∫∞ ∫ ∞

 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ‐ UDESC CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE EXPERIMENTAL PROFESSOR: CÉSAR R. CLAURE TORRICO Alunos:
Nota:
1Data:
2-
Encontro 2
Transformada de Laplace e Transformada Inversa de Laplace.
1.
Objetivo:
Utilizar os conceitos da Transformada de Laplace e Transformada Inversa de Laplace.
Os conceitos são apresentados através de teoria e da resolução dos exercícios via
simulações através do software Maxima e Matlab.
A intenção desta experiência é o uso de programas de computador (software’s) que
resolvam a transformada de Laplace e a sua inversa. Será utilizado o software Matlab e Maxima
(http://wxmaxima.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page). O Maxima é um software
gratuito e de fácil manuseio, além disto trará muita facilidade na resolução das funções e
equações dos sistemas estudados.
1.1 Transformada de Laplace e Inversa de Laplace:
Para uma função f (t ) com t ≥ 0, define-se Transformada de Laplace de f (t ) como
sendo a função complexa F (s ) obtida através da integral:
F ( s) = L[ f (t )] = ∫ f (t )e − st dt
∞
0−
A Transformada Inversa de Laplace é dada da seguinte forma:
f (t ) = L−1 [F (s )] =
1 c + j∞
F (s )e st ds
∫
c
−
j
∞
2πj
Normalmente a transformação de uma equação para o domínio da freqüência e/ou para o
domínio do tempo é feita usando as equações tabeladas (a tabela encontra-se em anexo).
Muitas vezes a transformada inversa de uma equação despende um tempo muito grande pois,
deve-se decompor a equação em frações parciais para aí sim fazer a sua transformada inversa. A
utilização dos programas Matlab e Maxima fará este procedimento automático.
Primeiramente observa-se um exemplo utilizando a Transformada de Laplace.
1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ‐ UDESC CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE EXPERIMENTAL PROFESSOR: CÉSAR R. CLAURE TORRICO Exemplo 1: Seja a função g (t ) = e 2t para t ≥ 0. Sabe-se que a transformada de uma
Exponencial Real f (t ) = e at pela tabela é F ( s) =
Laplace de g (t ) é G ( s) =
1
. Desta forma a Transformada de
s−a
1
.
s−2
No Matlab:
Transformada de Laplace:
>> syms t;
>> gt = exp(2*t);
>> Fs = laplace(Gs)
%declara t como uma variável simbólica
%cria a função gt
%determina a transformada de Laplace de Gs
Fs = 1/(s-2)
>> pretty(Fs)
1
----s - 2
Transformada inversa de Laplace:
Dada a função no domínio da freqüência G ( s) =
1
, determinar a função no
s−2
domínio do tempo.
>> syms s;
%declara s como uma variável simbólica
>> Hs = 1/(s-2);
%cria a função Hs
>> ft = ilaplace(Hs) %Determina a transformada de Laplace de Gs
ft = exp(2*t)
No Maxima:
Inicialmente executar o software Maxima e realizar a transformada de g (t ) . Clicar em
, aparecerá uma tela igual a vista na Figura 1.
Figura 1: Tela inicial do Maxima.
2 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ‐ UDESC CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE EXPERIMENTAL PROFESSOR: CÉSAR R. CLAURE TORRICO No menu em cálculo, Transformada de Laplace é aberto a caixa de opções para a transformada
de Laplace como pode ser visto nas Figura 2 e 3, respectivamente.
Figura 2: Abrindo a opção Transformada de Laplace.
Figura 3: Caixa de opções para a Transformada de Laplace.
Agora digitar a equação do exemplo g (t ) = e 2t (Figura 4).
ou
Figura 4: Caixa de opções para a Transformada de Laplace do exemplo.
O resultado obtido é visto na tela principal do Maxima (Figura 5). O código pode ser
digitado diretamente na linha de comando e para executar Shift Enter.
Figura 5: Resposta obtida no Maxima para o exemplo.
