1 ELETRICIDADE 1 – CAPÍTULO 8 CIRCUITO RC SÉRIE R I = e II ⋅ =

ELETRICIDADE 1 – CAPÍTULO 8
CIRCUITO RC SÉRIE
Este capítulo tem por finalidade introduzir o estudo de circuitos que apresentem correntes elétricas
variáveis no tempo. Para tanto, estudaremos o caso de circuitos os quais apresentem correntes elétricas variáveis
no tempo devido a aplicação de uma fem contínua (c.c.), e não alternada (c.a.). Para isso, trataremos do caso
específico de um circuito que consiste na associação em série de uma resistência e uma capacitância. Estamos
falando do denominado circuito RC série. Neste, abordaremos o processo de carga (carregamento) e descarga
(descarregamento) de um capacitor. Tal qual depende de certa taxa de carga/descarga do capacitor – a
denominada constante de tempo capacitiva. Veremos que a corrente do circuito, a quantidade de carga no
capacitor e a tensão sobre os elementos contidos nessa malha são funções exponenciais do tempo.
Processo de Carga de um Capacitor
Consideremos o circuito RC série da Figura 8.1, o qual consiste de uma fonte (ideal) de fem ε, um
resistor R e um capacitor C.
Figura 8.1 – Circuito de carga para um capacitor. Com a chave interruptora S na posição de repouso, o circuito está
desligado. Quando a chave for conectada ao ponto a, o circuito é então ligado. Então, a quantidade de carga no capacitor
cresce exponencialmente com o tempo.
Supomos que o capacitor esteja inicialmente descarregado (isto é, com quantidade de carga líquida nula) e que a
chave interruptora S esteja na posição de repouso. Ao conectarmos a chave S na posição a, fechamos o circuito.
Neste instante (inicial), no qual t = 0, a corrente no circuito será máxima, sendo esta dada por
I max =
ε
R
,
(8.1)
e a carga do capacitor será nula. Passado o momento inicial, onde t > 0, a corrente elétrica que percorre o circuito
passa a decrescer exponencialmente com o tempo, sendo esta dada por
I = I max ⋅ e − (t / τ ) ,
(8.2)
onde e é o número exponencial ou, ainda, o número de Euler1. Como a tensão no resistor é proporcional a
corrente, então a mesma também decresce exponencialmente com o tempo, sendo esta dada por
1
Na matemática, o número de Euler (pronuncia-se óilar), assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard
Euler, é a base dos logaritmos naturais (ln). O número e é também conhecido como: número de Napier, número neperiano e
número exponencial, etc. O número e é um número irracional e transcendental (como o π). O número de Euler e com as
cinco primeiras casas decimais é 2,71828.
1
V R = ε ⋅ e − (t / τ ) .
(8.3)
Porém, a quantidade de carga elétrica no capacitor passa a crescer exponencialmente com o tempo, sendo esta
[
]
Q = Qmax ⋅ 1 − e −(t / τ ) ,
(8.4)
na qual Qmax é a carga máxima com a qual o capacitor poderá ser carregado (também conhecida como a carga
de equilíbrio), a qual é dada por
Qmax = C ⋅ ε .
(8.5)
Como a carga é proporcional a tensão, então a tensão no capacitor também cresce exponencialmente com o
tempo, sendo esta dada pela relação
[
]
VC = ε ⋅ 1 − e − (t / τ ) .
(8.6)
Das relações apresentadas acima, vimos que a corrente I, a carga Q e as tensões do resistor VR e do
capacitor VC são funções exponenciais do tempo. A letra (grega) τ, que aparece nos expoentes dessas equações,
representa a denominada constante de tempo capacitiva ou tempo de relaxação do circuito, sendo esta
matematicamente determinada por
τ = R ⋅C .
(8.7)
A constante de tempo capacitiva, normalmente/simplesmente denominada como constante de tempo2,
representa o tempo necessário para que o capacitor seja carregado com aproximadamente 63% da sua carga
máxima ou, então, para que a corrente no circuito decresça até a aproximadamente 37% do seu valor máximo. A
partir dessa definição, vemos que a constante de tempo, dada pelo produto resistência vezes capacitância, em
(8.7), tem dimensões de tempo. Em unidades SI, teremos então, por (8.7), que o tempo de um segundo
corresponderá ao produto de um ohm por um farad, ou seja, 1s = (1Ω)⋅(1F). Isto também pode ser
entendido/visto pelo fato do termo t/τ, nos expoentes das equações exponenciais acima, ser adimensional (isto é,
sem unidade de medida), pois tempo (t) dividido por tempo (τ) resulta em um valor numérico (sendo este o
expoente para o qual o número de Euler é a base), isto é, sem unidade de medida (devido ao cancelamento das
mesmas). Há também a denominada meia vida do circuito, denotada por tm. Esta corresponde ao tempo
necessário para a corrente no circuito decrescer até a metade (50%) do seu valor máximo ou, então, para o
capacitor adquirir metade da sua carga total (máxima).
