uma matriz para calcular a matriz de covariância, na célula B24 da
planilha entre com a seguinte fórmula:
= PROCH($A24;$B$4:$M$6;3)*B9*PROCH(B$23;$B$4:$M$6;3)
Utilizando o recurso PROCH, o Excel procura o termo que está na célula
$A24, na tabela contida nas células $B$4:$M$6, e captura o valor contido na terceira
linha. Agora copie a fórmula para o restante da matriz de covariância, conforme figura 02.
Figura 01 – Entrada de dados das ações
Logo a seguir, criaremos um campo para saída de dados da decisão de investimento, ou
seja, aonde será calculada a participação de cada ação no portfolio que minimize o risco,
estes dados estão nas células B41 a M41i. A soma das frações de participação será
calculada na célula N41 é deve ser igual a 1 (célula P41). (figura 03)
Figura 02 – Cálculo da Matriz de Covariância
Figura 03 – Decisão de Investimento
Na célula B46, calcularemos o retorno do portfolio atual, ou seja, quando o
Microsoft Excel® definir as participações em cada alternativa de investimento,
automaticamente o retorno diário esperado deste portfolio será apresentado na célula.
Porém, como o objetivo é minimizar o risco do portfolio, o retorno esperado terá como
restrição um retorno diário mínimo exigido, na qual utilizamos o índice da poupança no
mês de dezembro de 1999, que foi em 0,72% a.m., ou seja, 0,024% a.d. apresentada na
célula D46. O retorno esperado do portfolio é o produto da matriz de participação no
portfolio e a matriz do retorno médio das alternativas de investimentos, podemos calcular
o retorno na célula B46 pela seguinte fórmula: (figura 04)
=SOMARPRODUTO($B$5:$M$5;$B$41:$M$41)
Figura 04 – Cálculo do retorno esperado do portfolio
Par que a planilha eletrônica esteja completa, falta o calculo do risco, que
pode ser efetuado pela variância ou pelo desvio-padrão do portfolio. A variância é
calculada pelo produto da matriz da covariância pela matriz-transportada da matriz de
participação de cada investimento, sendo o resultado multiplicada pela matriz de
participação de cada investimento. O desvio-padrão do portfolio é a raiz quadrada da
variância do portfolio. Entraremos nas células D50 e D51 (figura 05), como as seguintes
fórmulas para calculo da variância e do desvio-padrão, respectivamente:
=MATRIZ.MULT($B$41:$M$41;MATRIZ.MULT($B$24:$M$35;TRANSPOR($B$41:$M$41)))ii
=RAIZ($D$50)
Figura 05 – Cálculo da variância e do desvio-padrão do portfolio
Apesar de alguns analistas financeiros preferirem o desvio-padrão, será
indiferente minimizar a variância ou o desvio–padrão do portfolio. Usando a ferramenta
Solver da barra de Ferramentas no Excel (figura 06), está abrirá uma caixa de diálogo
para informar os parâmetros do Solver (figura 07). Inicialmente pede-se a célula que se
quer otimizar, no nosso estudo é a célula da variância do portfolio, (célula D50), digite na
caixa de na primeira linha da caixa $D$50 e marque em “min” para minimizar a célula.
Digite na na Segunda linha da caixa as células a serem alteradas pela solução do Solver
a fim de atender as restrições e minimizar o risco (figura 07).
Figura 06 – Solver
Figura 07 – Entrada dos parâmetros do Solver
Figura 08 – Entrada de restrições nos parâmetros do Solver
Na figura 08, entra-se com as restrições do modelo matemático, que a
soma das participações (célula N1) deve ser igual 1 (célula P41); e que o retorno
esperado do portfolio (célula B46) deve ser maior que o retorno mínimo exigido (célula
D46), conforme figuras 08 e 09. Após a completa definição pode se clicar o campo
“Solve” da caixa de diálogo.
Figura 09 –Parâmetros do Solver
A solução do Solver determinará, as células de saída do Solver (B41:M41),
que deve ser investido na ação 1, 23,82% do total dos recursos disponíveis; 16,98% na
ação 2; 9,20% na ação 5; 23,72% na ação 6; 26,28% na ação 10; perfazendo o total de
100% de investimento. Com base nesta participação, o porfolio tem um retorno esperado
de 0,18% ao dia, com uma variância e desvio-padrão de 0,0005 e 0,0234;
respectivamente, demonstradas nas células B46, D50 e D51 (figura 10).
4 – Análise da Sensibilidade
A utilização de planilhas eletrônicas na definição da composição do
portfolio de investimentos podem auxiliar também na análise da sensibilidade dos dados.
Por exemplo, e se investidor deixar um retorno mínimo diferente do colocado inicialmente
no problema. Para que se possa fazer tal analise deve alterar unicamente a célula que
contem a informação do retorno mínimo exigido (célula D46) e calcular novamente o
Solver (pois o mesmo nã calcula automaticamente). Porém existem alguns software Addins para a planilha Microsoft Excel®, para calcularmos a sensibilidade da variável restritiva
que é o retorno mínimo esperado pelo portfolio, utilizaremos um Add-In denominado
SolverTableiii.
