padrões com cubos

X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
PADRÕES COM CUBOS
Rosemeire Bressan*
Faculdade de Tecnologia - FATEC
(Catanduva-SP)
[email protected]
Resumo: Os padrões da matemática fazem parte de várias áreas de conhecimento como a
biologia, arte e arquitetura. Na maioria das vezes possuem figuras geométricas em sua
composição como triângulos, quadrados, hexágonos e círculos. Há diversas maneiras de
construí-los por meio de material concreto, por exemplo, peças de cartolina colorida com
motivos retilíneos e curvilíneos (Caleidostróton) e software específico (Tess). Para fugir
das construções tradicionais, cubos ou hexaedros podem ser utilizados, na obtenção de
novos padrões, visando a facilitar o ensino de simetria.
Palavras-chave: Padrões; Cubos; Simetria; Ensino de Matemática.
Introdução
A Matemática está cada vez mais presente na vida das pessoas. Uma simples
análise de um favo que armazena mel de abelhas pode fornecer um padrão matemático
formado por hexágonos, como mostra a figura 1.
Figura 1. Favo com padrão hexagonal. Recuperada em 14 de março de 2010 de
www.jornaltribunalivre.com.br/.../colmeia.jpg.
Ou ainda, é possível encontrá-lo quando se admira o piso que se tem em algumas
casas, ou, simplesmente, quando se vai até uma loja de material de construção e se
procuram pisos com figuras para compor um padrão para ser colocado no chão de qualquer
tipo de imóvel. Segundo Stewart(1996),
A mente e a cultura humana desenvolvem um sistema formal de
pensamento para reconhecer, classificar e explorar padrões. Nós o
chamamos matemática. Usando a matemática para organizar e
sistematizar nossas idéias a respeito de padrões, descobrimos um grande
segredo: os padrões da natureza não existem somente para ser admirados,
eles são pistas vitais para as regras que governam os processos naturais.
(Stewart, 1996, p. 11)
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Na figura 2, é apresentado um abacaxi que possui um determinado padrão em sua
casca.
Figura
2.
Casca
do
abacaxi.
Recuperada
em
14
de
março
de
2010,
de
http://minhasfrutas.blogspot.com/2008/11/abacaxiplantas-que-curam.html.
Essa Matemática que impressiona muitos pode ser levada à sala de aula por meio
do uso de materiais concretos, os quais o aluno poderão manusear, analisar e, inclusive,
construir o seu conhecimento. Para Lorenzato(2006), “Palavras não alcançam o mesmo
efeito que conseguem os objetos ou imagens, estáticos ou em movimento. Palavras
auxiliam, mas não são suficientes para ensinar”.
Definindo padrões
A ideia de padrões é seguida em diversas áreas e diferentes culturas. Por exemplo, o
sistema Internacional de Medidas determina padrões para o Sistema métrico decimal em
todo o mundo. Barbosa(2000), após consultar alguns dicionários, considera padrão como
modelo, motivo, o que dá unidade e caracteriza uma espécie, cultura ou forma; algo para
imitação ou guia.
Na Matemática, é possível, por exemplo, observar a sequência de Fibonacci dada
por 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... e concluir que, para encontrar o próximo termo, deve-se seguir o
padrão observado o qual consiste em somar os dois termos anteriores da sequencia para
encontrar o próximo elemento.
Outro exemplo é a de pavimentação de um plano. Utilizando um modelo de piso e
unindo-o com outros três, tem-se um padrão criado e que pode ser observado na figura 3.
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Figura 3. Peça de um piso formando um padrão. Recuperada em 14 de março de 2010, de
http://www.mosaicoazulejos.com.br/azulejos-coloniais.htm.
Unindo quatro peças do padrão obtido na figura 3, surge uma pavimentação ou
mosaico em estilo colonial(figura 4).
Figura 4. Mosaico obtido com a união de 4 padrões.
Um estudo completo sobre padrões em mosaicos é apresentado em Barbosa(1993).
Para a construção de mosaicos e faixas simétricas de uma maneira fácil e eficiente pode-se
fazer uso do Caleidostróton1. Esse material consiste em peças quadradas com motivos
lineares e circulares, como pode ser visto na figura 5.
Figura 5. Peças do Caleidostróton.
Um modelo de pavimentação construído com as peças de motivos retilíneos segue
na figura 6.
Caleidostróton: mosaicos e ornamentos com materiais quadrados(material educativo). Lógica –
Brinquedos Educativos. São José do Rio Preto, SP, 1996
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Figura 6. Pavimentação com Caleidostróton.
Padrões com cubos
Um hexaedro ou cubo pode ser utilizado para construir padrões por meio da
combinação de cubos que possuem motivos retilíneos ou curvilíneos em suas faces, como
pode ser visto na figura 7.
Figura 7. Cubo com motivos curvilíneos nas faces.