Após um tempo suficientemente longo (idealmente infinito), no qual t = ∞, a corrente do circuito cai
(idealmente) a zero. Ao mesmo tempo, a quantidade de carga no capacitor atinge seu valor máximo. Resumindo:
t
0
∞
Q(t)
0
Qmax
I(t)
Imax
0
Tabela 8.1 – Valores extremos em um processo de carga para um capacitor em um circuito RC série.
Como um exemplo da natureza deste tipo de circuito, analisemos um circuito RC série, tal como o da
Figura 8.1, formado por uma bateria (ideal) com fem de 10V, um resistor de 33kΩ e um capacitor de 1000µF.
2
Deve ser levado em conta que também existe a constante de tempo de natureza indutiva.
2
Os gráficos da Figura 8.2 ilustram a tensão no resistor e no capacitor, bem como a corrente do circuito e,
também, a carga no capacitor durante o processo de carregamento do mesmo. Perceba que em qualquer instante
de tempo, a soma das tensões do resistor e do capacitor satisfaz a lei da malhas. Note, também, que para um
tempo suficientemente longo, após ter sido ligado o circuito (tempo este que corresponde, por exemplo, a quatro
ou cinco constantes de tempo, no mínimo), a corrente e, conseqüentemente, a tensão no resistor caem idealmente
a zero. Por outro lado, vemos que no transcorrer desse tempo, a tensão no capacitor e a carga no mesmo atingem
seus máximos valores previstos.
Figura 8.2 – Processo de carga para um capacitor em um circuito RC série, sendo este formado por uma bateria (ideal) com
fem de 10V, um resistor de 33kΩ e um capacitor de 1000µF. (a) Gráfico da corrente elétrica do circuito em função do
tempo. (b) Gráfico da quantidade de carga elétrica no capacitor em função do tempo. (c) Gráfico da tensão no resistor em
função do tempo. (d) Gráfico da tensão no capacitor em função do tempo. Em cada um dos gráficos, o tempo considerado
para a medida das grandezas plotadas (corrente, carga e tensão) é de pouco mais que quatro constantes de tempo.
Pode-se perceber, após todas essas análises, que, no momento em que o circuito é ligado, em t = 0, o
capacitor atua idealmente como uma chave interruptora fechada, sendo a corrente do circuito então máxima e
dada pela relação (8.1). Neste instante, o circuito (aparentemente) consiste simplesmente de um resistor
conectado a fonte de fem. Após um tempo suficientemente longo, no qual t = ∞, o capacitor atua idealmente
como uma chave interruptora aberta, sendo a corrente do circuito então nula. Neste caso, a tensão sobre o
capacitor se igualará a fem aplicada ao circuito. No intervalo de tempo 0 < t < ∝, podemos considerar que o
capacitor atua como uma resistência variável, tal como um potenciômetro, por exemplo. Idealmente, pode-se
entender o capacitor como uma resistência variável, a qual varia de zero ohm a até infinitos ohms. Desse ponto
de vista, pode-se dizer que, no momento em que o circuito é ligado, em t = 0, a resistência variável do capacitor
3
é nula. Logo depois de ligado o circuito, para t > 0, a resistência do capacitor passa a aumentar de valor. Assim,
quando o tempo t for suficientemente longo (t = ∝), a resistência do variável do capacitor apresentará um valor
extremamente alto, idealmente infinito (∝). Neste caso, o capacitor comporta-se idealmente como uma chave
interruptora aberta, sendo impossível que circule corrente elétrica pelo circuito.
Processo de Descarga de um Capacitor
Consideremos novamente o circuito RC série da Figura 8.1, o qual consiste de uma fonte (ideal) de fem
ε, um resistor R e um capacitor C. Supomos que o capacitor esteja inicialmente carregado com uma determinada
quantidade de carga elétrica líquida Qo, correspondendo esta a
Qo = C ⋅ Vo ,
(8.8)
onde Vo é a tensão com a qual o capacitor está, inicialmente, carregado. Dependendo do caso, a quantidade
inicial de carga Qo pode, inclusive, ser a quantidade máxima de carga Qmax prevista para o capacitor no referido
circuito. Também, supomos que a chave interruptora S esteja na posição de repouso e que o capacitor esteja com
uma determinada carga inicial (Qo). Ao ser conectada na posição b, fechamos o circuito. Neste instante (inicial),
no qual t = 0, a corrente inicial no circuito será dada por
Io =
Vo
.
R
(8.9)
A partir deste momento, onde t > 0, a corrente elétrica que percorre o circuito passa a decrescer
exponencialmente com o tempo, segundo a relação
I = I o ⋅ e − (t / τ ) .
(8.10)
Como a tensão no resistor é proporcional a corrente, então a tensão no mesmo também passa a decrescer
exponencialmente com o tempo, sendo esta dada por
V R = Vo ⋅ e − (t / τ ) .
(8.11)
Também, a quantidade de carga elétrica no capacitor decresce exponencialmente com o tempo, de acordo com
Q = Qo ⋅ e − (t / τ ) .