Figura 10 –Resultados do Solver
Vá ao item “Dados” no menu principal, e clique o item “SolverTable” da
lista, abrirá uma caixa de diálogo perguntando se deseja criar uma ou duas tabelas
baseados em alteração de uma ou duas variáveis de entrada, marque a opção “oneway
Table” que é para alterar somente uma variável de entrada (figura 11). Abrirá uma caixa
de diálogo, que na primeira linha deverá ser informado a célula de entrada que se deseja
variar, no nosso caso a variável é o retorno mínimo exigido, então digite $D$46 no campo
“Input Cell”. Depois a caixa de diálogo pede a base de valores da células de entrada,
valor mínimo, valor máximo e o incremento. Digite nos campos “Minimum value”,
“Maximum value” e “Increment”, respectivamente os seguintes valores 0,0010; 0,0105; e
0,0005. Abaixo tem o campo “Output cell(s)” que deve ser informado quais as células de
saídas a serem analisadas pelo SolverTable, digite as células que contem a participação
de cada alternativa de investimento, o retorno esperado e desvio-padrão, conforme a
figura 12. Deve-se se indicar no último campo a célula aonde o SolverTable inicie a
construção da tabela de sensibilidade (célula $A$58), após a interação dos cálculos com
as variáveis a ser analisado, o Excel plotar uma tabela de sensibilidade (figura 13).
Figura 11 – SolverTable
Figura 12 – Parâmetros do SolverTable
Figura 13 – Análise de Sensibilidade do Retorno Mínimo Exigido
Através da análise de sensibilidade do retorno mínimo exigido, observa-se
que:
a. a partir de uma exigência de retorno acima de 0,85% não existe uma solução viável
para o problema;
b. comprovando a teoria econômica, quando maior o retorno, maior o risco (medido
pelo desvio padrão); e
c. os retornos mínimos otimizados de 0,024%, 0,10%, 0,15% e 0,18 tem o mesmo
desvio-padrão, ou seja, o mesmo Risco;
d. a diversificação perfeita dos títulos do tipo ADR, tem um retorno mínimo esperado de
7,6 vezes maior do que o retorno médio da poupança (0,18% / 0,024%) considerado
com um investimento sem risco.
Com base nesta tabela de sensibilidade pode decidir a composição do seu
portfolio, diversificando os seus investimentos, baseado no seu nível de risco assumido e
retorno esperado pela solução otimizada pela programação linear.
5 – Conclusão
Os atuais investimentos que são realizados deve ser devidamente
efetuados à luz da teoria econômica, a diversificação perfeita dos investimentos minimiza
o risco, sem prejudicar o retorno esperado. A programação linear torna-se um
instrumento muito útil ao investidor, na tentativa de compor a carteira ótima de
investimento, além de abrir a possibilidade analisar a sensibilidades da variáveis
restritivas do mercado.
A diversificação perfeita dos títulos do tipo ADR, negociados na Bolsa de
Nova York (NYSE), trazem um retorno esperado mínimo bem maior do que investimento
na poupança, considerada sem risco, o demonstra uma boa opção de investimento para
aqueles que possui a possibilidade de tal oportunidade de investimento.
BIBLIOGRAFIA
COSTA JR; Newton C. A.; et. al. Mercado de capitais: análise empírica no Brasil. São
Paulo: Atlas, 2000.
BRIGHAM, Eugene F.; HOUSTON, Joel F. Fundamentos da Moderna Administração
Financeira. Rio de Janeiro: Campus, 1999.
FALCINI, Primo. Avaliação econômica de empresas: técnica e prática. São Paulo:
Atlas, 1995
HOLTTHAUSEN, Felipe S.; GALLI, Oscar C. Lançamento de DRs por empresas
brasileiras no mercado norte-americano: valorização de mercado, volatilidade e
performance ajustada ao risco. In: ENANPAD ENCONTRO NACIONAL DA ANPAD, 25,
2001, Campinas: Associação Nacional dos Programas de Pós-graduação em
Administração, 2001.[in CD ROM].
LEVINE, David M.; et. al. Estatística: teoria e aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
MARCON, Rosilene; ALBERTON, Anente; COSTA JR; Newton C. A. Segmentação de
mercado, comportamento do mercado doméstico e de ADRs: Algumas evidências do
mercado brasileiro e argentino. In: ENANPAD ENCONTRO NACIONAL DA ANPAD, 25,
2001, Campinas: Associação Nacional dos Programas de Pós-graduação em
Administração, 2001.[in CD ROM].
MARKOWITZ, Harry. Portfolio Selection. Journal of Finance. American Finance
Association, v. 7, n.1, p. 77-91, mar. 1952.
SHARPE, William F. Capital asset prices: a theoru of market equilibrium under condtions
of risk. Journal of Finance. American Finance Association, v. 19, n.3, p. 425-442, sep.
1964.
TOLEDO FILHO, Jorge Ribeiro de. Modelo de precificação de ativos CAPM, APT e
Derivativos: os problemas para sua contabilização. Revista de Contabilidade do CRCSP, São Paulo, n.8, p.20-30, jun.1999.
WINSTON, Wayne L.; ALBRIGHT, S. Christian. Practical Management Science. 2.ed.
Pacific Grove: Duxbury, 2000.
i Para facilitar a montagem do modelo de programação linear é aconselhável que se coloque valores
aleatórios nas células de saída.
ii
Após digitar a fórmula deve-se pressionar CtrlShift-Enter para que o Excell reconheça a fórmula de
multiplicação de matrizes.
iii
Desenvolvido pela DecisionTools® Suite