3 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ‐ UDESC CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE EXPERIMENTAL PROFESSOR: CÉSAR R. CLAURE TORRICO De maneira análoga pode-se fazer a Transformada Inversa de Laplace deste exemplo.
Clicando no menu cálculo, Transformada inversa de Laplace, aparecerá uma caixa semelhante
a anterior na qual pode-se digitar a função G ( s) =
1
, ver Figura 6.
s−2
Figura 6: Caixa de opções para a Transformada inversa de Laplace do exemplo.
O resultado obtido é visto na tela principal do Maxima (Figura 7), que na verdade é a
própria função g (t ) = e 2t .
Figura 7: Resposta obtida no Maxima para o exemplo.
Exemplo 2: Fazer a Transformada de Laplace para um degrau unitário e sua Transformada
Inversa.
⎧0, t < 0
u (t ) = ⎨
⎩1, t ≥ 0
Exemplo 3: Fazer a Transformada de Laplace para uma rampa e sua Transformada Inversa.
⎧ 0, t < 0
f (t ) = ⎨
, sendo A igual a 1 e constante ao longo do tempo.
⎩ A.t , t ≥ 0
Exemplo 4: Fazer a Transformada de Laplace para uma função senoidal e sua Transformada
Inversa.
t<0
⎧ 0,
g (t ) = ⎨
, sendo ω0 igual a 1 e constante ao longo do tempo.
⎩sen(ω0 t ), t ≥ 0
Exemplo 5: Fazer a Transformada de Laplace para a derivada de uma função e sua
transformada inversa.
⎧ 0, t < 0
g (t ) = ⎨ 2
⎩t , t ≥ 0
4 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ‐ UDESC CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE EXPERIMENTAL PROFESSOR: CÉSAR R. CLAURE TORRICO 1.2 Frações Parciais
Pode-se expandir uma fração em frações parciais em diversas maneiras, sempre analisando
as características dos pólos:
• Frações parciais para pólos distintos
o Pólos Reais;
o Não Causal;
o Pólos Complexos.
• Frações parciais para pólos retidos
• Frações parciais para casos especiais
De certa maneira a expansão toma um certo tempo e muito algebrismo. Utilizar o Maxima
para cada tipo de função citada anteriormente.
No Máxima:
No menu em cálculo, Frações parciais é aberto a janela como pode ser visto na Figura 8.
Figura 8: Caixa de opções para as Frações parciais.
Como resultado obtém-se:
Figura 9: Resposta obtida no Maxima para o exemplo.
Exemplo 6: Pólos Reais e distintos F ( s ) =
Exemplo 7: Não causal G ( s ) =
s+6
( s + 2 )( s + 4 ) (s + 8)
s 3 + 5s 2 + 9 s + 7
(s + 1)(s + 2)
Exemplo 8: Pólos complexos H ( s ) =
Exemplo 9: Pólos repetidos J ( s ) =
2s + 12
s + 2s + 5
2
s 2 + 2s + 3
(s + 1)3
5 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ‐ UDESC CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE EXPERIMENTAL PROFESSOR: CÉSAR R. CLAURE TORRICO Exemplo 10: Casos especiais (pólos distintos e repetidos) L( s ) =
Exemplo 11: Casos especiais (pólos reais e complexos) M ( s ) =
s 2 + 2s + 3
(s + 1)2 (s + 2)
2s + 12
(s + 2s + 5)(s + 1)
2
1.3 Exercícios
Exercício 1: Com o programa Matlab e Maxima obtenha as transformada de Laplace para as
seguintes funções:
Atenção: salve os arquivos do programa!
a)
y (t ) = 10 − 8e −3t + 2e 2t , t ≥ 0
b)
z (t ) = 2 + 4t 2 − 2e −2t , t ≥ 0
c) u (t ) = e− t cos ( 2t ) + 0, 6e−t sin ( 2t ) , t ≥ 0
Exercício 2: Com os programas Matlab e Maxima obtenha as transformadas Inversa de
Laplace para as funções dos Exemplos 6 ao 11.
Atenção: salve os arquivos do programa!
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