(8.12)
Como a carga é proporcional a tensão, então esta (no capacitor) também decresce exponencialmente com o
tempo, sendo a mesma dada por
VC = Vo ⋅ e −(t / τ ) .
(8.13)
Nas relações apresentadas de (8.8) a (8.13), a constante de tempo capacitiva continua a ser determinada
pela relação (8.7). No presente caso, da descarga do capacitor, a constante de tempo representa o tempo
necessário para que a carga no capacitor e a corrente no circuito decresçam até a aproximadamente 37% dos seus
valores iniciais. A meia vida do circuito, denotada por tm, continua sendo o tempo necessário para a corrente
decrescer até a metade do seu valor inicial ou, então, para o capacitor perder metade da sua carga total (inicial).
Após um tempo suficientemente longo, no qual t = ∞, a corrente do circuito cai a zero, bem como a
quantidade de carga no capacitor. Resumindo:
4
t
0
∞
Q(t)
Qo
0
I(t)
Io
0
Tabela 8.2 – Valores extremos em um processo de descarga para um capacitor em um circuito RC série.
Como um exemplo da natureza deste tipo de circuito, analisemos um circuito RC série, tal como o da
Figura 8.1, formado por uma bateria (ideal) com fem de 10V, um resistor de 33kΩ e um capacitor de 1000µF; o
mesmo analisado anteriormente para o processo de carga no capacitor. Os gráficos da Figura 8.3 ilustram a
tensão no resistor e no capacitor, bem como a corrente do circuito e, também, a carga no capacitor durante um
processo de descarga do capacitor neste circuito. Para tanto, supomos que o capacitor estivesse inicialmente
carregado com a sua carga máxima prevista (Qmax). Perceba que, em qualquer instante de tempo, a soma das
tensões do resistor e do capacitor satisfaz a lei da malhas. Note que para um tempo já suficientemente longo,
após ter sido ligado o circuito – tempo este que corresponde, por exemplo, a quatro ou cinco constantes de
tempo, no mínimo – a corrente e, conseqüentemente, a tensão no resistor e no capacitor, juntamente com a carga
nesse último, caem idealmente a zero.
Figura 8.3 – Processo de descarga para um capacitor em um circuito RC série, sendo este formado por uma bateria (ideal)
com fem de 10V, um resistor de 33kΩ e um capacitor de 1000µF. (a) Gráfico da corrente elétrica do circuito em função do
tempo. (b) Gráfico da quantidade de carga elétrica no capacitor em função do tempo. (c) Gráfico da tensão no resistor em
função do tempo. (d) Gráfico da tensão no capacitor em função do tempo. Em cada um dos gráficos, o tempo considerado
5
para a medida das referidas grandezas (corrente, carga e tensão) é pouco maior que aproximadamente quatro constantes de
tempo.
Pode-se perceber, após todas essas análises, que no momento em que o circuito é ligado, em t = 0, o
capacitor atua idealmente como uma chave interruptora fechada, sendo a corrente inicial do circuito então
máxima e dada pela relação (8.9). Após um tempo suficientemente longo, no qual t = ∞, o capacitor atua
idealmente como uma chave interruptora aberta, sendo a corrente do circuito então nula.
EXEMPLOS
1. Anteriormente, analisamos o circuito RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, composto por uma
bateria (ideal) com fem de 10V, um resistor de 33kΩ e um capacitor de 1000µF, o qual considerou-se
inicialmente descarregado. Os gráficos referentes aos processos de carga e descarga do capacitor foram
ilustrados nas Figuras 8.2 e 8.3. Sendo assim, com relação ao processo de carga do capacitor neste
circuito (ligação do interruptor: a-S), determine:
a) A constante de tempo do circuito, em segundos (s).
A constante de tempo do circuito, para o capacitor em processo de carga, é, de acordo com (8.7),
τ = R ⋅ C = (33kΩ) ⋅ (1000µF ) = (33000Ω) ⋅ (1000 × 10−6 F ) = 33s .
b) A carga máxima acumulada no capacitor, em milicoulombs (mC).
A quantidade de carga máxima do circuito, para o capacitor em processo de carga, é, de acordo
com (8.5),
Qmax = C ⋅ ε = (1000 µF ) ⋅ (10V ) = (1000 × 10 −6 F ) ⋅ (10V ) = 1 × 10 −2 C = 10mC .
c) O instante de tempo, em segundos (s), para que a carga armazenada no capacitor seja igual à
metade do seu valor máximo.
O tempo requerido neste cálculo consiste no denominado tempo de meia vida do circuito (tm). A
meia vida do circuito, denotada por tm, corresponde ao tempo necessário para a corrente no
circuito decrescer até a metade (50%) do seu valor máximo ou, então, para o capacitor adquirir
metade da sua carga total (máxima). Assim, neste instante de tempo, a quantidade de carga no
capacitor deve ser
Q=
Qmax 10mC
=
= 5mC .
