Prova Final de Matemática

PROVA FINAL DO 3.º CICLO do Ensino BÁSICO
Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho
Prova Final de Matemática
3.º Ciclo do Ensino Básico
Prova 92/1.ª Chamada
10 Páginas
Entrelinha 1,5, sem figuras nem imagens
Duração da Prova: 90 minutos. Tolerância: 30 minutos.
2013
Escreve, de forma legível, a numeração dos itens, bem como as respetivas respostas. Todas as
respostas devem ser registadas na folha de respostas.
Sempre que precisares de alterar ou de anular uma resposta, risca, de forma clara, o que pretendes
que fique sem efeito.
As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero
pontos.
Para cada item, apresenta apenas uma resposta. Se apresentares mais do que uma resposta a um
mesmo item, só a primeira será classificada.
Podes utilizar calculadora1.
A prova inclui, na página 2, um formulário.
Para responderes aos itens de escolha múltipla, escreve, na folha de respostas:
•  o número do item;
•  a letra que identifica a opção escolhida.
As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
1 Considerando
as restrições enunciadas na Informação n.º 24.13, de 2012.12.19.
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Formulário
Números
Valor aproximado de r (pi): 3,14159
Geometria
Áreas
Paralelogramo: Base # Altura
Losango:
Diagonal maior # Diagonal menor
2
Trapézio: Base maior + Base menor # Altura
2
Superfície esférica: 4 rr 2, sendo r o raio da esfera
Volumes
Prisma e cilindro: Área da base # Altura
Pirâmide e cone: Área da base # Altura
3
Esfera: 4 rr 3, sendo r o raio da esfera
3
Álgebra
Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau
2
da forma ax 2 + bx + c = 0: x = − b ! b − 4 ac
2a
Trigonometria
Fórmula fundamental: sen2 x + cos2 x = 1
Relação da tangente com o seno e o cosseno: tg x = sen x
cos x
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1.  O João tem, num saco, nove bolas numeradas de
1 a 9
As bolas são indistinguíveis ao tato.
O João retira, ao acaso, uma bola do saco.
Qual é a probabilidade de a bola retirada ter um número que admita exatamente dois divisores?
Indica a letra da opção correta.
(A) 2
9
(B) 3
9
(C) 4
9
(D) 5
9
2.  A Rita é aluna do 8.º ano de uma escola do ensino básico.
2.1.  A turma da Rita tem um número par de alunos. Em relação aos alunos da turma da Rita, sabe-se que:
•  50% dos alunos têm 13 anos
•  30% dos alunos têm 14 anos
•  20% dos alunos têm 15 anos
Qual é a mediana das idades dos alunos da turma da Rita?
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2.2.  Com o objetivo de ocupar os tempos livres, a Rita inscreveu-se numa classe de dança, num ginásio.
Com a entrada da Rita, a classe ficou com vinte alunos. A média das idades destes vinte alunos é
13,2 anos.
No final da primeira semana, dois alunos de 15 anos abandonaram a classe.
Qual passou a ser a média das idades dos alunos da classe, admitindo que a idade de cada um não
se alterou nessa semana?
Mostra como chegaste à tua resposta.
3.  Considera a seguinte propriedade.
m e n, com m > n , o máximo divisor comum de m e n
é igual ao máximo divisor comum de n e m – n »
«Dados dois números naturais
Por exemplo,
m.d.c. (16, 12) = m.d.c. (12, 4)
Determina o máximo divisor comum dos números
32 e 80, aplicando repetidamente a referida propriedade
até obteres o máximo divisor comum de dois números iguais.
Mostra como chegaste à tua resposta.
4.  Seja
a um número maior do que 1
Qual das expressões seguintes é equivalente à expressão
a -2 × a 4 ?
Indica a letra da opção correta.
(A) a - 8
(B) a - 6
(C) a 2
(D) a 6
5.  Considera o conjunto
A = @− 15 ; 0,9 @
Indica o menor número inteiro e o maior número inteiro pertencentes ao conjunto
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A
6.  O André quer construir triângulos com perímetro igual a
7 cm, de modo que as medidas dos
comprimentos, em centímetros, dos lados desses triângulos sejam números inteiros.
Indica as medidas dos comprimentos, em centímetros, dos lados de dois triângulos nessas condições.
7.  Considera um prisma triangular reto 6 ABCDEF @
Sabe-se que:
•  6 ABC @ e 6 DEF @ são as bases do prisma
•  o triângulo 6 ABC @ é retângulo em A
•  o triângulo 6 DEF @ é retângulo em D
•  6 AD @ , 6 BE @ e 6CF @ são as arestas laterais do prisma
7.1.  Identifica, usando as letras dos vértices do prisma, uma reta que seja concorrente com a reta
CB
e que não contenha qualquer aresta do prisma.
7.2.  Admite que:
•  a amplitude do ângulo ABC é igual a 30º
•  AC = 2 cm
•  AD = 6 cm
Determina o volume do prisma 6 ABCDEF @
Apresenta o resultado em
cm3, arredondado às unidades.