Para construir padrões com os cubos, é interessante utilizá-los e fazer traços
retilíneos ou curvilíneos em cada uma das faces. Cada face deverá ter o mesmo traçado.
A figura 8 mostra um cubo desenhado com 3 segmentos na diagonal de cada face.
Figura 8. Cubo com motivos retilíneos.
Colocando os cubos nas áreas pintadas(figura 9), num total de 10, obtém-se a base
da construção que será em três dimensões(3D).
Figura 9. Base para a construção da figura espacial.
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Completando os cubos de modo a ir diminuindo um em cada fileira, obtém-se a
figura 10.
Figura 10. Figura em 3D representando um padrão de mosaico.
Transportando esse padrão para o plano, tem-se o mosaico mostrado na figura 11.
Figura 11. Mosaico formado por hexágonos.
Utilizando o mesmo cubo da figura 8 e dispondo-o com os segmentos da face
superior na horizontal, como mostra a figura 12, é possível obter um outro padrão para um
mosaico.
Figura 12. Disposição dos cubos para um novo padrão geométrico
Fazendo uso do mesmo esquema da construção anterior, tem-se a figura 13 com um
novo padrão geométrico.
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Figura 13. Novo padrão geométrico.
Transportando esse padrão geométrico para o plano, o mosaico da figura 14 é
obtido.
Figura 14. Mosaico formado por triângulos.
Utilizando as peças, cujo modelo aparece na figura 8, e dispondo-as sobre a base da
figura 15, tem-se uma nova construção, formando outro padrão geométrico.
Figura 15. Base para obtenção de novo padrão.
Esse novo padrão é formado por quadrados pequenos inscritos em outros quadrados
dispostos na diagonal, como mostra a figura 16.
Figura 16. Padrão geométrico formado por quadrados.
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Dessa maneira, com uma única peça base, foi possível obter pavimentações com o
hexágono, triângulo equilátero e quadrado, que são os únicos polígonos regulares que
pavimentam um plano, como ser visto em Barbosa (1993).
Os mosaicos apresentados nas figuras 10, 13 e 16(b) foram construídos com o
auxílio do software Tess. Esse software permite construir faixas simétricas, pavimentações
e rosáceas. Em Bressan(2009), tem-se um estudo sobre o Tess.
Outras construções com os cubos e seus respectivos padrões para pavimentações
são apresentados nas figuras 17, 18, 19 e 20.
Figura 17. Construção com cubos em forma de escada.
Figura 18. Construção com cubos com motivos circulares.
Figura 19. Construção com cubos em forma de escada.
Figura 20. Construção com cubos em forma de pirâmide.
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Considerações finais
A direção a ser dada ao ensino de Matemática tem preocupado profissionais da área
de educação e dirigentes de todo o Brasil. Isso deve ao fato de os alunos reclamarem que a
Matemática é muito difícil, complicada e que não tem relação com o dia-a-dia deles.
Os professores ficam sem saber o que fazer. Para Fossa(2001, p. 75),
[...] as atividades usadas no ensino de matemática não deveriam
se limitar a exercícios rotineiros feitos com lápis e papel. De fato, as
atividades deveriam conter um componente em que materiais concretos
são usados, pois este componente servirá como a base a partir da qual a
criança vai abstrair.
(Fossa, 2001, p. 75)
Assim, os professores podem inserir diversas atividades na sala de aula, visando a
facilitar o entendimento dos alunos e melhorando o processo de ensino-aprendizagem.
Como sugestão, fica o que foi apresentado neste artigo. O professor poderá utilizar os
métodos para complementar o ensino de simetria (rotação, translação e reflexão) com
aplicação na criação de faixas e mosaicos, além de poder relacionar com a geometria
espacial e outras disciplinas, como a história(pesquisar sobre a civilização dos Mouros, o
famoso castelo de Alhambra, na Espanha, que possui mosaicos maravilhosos e ricos em
detalhes que envolvem a Matemática) e a Educação Artística com as cores, construções
geométricas, a ideia de profundidade e perspectivas.
Referencias
BARBOSA, Ruy M. Aprendendo com padrões mágicos. Cadernos SBEM-SP – Ensino
Aprendizagem de Matemática. v. 1. 2000.
______. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 1993.
BRESSAN, Rosemeire; CAZETA, Mariângela. Ferramentas computacionais para o
ensino de simetria: um estudo de caso com os softwares Tess e Kali. In: Seminário
Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, IV, 2009, Taguatinga. Anais...
Taguatinga: Sbem, 2009.
DEVLIN, Keith. Matemática – a ciência dos padrões. Porto: Porto Editora, 2002.
FOSSA, John. A. Ensaios sobre a educação matemática. Belém: EDUEPA, 2001
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LORENZATO, Sergio. Para aprender matemática. Campinas: Autores Associados,
2006.
STEWART, Ian. Os números da natureza. Rio de Janeiro: Rocco, 1996.
*
Professora da Faculdade de Tecnologia – FATEC (Catanduva-SP).
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