2
2
Logo, por (8.4),
[
]
Q = Qmax ⋅ 1 − e −(t / τ ) ,
teremos que
[
]
5 = (10) ⋅ 1 − e − (t / 33) ,
6
5
= 1 − e −(t / 33) ,
10
0,5 = 1 − e − (t / 33 ) ,
0,5 − 1 = −e − (t / 33) ,
− 0,5 = −e − (t / 33) ,
0,5 = e − (t / 33 ) ,
Aplicando o logaritmo natural (ln) de ambos os lados da última equação acima, teremos que
ln 0,5 = ln e − (t / 33) ,
onde, nessa última equação, usaremos a regra ln e a = a . Assim,
− 0,6932 = −
0,6932 =
t
,
33
t
,
33
t = (0,6932) ⋅ (33) = 22,87 s .
d) O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor seja igual à metade da fem
da fonte.
O tempo será o mesmo do exercício anterior (meia vida), pois como a carga é proporcional a
tensão, essa mesma (no capacitor) também cresce exponencialmente com o tempo. Assim,
ambas as grandezas (carga e tensão), no capacitor, apresentam expressões matemáticas
semelhantes, tal como se verifica nas equações (8.4) e (8.6).
e) O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor seja igual à 88% da fem da
fonte.
A tensão no capacitor como sendo de 88% da fem da fonte é dada por
VC = 88% ⋅ ε = (0,88) ⋅ (10V ) = 8,8V
Logo, por (8.6),
[
]
VC = ε ⋅ 1 − e − (t / τ ) ,
teremos que
[
]
8,8 = (10) ⋅ 1 − e − (t / 33 ) ,
7
8,8
= 1 − e −(t / 33) ,
10
0,88 = 1 − e − (t / 33 ) ,
0,88 − 1 = −e − (t / 33) ,
− 0,12 = −e − (t / 33) ,
0,12 = e − (t / 33 ) ,
Aplicando o logaritmo natural (ln) de ambos os lados da última equação acima, teremos que
ln 0,12 = ln e − (t / 33) ,
onde, nessa última equação, usaremos a regra ln e a = a . Assim,
− 2,1212 = −
2,1212 =
t
,
33
t
,
33
t = (2,1212) ⋅ (33) = 70 s .
f) A corrente máxima do circuito.
A corrente máxima do circuito, para o capacitor em processo de carga, é, de acordo com (8.1),
I max =
ε
R
=
10V
≅ 0,303mA = 303µA .
33kΩ
g) O instante de tempo, em segundos (s), para que a corrente elétrica na resistência decaia à metade
do seu valor máximo.
O tempo será o mesmo dos itens (c) e (d) anteriores pois, como se viu, a meia vida do circuito
corresponde ao tempo necessário para a corrente no circuito decrescer até a metade (50%) do seu
valor máximo (ou, então, para o capacitor adquirir metade da sua carga máxima).
2. Considere que, depois de ligado o circuito RC série do exemplo anterior, após um tempo muito grande
(onde consideramos t = ∝), o capacitor seja colocado em um processo de descarga (ligação do
interruptor: b-S). Sendo assim, determine:
a) A constante de tempo do circuito, em segundos (s).
Como o circuito usado para a descarga do capacitor consiste no mesmo resistor de 33kΩ (sem a
inserção de demais resistores) e no mesmo capacitor (sem a inserção de demais capacitores), a
8
constante de tempo do processo de descarga do capacitor é a mesma do processo de carga deste,
determinada no exemplo anterior. Isto porque o capacitor foi carregado com sua máxima carga
prevista, sendo esta a sua carga inicial, além da tensão deste ser igual a sua fem.
b) A carga inicial acumulada no capacitor, em milicoulombs (mC).
A carga inicial do capacitor consiste na carga máxima determinada para o mesmo, no exemplo
anterior.
c) O instante de tempo, em segundos (s), para que a carga inicial armazenada no capacitor decaia à
metade do seu valor inicial.
Este tempo corresponde a meia vida do circuito, determinada no exemplo anterior.
d) O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor seja igual à metade da sua
tensão inicial.
Este tempo corresponde a meia vida do circuito, determinada no exemplo anterior.
e) O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor seja igual à 88% da sua
tensão inicial.
A tensão inicial no capacitor corresponde, idealmente, à própria força eletromotriz da fonte de
fem que foi desligada do circuito (quando a tensão sobre o capacitor, em seu processo de
carregamento, se igualou à fem da fonte, idealmente), isto é,
Vo = ε = 10V
A tensão no capacitor como sendo de 88% da fem da fonte é dada por
VC = 88% ⋅ ε = (0,88) ⋅ (10V ) = 8,8V
Logo, por (8.13),
VC = Vo ⋅ e − (t / τ ) ,
teremos que
8,8 = (10) ⋅ e − (t / 33) ,
8,8
= e −(t / 33) ,
10
0,88 = e − (t / 33 ) ,
Aplicando o logaritmo natural (ln) de ambos os lados da última equação acima, teremos que
ln 0,88 = ln e − ( t / 33) ,
9
onde, nessa última equação, usaremos a regra ln e a = a . Assim,
− 0,1278 = −
0,1278 =
t
,
33
t
,
33
t = (0,1278) ⋅ (33) = 4,22 s .