Mostra como chegaste à tua resposta.
Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas
decimais.
Para resolveres este problema necessitas de um dos valores seguintes.
sen 30º 0,50
cos 30º 0,87
=
=
tg 30º = 0,58
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8.  Construiu-se um cubo com volume igual a
42 cm3
Qual é a medida da aresta desse cubo, em centímetros, arredondada às décimas?
Indica a letra da opção correta.
(A) 3,3
(B) 3,4
(C) 3,5
(D) 3,6
9.  Considera uma circunferência de centro no ponto
O e dois triângulos 6 ABC @ e 6CDE @
Sabe-se que:
•  os pontos A, B e C pertencem à circunferência, sendo 6 BC @ um diâmetro da circunferência
•  o ponto E é exterior à circunferência de tal forma que o ponto C pertence ao segmento de reta 6 BE @
•  o ponto D é exterior à circunferência de tal forma que o triângulo 6CDE @ é retângulo em E
•  os triângulos 6 ABC @ e 6CDE @ são semelhantes
9.1.  Admite que a amplitude do ângulo
Qual é a amplitude do arco
AB ?
Indica a letra da opção correta.
(A) 9º
(B) 18º
(C) 36º
(D) 72º
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ACB é igual a 36º
9.2.  Admite que
CD = 0,5
BC
Qual é o valor do quociente
área do triângulo 6CDE @
?
área do triângulo 6 ABC @
Indica a letra da opção correta.
(A) 0,125
(B) 0,25
(C) 0,5
(D) 1
9.3.  Admite que:
•  AB = 6 cm
•  AC = 10 cm
Determina a área do círculo de diâmetro 6 BC @
Apresenta o resultado em cm2, arredondado às unidades.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas
decimais.
10.  Resolve a equação seguinte.
2x 2 + 3 x = 3^1– xh + 5
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
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11.  Num referencial cartesiano, de origem no ponto
funções,
f e g , e um retângulo 6 ABCD @
O, estão representadas partes dos gráficos de duas
Sabe-se que:
•  a função f é definida por f ^ xh = x , pelo que o seu gráfico é uma reta que passa na origem do
referencial
•  a função g é definida por g^ xh = 3 x 2 , pelo que o seu gráfico é uma parábola com a concavidade
voltada para cima e com vértice na origem do referencial
Relativamente aos vértices do retângulo 6 ABCD @, sabe-se que:
•  A pertence ao eixo das abcissas e tem abcissa 1
•  B pertence ao gráfico da função g e tem abcissa 1
•  C pertence ao gráfico da função f e tem abcissa superior a 1
•  D pertence ao eixo das abcissas
11.1.  Determina a medida da área do retângulo 6 ABCD @
Mostra como chegaste à tua resposta.
11.2.  Qual das expressões seguintes define a função cujo gráfico é simétrico do gráfico da função g
relativamente ao eixo das abcissas?
Indica a letra da opção correta.
(A) 1 x 2
3
(B) - 1 x2
3
(C) 3 x 2
(D) -3x2
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12.  Resolve o sistema seguinte.
Z
]] x − 1 + y = 3
2
[
]]
2 x + 3 y = −1
\
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
13.  Uma fábrica produz tapetes para a indústria automóvel.
Uma das máquinas dessa fábrica (a máquina A) produz
6 tapetes por hora e leva 12 horas a fabricar
todos os tapetes encomendados por uma certa empresa.
Seja
x o número de tapetes produzidos, por hora, por uma outra máquina (a máquina B).
O que representa a expressão
72 , no contexto da situação descrita?
x
14.  Seja 6 ABCD @ um quadrado cujo lado mede
Seja 6 EFGH @ um quadrado cujo lado mede
Tem-se
x
y
x>y
Qual das expressões seguintes dá a diferença entre a área do quadrado
quadrado 6 EFGH @ ?
6 ABCD @ e a área do
Indica a letra da opção correta.
(A) ^ x - yh2
(B) ^ x + yh2
(C) ^ x + yh^ x − yh
(D) ^ y + xh^ y − xh
FIM
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COTAÇÕES
1. ..........................................................................................................
5 pontos
2.
2.1. .................................................................................................
4 pontos
2.2. .................................................................................................
6 pontos
3. ..........................................................................................................
5 pontos
4. ..........................................................................................................
5 pontos
5. ..........................................................................................................
4 pontos
6............................................................................................................
5 pontos
7.
7.1. ...............................................................................................
4 pontos
7.2. ...............................................................................................
6 pontos
8. ..........................................................................................................
5 pontos
9.
9.1. ...............................................................................................
5 pontos
9.2. ...............................................................................................
5 pontos
9.3. ...............................................................................................
7 pontos
10. ..........................................................................................................
7 pontos
11.
11.1..................................................................................................
6 pontos
11.2..................................................................................................
5 pontos
12. ..........................................................................................................
7 pontos
13. ..........................................................................................................
4 pontos
14. ..........................................................................................................
5 pontos
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TOTAL ......................................... 100 pontos