Note: em aproximadamente 4s, o capacitor já perdeu 88% da sua carga armazenada inicialmente.
f) A corrente inicial do circuito.
Esta corrente corresponde a corrente máxima determinada no exemplo anterior, visto que a
tensão inicial no capacitor corresponde a fem da bateria que o carregou até sua máxima carga.
g) O instante de tempo para que a corrente elétrica no resistor decaia à metade do seu valor inicial.
Este tempo corresponde a meia vida do circuito, determinada no exemplo anterior.
Constantes de Tempo Distintas para Carga e Descarga de um Capacitor
Nem sempre a constante de tempo de carga do capacitor deverá ser a mesma para a descarga do referido
capacitor, no circuito considerado. Para tanto, por exemplo, analisemos um caso, em particular, para o circuito
da Figura 8.4. Neste circuito, a constante de tempo de carregamento τC do capacitor é dada em termos do resistor
R1 e pelo capacitor C, isto é, τC = R1⋅C. Já a constante de tempo de descarregamento τD do capacitor é dada em
termos da resistência equivalente resultante da associação em série dos resistores R1 e R2, e pelo capacitor C, isto
é, τD = (R1 + R2)⋅C.
Figura 8.4 – Processo de descarga para um capacitor em um circuito RC série formado por uma bateria (ideal) com fem ε,
dois resistores R1 e R2, e um capacitor C. Com a chave interruptora S na posição de repouso, o circuito está desligado.
Quando a chave for conectada ao ponto a, o circuito é então ligado, sendo o mesmo constituído de uma malha (fechada)
formada pelo resistor R1 e pelo capacitor C. A partir deste instante, a quantidade de carga no capacitor cresce
exponencialmente com o tempo. A constante de tempo de carga é então dada pela relação τC = R1⋅C. Quando a chave for
conectada ao ponto b, o circuito é então desligado da fonte de fem, sendo o mesmo constituído de uma malha (fechada)
formada pelos resistores R1 e R2, e pelo capacitor C. A partir deste instante, a quantidade de carga no capacitor decresce
exponencialmente com o tempo com uma constante de tempo, de descarga, então dada pela relação τD = (R1 + R2)⋅C.
EXEMPLOS
10
3. Um circuito RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.4, consiste de uma fonte (ideal) de fem de 18V,
um resistor R1 de 1,8MΩ, um resistor R2 de 560kΩ e um capacitor de 22µF, inicialmente descarregado.
Sendo assim, em um processo de carga do capacitor (ligação do interruptor: a-S), determine:
a) A constante de tempo do circuito de carga do capacitor, em segundos (s).
A constante de tempo para o capacitor em processo de carga, é, de acordo com (8.7),
τ C = R1 ⋅ C = (1,8MΩ) ⋅ (22µF ) = (1,8 × 10 6 Ω) ⋅ (22 × 10 −6 F ) = 39,6 s .
b) O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor, durante seu processo de
carregamento, seja igual a 22% da sua tensão máxima possível.
A tensão no capacitor como sendo de 22% da fem da fonte é dada por
VC = 22% ⋅ ε = (0,22) ⋅ (18V ) = 3,96V
Logo, por (8.6), teremos que
[
]
VC = ε ⋅ 1 − e − (t / τ C ) ,
[
]
3,96 = (18) ⋅ 1 − e − (t / 39, 6 ) ,
3,96
= 1 − e −(t / 39,6 ) ,
18
0,22 = 1 − e − (t / 39,6 ) ,
0,22 − 1 = −e − (t / 39, 6 ) ,
− 0,78 = −e − (t / 39,6 ) ,
0,78 = e − (t / 39,6 ) ,
Aplicando o logaritmo natural (ln) de ambos os lados da última equação acima, teremos que
ln 0,78 = ln e − (t / 39, 6 ) ,
onde, nessa última equação, usaremos a regra ln e a = a . Assim,
− 0,2485 = −
0,2485 =
t
,
39,6
t
,
39,6
11
t = (0,2485) ⋅ (39,6) = 9,84 s .
c) A corrente máxima do circuito, em microampères (µA), no processo de carregamento do
capacitor.
A corrente máxima do circuito, para o capacitor em processo de carga, é, de (8.1),
I max =
ε
R1
=
18V
10 µA .
1,8MΩ
d) A quantidade de carga elétrica máxima à ser acumulada no capacitor, em microcoulombs (µC),
no seu processo de carregamento.
A quantidade de carga máxima do circuito, para o capacitor em processo de carga, é, de acordo
com (8.5),
Qmax = C ⋅ ε = (22µF ) ⋅ (18V ) = 396 µC .
4. Considere que, após um tempo muito grande depois de ligado o circuito RC série do exemplo anterior
(onde consideramos t = ∝), o capacitor seja colocado em um processo de descarga (ligação do
interruptor: b-S). Sendo assim, determine:
a) A constante de tempo do circuito de descarga do capacitor, em segundos (s).
A constante de tempo para o capacitor em processo de descarregamento, é, de acordo com (8.7),
τ D = R12 ⋅ C ,
onde
R12 = R1 + R2 = 1,8MΩ + 0,56MΩ = 2,36MΩ ,
lembrando que R2 = 560kΩ = (560kΩ) / 1000 = 0,56 MΩ . Assim:
τ D = R12 ⋅ C = (2,36MΩ) ⋅ (22µF ) = (2,36 × 10 6 Ω) ⋅ (22 × 10 −6 F ) = 51,92s .
b) O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor, durante seu processo de
descarregamento, se reduza a 22% da sua tensão inicial.
A tensão inicial no capacitor corresponde, idealmente, à própria força eletromotriz da fonte de
fem que foi desligada do circuito (quando a tensão sobre o capacitor, em seu processo de
carregamento, se igualou à fem da fonte, idealmente), isto é,
Vo = ε = 18V
Neste caso, a tensão no capacitor, como sendo de 22% da fem da fonte, é dada por
VC = 22% ⋅ ε = (0,22) ⋅ (18V ) = 3,96V ,
12
tal como no exemplo anterior. Logo, por (8.13), teremos que
VC = Vo ⋅ e − (t / τ D ) ,
3,96 = (18) ⋅ e − (t / 51,92 ) ,
3,96
= e −(t / 51,92 ) ,
18
0,22 = e − (t / 51,92 ) ,
Aplicando o logaritmo natural (ln) de ambos os lados da última equação acima, teremos que
ln 0,22 = ln e − (t / 51,92 ) ,
onde, nessa última equação, usaremos a regra ln e a = a . Assim,
− 1,5141 = −
1,5141 =
t
,
51,92
t
,
51,92
t = (1,5141) ⋅ (51,92) = 78,61s .
c) A corrente inicial do circuito, em microampères (µA), no processo de descarregamento do
capacitor.
A corrente inicial do circuito, para o capacitor em processo de descarregamento, é, de (8.9),
Io =
Vo
18V
=
= 7,63µA .
R12 2,36MΩ
d) A quantidade de carga elétrica no capacitor, em microcoulombs (µC), cinco segundos após o
mesmo ser colocado em processo de descarregamento.
A quantidade de carga elétrica inicial no capacitor Qo corresponde, idealmente, à própria
quantidade de carga máxima do circuito, para o capacitor em processo de carga (quando a tensão
sobre o capacitor, em seu processo de carregamento, se igualou à fem da fonte, idealmente), isto
é,
Qo = Qmax = 396µC .
Assim, a quantidade de carga elétrica no capacitor, cinco segundos após o mesmo ser colocado
em processo de descarregamento, é, de acordo com (8.12),
13
Q = Qo ⋅ e − (t / τ D ) ,
Q = (396 µC ) ⋅ e − (5 / 51,92 ) ,
Q = (396µC ) ⋅ e −0, 096302 ,
Q = (396 µC ) ⋅ (0,9082) = 359,64 µC .
Note: em aproximadamente 5s, o capacitor perdeu apenas 9,18% da sua carga armazenada
inicialmente.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Um circuito RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, consiste de uma fonte (ideal) de fem de 12V,
um resistor de 1,4MΩ e um capacitor de 1,8µF, o qual está inicialmente descarregado. Sendo assim, em
um processo de carga do capacitor (ligação do interruptor: a-S), determine:
a) A constante de tempo do circuito, em segundos (s).
b) A carga máxima acumulada no capacitor, em microcoulombs (µC).
c) O instante de tempo, em segundos (s), para que a carga armazenada no capacitor seja igual à
metade do seu valor máximo.
d) O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor seja igual à metade da fem
da fonte.
e) A corrente máxima do circuito, em microampères (µA).
f) O instante de tempo, em segundos (s), para que a corrente elétrica no resistor decaia à metade do
seu valor máximo.
g) O instante de tempo, em segundos (s), para que a quantidade de carga elétrica no capacitor
cresça até 55% do seu valor máximo.
2. Considere que, após um tempo muito grande depois de ligado o circuito RC série do exercício anterior
(onde consideramos t = ∝), o capacitor seja colocado em um processo de descarga (ligação do
interruptor: b-S). Sendo assim, determine:
a) A constante de tempo do circuito, em segundos (s).
b) A carga inicial acumulada no capacitor, em microcoulombs (µC).
c) O instante de tempo, em segundos (s), para que a carga inicial armazenada no capacitor decaia à
metade do seu valor inicial.
d) O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor seja igual à metade da sua
tensão inicial.
e) A corrente inicial do circuito, em microampères (µA).
f) O instante de tempo, em segundos (s), para que a corrente elétrica no resistor decaia à metade do
seu valor inicial.
g) O instante de tempo, em segundos (s), para que a quantidade de carga elétrica no capacitor
decresça até 55% do seu valor inicial.
3. Um circuito RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.4, consiste de uma fonte (ideal) de fem de 12V,
um resistor R1 de 1,2kΩ, um resistor R2 de 2,2kΩ e um capacitor de 1µF, inicialmente descarregado.
Sendo assim, em um processo de carga do capacitor (ligação do interruptor: a-S), determine:
a) A constante de tempo do circuito, em mili-segundos (ms).
14
b) A carga máxima acumulada no capacitor, em microcoulombs (µC).
c) O instante de tempo, em mili-segundos (ms), para que a carga armazenada no capacitor seja
igual à metade do seu valor máximo.
d) O instante de tempo, em mili-segundos (ms), para que a tensão no capacitor seja igual à metade
da fem da fonte.
e) A corrente máxima do circuito, em miliampères (mA).
f) O instante de tempo, em mili-segundos (ms), para que a corrente elétrica no resistor decaia à
metade do seu valor máximo.
4. Considere que, após um tempo muito grande depois de ligado o circuito RC série do exercício anterior
(onde consideramos t = ∝), o capacitor seja colocado em um processo de descarga (ligação do
interruptor: b-S). Sendo assim, determine:
a) A constante de tempo do circuito, em mili-segundos.
b) A carga inicial acumulada no capacitor, em microcoulombs (µC).
c) O instante de tempo, em mili-segundos (ms), para que a carga inicial armazenada no capacitor
decaia à metade do seu valor inicial.
d) O instante de tempo, em mili-segundos (ms), para que a tensão no capacitor seja igual à metade
da sua tensão inicial.
e) A corrente inicial do circuito, em miliampères (mA).
f) O instante de tempo, em mili-segundos (ms), para que a corrente elétrica no resistor decaia à
metade do seu valor inicial.
5. Um circuito RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.4, consiste de uma fonte (ideal) de fem de 12V,
um resistor R1 de 1,5MΩ, um resistor R2 de 220kΩ e um capacitor de 47µF, inicialmente descarregado.
Sendo assim, em um processo de carga do capacitor (ligação do interruptor: a-S), determine:
a) A constante de tempo do circuito, em segundos (s).
b) A carga máxima acumulada no capacitor, em microcoulombs (µC).
c) O instante de tempo, em segundos (s), para que a carga armazenada no capacitor seja igual à
metade do seu valor máximo.
d) O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor seja igual à metade da fem
da fonte.
e) A corrente máxima do circuito, em microampères (µA).
f) O instante de tempo, em segundos (s), para que a corrente elétrica no resistor decaia à metade do
seu valor máximo.
6. Considere que, após um tempo muito grande depois de ligado o circuito RC série do exemplo anterior
(onde consideramos t = ∝), o capacitor seja colocado em um processo de descarga (ligação do
interruptor: b-S). Sendo assim, determine:
a) A constante de tempo do circuito, em segundos (s).
b) A carga inicial acumulada no capacitor, em microcoulombs (µC).
c) O instante de tempo, em segundos (s), para que a carga inicial armazenada no capacitor decaia à
metade do seu valor inicial.
d) O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor seja igual à metade da sua
tensão inicial.
e) A corrente inicial do circuito, em microampères (µA).
f) O instante de tempo, em segundos (s), para que a corrente elétrica no resistor decaia à metade do
seu valor inicial.
7. Um circuito RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, consiste de uma fonte (ideal) de fem de 12V,
um capacitor de 1pF, inicialmente descarregado, e um resistor de valor desconhecido. Sabe-se que a
15
tensão através do capacitor, em um processo de carga do mesmo (ligação do interruptor: a-S), sobe para
5V em 1,8µs. Sendo assim, determine:
a) A constante de tempo de carga (e descarga) do circuito, em micro-segundos (µs).
b) O valor desse resistor, em megaohms (MΩ).
8. Um circuito RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, consiste de uma fonte (ideal) de fem de 15V,
um resistor de 8,2kΩ, e um capacitor de valor desconhecido, o qual está inicialmente descarregado.
Sabe-se que a tensão através do capacitor, em um processo de carga do mesmo (ligação do interruptor:
a-S), sobe para 3,9V em 0,2s. Sendo assim, determine:
a) A constante de tempo de carga (e descarga) do circuito, em mili-segundos (ms).
b) O valor do capacitor, em microfarads (µF).
9. Um circuito RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, consiste de uma fonte (ideal) de fem de 12V,
um resistor de 15kΩ e um capacitor de valor desconhecido, o qual está inicialmente descarregado. Sabese que a tensão através do capacitor, em um processo de carga do mesmo (ligação do interruptor: a-S),
sobe para 5V em 1,3µs. Sendo assim, determine:
a) A constante de tempo de carga (e descarga) do circuito, em micro-segundos (µs).
b) O valor do capacitor, em picofarads (pF).
10. Um circuito RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, consiste de uma fonte (ideal) de fem de 15V,
um capacitor de 1.800µF, inicialmente descarregado, e um resistor de 10kΩ. Sendo assim, determine:
a) A constante de tempo de carga (e descarga) do circuito, em segundos (s).
b) O instante de tempo, em segundos (s), para que a quantidade de carga no capacitor, durante seu
processo de carregamento (ligação do interruptor: a-S), seja igual a 30% da sua quantidade de
carga máxima possível.
11. No exercício proposto de número 18, do Capítulo 7 (Capacitância), consideramos a eficácia de um
capacitor para armazenar energia potencial elétrica, a qual é a base do desfibrilador, aparelho usado por
uma equipe médica de emergência para conter a fibrilação de um coração vitimado por um ataque
cardíaco. Na ocasião, supomos um desfibrilador construído com um capacitor de 70µF, o qual é
carregado a uma ddp de 5kV. Considerou-se que cerca de 200J da energia total armazenada no
desfibrilador (capacitor) foram enviados através da vítima durante um pulso de 2ms. Isto constitui um
circuito RC série em processo de descarga do capacitor (desfibrilador). Neste caso, a resistência do
circuito é constituída pelo caminho, ao longo do peito da vítima, pelo qual atravessa a corrente elétrica
variável, entre um terminal e outro do aparelho. Assim sendo, e tendo em mente os dados obtidos
durante a resolução do referido exercício de número 18 (do Capítulo 7), determine:
a) A constante de tempo de descarga do circuito, em mili-segundos (ms).
b) O valor aproximado da resistência, em ohms (Ω), constituída pelo caminho ao longo do peito da
vítima, pelo qual atravessa a corrente elétrica variável, entre um terminal e outro do aparelho.
12. Considere um circuito RC série de diagrama igual ao da Figura 8.4. Sabe-se que a tensão sobre o
capacitor (inicialmente descarregado) de 1000µF, durante um processo de carga no mesmo (ligação do
interruptor: a-S para carregamento; ligação b-S para descarregamento), atinge 63,21% da fem ideal de
30V em aproximadamente 4,31s. Para o processo de carga do mesmo, sabe-se que sua constante de
tempo (de carga) equivale a um terço do valor da constante de tempo do processo de descarga no
capacitor. Assim sendo, determine:
16
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
A constante de tempo do circuito de carga do capacitor, em segundos (s).
A constante de tempo do circuito de descarga do capacitor, em segundos (s).
O valor do resistor R1.
O valor do resistor R2.
O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor, durante seu processo de
carregamento, seja igual a 42% da sua tensão máxima possível.
O instante de tempo, em segundos (s), para que a tensão no capacitor, durante seu processo de
descarregamento, se reduza a 42% da sua tensão inicial.
A corrente máxima do circuito, em miliampères (mA), no processo de carregamento do
capacitor.
A corrente inicial do circuito, em miliampères (mA), no processo de descarregamento do
capacitor.
O instante de tempo, em segundos (s), para que a corrente elétrica do circuito decaia à metade
do seu valor inicial, no processo de carregamento do capacitor.
O instante de tempo, em segundos (s), para que a corrente elétrica do circuito decaia à metade
do seu valor inicial, no processo de descarregamento do capacitor.
A quantidade de carga elétrica máxima à ser acumulada no capacitor, em milicoulombs (mC),
no seu processo de carregamento.
O instante de tempo, em segundos (s), para que a quantidade de carga elétrica no capacitor
cresça até um quarto do seu valor máximo, no processo de carregamento do mesmo.
O instante de tempo, em segundos (s), para que a quantidade de carga elétrica no capacitor
decresça até um quarto do seu valor inicial, no processo de descarregamento do mesmo.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
a) 2,52s; b) 21,6µC; c) 1,75s; d) 1,75s; e) 8,57µA; f) 1,75s; g) 2,01s;
a) 2,52s; b) 21,6µC; c) 1,75s; d) 1,75s; e) 8,57µA; f) 1,75s; g) 1,51s;
a) 1,2ms; b) 12µC; c) 0,83ms; d) 0,83ms; e) 10mA; f) 0,83ms;
a) 3,4ms; b) 12µC; c) 2,36ms; d) 2,36ms; e) 3,53mA; f) 2,36ms;
a) 70,5s; b) 564µC; c) 48,87s; d) 48,87s; e) 8,57µA; f) 48,87s;
a) 80,84s; b) 564µC; c) 56,03s; d) 56,03s; e) 6,98µA; f) 56,03s;
a) 3,34µs; b) 3,34MΩ;
a) 664,22ms; b) 81µF;
a) 2,41µs; b) 160,79pF;
a) 18s; b) 6,42s;
a) 15,41ms; b) 220,19Ω;
a) 4,7s b) 14,1s; c) 4,7kΩ; d) 9,4kΩ; e) 2,56s; f) 7,68s; g) 6,38mA; h) 2,13mA; i) 3,26s; j) 9,77s;
k) 30mC; l) 1,35s; m) 19,55s;
17